Massa inerziale e massa gravitazionale: il principio di equivalenza spiegato semplice

Nella legge della dinamica $F = ma$ e nella legge di gravitazione universale compare la stessa lettera, $m$. Ma è davvero la stessa grandezza? La domanda sembra pignola, eppure dalla risposta dipende un fatto che vedi ogni giorno, cioè che tutti i corpi cadono nello stesso modo, e una delle idee più profonde della fisica: il principio di equivalenza, che porterà Einstein alla relatività generale. In questa pagina vediamo i due ruoli della massa, cosa succederebbe se fossero diversi, gli esperimenti da Galileo ai satelliti, il principio di equivalenza con le sue conseguenze, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

I due ruoli della massa

La massa compare in due leggi che descrivono cose molto diverse.

Nel secondo principio della dinamica, $\vec{F} = m_i\,\vec{a}$, la massa misura l’inerzia del corpo, cioè la sua resistenza a cambiare velocità, in qualunque modo e per qualunque forza. È la massa inerziale $m_i$, già incontrata nelle leggi di Newton. Spingere un carrello pieno è più faticoso che spingerne uno vuoto anche su un pavimento perfettamente orizzontale e senza attrito: è l’inerzia, e la gravità non c’entra.

Nella legge di gravitazione universale, $F = G\,M\,m_g/r^2$, la massa misura quanto il corpo è attirato dagli altri corpi: è una specie di “carica gravitazionale”. È la massa gravitazionale $m_g$, che abbiamo incontrato nelle forze gravitazionali.

	Massa inerziale	Massa gravitazionale
Dove compare	$F = m_i\,a$	$F = G\,M\,m_g/r^2$
Cosa misura	quanto è difficile cambiare la velocità	quanto il corpo è attirato dalla gravità
Come si misura	con una forza nota e l’accelerazione, oppure con una molla che oscilla	con una bilancia a due piatti, confrontando con masse campione

Le due misure sono davvero diverse. Una bilancia a due piatti confronta le forze di gravità, quindi misura la massa gravitazionale, e nello spazio non funziona. La massa inerziale invece si può misurare anche in orbita: attaccando il corpo a una molla, il periodo di oscillazione $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ del moto armonico dipende solo dall’inerzia. È così che si “pesano” gli astronauti sulle stazioni spaziali.

L’analogia con la carica elettrica

A priori non c’è alcun motivo per cui le due masse debbano coincidere. Nell’elettricità, per esempio, la carica elettrica, che determina la forza, e la massa inerziale, che determina l’accelerazione, sono grandezze completamente diverse. Un elettrone e un protone hanno cariche uguali e opposte, ma il protone ha una massa circa 1836 volte più grande: nello stesso campo elettrico subiscono forze uguali e accelerano in modo diversissimo. Con la gravità questo non succede mai.

Cosa succederebbe se fossero diverse

Consideriamo un corpo che cade vicino alla superficie terrestre. La forza che lo attira dipende dalla massa gravitazionale, mentre l’accelerazione che ne risulta dipende da quella inerziale:

$$\begin{gathered} m_i\,a = G\,\frac{M_T\,m_g}{R_T^2} \\ a = \frac{m_g}{m_i} \cdot G\,\frac{M_T}{R_T^2} \end{gathered}$$

Se il rapporto $m_g/m_i$ fosse diverso da un materiale all’altro, una sfera di piombo e una di legno cadrebbero con accelerazioni diverse. L’esperienza dice il contrario: nel vuoto tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, come si vede nella caduta libera. Quindi il rapporto $m_g/m_i$ è lo stesso per tutti i corpi, e scegliendo il valore di $G$ in modo opportuno si può porre:

$$m_i = m_g$$

Il ragionamento si può leggere anche al contrario: un corpo con il doppio della massa è attirato con il doppio della forza, ma è anche il doppio più difficile da accelerare. Le due cose si compensano esattamente, e per questo l’accelerazione di gravità $g$ non dipende dal corpo.

Gli esperimenti

L’uguaglianza tra le due masse è un fatto sperimentale, verificato con precisione sempre maggiore.

