Moto circolare uniforme e uniformemente accelerato: formule, grafici ed esempi

Una ruota che gira, un’auto in una rotonda, il cestello della lavatrice, un satellite in orbita: sono tutti esempi di moto circolare, il moto di un punto che percorre una circonferenza. Dopo il moto parabolico è il moto in due dimensioni più importante di Fisica 1, e porta con sé grandezze nuove che ritroverai fino alla fine del corso: velocità angolare, periodo, frequenza e accelerazione centripeta. In questa pagina trovi il moto circolare uniforme e quello uniformemente accelerato, con le dimostrazioni, i grafici, le formule inverse e cinque esempi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Cos’è il moto circolare

Un punto si muove di moto circolare quando la sua traiettoria è una circonferenza, o un suo arco. A seconda di come cambia la velocità lungo la circonferenza si distinguono due casi:

• nel moto circolare uniforme il punto percorre archi uguali in tempi uguali: va sempre “alla stessa andatura”;
• nel moto circolare uniformemente accelerato la sua velocità aumenta, o diminuisce, in modo regolare: è il caso di una ruota che parte da ferma o di un ventilatore che si spegne.

La figura riassume tutte le grandezze che incontrerai in questa pagina.

Posizione angolare, radianti e arco percorso

Per descrivere dove si trova un punto su una circonferenza di raggio $R$ basta un solo numero: l’angolo $\theta$ che il raggio forma con un asse di riferimento, di solito l’asse $x$. È molto più comodo che usare due coordinate, perché la distanza dal centro non cambia mai.

L’angolo va misurato in radianti. Un radiante è l’angolo che sottende un arco lungo quanto il raggio, e un giro completo vale $2\pi$ radianti, cioè circa 6,28 rad. Se vuoi ripassarli con calma trovi tutto in angoli e radianti.

Il motivo per cui si usano i radianti è questa relazione semplicissima tra l’angolo e l’arco $s$ percorso lungo la circonferenza:

$$s = R\,\theta$$

Con un giro completo, $\theta = 2\pi$, l’arco è proprio la lunghezza della circonferenza, $2\pi R$. Questa formula vale solo con l’angolo in radianti: con i gradi dovresti aggiungere ogni volta un fattore $\pi/180$.

Velocità angolare e velocità tangenziale

La velocità angolare dice quanto rapidamente cambia l’angolo. Come la velocità del moto rettilineo uniforme è la derivata della posizione, la velocità angolare è la derivata della posizione angolare:

$$\omega = \frac{d\theta}{dt}$$

Si misura in radianti al secondo (rad/s). Nella vita di tutti i giorni però le rotazioni si misurano spesso in giri al minuto: per passare ai rad/s si divide per 60, per avere i giri al secondo, e si moltiplica per $2\pi$, i radianti di un giro.

Derivando $s = R\,\theta$ rispetto al tempo, con $R$ costante, si ottiene la velocità con cui il punto avanza lungo la circonferenza. Si chiama velocità tangenziale, perché il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria:

$$v = \frac{ds}{dt} = \omega\,R$$

Questa formula spiega una cosa che hai visto sicuramente su una giostra: tutti i seggiolini fanno un giro nello stesso tempo, quindi hanno la stessa velocità angolare, ma quelli più esterni descrivono una circonferenza più grande e vanno più veloci.

Le grandezze angolari hanno ciascuna un “gemello” lineare, e per passare dall’una all’altra basta moltiplicare per il raggio:

Grandezza angolare	Grandezza lineare	Legame
posizione angolare $\theta$ (rad)	arco percorso $s$ (m)	$s = R\,\theta$
velocità angolare $\omega$ (rad/s)	velocità tangenziale $v$ (m/s)	$v = \omega\,R$
accelerazione angolare $\alpha$ (rad/s²)	accelerazione tangenziale $a_t$ (m/s²)	$a_t = \alpha\,R$

Il moto circolare uniforme

Il moto è uniforme quando la velocità angolare è costante. Di conseguenza è costante anche il modulo della velocità tangenziale, $v = \omega R$.

