Moto di caduta libera: formule, dimostrazioni e formule inverse

Il moto di caduta libera è uno dei fenomeni più studiati della fisica classica e uno degli argomenti fondamentali nei corsi di fisica delle scuole superiori e dell’università. In questa guida trovi tutto ciò che ti serve: la definizione, le formule principali con le relative dimostrazioni e, cosa che raramente si trova online in modo organizzato, tutte le formule inverse, cioè come ricavare ogni grandezza in funzione delle altre.

Che tu stia cercando la formula del tempo di caduta, la velocità al suolo o come comportarti quando il corpo ha una velocità iniziale, qui trovi la risposta completa e dimostrata passo per passo.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere sul moto di caduta libera.

Il sistema di riferimento e l’accelerazione di gravità

Il moto di caduta libera è il moto di un corpo che, partendo inizialmente fermo, cade sotto l’azione della sola accelerazione di gravità, pari a $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Scegliamo un sistema di riferimento con l’asse $x$ orientato verso l’alto e l’origine al suolo. Dato che la gravità punta verso il basso, l’accelerazione vale:

$$a = -g$$

La legge oraria del moto di caduta libera

La caduta libera è un moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione $a = -g$. Sostituendo nella legge oraria generale si ottiene:

$$x(t) = x_0 + v_0 \, (t - t_0) - \frac{1}{2}\, g \, (t - t_0)^2$$

L’equazione delle velocità

Allo stesso modo, l’equazione delle velocità diventa:

$$v(t) = v_0 - g \, (t - t_0)$$

Se il corpo parte da fermo ($v_0 = 0$) e facciamo partire il cronometro da zero ($t_0 = 0$), l’equazione si semplifica:

$$v(t) = -g \, (t - t_0) \quad \xrightarrow{\ t_0 = 0\ } \quad v(t) = -g \, t$$

Sostituendo nella legge oraria $x_0 = h$, $v_0 = 0$ e $t_0 = 0$, dove $h$ è l’altezza da cui cade il corpo, otteniamo la legge oraria della caduta libera:

$$x(t) = h - \frac{1}{2}\, g \, t^2$$

Il tempo di caduta al suolo

Il corpo tocca terra quando la sua posizione vale zero. Imponendo $x(t) = 0$:

$$\begin{gathered} h - \frac{1}{2}\, g \, t^2 = 0 \\ t^2 = \frac{2h}{g} \\ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \end{gathered}$$

La velocità al suolo

Per calcolare la velocità al suolo sostituiamo il tempo di caduta nell’equazione delle velocità $v(t) = -g\,t$ e prendiamo il valore assoluto:

$$v = g \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$$

Questo risultato mostra che la velocità finale dipende solo dall’altezza di caduta $h$ e dall’accelerazione di gravità $g$, non dalla massa del corpo.

Caduta libera con velocità iniziale v₁

Cosa succede se il corpo non parte da fermo, ma ha già una velocità iniziale $v_1$ diretta verso il basso?

Legge oraria con velocità iniziale

Con l’asse $x$ verso l’alto, la velocità iniziale ha verso opposto all’asse, quindi $v_0 = -v_1$, dove $v_1$ è il modulo della velocità iniziale. Sostituendo $x_0 = h$, $v_0 = -v_1$ e $t_0 = 0$:

$$x(t) = h - v_1 \, t - \frac{1}{2}\, g \, t^2$$

Equazione delle velocità con velocità iniziale

Con le stesse sostituzioni l’equazione delle velocità diventa:

$$v(t) = -v_1 - g \, t$$

Il segno negativo indica che sia la velocità iniziale sia l’accelerazione di gravità fanno aumentare la velocità verso il basso.