Galileo fu il primo a sostenere con argomenti solidi che, nel vuoto, tutti i corpi cadono insieme. Nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze del 1638 propose un argomento brillante: se i corpi pesanti cadessero più in fretta, legando un sasso pesante a uno leggero il leggero dovrebbe frenare il pesante, ma l’insieme è più pesante di ciascuno e dovrebbe cadere ancora più in fretta. Una contraddizione. Galileo studiò la caduta rallentandola con i piani inclinati e con i pendoli; il famoso lancio dalla Torre di Pisa viene raccontato dal suo allievo Vincenzo Viviani, ma gli storici dubitano che sia avvenuto davvero.

Newton confrontò pendoli della stessa lunghezza riempiti di materiali diversi, dall’oro al legno al grano. Il periodo di un pendolo dipende proprio dal rapporto tra massa inerziale e gravitazionale, come vediamo nel secondo esercizio, e risultava sempre lo stesso.

Loránd Eötvös, tra il 1889 e il 1909, usò una bilancia di torsione: due masse di materiali diversi appese alle estremità di un’asta sospesa a un filo sottile. Se le due masse avessero un rapporto $m_g/m_i$ diverso, la combinazione tra gravità e forza centrifuga dovuta alla rotazione terrestre farebbe ruotare l’asta. L’asta non ruotava.

Oggi la verifica si fa con bilance di torsione molto più sensibili, con raggi laser puntati sulla Luna per controllare che Terra e Luna cadano verso il Sole nello stesso modo, e con i satelliti. Il satellite francese MICROSCOPE, lanciato nel 2016, ha confrontato per due anni e mezzo masse di titanio e di platino in caduta libera attorno alla Terra.

Esperimento	Anno	Differenza esclusa fino a
Newton, pendoli	fine ‘600	circa 10⁻³
Bessel, pendoli	1832	circa 2·10⁻⁵
Eötvös, bilancia di torsione	1889	circa 5·10⁻⁸
Eötvös, Pekár e Fekete	1906–1909	circa 10⁻⁸
Gruppo Eöt-Wash, bilancia di torsione	2008	circa 2·10⁻¹³
Satellite MICROSCOPE	risultati 2022	circa 10⁻¹⁵

L’ultima colonna è la differenza relativa massima tra le accelerazioni di due corpi diversi che l’esperimento avrebbe potuto vedere, detta parametro di Eötvös $\eta$. MICROSCOPE arriva a circa una parte su un milione di miliardi. Nessun esperimento ha mai trovato una differenza.

La dimostrazione più spettacolare, però, è anche la più semplice. Il 2 agosto 1971, durante la missione Apollo 15, l’astronauta David Scott lasciò cadere sulla Luna, dove non c’è aria, un martello e una piuma di falco: toccarono il suolo nello stesso istante.

Il principio di equivalenza

Einstein prese l’uguaglianza tra le due masse e ne fece un principio fondamentale. Nel 1907, mentre lavorava all’ufficio brevetti di Berna, ebbe quello che definì «il pensiero più felice della mia vita»: una persona che cade liberamente non sente il proprio peso. Lo illustrò con due esperimenti mentali.

L’ascensore in caduta libera. Immagina di essere chiuso in un ascensore i cui cavi si sono spezzati: la cabina cade con accelerazione $g$. Tu, la cabina e qualunque oggetto all’interno cadete tutti con la stessa accelerazione, proprio perché $m_i = m_g$. Rispetto alla cabina gli oggetti lasciati andare restano sospesi a mezz’aria, e una bilancia sotto i tuoi piedi segnerebbe zero. Dentro la cabina, la gravità sembra sparita.

La navicella che accelera. Ora immagina una navicella senza finestre, lontanissima da qualsiasi pianeta. Finché i motori sono spenti, l’equipaggio fluttua. Quando si accendono e la navicella accelera con accelerazione $g$, il pavimento spinge gli astronauti verso l’alto e loro si sentono “pesanti” esattamente come sulla Terra. Un oggetto lasciato andare “cade” verso il pavimento con accelerazione $g$. Dall’interno, senza guardare fuori, nessuno può dire se la navicella è ferma sulla Terra o sta accelerando nello spazio.

Principio di equivalenza. Gli effetti di un campo gravitazionale uniforme non si possono distinguere da quelli di un sistema di riferimento accelerato.

Con il linguaggio dei moti relativi: in un sistema che accelera con accelerazione $\vec{a}$ compare la forza apparente $-m_i\,\vec{a}$, proporzionale alla massa inerziale; la forza peso $m_g\,\vec{g}$ è proporzionale alla massa gravitazionale. Dato che le due masse sono uguali, le due forze hanno effetti identici su qualunque corpo.