Legge oraria

Con $\omega$ costante, integrando $d\theta = \omega\,dt$ si ottiene una legge identica a quella del moto rettilineo uniforme, con gli angoli al posto delle posizioni:

$$\theta(t) = \theta_0 + \omega\,t$$

dove $\theta_0$ è l’angolo all’istante iniziale.

Periodo e frequenza

Dato che il moto si ripete uguale a ogni giro, è periodico. Il periodo $T$ è il tempo di un giro completo, cioè il tempo per percorrere l’angolo $2\pi$. La frequenza $f$ è il numero di giri al secondo e si misura in hertz (Hz):

$$\begin{gathered} T = \frac{2\pi}{\omega} \\ f = \frac{1}{T} \\ \omega = 2\pi f \end{gathered}$$

Combinando $v = \omega R$ con $\omega = 2\pi/T$ si ottiene anche una formula molto usata negli esercizi, “un giro di circonferenza diviso il tempo di un giro”:

$$v = \frac{2\pi R}{T}$$

Accelerazione centripeta

Ecco il punto che sorprende tutti la prima volta: nel moto circolare uniforme c’è un’accelerazione, anche se il tachimetro segna sempre lo stesso valore. L’accelerazione misura come cambia il vettore velocità, non solo il suo modulo. E qui la velocità, essendo sempre tangente alla circonferenza, cambia direzione in ogni istante.

Questa accelerazione si chiama centripeta, cioè “che punta verso il centro”, ed è perpendicolare alla velocità. Il suo modulo si può scrivere in tre modi equivalenti:

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

Da dove viene l’accelerazione centripeta

La formula si ricava in poche righe con le derivate. Mettiamo il centro della circonferenza nell’origine. Le coordinate del punto sono le proiezioni del raggio sugli assi, con $\theta = \omega t + \theta_0$:

$$\begin{gathered} x(t) = R\cos(\omega t + \theta_0) \\ y(t) = R\sin(\omega t + \theta_0) \end{gathered}$$

Derivando una volta, con le derivate di seno e coseno, si trovano le componenti della velocità:

$$\begin{gathered} v_x = -\omega R\sin(\omega t + \theta_0) \\ v_y = \omega R\cos(\omega t + \theta_0) \end{gathered}$$

Il modulo è $\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \omega R$, come previsto. Derivando ancora si ottiene l’accelerazione:

$$\begin{gathered} a_x = -\omega^2 R\cos(\omega t + \theta_0) = -\omega^2 x \\ a_y = -\omega^2 R\sin(\omega t + \theta_0) = -\omega^2 y \end{gathered}$$

In forma vettoriale: $\vec a = -\omega^2\,\vec r$. Il vettore accelerazione è il vettore posizione moltiplicato per $-\omega^2$: ha modulo $\omega^2 R$ e verso opposto al raggio, cioè punta verso il centro. È proprio l’accelerazione centripeta.

Un legame prezioso: il moto armonico

Guarda di nuovo la prima delle due coordinate: $x(t) = R\cos(\omega t + \theta_0)$. È esattamente la legge del moto armonico semplice, $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, con ampiezza $A = R$ e fase iniziale $\varphi = \theta_0$. In altre parole, l’ombra di un punto che gira di moto circolare uniforme, proiettata su un diametro, si muove di moto armonico. Ecco perché la pulsazione $\omega$ del moto armonico si misura in rad/s, proprio come una velocità angolare.

Il moto circolare uniformemente accelerato

Se la velocità angolare cambia nel tempo serve una nuova grandezza, l’accelerazione angolare, che è la derivata della velocità angolare e si misura in rad/s²:

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$$

Le leggi del moto

Quando $\alpha$ è costante il moto è circolare uniformemente accelerato, e valgono le stesse formule del moto rettilineo uniformemente accelerato con $\theta$, $\omega$ e $\alpha$ al posto di $x$, $v$ e $a$:

$$\begin{gathered} \omega(t) = \omega_0 + \alpha\,t \\ \theta(t) = \theta_0 + \omega_0\,t + \frac{1}{2}\,\alpha\,t^2 \end{gathered}$$

C’è anche la formula “senza il tempo”, comodissima quando il problema non ti dà la durata:

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,(\theta - \theta_0)$$

Infine, come nel moto rettilineo, l’angolo percorso è la velocità angolare media per il tempo: $\theta - \theta_0 = \dfrac{\omega_0 + \omega}{2}\,t$.

