Teoria della relatività di Einstein: relatività ristretta e generale spiegate semplici

C’è una domanda che sembra banale ma che ha cambiato per sempre la fisica: se due lampadine si accendono nello stesso istante, tutti gli osservatori le vedono accendersi insieme, comunque si muovano? La risposta è no. E il motivo ha il nome di un impiegato dell’ufficio brevetti di Berna di 26 anni: Albert Einstein.

La teoria della relatività in realtà sono due teorie: la relatività ristretta, del 1905, che riguarda spazio, tempo e moto senza gravità, e la relatività generale, del 1915, che include la gravità e la lega alla geometria dell’universo. Non fanno parte del programma di Fisica 1, che si ferma alla fisica classica, ma sono il naturale passo successivo: in questo articolo le vediamo entrambe, con pochi calcoli e senza saltare i passaggi logici.

Einstein e il contesto

Albert Einstein nasce il 14 marzo 1879 a Ulma, in Germania. Il suo percorso scolastico non è lineare: nel 1895, a soli sedici anni e quindi due anni prima dell’età normale, non supera l’esame di ammissione al Politecnico di Zurigo, pur andando benissimo in matematica e fisica. Dopo un anno di scuola in Svizzera viene ammesso nel 1896.

Al Politecnico conosce Mileva Marić, studentessa serba, unica donna del loro corso di matematica e fisica: un traguardo raro, in un’epoca in cui pochissime università europee ammettevano le donne. Si sposano nel 1903. Quanto Mileva abbia contribuito ai primi lavori del marito è ancora oggetto di dibattito tra gli storici; di certo era una fisica preparata, che però non conseguì il diploma e non proseguì la carriera scientifica.

Dopo la laurea Einstein non trova un posto all’università e lavora all’ufficio brevetti di Berna. È lì che, nel 1905, pubblica quattro articoli che cambiano la fisica: sull’effetto fotoelettrico, sul moto browniano, sulla relatività ristretta e sull’equivalenza tra massa ed energia. È il suo annus mirabilis. Curiosamente, il premio Nobel del 1921 gli fu assegnato per l’effetto fotoelettrico, non per la relatività.

Il problema dell’etere

Alla fine dell’Ottocento la fisica aveva un problema. Le onde meccaniche hanno bisogno di un mezzo per propagarsi: il suono viaggia nell’aria, le onde del mare nell’acqua. Per analogia si pensava che anche la luce, un’onda elettromagnetica, viaggiasse in un mezzo invisibile che riempiva tutto lo spazio: l’etere.

Se l’etere esistesse, la Terra, muovendosi intorno al Sole a 30 km/s, si muoverebbe anche rispetto all’etere, come una barca rispetto all’acqua. Secondo i moti relativi di Galileo, la velocità della luce misurata sulla Terra dovrebbe allora cambiare un poco a seconda della direzione.

Nel 1887 Albert Michelson ed Edward Morley costruirono uno strumento abbastanza preciso da misurare questa differenza. Non trovarono nulla: la velocità della luce era la stessa in tutte le direzioni. È il più famoso “esperimento fallito” della storia: non trovò ciò che cercava, ma proprio per questo aprì la strada a una nuova fisica.

I due postulati della relatività ristretta

Nel 1905 Einstein affronta il problema in modo radicale: smette di cercare l’etere e prende come punto di partenza due principi, o postulati.

Primo postulato, principio di relatività. Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Secondo postulato, costanza della velocità della luce. La velocità della luce nel vuoto, $c \approx 300\,000\ \text{km/s}$, è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, qualunque sia il moto della sorgente o dell’osservatore.

Il primo estende all’elettromagnetismo il principio di relatività di Galileo, già noto da secoli per la meccanica. Il secondo sconvolge il senso comune. Se da un treno in corsa lanci una palla in avanti, la sua velocità rispetto ai binari è quella della palla più quella del treno. Ma se dallo stesso treno accendi una torcia, la luce viaggia a $c$ sia per te sia per chi è fermo sul marciapiede. Le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo prevedevano proprio questo; il problema era che erano incompatibili con le trasformazioni di Galileo, in cui le velocità si sommano sempre.