Perché “uniforme”

Il principio vale in una regione abbastanza piccola. In una cabina enorme in caduta libera sopra la Terra, due palline lasciate andare ai due lati cadrebbero entrambe verso il centro della Terra, quindi lungo direzioni leggermente convergenti: col tempo si avvicinerebbero. È un effetto di marea, che rivela la presenza della Terra. In una cabina piccola e per tempi brevi questi effetti sono trascurabili, e l’equivalenza è perfetta.

Le conseguenze: la luce che curva

Il principio di equivalenza dice che tutto ciò che succede in una navicella che accelera deve succedere anche in un campo gravitazionale. Prendiamo un raggio di luce che attraversa la navicella da una parete all’altra.

Visto da fuori, il raggio va dritto; ma mentre lo attraversa, la navicella accelera verso l’alto, quindi il raggio colpisce la parete opposta un po’ più in basso. Visto da dentro, il raggio curva verso il basso. Per il principio di equivalenza la stessa cosa deve succedere in un campo gravitazionale: la gravità devia la luce. Sulla Terra l’effetto è minuscolo, ma vicino al Sole si misura. Lo misurò nel 1919 Arthur Eddington, osservando durante un’eclissi totale le stelle vicine al bordo del Sole: apparivano spostate, come previsto da Einstein.

Un ragionamento simile mostra che gli orologi in un campo gravitazionale più debole vanno un po’ più veloci. Non è una curiosità da laboratorio: gli orologi dei satelliti GPS devono essere corretti anche per questo effetto, altrimenti la posizione calcolata accumulerebbe un errore dell’ordine di una decina di kilometri al giorno.

Tutte queste idee portarono Einstein alla relatività generale, completata nel 1915. Se la gravità è indistinguibile da un’accelerazione, non è più necessario pensarla come una forza: diventa una proprietà della geometria dello spaziotempo, che le masse curvano. Ne trovi un accenno nell’articolo sulla teoria della relatività.

Perché gli astronauti fluttuano

Si sente spesso dire che sulla Stazione Spaziale Internazionale “non c’è gravità”. Non è vero: a circa 400 km di quota l’attrazione della Terra è ancora quasi il 90% di quella al suolo, come calcoliamo nel quinto esercizio. Gli astronauti fluttuano perché la stazione, loro e ogni oggetto a bordo sono in caduta libera attorno alla Terra: cadono continuamente, ma si muovono così veloci in orizzontale che la superficie terrestre “si allontana” sotto di loro, e non la raggiungono mai. È esattamente l’ascensore di Einstein. Il moto in orbita lo vediamo nel moto di un corpo sottoposto alla forza gravitazionale.

Quello che manca in orbita non è la gravità, è la sensazione di peso: la forza peso c’è, ma nulla preme contro il pavimento.

Gli errori più comuni

• Pensare che i corpi pesanti cadano più in fretta. Nel vuoto cadono insieme. Nell’aria una piuma cade più lentamente per la resistenza dell’aria, che dipende dalla forma e non dalla gravità.
• Confondere massa e peso. La massa si misura in kg ed è la stessa ovunque; il peso è una forza, si misura in N e cambia da un pianeta all’altro.
• Dire che in orbita non c’è gravità. C’è quasi tutta: gli astronauti sono in caduta libera.
• Considerare $m_i = m_g$ una cosa ovvia o dimostrata. Nella fisica di Newton è un fatto sperimentale, verificato con enorme precisione ma non derivato da altre leggi. Einstein lo trasformò in un principio.
• Pensare che una pesapersone misuri la massa. Misura la forza con cui la spingi, che cambia in un ascensore che accelera. La bilancia a due piatti, invece, confronta masse gravitazionali.
• Applicare il principio di equivalenza a regioni grandi. Vale per campi uniformi, cioè in regioni piccole; su scale grandi gli effetti di marea distinguono la gravità da un’accelerazione.
• Credere che l’assenza di peso richieda di essere lontani dalla Terra. Basta cadere liberamente: per qualche secondo succede anche sulle montagne russe o negli aerei che fanno voli parabolici.

Esercizi svolti

1. Se il piombo cadesse più in fretta

Testo. Supponiamo, per assurdo, che per il piombo il rapporto $m_g/m_i$ valga 1,01 mentre per il legno vale esattamente 1. Una sfera di piombo e una di legno vengono lasciate cadere nel vuoto da 20 m. Con che accelerazione cade ciascuna, e dove si trova il legno quando il piombo tocca terra?

