Forza gravitazionale: legge di gravitazione universale, costante G ed esercizi svolti

Perché una mela cade e la Luna no? Per Newton la risposta era sorprendente: cadono tutte e due, per la stessa ragione. La forza che fa cadere la mela è la stessa che tiene la Luna in orbita attorno alla Terra e la Terra attorno al Sole: è la forza gravitazionale, descritta dalla legge di gravitazione universale. È il punto di partenza di tutto il capitolo di gravitazione, dai satelliti alla velocità di fuga. In questa pagina vediamo la legge e la sua forma vettoriale, la costante G e l’esperimento di Cavendish, perché la gravità tra oggetti comuni è così debole, da dove viene g e come cambia con la quota e da un pianeta all’altro, il teorema del guscio, la sovrapposizione delle forze di più masse, il calcolo sulla Luna che convinse Newton, le maree, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è la forza gravitazionale

Ogni corpo che ha una massa attira ogni altro corpo che ha una massa. La Terra attira te, ma anche tu attiri la Terra, e perfino la penna sulla scrivania. A differenza dell’attrito o della tensione di un filo, la forza gravitazionale:

• è sempre attrattiva: non esistono masse che si respingono;
• agisce a distanza, anche nel vuoto: così il Sole tiene in orbita la Terra a 150 milioni di km;
• diminuisce con la distanza, ma non si annulla mai del tutto.

Nei Principia, pubblicati nel 1687, Newton mostrò che una sola legge spiega la caduta dei sassi, il moto della Luna e quello dei pianeti: per questo si chiama legge di gravitazione universale.

La legge di gravitazione universale

Due punti materiali di massa $m_1$ e $m_2$, a distanza $r$, si attraggono con una forza diretta lungo la retta che li congiunge, di modulo proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

$$F = G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}$$

dove:

• $m_1$ e $m_2$ sono le due masse, in kg;
• $r$ è la distanza tra i due punti materiali, in m. Per i corpi sferici, come i pianeti, è la distanza tra i centri;
• $G$ è la costante di gravitazione universale, la stessa per qualsiasi coppia di corpi;
• $F$ è il modulo della forza, in newton.

Cosa dice la formula

La forza è proporzionale a ciascuna massa: se ne raddoppi una, la forza raddoppia. Per questo un sacco di cemento pesa più di un pacco di pasta. Con la distanza, invece, conta il quadrato: a distanza doppia la forza diventa un quarto, a distanza tripla un nono, come la luce di una lampadina che si “spalma” su sfere la cui superficie cresce come $r^2$.

Infine, le due forze sono uguali e opposte, come vuole il terzo principio della dinamica: se hai una massa di 70 kg, la Terra ti attira con circa 687 N e tu attiri la Terra con 687 N. Gli effetti però sono diversissimi, come vediamo nell’esercizio 2.

La forma vettoriale

Chiamiamo $\vec{F}_{1,2}$ la forza che $m_1$ esercita su $m_2$ e $\hat{u}_{1,2}$ il versore diretto da $m_1$ verso $m_2$.

La forza su $m_2$ punta verso $m_1$, cioè in verso opposto al versore:

$$\vec{F}_{1,2} = -G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{u}_{1,2}$$

Il segno meno dice che la forza è attrattiva, e per il terzo principio $\vec{F}_{2,1} = -\vec{F}_{1,2}$. Se conosci le posizioni $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ delle due masse, la stessa legge si scrive:

$$\vec{F}_{1,2} = -G\,m_1 m_2\,\frac{\vec{r}_2 - \vec{r}_1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3}$$

Il cubo è giusto: un fattore trasforma il vettore al numeratore in un versore, gli altri due danno il solito $1/r^2$.

Diretta sempre verso l’altra massa e dipendente solo dalla distanza, la gravità è una forza centrale. È anche conservativa: il suo lavoro si descrive con l’energia potenziale gravitazionale, $U = -GMm/r$, da cui si ricava la velocità di fuga.

La costante G e l’esperimento di Cavendish

Il valore raccomandato oggi è:

$$G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$$

Non confonderla con $g$: $G$ è universale, vale lo stesso sulla Terra e in un’altra galassia, mentre $g$ dipende dal pianeta e dalla quota. È nota solo con circa cinque cifre significative, poche per una costante fondamentale, perché tra masse di laboratorio la gravità è debolissima.