Le trasformazioni di Lorentz

Per mettere d’accordo i due postulati, Einstein sostituisce le trasformazioni di Galileo con quelle che il fisico olandese Hendrik Lorentz aveva già scritto qualche anno prima: le trasformazioni di Lorentz. Se un sistema di riferimento si muove con velocità $v$ lungo l’asse $x$ rispetto a un altro, le coordinate di un evento nei due sistemi sono legate da:

$$x' = \gamma\,(x - v\,t) \qquad t' = \gamma\left(t - \frac{v\,x}{c^2}\right)$$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

La novità è che anche il tempo si trasforma: non è più lo stesso per tutti. Per velocità normali $v/c$ è piccolissimo, $\gamma$ vale praticamente 1 e si ritrovano le trasformazioni di Galileo. Per questo nella vita di tutti i giorni non ci accorgiamo degli effetti relativistici: ci sono, ma sono minuscoli. Diventano importanti solo quando $v$ si avvicina a $c$.

La dilatazione del tempo

Un orologio in movimento, visto da un osservatore rispetto a cui si muove, va più piano. Se $\Delta t_0$ è l’intervallo misurato da un orologio solidale con il fenomeno, il tempo proprio, lo stesso intervallo misurato da un osservatore rispetto a cui l’orologio si muove con velocità $v$ è:

$$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$$

Dato che $\gamma \ge 1$, l’intervallo misurato dall’osservatore esterno è sempre più lungo.

La contrazione delle lunghezze

Allo stesso modo, la lunghezza di un oggetto in movimento, misurata lungo la direzione del moto, risulta più corta della sua lunghezza propria $L_0$, quella misurata da un osservatore solidale con l’oggetto:

$$L = \frac{L_0}{\gamma}$$

La composizione delle velocità

Se un razzo si muove a velocità $v$ e spara in avanti un proiettile a velocità $u$ rispetto a sé, la velocità del proiettile per un osservatore a terra non è $u + v$, ma:

$$w = \frac{u + v}{1 + \dfrac{u\,v}{c^2}}$$

Con $u = 0{,}5\,c$ e $v = 0{,}8\,c$ si ottiene $w \approx 0{,}93\,c$, non $1{,}3\,c$. E se $u = c$, il risultato è sempre $c$: la velocità della luce non si somma a nient’altro, come vuole il secondo postulato.

La relatività della simultaneità

Torniamo alle lampadine dell’inizio, con l’esempio del treno usato dallo stesso Einstein. Un treno viaggia lungo i binari. Due lampi colpiscono i binari in due punti A e B, proprio dove si trovano in quel momento la testa e la coda del treno. Un osservatore fermo sulla banchina, esattamente a metà tra A e B, vede arrivare la luce dei due lampi nello stesso istante: per lui sono simultanei.

Un passeggero seduto a metà del treno, invece, si sta muovendo verso il lampo di testa e si allontana da quello di coda: la luce del lampo di testa lo raggiunge prima. Anche per lui la luce viaggia a $c$ in entrambe le direzioni e lui è a metà tra i due punti del treno colpiti: deve quindi concludere che il lampo di testa è avvenuto prima.

Non è un’illusione dovuta al ritardo della luce: per il passeggero, tenendo conto di tutto, i due eventi non sono simultanei. La simultaneità non è assoluta, dipende dal sistema di riferimento.

Lo spaziotempo

Per Galileo e Newton spazio e tempo erano separati: il tempo scorre uguale per tutti, ovunque e comunque ci si muova. Le trasformazioni di Lorentz mostrano che non è così: spazio e tempo si mescolano quando si cambia sistema di riferimento.

Nel 1908 il matematico Hermann Minkowski, che era stato professore di Einstein al Politecnico, propose di descriverli come un’unica entità a quattro dimensioni: lo spaziotempo. Ogni evento è un punto con quattro coordinate, tre di spazio e una di tempo. Questa visione geometrica diventerà il linguaggio della relatività generale.

E = mc²: massa ed energia

Sempre nel 1905, come conseguenza della relatività ristretta, Einstein trova la formula più famosa della fisica:

$$E = m\,c^2$$

Un corpo di massa $m$ possiede, anche da fermo, un’energia a riposo pari a $mc^2$. Massa ed energia non sono due grandezze separate: la massa è una forma di energia, e in certe condizioni, come nelle reazioni nucleari, l’una si trasforma nell’altra.

