Moto verticale: lancio verso l'alto, altezza massima, tempo di volo ed esercizi

Lanci una pallina verso l’alto: sale sempre più piano, si ferma per un istante nel punto più alto e poi ricade, sempre più veloce, fino a tornarti in mano. È il moto verticale, o lancio verso l’alto: un moto rettilineo uniformemente accelerato in cui l’accelerazione è quella di gravità. Sembra semplice, ma è pieno di domande da esame: quanto sale, quanto resta in aria, con che velocità torna giù, quanto vale l’accelerazione nel punto più alto. In questa pagina trovi le formule con la dimostrazione, i grafici, la simmetria tra salita e discesa, tutte le formule inverse e sette esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Cos’è il moto verticale

Un corpo si muove di moto verticale quando viene lanciato lungo la verticale e, da quel momento, l’unica forza che agisce su di lui è la forza peso. Come per la caduta libera si fanno due ipotesi:

• la resistenza dell’aria è trascurabile;
• l’accelerazione di gravità è costante: vale $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$ ed è diretta verso il basso.

Il valore di $g$ cambia un poco da un punto all’altro della Terra, da circa $9{,}78\ \text{m/s}^2$ all’equatore a circa $9{,}83\ \text{m/s}^2$ ai poli, ma negli esercizi si usa $9{,}81\ \text{m/s}^2$, o a volte $9{,}8$. Con queste ipotesi il moto è un moto rettilineo uniformemente accelerato: valgono tutte le sue formule, con l’accelerazione al posto giusto e con il segno giusto.

Il sistema di riferimento e i segni

Il primo passo, in ogni esercizio, è scegliere l’asse. Prendiamo un asse $x$ verticale orientato verso l’alto, con l’origine nel punto di lancio. Con questa scelta:

• la posizione iniziale è $x_0 = 0$;
• la velocità iniziale $v_0$ è positiva, perché l’oggetto parte verso l’alto;
• l’accelerazione è negativa, perché la gravità punta verso il basso:

$$a = -g = -9{,}81\ \text{m/s}^2$$

L’accelerazione è negativa per tutto il moto, sia in salita sia in discesa. In salita velocità e accelerazione hanno segni opposti, quindi l’oggetto rallenta; in discesa hanno lo stesso segno, quindi accelera.

Potresti anche orientare l’asse verso il basso: allora $a = +g$ e $v_0$ sarebbe negativa. Va benissimo lo stesso, purché tu tenga quella scelta dall’inizio alla fine dell’esercizio.

Le equazioni del moto

Sostituendo $x_0 = 0$ e $a = -g$ nelle formule del moto uniformemente accelerato si ottengono la legge della velocità e la legge oraria:

$$v(t) = v_0 - g\,t \qquad x(t) = v_0\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2$$

e la formula senza tempo, che lega velocità e quota:

$$v^2 = v_0^2 - 2\,g\,x$$

La velocità diminuisce di $9{,}81\ \text{m/s}$ ogni secondo. Se lanci a $20\ \text{m/s}$, dopo un secondo l’oggetto va a circa $10{,}2\ \text{m/s}$, dopo due secondi è quasi fermo, poi la velocità diventa negativa e l’oggetto scende.

Il tempo di salita

Nel punto più alto l’oggetto si ferma per un istante: la velocità è nulla. Ponendo $v = 0$ nella legge della velocità:

$$\begin{gathered} 0 = v_0 - g\,t_s \\ t_s = \frac{v_0}{g} \end{gathered}$$

Il tempo di salita è proporzionale alla velocità di lancio: serve circa un secondo di salita per ogni $9{,}81\ \text{m/s}$ di velocità iniziale.

L’altezza massima

Sostituiamo il tempo di salita nella legge oraria:

$$\begin{gathered} h = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2}\,g\,\frac{v_0^2}{g^2} \\ h = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g} \end{gathered}$$

Si arriva allo stesso risultato più in fretta con la formula senza tempo: ponendo $v = 0$ in $v^2 = v_0^2 - 2\,g\,x$ si trova subito $x = v_0^2/(2g)$.