Accelerazione tangenziale, centripeta e totale

Adesso il vettore velocità cambia sia in modulo sia in direzione, quindi l’accelerazione ha due componenti, perpendicolari tra loro:

• l’accelerazione tangenziale $a_t = \alpha R$, parallela alla velocità, che la fa crescere o diminuire;
• l’accelerazione centripeta $a_c = \omega^2 R$, diretta verso il centro, che la fa girare.

Il modulo dell’accelerazione totale si trova con il teorema di Pitagora. L’angolo $\varphi$ tra l’accelerazione totale e la direzione del centro si ricava invece dalla tangente:

$$\begin{gathered} a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} \\ \tan\varphi = \frac{a_t}{a_c} \end{gathered}$$

Fai attenzione a un dettaglio: con $\alpha$ costante, $a_t$ resta costante, ma $a_c = \omega^2 R$ cresce insieme alla velocità angolare. Quindi l’accelerazione totale non è costante, e con il passare del tempo si orienta sempre più verso il centro. Lo vedrai con i numeri nel secondo esempio.

I grafici del moto circolare

I grafici del moto circolare sono quelli del moto rettilineo, “tradotti” in versione angolare:

• nel moto uniforme $\theta(t)$ è una retta, con pendenza uguale a $\omega$, e $\omega(t)$ è una retta orizzontale;
• nel moto uniformemente accelerato $\theta(t)$ è una parabola e $\omega(t)$ è una retta, con pendenza uguale ad $\alpha$.

Come nel moto rettilineo, l’area sotto il grafico di $\omega(t)$ è l’angolo percorso.

La velocità angolare come vettore

Finora abbiamo trattato $\omega$ come un numero, ma in tre dimensioni è un vettore. La sua direzione è l’asse di rotazione, perpendicolare al piano della circonferenza. Il verso si trova con la regola della mano destra: se chiudi le dita nel verso della rotazione, il pollice indica il verso di $\vec\omega$. Una rotazione antioraria vista dall’alto dà un vettore che punta verso l’alto.

Con questa definizione la velocità tangenziale è il prodotto vettoriale tra velocità angolare e vettore posizione, misurato dal centro:

$$\vec v = \vec\omega \times \vec r$$

Il modulo è proprio $\omega R$, perché $\vec\omega$ e $\vec r$ sono perpendicolari. Questa scrittura ti servirà con il momento angolare e con le rotazioni dei corpi rigidi.

Formule inverse del moto circolare

Negli esercizi capita spesso di dover ricavare il raggio, il periodo o il tempo invece della velocità. Ecco le formule inverse già pronte, ricavate con le regole che trovi in formule inverse in fisica.

Moto circolare uniforme

Formula	Formule inverse
$s = R\,\theta$	$\theta = \dfrac{s}{R}$ $R = \dfrac{s}{\theta}$
$v = \omega\,R$	$\omega = \dfrac{v}{R}$ $R = \dfrac{v}{\omega}$
$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$	$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$
$v = \dfrac{2\pi R}{T}$	$R = \dfrac{v\,T}{2\pi}$ $T = \dfrac{2\pi R}{v}$
$\theta = \theta_0 + \omega\,t$	$t = \dfrac{\theta - \theta_0}{\omega}$ $\omega = \dfrac{\theta - \theta_0}{t}$
$a_c = \dfrac{v^2}{R}$	$v = \sqrt{a_c\,R}$ $R = \dfrac{v^2}{a_c}$
$a_c = \omega^2 R$	$\omega = \sqrt{\dfrac{a_c}{R}}$ $R = \dfrac{a_c}{\omega^2}$
$a_c = \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$	$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{a_c}}$ $R = \dfrac{a_c\,T^2}{4\pi^2}$

Moto circolare uniformemente accelerato (con $\Delta\theta = \theta - \theta_0$)