Tempo di caduta al suolo con velocità iniziale

Per trovare il tempo di caduta si impone $x(t) = 0$ e si risolve l’equazione di secondo grado che ne risulta. Prendendo solo la soluzione positiva, perché il tempo non può essere negativo:

$$t = \frac{-v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}$$

Dimostrazione:

Velocità al suolo con velocità iniziale

Sostituendo il tempo di caduta nell’equazione delle velocità $v(t) = -v_1 - g\,t$ e semplificando, la velocità al suolo in valore assoluto risulta:

$$v = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$$

Questa formula generalizza il caso senza velocità iniziale: ponendo $v_1 = 0$ ritroviamo esattamente $v = \sqrt{2gh}$. I due casi sono quindi casi particolari della stessa formula.

Dimostrazione:

Le formule inverse della caduta libera

Finora abbiamo calcolato il tempo di caduta e la velocità al suolo partendo dall’altezza $h$. Negli esercizi però capita spesso di conoscere grandezze diverse: per esempio la velocità al suolo, e voler sapere da che altezza è caduto il corpo, oppure il tempo di caduta, e voler ricavare la velocità iniziale.

In questa sezione ricaviamo in modo sistematico tutte le formule inverse della caduta libera, cioè esprimiamo ogni grandezza ($h$, $t$, $v_1$ e $v$) in funzione delle altre.

Le formule inverse della legge oraria generale $x(t) = x_0 + v_0 (t - t_0) - \frac{1}{2} g (t - t_0)^2$ sono le stesse del moto rettilineo uniformemente accelerato, con $a = -g$.

Formule inverse dell’equazione delle velocità

Dall’equazione delle velocità $v(t) = v_0 - g\,(t - t_0)$, isolando $v_0$:

$$v_0 = v(t) + g \, (t - t_0)$$

Isolando invece il tempo trascorso:

$$t - t_0 = \frac{v_0 - v(t)}{g}$$

In particolare, il tempo che un corpo lanciato verso l’alto impiega a fermarsi ($v(t) = 0$) è $t - t_0 = v_0 / g$.

Dimostrazione: portiamo il termine con il tempo a sinistra e $v(t)$ a destra, $g\,(t - t_0) = v_0 - v(t)$, poi dividiamo entrambi i membri per $g$.

Se il corpo parte da fermo, l’equazione delle velocità è $v(t) = -g\,t$ e il tempo vale:

$$t = -\frac{v(t)}{g}$$

Il segno meno compensa quello della velocità, che è negativa perché il corpo scende: il tempo risulta positivo.

Dimostrazione:

Formule inverse della legge oraria

Dalla legge oraria della caduta libera $x(t) = h - \frac{1}{2} g\,t^2$, isolando $h$ si ottiene l’altezza di partenza conoscendo la posizione del corpo in un istante $t$:

$$h = x(t) + \frac{1}{2}\, g \, t^2$$

Isolando invece $t$ si ottiene il tempo trascorso conoscendo la posizione $x$ e l’altezza iniziale $h$:

$$t = \sqrt{\frac{2\,(h - x)}{g}}$$

Dimostrazione di $h$ e $t$:

Formula inversa del tempo di caduta

Dalla formula del tempo di caduta $t = \sqrt{2h/g}$, elevando al quadrato entrambi i membri e isolando $h$:

$$h = \frac{g \, t^2}{2}$$

È una formula molto utile: misurando quanto tempo impiega un corpo a toccare terra si risale all’altezza da cui è caduto.

Dimostrazione:

Formula inversa della velocità al suolo

Dalla formula della velocità al suolo $v = \sqrt{2gh}$, elevando al quadrato si ottiene $v^2 = 2gh$, e dividendo per $2g$:

$$h = \frac{v^2}{2g}$$

Questa formula serve quando si conosce la velocità con cui un corpo arriva al suolo e si vuole sapere da che altezza è caduto.