L’altezza massima dipende dal quadrato della velocità: lanciando a velocità doppia l’oggetto non sale il doppio, ma quattro volte più in alto. Ricorda anche che $h$ è misurata dal punto di lancio: se lanci da un balcone, per avere la quota dal suolo devi aggiungere l’altezza del balcone.

Il tempo di volo

L’oggetto torna al punto di lancio quando $x = 0$. Raccogliendo $t$ nella legge oraria:

$$\begin{gathered} v_0\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2 = 0 \\ t\left(v_0 - \frac{1}{2}\,g\,t\right) = 0 \end{gathered}$$

Una soluzione è $t = 0$, la partenza. L’altra è il tempo di volo:

$$T = \frac{2\,v_0}{g} = 2\,t_s$$

Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita, quindi la discesa dura esattamente quanto la salita. Puoi verificarlo anche guardando solo la discesa: dal punto più alto l’oggetto riparte da fermo e cade da un’altezza $h$, come in una caduta libera, e il tempo che impiega è

$$t_d = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{v_0^2}{2g}} = \frac{v_0}{g}$$

proprio uguale al tempo di salita.

La simmetria tra salita e discesa

Il lancio verso l’alto è un moto simmetrico: la discesa è la salita vista al contrario. Lo si vede bene dalla formula senza tempo, ricavando la velocità a una certa quota $x$:

$$v = \pm\sqrt{v_0^2 - 2\,g\,x}$$

Le due soluzioni hanno lo stesso modulo e segno opposto: a ogni quota l’oggetto passa due volte con la stessa velocità, una volta salendo e una scendendo. In particolare torna al punto di lancio con velocità $-v_0$: stessa intensità del lancio, ma verso il basso. Lo capirai ancora meglio con la conservazione dell’energia meccanica.

Anche i tempi sono simmetrici rispetto al tempo di salita. Se l’oggetto passa per una certa quota all’istante $t_1$ salendo e all’istante $t_2$ scendendo, i due istanti sono equidistanti dal punto più alto, quindi $t_1 + t_2 = 2\,t_s = T$. Lo verificherai nel quarto esercizio.

Spostamento, strada percorsa e velocità media

Quando l’oggetto torna in mano, lo spostamento è zero: è tornato dove era partito. Ma la strada percorsa è $2h$, salita più discesa. Per questo la velocità media vettoriale su tutto il volo è zero, mentre la velocità media «da contachilometri», cioè strada diviso tempo, vale $2h/T = v_0/2$.

I grafici del lancio verso l’alto

• Posizione-tempo. È una parabola con la concavità verso il basso. Il vertice è il punto più alto: si raggiunge al tempo di salita $t_s$, alla quota $h$. La parabola è simmetrica rispetto alla retta verticale $t = t_s$: è la simmetria tra salita e discesa vista su un grafico.
• Velocità-tempo. È una retta che scende con pendenza $-g$. Parte da $v_0$, attraversa lo zero nel punto più alto e arriva a $-v_0$. L’area del triangolo sopra l’asse è la salita, $+h$; quella sotto l’asse è la discesa, $-h$. La somma è zero, come lo spostamento totale.
• Accelerazione-tempo. È una retta orizzontale a quota $-g$: l’accelerazione non cambia mai, nemmeno nel punto più alto.

Lanciare da un’altezza: il balcone

Negli esercizi capita spesso che l’oggetto venga lanciato verso l’alto da un’altezza $h_0$, per esempio da un balcone o dal tetto di un palazzo, e poi cada fino al suolo. Conviene mettere l’origine al suolo, così la posizione iniziale è $x_0 = h_0$:

$$x(t) = h_0 + v_0\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2$$

Il tempo di salita e l’altezza raggiunta sopra il balcone non cambiano, quindi la quota massima dal suolo è $h_0 + \dfrac{v_0^2}{2g}$. Per sapere quando l’oggetto tocca terra si pone $x = 0$ e si risolve l’equazione di secondo grado in $t$. Delle due soluzioni si tiene quella positiva, perché l’altra corrisponde a un istante prima del lancio:

$$t_{\text{suolo}} = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2\,g\,h_0}}{g}$$

La velocità con cui arriva al suolo si trova con la formula senza tempo:

$$v_{\text{suolo}} = \sqrt{v_0^2 + 2\,g\,h_0}$$

Qui il tempo di discesa non è più uguale a quello di salita: l’oggetto deve scendere più di quanto è salito.