Formula	Formule inverse
$\omega = \omega_0 + \alpha\,t$	$\alpha = \dfrac{\omega - \omega_0}{t}$ $t = \dfrac{\omega - \omega_0}{\alpha}$ $\omega_0 = \omega - \alpha\,t$
$\Delta\theta = \omega_0\,t + \dfrac{1}{2}\alpha\,t^2$	$\alpha = \dfrac{2(\Delta\theta - \omega_0\,t)}{t^2}$ $\omega_0 = \dfrac{\Delta\theta}{t} - \dfrac{1}{2}\alpha\,t$
$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta$	$\Delta\theta = \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha}$ $\alpha = \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\,\Delta\theta}$
$a_t = \alpha\,R$	$\alpha = \dfrac{a_t}{R}$ $R = \dfrac{a_t}{\alpha}$

Se invece ti serve il tempo dalla legge oraria, devi risolvere un’equazione di secondo grado in $t$. Partendo con velocità angolare $\omega_0$ e accelerando, la soluzione con significato fisico è $t = \dfrac{-\omega_0 + \sqrt{\omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta}}{\alpha}$.

Gli errori più comuni

• Usare i gradi. Nelle formule con $s = R\theta$, $v = \omega R$ e $a_t = \alpha R$ gli angoli vanno sempre in radianti.
• Dimenticare di convertire i giri al minuto. 300 giri/min non sono 300 rad/s: sono 5 giri al secondo, cioè $5 \cdot 2\pi \approx 31{,}4$ rad/s.
• Lasciare il raggio in centimetri. Se vuoi le velocità in m/s e le accelerazioni in m/s², il raggio va in metri.
• Confondere raggio e diametro. Se il testo dice “una ruota di 60 cm di diametro”, il raggio è 30 cm.
• Pensare che a velocità costante non ci sia accelerazione. L’accelerazione centripeta c’è sempre; nel moto uniforme manca solo quella tangenziale.
• Scambiare accelerazione centripeta e forza centrifuga. La prima punta verso il centro ed esiste in ogni moto circolare. La seconda è una forza apparente, diretta verso l’esterno, che compare solo nei sistemi di riferimento che ruotano.

Esempi svolti

1. Una ruota che gira a velocità costante

Una ruota di raggio $R = 30\ \text{cm}$ gira a 300 giri al minuto. Calcoliamo frequenza, periodo, velocità angolare, velocità di un punto del bordo e accelerazione centripeta.

$$\begin{gathered} f = \frac{300}{60}\ \text{Hz} = 5\ \text{Hz} \\ T = \frac{1}{f} = 0{,}2\ \text{s} \\ \omega = 2\pi f \approx 31{,}4\ \text{rad/s} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} v = \omega\,R \approx 31{,}4 \cdot 0{,}3\ \text{m/s} \approx 9{,}42\ \text{m/s} \\ a_c = \omega^2 R \approx 296\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

L’accelerazione centripeta è circa 30 volte l’accelerazione di gravità $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

2. La stessa ruota che parte da ferma

La ruota parte da ferma e raggiunge i 300 giri/min in 4 s con accelerazione angolare costante. Accelerazione angolare e accelerazione tangenziale valgono:

$$\begin{gathered} \alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{31{,}4\ \text{rad/s}}{4\ \text{s}} \approx 7{,}85\ \text{rad/s}^2 \\ a_t = \alpha\,R \approx 2{,}36\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

L’angolo percorso nei 4 secondi è $\theta = \frac{1}{2}\alpha\,t^2 \approx 62{,}8\ \text{rad}$, cioè esattamente 10 giri.

Guardiamo ora come cambia l’accelerazione totale, con $\omega = \alpha t$ e $a_c = \omega^2 R$:

• dopo 0,5 s: $\omega \approx 3{,}93\ \text{rad/s}$, $a_c \approx 4{,}63\ \text{m/s}^2$, quindi $a = \sqrt{2{,}36^2 + 4{,}63^2} \approx 5{,}19\ \text{m/s}^2$ e $\tan\varphi = 2{,}36/4{,}63$, cioè $\varphi \approx 27°$;
• dopo 2 s: $\omega \approx 15{,}7\ \text{rad/s}$, $a_c \approx 74{,}0\ \text{m/s}^2$, quindi $a \approx 74{,}1\ \text{m/s}^2$ e $\varphi \approx 1{,}8°$.