Dato che $c^2 \approx 9 \cdot 10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2$ è un numero enorme, una massa piccolissima equivale a un’energia gigantesca. Un solo grammo di materia corrisponde a circa $9 \cdot 10^{13}\ \text{J}$, l’energia di un’esplosione di circa 20 chilotoni. Il Sole irraggia ogni secondo circa $3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{J}$: con la fusione nucleare trasforma in energia circa 4 milioni di tonnellate della sua massa al secondo.

Per un corpo in moto l’energia totale è $\gamma\,m\,c^2$, e l’energia cinetica è la differenza $(\gamma - 1)\,mc^2$. Per velocità piccole rispetto a $c$ questa espressione diventa proprio la familiare energia cinetica $\frac{1}{2}mv^2$. Quando $v$ si avvicina a $c$, invece, $\gamma$ cresce senza limite: per portare un corpo dotato di massa alla velocità della luce servirebbe un’energia infinita.

La relatività generale

La relatività ristretta vale solo tra sistemi di riferimento inerziali. Cosa succede con le accelerazioni e con la gravità? Einstein ci lavorò per dieci anni, e nel 1915 pubblicò la relatività generale, una nuova teoria della gravitazione.

Il principio di equivalenza

Il punto di partenza è un fatto che conosciamo già: la massa inerziale e la massa gravitazionale sono uguali, e per questo tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. Einstein lo trasforma in un principio:

Principio di equivalenza. Nessun esperimento locale può distinguere tra un campo gravitazionale e un’accelerazione del sistema di riferimento.

Immagina di essere in un ascensore senza finestre. Se l’ascensore è fermo sulla Terra, senti il tuo peso. Se fosse nello spazio, lontano da tutto, ma accelerasse verso l’alto con accelerazione $g$, sentiresti esattamente lo stesso peso, e nessun esperimento dentro l’ascensore potrebbe dirti in quale delle due situazioni ti trovi.

La curvatura dello spaziotempo

Da qui l’idea rivoluzionaria: la gravità non è una forza che agisce a distanza, come pensava Newton, ma una curvatura dello spaziotempo. Massa ed energia curvano lo spaziotempo intorno a sé; i corpi in caduta libera si muovono lungo le linee “più dritte possibili” di questo spaziotempo curvo, le geodetiche. Una Terra che orbita intorno al Sole non è tirata da una forza: segue la geodetica dello spaziotempo curvato dal Sole.

Il fisico John Wheeler lo riassunse così: la materia dice allo spaziotempo come curvarsi, e lo spaziotempo dice alla materia come muoversi. L’immagine del telo elastico deformato da una palla pesante aiuta a visualizzarlo, ma va presa con cautela: per far “rotolare” le palline verso il centro usa proprio la gravità che vorrebbe spiegare.

Per campi deboli e velocità piccole la relatività generale coincide con la gravitazione di Newton, che resta perfetta per quasi tutti i calcoli di Fisica 1 e dell’ingegneria.

Le conferme sperimentali

• L’orbita di Mercurio. Il punto più vicino al Sole dell’orbita di Mercurio ruota lentamente, di 43 secondi d’arco al secolo in più rispetto a quanto previsto da Newton. Nel 1915 Einstein mostrò che la relatività generale spiega esattamente questa differenza.
• La luce deviata dal Sole. La luce di una stella che passa vicino al Sole viene deviata. Nell’eclissi totale del 1919 le spedizioni guidate da Arthur Eddington misurarono lo spostamento apparente delle stelle vicine al Sole oscurato: il risultato era compatibile con la previsione di Einstein, il doppio di quella newtoniana. La notizia fece di Einstein una celebrità mondiale.
• Il tempo e la gravità. Gli orologi vanno più piano dove la gravità è più intensa. È stato misurato con orologi atomici a quote diverse, e i satelliti GPS ne devono tenere conto ogni giorno.