Dalla formula $a = (m_g/m_i)\,g$:

$$\begin{gathered} a_{legno} = 9{,}81\ \text{m/s}^2 \\ a_{piombo} = 1{,}01 \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \approx 9{,}908\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Il piombo arriva a terra dopo

$$t = \sqrt{\frac{2h}{a_{piombo}}} = \sqrt{\frac{40}{9{,}908}}\ \text{s} \approx 2{,}009\ \text{s}$$

In quel tempo il legno è sceso di $\frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}009^2\ \text{m} \approx 19{,}80\ \text{m}$: si trova ancora circa 20 cm sopra il suolo. Una differenza di massa dell’1% sarebbe evidentissima; gli esperimenti moderni escludono differenze diecimila miliardi di volte più piccole.

2. Il pendolo di Newton

Testo. Ricava il periodo di un pendolo semplice di lunghezza $L$ tenendo distinte massa inerziale e gravitazionale. Se due pendoli lunghi 1 m avessero rapporti $m_i/m_g$ che differiscono di una parte su mille, quanto differirebbero i periodi? Dopo quante oscillazioni oscillerebbero in opposizione?

Per piccole oscillazioni la componente del peso lungo la traiettoria vale $-m_g\,g\,\theta$, mentre l’accelerazione lungo la traiettoria è $L\,\ddot{\theta}$:

$$\begin{gathered} m_i\,L\,\ddot{\theta} = -m_g\,g\,\theta \\ T = 2\pi\sqrt{\frac{m_i}{m_g} \cdot \frac{L}{g}} \end{gathered}$$

Con $m_i = m_g$ e $L = 1\ \text{m}$ si ottiene $T = 2\pi\sqrt{1/9{,}81}\ \text{s} \approx 2{,}006\ \text{s}$. Il periodo dipende dalla radice del rapporto, quindi una differenza di una parte su mille nel rapporto dà una differenza di mezza parte su mille nel periodo:

$$\Delta T \approx \frac{1}{2000} \cdot 2{,}006\ \text{s} \approx 1\ \text{ms}$$

A ogni oscillazione un pendolo guadagna circa un millesimo di secondo sull’altro. Dopo circa 1000 oscillazioni, poco più di mezz’ora, lo scarto arriva a circa 1 s, cioè mezzo periodo: i due pendoli oscillerebbero in opposizione, uno a destra e l’altro a sinistra. È così che Newton, con strumenti del Seicento, poté escludere differenze più grandi di circa una parte su mille.

3. La bilancia nell’ascensore

Testo. Una persona di 70 kg sta su una pesapersone dentro un ascensore. Cosa segna la bilancia, in kg, se l’ascensore a) accelera verso l’alto a 2 m/s²; b) accelera verso il basso a 2 m/s²; c) cade liberamente?

La bilancia misura la reazione $N$ del pavimento e la divide per $g$. Scegliendo l’asse verso l’alto, $N - m\,g = m\,a$:

$$\begin{gathered} \text{a)}\;\; N = 70 \cdot (9{,}81 + 2)\ \text{N} \approx 827\ \text{N} \\ \text{b)}\;\; N = 70 \cdot (9{,}81 - 2)\ \text{N} \approx 547\ \text{N} \\ \text{c)}\;\; N = 70 \cdot (9{,}81 - 9{,}81)\ \text{N} = 0 \end{gathered}$$

La bilancia segna $827/9{,}81 \approx 84{,}3\ \text{kg}$, poi $547/9{,}81 \approx 55{,}7\ \text{kg}$, e infine zero. Per il principio di equivalenza, dentro l’ascensore è come se la gravità valesse $g + a$ verso il basso: 11,81 m/s² nel primo caso, 7,81 m/s² nel secondo, zero nel terzo. La massa della persona, ovviamente, resta 70 kg in tutti i casi.

4. La pallina nella navicella

Testo. Una navicella lontana da qualsiasi pianeta accelera a 9,81 m/s². Un astronauta lascia andare una pallina a 1,5 m dal pavimento. Dopo quanto tempo la pallina tocca il pavimento, e con che velocità rispetto alla navicella? Spiega cosa succede visto da fuori.