Newton non conosceva $G$, anche se aveva ipotizzato che la Terra fosse in media cinque o sei volte più densa dell’acqua. La prima misura dell’attrazione tra masse di laboratorio la fece Henry Cavendish, che la pubblicò nel 1798, con una bilancia di torsione progettata da John Michell, morto prima di poterla usare. Un’asta di legno lunga circa 1,8 m, con una sferetta di piombo di 0,73 kg a ciascuna estremità, era appesa al centro a un filo sottile. Accanto alle sferette, da parti opposte, si portavano due grandi sfere di piombo da 158 kg.

L’attrazione fa ruotare l’asta e il filo si torce, reagendo con un momento proporzionale all’angolo, $\kappa\theta$. L’asta si ferma quando questo momento bilancia quello delle due forze, ciascuna con braccio $L/2$:

$$\begin{gathered} \kappa\,\theta = F\,L \\ G = \frac{F\,d^2}{M\,m} \end{gathered}$$

dove $L$ è la lunghezza dell’asta e $d$ la distanza tra i centri di una sfera grande e della sferetta vicina. La costante del filo $\kappa$ si ricava dal periodo delle oscillazioni libere dell’asta, di diversi minuti.

Con $d \approx 22{,}5\ \text{cm}$ la legge di gravitazione dà $F \approx 1{,}5 \times 10^{-7}\ \text{N}$, circa cinquanta milioni di volte meno del peso di una sferetta: l’estremità dell’asta si spostava di pochi millimetri o meno. Per non disturbare l’apparecchio, Cavendish lo chiuse in un capanno e lo osservò dall’esterno con dei cannocchiali.

Il suo obiettivo non era $G$, che nel suo lavoro non compare, ma la densità media della Terra: nelle lettere parlava di “pesare il mondo”. Trovò circa 5,45 volte quella dell’acqua, contro il valore moderno di 5,51. Dal suo risultato si ricava $G \approx 6{,}74 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, a circa l’1% dal valore attuale.

Perché la gravità tra oggetti comuni è così debole

Due persone di 70 kg a un metro di distanza si attraggono con:

$$\begin{gathered} F = 6{,}674 \times 10^{-11} \cdot \frac{70 \cdot 70}{1^2}\ \text{N} \\ F \approx 3{,}3 \times 10^{-7}\ \text{N} \end{gathered}$$

È il peso di un granellino di sabbia di circa 0,3 mm. La stessa persona è attirata dalla Terra con circa 687 N, una forza oltre due miliardi di volte più grande: la massa enorme della Terra, $5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, compensa ampiamente la distanza dal suo centro.

La gravità è la più debole delle forze fondamentali: tra un protone e un elettrone la forza elettrica è circa $2{,}3 \times 10^{39}$ volte più intensa. Eppure domina su scala astronomica, perché le masse si sommano sempre, mentre le cariche positive e negative si compensano e un pianeta è elettricamente neutro.

Forza peso e accelerazione di gravità

Un corpo di massa $m$ sulla superficie terrestre è attirato dalla Terra, di massa $M_T$ e raggio $R_T$, con la forza peso:

$$\begin{gathered} P = G\,\frac{M_T\,m}{R_T^2} = m\,g \\ \text{con}\;\; g = G\,\frac{M_T}{R_T^2} \end{gathered}$$

Con $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6{,}371 \times 10^{6}\ \text{m}$ si ottiene $g \approx 9{,}82\ \text{m/s}^2$. Il valore misurato va da $9{,}78\ \text{m/s}^2$ all’equatore a $9{,}83\ \text{m/s}^2$ ai poli, perché la Terra è un po’ schiacciata e ruota, come spiegato nei moti relativi; negli esercizi si usa $9{,}81\ \text{m/s}^2$. In $g$ la massa del corpo non c’è più: nel vuoto tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione.