Buchi neri e onde gravitazionali

Se una massa è concentrata in un volume abbastanza piccolo, la curvatura diventa così intensa che nulla, nemmeno la luce, può più uscire: è un buco nero. Ricordi la velocità di fuga? Per la Terra è circa 11,2 km/s. Per un buco nero, all’interno di una superficie chiamata orizzonte degli eventi, supererebbe la velocità della luce. Il raggio dell’orizzonte per una massa $M$ è il raggio di Schwarzschild:

$$r_s = \frac{2\,G\,M}{c^2}$$

Per diventare un buco nero il Sole dovrebbe essere compresso in una sfera di circa 3 km di raggio, la Terra in una di circa 9 mm.

I buchi neri non emettono luce, ma si osservano dagli effetti sull’ambiente: le stelle che orbitano velocissime intorno al centro della nostra galassia, il gas incandescente che vi cade dentro. Nel 2019 l’Event Horizon Telescope ha ottenuto la prima immagine dell’ombra di un buco nero, al centro della galassia M87, e nel 2022 quella del buco nero al centro della Via Lattea.

Una massa che si muove in modo violento produce increspature dello spaziotempo che viaggiano alla velocità della luce: le onde gravitazionali. Previste da Einstein nel 1916, sono state rilevate per la prima volta il 14 settembre 2015 dagli interferometri LIGO, negli Stati Uniti: il segnale veniva dalla fusione di due buchi neri di circa 36 e 29 masse solari, avvenuta a circa 1,3 miliardi di anni luce da noi. La scoperta valse il premio Nobel per la fisica del 2017 e ha aperto un modo nuovo di osservare l’universo.

Esempi numerici

I muoni che arrivano a terra

I raggi cosmici producono, a circa 15 km di quota, particelle chiamate muoni, che vivono in media solo 2,2 microsecondi prima di decadere. Anche alla velocità di $0{,}998\,c$, in 2,2 µs percorrerebbero circa 660 m: non dovrebbero arrivare a terra. Invece ci arrivano in gran numero. Il fattore di Lorentz è:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}998^2}} \approx 15{,}8$$

Per noi a terra la loro vita media si dilata a $15{,}8 \cdot 2{,}2\ \mu\text{s} \approx 35\ \mu\text{s}$: in media percorrono circa 10 km, e una buona parte arriva fino al suolo. Dal punto di vista del muone, invece, il suo tempo scorre normalmente, ma è l’atmosfera che gli corre incontro a essere contratta: 15 km diventano $15/15{,}8 \approx 0{,}95\ \text{km}$. Due descrizioni diverse, stesso risultato: il muone arriva a terra.

Il GPS

I satelliti GPS viaggiano a circa 3,9 km/s. Per la relatività ristretta i loro orologi, visti da terra, vanno più piano: $\gamma - 1 \approx 8 \cdot 10^{-11}$, che in un giorno ($86\,400\ \text{s}$) accumula un ritardo di circa 7 microsecondi. Ma i satelliti sono a 20 000 km di quota, dove la gravità è più debole, e per la relatività generale i loro orologi vanno più veloci di circa 45 microsecondi al giorno. In totale gli orologi in orbita anticipano di circa 38 µs al giorno.

Sembra poco, ma il GPS misura le distanze con il tempo impiegato dai segnali, che viaggiano alla velocità della luce: 38 µs di errore corrispondono a $c \cdot 38\ \mu\text{s} \approx 11\ \text{km}$. Senza le correzioni relativistiche il navigatore sbaglierebbe di circa 10 km in più ogni giorno.

In sintesi

• La relatività ristretta (1905) parte da due postulati: le leggi della fisica sono uguali in tutti i sistemi inerziali, e la velocità della luce è la stessa per tutti.
• Le trasformazioni di Lorentz, con il fattore $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, sostituiscono quelle di Galileo.
• Conseguenze: dilatazione del tempo $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$, contrazione delle lunghezze $L = L_0/\gamma$, relatività della simultaneità, nessun corpo con massa raggiunge $c$.
• $E = mc^2$, della relatività ristretta: la massa è una forma di energia.
• La relatività generale (1915) descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo; parte dal principio di equivalenza.
• Conferme: orbita di Mercurio, deviazione della luce, GPS, buchi neri e onde gravitazionali.

Per rivedere le basi da cui parte tutto questo, riprendi i moti relativi e i sistemi di riferimento o torna al programma di Fisica 1.