E se lo lanci verso il basso?

Le stesse formule valgono anche per un lancio verso il basso: basta dare alla velocità iniziale il segno meno, $v_0 < 0$. In questo caso non c’è nessuna salita e l’oggetto va subito sempre più veloce. È la caduta libera con velocità iniziale, che trovi spiegata nel dettaglio nell’articolo sul moto di caduta libera.

E la resistenza dell’aria?

Nella realtà l’aria frena l’oggetto sia in salita sia in discesa, e la simmetria si rompe. L’oggetto sale un po’ meno di $v_0^2/(2g)$, la salita dura meno della discesa e torna giù con una velocità minore di quella di lancio. Per un sasso o una palla da tennis lanciati a mano l’effetto è piccolo; per una piuma o un palloncino è enorme. Negli esercizi di Fisica 1, se il testo non dice il contrario, l’aria si trascura.

Tutte le formule inverse

Ecco le formule inverse già pronte, con l’asse verso l’alto e l’origine nel punto di lancio. Se vuoi imparare a ricavarle da solo, trovi il metodo in formule inverse in fisica.

Formula	Formule inverse
$t_s = \dfrac{v_0}{g}$	$v_0 = g\,t_s$ $g = \dfrac{v_0}{t_s}$
$h = \dfrac{v_0^2}{2g}$	$v_0 = \sqrt{2\,g\,h}$ $g = \dfrac{v_0^2}{2h}$
$T = \dfrac{2\,v_0}{g}$	$v_0 = \dfrac{g\,T}{2}$ $h = \dfrac{g\,T^2}{8}$
$v = v_0 - g\,t$	$t = \dfrac{v_0 - v}{g}$ $v_0 = v + g\,t$
$v^2 = v_0^2 - 2\,g\,x$	$x = \dfrac{v_0^2 - v^2}{2g}$ $v = \pm\sqrt{v_0^2 - 2\,g\,x}$
$x = v_0\,t - \dfrac{1}{2}\,g\,t^2$	$v_0 = \dfrac{x}{t} + \dfrac{1}{2}\,g\,t$ $t = \dfrac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gx}}{g}$

Due formule meritano una parola in più:

• $h = g\,T^2/8$ ti dà l’altezza raggiunta conoscendo solo il tempo di volo: basta un cronometro, come nel terzo esercizio.
• Il simbolo $\pm$ si legge «più o meno» e indica due soluzioni: nella velocità sono la salita e la discesa, nel tempo sono i due passaggi per la stessa quota. Se il numero sotto radice è negativo non ci sono soluzioni: l’oggetto a quella quota non ci arriva.

Gli errori più comuni

• Pensare che nel punto più alto l’accelerazione sia zero. È zero la velocità, non l’accelerazione, che vale sempre $-g$. Se in cima l’accelerazione fosse zero, l’oggetto resterebbe lassù fermo.
• Sbagliare il segno di $g$. Con l’asse verso l’alto l’accelerazione è $-g$, anche durante la discesa.
• Dimenticare il segno della velocità di ritorno. L’oggetto torna con velocità $-v_0$, non $+v_0$.
• Usare $T = 2v_0/g$ quando partenza e arrivo sono a quote diverse, per esempio nel lancio dal balcone. Lì serve l’equazione di secondo grado.
• Confondere l’altezza massima con la quota dal suolo. $v_0^2/(2g)$ è l’altezza sopra il punto di lancio.
• Confondere spostamento e strada percorsa. Se l’oggetto ha già cominciato a scendere, la strada percorsa è maggiore della quota in cui si trova.

Esercizi svolti

1. La palla lanciata in aria

Testo. Lanci una palla verso l’alto a 15 m/s. Calcola il tempo di salita, l’altezza massima e il tempo di volo. Dove si trova, e come si muove, dopo 2 s?