L’accelerazione tangenziale è rimasta la stessa, ma quella centripeta è cresciuta molto: dopo 2 secondi l’accelerazione punta quasi esattamente verso il centro.

3. Un’auto in curva

Un’auto percorre una curva di raggio 50 m alla velocità costante di 54 km/h, cioè 15 m/s. La sua accelerazione centripeta è:

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(15\ \text{m/s})^2}{50\ \text{m}} = 4{,}5\ \text{m/s}^2$$

È quasi la metà di $g$: a fornirla è l’attrito tra le gomme e l’asfalto. Se raddoppi la velocità, l’accelerazione necessaria diventa quattro volte più grande, perché dipende da $v^2$.

4. Un punto sull’equatore terrestre

La Terra compie un giro su sé stessa rispetto alle stelle in circa 23 h 56 min, cioè $T \approx 86\,164\ \text{s}$, e il raggio equatoriale è $R \approx 6378\ \text{km}$. Per un punto sull’equatore:

$$\begin{gathered} \omega = \frac{2\pi}{T} \approx 7{,}29 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s} \\ v = \omega\,R \approx 465\ \text{m/s} \approx 1674\ \text{km/h} \end{gathered}$$ $$a_c = \omega^2 R \approx 0{,}034\ \text{m/s}^2$$

Viaggiamo a più di 1600 km/h senza accorgercene. L’accelerazione centripeta, però, è solo lo 0,35% di $g$: per questo, nella maggior parte degli esercizi, la rotazione terrestre si trascura.

5. La centrifuga della lavatrice (con una formula inversa)

Il cestello di una lavatrice ha un diametro di 50 cm, quindi $R = 0{,}25\ \text{m}$, e in centrifuga gira a 1200 giri/min.

$$\begin{gathered} f = \frac{1200}{60}\ \text{Hz} = 20\ \text{Hz} \\ \omega = 2\pi f \approx 125{,}7\ \text{rad/s} \\ a_c = \omega^2 R \approx 3950\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Sono circa 400 volte l’accelerazione di gravità. Le pareti del cestello forniscono ai panni la forza centripeta necessaria, ma l’acqua passa attraverso i fori: senza più niente che la tenga sulla circonferenza, prosegue lungo la tangente ed esce. È così che la centrifuga asciuga il bucato. Il bordo del cestello va a $v = \omega R \approx 31{,}4\ \text{m/s}$, circa 113 km/h.

Ora al contrario: a quanti giri al minuto bisogna far girare il cestello per avere “solo” $a_c = 100\,g \approx 981\ \text{m/s}^2$? Usiamo la formula inversa:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{a_c}{R}} = \sqrt{\frac{981\ \text{m/s}^2}{0{,}25\ \text{m}}} \approx 62{,}6\ \text{rad/s} \\ f = \frac{\omega}{2\pi} \approx 9{,}97\ \text{Hz} \end{gathered}$$

Cioè circa 600 giri/min. Dimezzando i giri l’accelerazione diventa un quarto, perché cresce con il quadrato della velocità angolare.

In sintesi

• La posizione sulla circonferenza si descrive con l’angolo $\theta$, in radianti, e l’arco percorso è $s = R\,\theta$.
• Velocità angolare $\omega = d\theta/dt$ e velocità tangenziale $v = \omega R$, sempre tangente alla traiettoria.
• Nel moto circolare uniforme $\theta = \theta_0 + \omega t$, con periodo $T = 2\pi/\omega$ e frequenza $f = 1/T$.
• Anche a velocità costante c’è un’accelerazione centripeta, $a_c = v^2/R = \omega^2 R$, diretta verso il centro.
• Con accelerazione angolare costante valgono le formule del moto uniformemente accelerato in versione angolare, e l’accelerazione ha anche una componente tangenziale $a_t = \alpha R$.
• L’accelerazione totale è $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$, e con il passare del tempo si orienta sempre più verso il centro.

La proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro è il moto armonico semplice, l’ultimo moto della cinematica.