Dimostrazione:

Formule inverse con velocità iniziale v₁

Dall’equazione delle velocità $v(t) = -v_1 - g\,t$ si ricava la velocità iniziale conoscendo la velocità in un istante $t$:

$$v_1 = -g \, t - v(t)$$

e, isolando $t$, l’istante in cui il corpo raggiunge la velocità $v(t)$:

$$t = -\frac{v(t) + v_1}{g}$$

Dimostrazione di $v_1$ e $t$:

Il modo più rapido per ricavare le formule inverse del tempo di caduta con velocità iniziale è partire dalla condizione di arrivo al suolo, $x(t) = 0$, cioè:

$$h = v_1 \, t + \frac{1}{2}\, g \, t^2$$

Da qui si ottiene subito l’altezza conoscendo il tempo di caduta e la velocità iniziale:

$$h = \frac{t \, (g \, t + 2v_1)}{2}$$

Dimostrazione:

Isolando invece $v_1$ si ricava la velocità iniziale conoscendo il tempo di caduta e l’altezza:

$$v_1 = \frac{2h - g \, t^2}{2t}$$

Dimostrazione: partendo da $h = v_1\,t + \frac{1}{2}\,g\,t^2$, moltiplichiamo entrambi i membri per 2 e isoliamo il termine con $v_1$:

$$\begin{gathered} 2h = 2v_1\,t + g\,t^2 \\ 2v_1\,t = 2h - g\,t^2 \\ v_1 = \frac{2h - g\,t^2}{2t} \end{gathered}$$

Il risultato ha senso fisico: se il corpo impiega meno tempo di quanto servirebbe partendo da fermo ($g\,t^2 < 2h$), allora $v_1$ è positiva, cioè è stato lanciato verso il basso.

Infine, dalla velocità al suolo $v = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$, elevando al quadrato si ottiene $v^2 = v_1^2 + 2gh$. Isolando $h$:

$$h = \frac{v^2 - v_1^2}{2g}$$

e isolando $v_1$:

$$v_1 = \sqrt{v^2 - 2gh}$$

Dimostrazione di $h$ e $v_1$:

Esempio numerico

Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un’altezza $h = 20\ \text{m}$. Quanto tempo impiega a toccare terra e con che velocità arriva al suolo? E se invece venisse lanciato verso il basso con velocità $v_1 = 5\ \text{m/s}$?

Partenza da fermo. Il tempo di caduta è:

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20\ \text{m}}{9{,}81\ \text{m/s}^2}} \approx 2{,}02\ \text{s}$$

e la velocità al suolo:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \cdot 20\ \text{m}} \\ v \approx 19{,}8\ \text{m/s} \end{gathered}$$

cioè circa 71 km/h.

Lancio verso il basso con $v_1 = 5\ \text{m/s}$. Il tempo di caduta si accorcia:

$$\begin{gathered} t = \frac{-v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g} \\ t = \frac{-5 + \sqrt{25 + 392{,}4}}{9{,}81}\ \text{s} \\ t \approx 1{,}57\ \text{s} \end{gathered}$$

e la velocità al suolo aumenta:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{25 + 392{,}4}\ \text{m/s} \\ v \approx 20{,}4\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Come verifica, inserendo $t = 1{,}57\ \text{s}$ e $h = 20\ \text{m}$ nella formula inversa $v_1 = \frac{2h - g\,t^2}{2t}$ si ritrova proprio $v_1 \approx 5\ \text{m/s}$.

Riepilogo

• Nella caduta libera l’accelerazione è costante e vale $a = -g$, con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.
• Partendo da fermo da un’altezza $h$: tempo di caduta $t = \sqrt{2h/g}$ e velocità al suolo $v = \sqrt{2gh}$.
• Con velocità iniziale $v_1$ verso il basso: $t = \dfrac{-v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}$ e $v = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$.
• Dalle formule inverse ricavi altezza, tempo e velocità iniziale conoscendo le altre grandezze.

Per approfondire, ripassa il moto rettilineo uniformemente accelerato, di cui la caduta libera è un caso particolare, oppure passa al moto verticale di un oggetto lanciato verso l’alto.