Dati. $v_0 = 15\ \text{m/s}$, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$, asse verso l’alto con l’origine nel punto di lancio.

$$\begin{gathered} t_s = \frac{15}{9{,}81}\ \text{s} \approx 1{,}53\ \text{s} \\ h = \frac{15^2}{2 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 11{,}5\ \text{m} \\ T = 2\,t_s \approx 3{,}06\ \text{s} \end{gathered}$$

Dopo 2 s:

$$\begin{gathered} x = 15 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 2^2\ \text{m} \approx 10{,}4\ \text{m} \\ v = 15 - 9{,}81 \cdot 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx -4{,}6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

Il segno meno della velocità dice che la palla ha già superato il punto più alto e sta scendendo. In 2 s ha percorso 11,5 m in salita e circa 1,1 m in discesa: la strada percorsa è circa 12,6 m, anche se si trova a 10,4 m dal punto di lancio.

2. Quanto forte per arrivare a 20 m?

Testo. Con che velocità devi lanciare un sasso verso l’alto perché arrivi a 20 m di altezza? Quanto tempo impiega a salire?

Dalla formula inversa dell’altezza massima:

$$\begin{gathered} v_0 = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 19{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ t_s = \frac{v_0}{g} = \frac{19{,}8}{9{,}81}\ \text{s} \approx 2{,}02\ \text{s} \end{gathered}$$

Sono circa 71 km/h: un lancio decisamente potente. Per arrivare a 5 m, un quarto dell’altezza, basterebbe metà della velocità, circa 9,9 m/s.

3. Il giocoliere

Testo. Un giocoliere lancia una pallina verso l’alto e la riprende alla stessa altezza 1,2 s dopo. Quanto sale la pallina? Con che velocità l’ha lanciata?

Conosciamo solo il tempo di volo, $T = 1{,}2\ \text{s}$, ed è sufficiente:

$$\begin{gathered} h = \frac{g\,T^2}{8} = \frac{9{,}81 \cdot 1{,}2^2}{8}\ \text{m} \approx 1{,}77\ \text{m} \\ v_0 = \frac{g\,T}{2} = \frac{9{,}81 \cdot 1{,}2}{2}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 5{,}89\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

Il tempo di volo cresce come la radice quadrata dell’altezza: per lanciare le palline quattro volte più in alto il giocoliere guadagna solo il doppio del tempo.

4. Quando passa a 5 metri?

Testo. Una pallina viene lanciata verso l’alto a 12 m/s. In quali istanti si trova a 5 m sopra il punto di lancio? Con che velocità passa da lì?

Poniamo $x = 5\ \text{m}$ nella legge oraria e otteniamo un’equazione di secondo grado:

$$\begin{gathered} 5 = 12\,t - 4{,}905\,t^2 \\ 4{,}905\,t^2 - 12\,t + 5 = 0 \end{gathered}$$

Con la formula risolutiva:

$$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 98{,}1}}{9{,}81}\ \text{s} = \frac{12 \pm 6{,}77}{9{,}81}\ \text{s}$$

Le soluzioni sono $t_1 \approx 0{,}53\ \text{s}$, quando la pallina sale, e $t_2 \approx 1{,}91\ \text{s}$, quando scende. Hanno senso fisico entrambe. Controllo della simmetria: $t_1 + t_2 \approx 2{,}45\ \text{s}$, che è proprio il tempo di volo $2 \cdot 12 / 9{,}81$.

La velocità a quella quota è $v = \pm\sqrt{12^2 - 2 \cdot 9{,}81 \cdot 5} \approx \pm 6{,}77\ \text{m/s}$: verso l’alto al primo passaggio, verso il basso al secondo.

5. Il lancio dal balcone

Testo. Dal balcone di un palazzo, a 10 m da terra, lanci una pallina verso l’alto a 8 m/s. A che altezza dal suolo arriva? Dopo quanto tempo tocca terra, e con che velocità?