Dentro la navicella la pallina “cade” con accelerazione 9,81 m/s², esattamente come sulla Terra:

$$\begin{gathered} t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}5}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 0{,}553\ \text{s} \\ v = a\,t = 9{,}81 \cdot 0{,}553\ \text{m/s} \approx 5{,}42\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Visto da fuori, la pallina non cade affatto: appena lasciata, nessuna forza agisce su di lei e prosegue a velocità costante, quella che aveva la navicella in quell’istante. È il pavimento che, accelerando, la raggiunge dopo aver recuperato 1,5 m. Due descrizioni diverse, lo stesso risultato: è il principio di equivalenza in azione.

5. Quanta gravità c’è sulla Stazione Spaziale

Testo. La Stazione Spaziale Internazionale orbita a circa 400 km di quota. Con raggio terrestre 6371 km, quanto vale l’accelerazione di gravità a quella quota? Quanto pesa un astronauta di 70 kg? Con che velocità e in quanto tempo la stazione compie un’orbita circolare?

La gravità diminuisce con il quadrato della distanza dal centro della Terra, che ora è $r = 6371 + 400 = 6771\ \text{km}$:

$$\begin{gathered} g' = g\left(\frac{R_T}{r}\right)^2 = 9{,}81 \cdot \left(\frac{6371}{6771}\right)^2\ \text{m/s}^2 \\ {} \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

circa l’89% del valore al suolo. L’astronauta pesa $70 \cdot 8{,}7\ \text{N} \approx 608\ \text{N}$, contro i 687 N al suolo. In orbita circolare la gravità fa da forza centripeta, $g' = v^2/r$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{g'\,r} = \sqrt{8{,}69 \cdot 6{,}771 \cdot 10^6}\ \text{m/s} \\ {} \approx 7{,}67\ \text{km/s} \\ T = \frac{2\pi r}{v} \approx 5550\ \text{s} \approx 92\ \text{min} \end{gathered}$$

Valori molto vicini a quelli reali della stazione, che compie più di 15 giri della Terra al giorno. Il peso c’è eccome; gli astronauti fluttuano solo perché cadono insieme alla stazione.

6. Quanto è piccola una parte su un milione di miliardi

Testo. Due corpi di materiali diversi vengono lasciati cadere insieme per 1 s. Se le loro accelerazioni differissero di una frazione $\eta$, di quanto si distanzierebbero? Calcolalo per la precisione di Eötvös, $\eta = 10^{-8}$, e per quella di MICROSCOPE, $\eta = 10^{-15}$.

La differenza di accelerazione è $\eta\,g$, quindi dopo un tempo $t$ i due corpi sono distanti

$$\begin{gathered} \Delta s = \frac{1}{2}\,\eta\,g\,t^2 = \frac{1}{2} \cdot \eta \cdot 9{,}81 \cdot 1^2\ \text{m} \\ {} \approx 4{,}9\,\eta\ \text{m} \end{gathered}$$

Con $\eta = 10^{-8}$ si ottengono circa $5 \cdot 10^{-8}\ \text{m}$, cioè 50 nanometri, le dimensioni di un piccolo virus. Con $\eta = 10^{-15}$ si ottengono circa $5 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$, pochi femtometri: le dimensioni di un nucleo atomico. Gli esperimenti non misurano direttamente distanze così piccole, ma sfruttano tempi lunghi e effetti che si sommano, come le orbite ripetute di MICROSCOPE; il numero rende comunque l’idea della precisione raggiunta.

Altri problemi su gravità, orbite e peso li trovi negli esercizi svolti di gravitazione.

In sintesi

• La massa inerziale compare in $F = ma$ e misura la resistenza a cambiare velocità; la massa gravitazionale compare nella legge di gravitazione e misura quanto un corpo è attirato.
• Se fossero diverse, corpi di materiali diversi cadrebbero con accelerazioni diverse. Gli esperimenti, dai pendoli di Newton al satellite MICROSCOPE, mostrano che sono uguali fino a circa una parte su $10^{15}$.
• Per questo tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione $g$, e un ascensore in caduta libera annulla la sensazione di peso.
• Principio di equivalenza: un campo gravitazionale uniforme è indistinguibile da un sistema accelerato. Ne seguono la deviazione della luce e la relatività generale.
• Gli astronauti in orbita fluttuano perché sono in caduta libera, non perché manchi la gravità.

Per descrivere l’azione della gravità in ogni punto dello spazio, indipendentemente da quale corpo vi si trovi, si introduce il campo gravitazionale.