Limiti notevoli: elenco completo ed esercizi svolti

I limiti notevoli sono limiti di cui si conosce già il risultato e che compaiono di continuo negli esercizi di Analisi 1. Saperli riconoscere ti permette di risolvere le forme indeterminate come 0/0 in poche righe.

I limiti notevoli da sapere

Limiti con le funzioni trigonometriche

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

Limiti con esponenziali e logaritmi

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$$

Limiti con le potenze

$$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \qquad \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

Come riconoscerli negli esercizi

Il trucco è sempre lo stesso: l’argomento della funzione e il denominatore devono essere uguali. Se nel limite compare sin(3x), al denominatore ti serve 3x. Se non c’è, lo fai comparire moltiplicando e dividendo per la stessa quantità.

Esercizi svolti

Esempio 1

Calcoliamo il limite di sin(3x)/x per x che tende a 0. Moltiplichiamo e dividiamo per 3:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$$

Esempio 2

Calcoliamo il limite di (e^(2x) − 1)/sin x per x che tende a 0. Facciamo comparire due limiti notevoli:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot 2 = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$$

In sintesi

• I limiti notevoli risolvono le forme indeterminate senza calcoli lunghi.
• L’argomento della funzione e il denominatore devono coincidere: se non coincidono, moltiplica e dividi per la stessa quantità.
• Impara la tabella a memoria: all’esame ti farà risparmiare molto tempo.