Mettiamo l’origine al suolo, quindi $x_0 = 10\ \text{m}$. La quota massima è l’altezza del balcone più la salita:

$$\begin{gathered} x_{max} = 10\ \text{m} + \frac{8^2}{2 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \\ x_{max} \approx 10\ \text{m} + 3{,}26\ \text{m} \approx 13{,}3\ \text{m} \end{gathered}$$

La pallina tocca terra quando $x = 0$:

$$\begin{gathered} t = \frac{8 + \sqrt{8^2 + 2 \cdot 9{,}81 \cdot 10}}{9{,}81}\ \text{s} \\ t = \frac{8 + 16{,}1}{9{,}81}\ \text{s} \approx 2{,}46\ \text{s} \end{gathered}$$

e la velocità d’impatto è $\sqrt{8^2 + 2 \cdot 9{,}81 \cdot 10} \approx 16{,}1\ \text{m/s}$, verso il basso. La salita dura solo 0,82 s, la discesa più di 1,6 s: con quote diverse la simmetria non vale più.

6. Due palline che si incontrano

Testo. Nello stesso istante lasci cadere una pallina A da 20 m di altezza e lanci verso l’alto da terra, sulla stessa verticale, una pallina B a 20 m/s. Quando e a che quota si incontrano?

Mettiamo l’origine al suolo e scriviamo le due leggi orarie: A è una caduta libera da 20 m, B un lancio verso l’alto.

$$\begin{gathered} x_A = 20 - \frac{1}{2}\,g\,t^2 \\ x_B = 20\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2 \end{gathered}$$

Si incontrano quando $x_A = x_B$. Il termine $\frac{1}{2}g\,t^2$ compare in entrambe e si semplifica: resta $20 = 20\,t$, cioè $t = 1\ \text{s}$. La quota è

$$x = 20 - \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 1^2\ \text{m} \approx 15{,}1\ \text{m}$$

In quell’istante B sta ancora salendo a $20 - 9{,}81 \approx 10{,}2\ \text{m/s}$, mentre A scende a $9{,}81\ \text{m/s}$. Il fatto che la gravità si semplifichi non è un caso: le due palline cadono della stessa quantità nello stesso tempo, quindi si incontrano come se la gravità non ci fosse. È lo stesso trucco del problema del cacciatore e della scimmia.

7. Lo stesso lancio sulla Luna

Testo. Sulla Luna l’accelerazione di gravità è circa $1{,}62\ \text{m/s}^2$. Se un astronauta lancia una palla verso l’alto a 15 m/s, quanto sale e quanto resta in aria?

$$\begin{gathered} h = \frac{15^2}{2 \cdot 1{,}62}\ \text{m} \approx 69{,}4\ \text{m} \\ T = \frac{2 \cdot 15}{1{,}62}\ \text{s} \approx 18{,}5\ \text{s} \end{gathered}$$

Sulla Terra lo stesso lancio arrivava a 11,5 m e durava 3,06 s, come nel primo esercizio. La gravità lunare è circa sei volte più debole, quindi la palla sale circa sei volte più in alto e resta in aria circa sei volte più a lungo: sia $h$ sia $T$ sono inversamente proporzionali a $g$.

Altri problemi di cinematica, come il sasso lanciato da un ponte, li trovi negli esercizi svolti di cinematica.

In sintesi

• Con l’asse verso l’alto l’accelerazione è sempre $a = -g$: $v = v_0 - g\,t$ e $x = v_0\,t - \frac{1}{2}g\,t^2$ valgono per tutto il volo, salita e discesa.
• Il tempo di salita è $t_s = v_0/g$, l’altezza massima è $h = v_0^2/(2g)$ e il tempo di volo è $T = 2v_0/g$.
• Il moto è simmetrico: la discesa dura quanto la salita e a ogni quota l’oggetto passa con la stessa velocità in modulo, fino a tornare con velocità $-v_0$.
• Nel punto più alto la velocità è zero, ma l’accelerazione vale ancora $-g$.
• Se l’oggetto parte da un’altezza $h_0$ e cade fino al suolo, il tempo si trova con l’equazione di secondo grado e la velocità d’impatto è $\sqrt{v_0^2 + 2gh_0}$.

Se il lancio non è verticale ma obliquo, il moto diventa bidimensionale: è il moto parabolico.