Da un pianeta all’altro

La formula $g = GM/R^2$ vale per qualsiasi corpo celeste. Dividendola per quella della Terra si ottiene un trucco comodo, $g = g_T\,(M/M_T)/(R/R_T)^2$. Ecco i valori calcolati con le masse e i raggi medi della NASA:

Corpo	Massa e raggio (Terra = 1)	$g$ (m/s²)
Luna	0,0123 e 0,273	1,62
Mercurio	0,0553 e 0,383	3,70
Marte	0,107 e 0,532	3,73
Venere	0,815 e 0,950	8,87
Terra	1 e 1	9,82
Sole	333 000 e 109	274

Conta anche il raggio: Mercurio ha metà della massa di Marte ma, essendo più piccolo, la stessa gravità. Il Sole ha 333 000 volte la massa della Terra, ma il quadrato del suo raggio è circa 11 900 volte quello terrestre: $g$ è “solo” 28 volte più grande.

Con la quota

A un’altezza $h$ la distanza dal centro diventa $R_T + h$, quindi:

$$g(h) = g_0\,\frac{R_T^2}{(R_T + h)^2}$$

dove $g_0$ è il valore al suolo. Per $h$ piccolo rispetto al raggio vale $g \approx g_0\,(1 - 2h/R_T)$: a 10 km, la quota di un aereo di linea, $g$ cala solo dello 0,3%, e per questo negli esercizi di dinamica si considera costante. Alla quota della Stazione Spaziale, circa 400 km, vale ancora $8{,}69\ \text{m/s}^2$, l’89% del valore al suolo. Gli astronauti non galleggiano perché lassù non c’è gravità, ma perché sono in caduta libera insieme alla stazione, come spiegato nella massa inerziale e massa gravitazionale.

Il teorema del guscio

La legge di Newton vale per punti materiali, ma un pianeta non è un punto: perché allora misuriamo le distanze dal centro? Lo dimostrò lo stesso Newton nei Principia, con il teorema del guscio. Per un guscio sferico sottile e omogeneo:

1. su un corpo esterno, il guscio agisce come se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro;
2. su un corpo interno, in qualunque punto, la forza totale del guscio è zero.

Un pianeta in cui la densità dipende solo dalla distanza dal centro è fatto di tanti gusci uno dentro l’altro, come una cipolla: da fuori ognuno si comporta come un punto nel centro, e quindi anche il pianeta intero.

Il secondo risultato si capisce con un’immagine. Da un punto dentro il guscio traccia un sottile doppio cono: taglia due pezzetti di guscio, da parti opposte. Il pezzetto più vicino è più piccolo, con un’area che va come il quadrato della distanza, ma attira di più, con una forza che va come uno sul quadrato della distanza. I due effetti si compensano esattamente, grazie al $1/r^2$.

Dentro un pianeta

Se scendi in un pozzo profondo, il guscio sopra di te non ti attira più: conta solo la massa più vicina al centro. Per un pianeta omogeneo la massa interna a una sfera di raggio $r$ è $M\,r^3/R^3$, quindi:

$$\begin{gathered} g(r) = \frac{G\,M\,r^3/R^3}{r^2} \\ g(r) = g_0\,\frac{r}{R} \end{gathered}$$

$g$ cresce in proporzione alla distanza dal centro, dove vale zero. La Terra vera però ha un nucleo di ferro molto più denso delle rocce superficiali: scendendo, $g$ cresce un po’, fino a circa $10{,}7\ \text{m/s}^2$ al confine tra mantello e nucleo, a quasi 2900 km di profondità, e solo dopo cala fino a zero.

Più masse: il principio di sovrapposizione

Se un corpo è attirato da più masse, la forza totale è la somma vettoriale delle forze che ciascuna massa eserciterebbe da sola:

$$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n$$

Le forze vanno sommate per componenti, non sommando i moduli. Tra la Terra e la Luna il punto di equilibrio è a circa il 90% della distanza, verso la Luna, che ha una massa 81 volte più piccola: lo calcoliamo negli esercizi svolti di gravitazione. Sommando i contributi di tutte le masse, punto per punto, si costruisce il campo gravitazionale.

La Luna che cade: il calcolo che convinse Newton

La storia della mela la raccontò lo stesso Newton, ormai anziano, a William Stukeley nel 1726: vedendo cadere una mela si era chiesto perché cadesse sempre perpendicolare al suolo. Della mela in testa, invece, nel racconto non c’è traccia. Newton scrisse anche di aver confrontato la forza che tiene la Luna in orbita con la gravità al suolo già negli anni della peste, il 1665 e il 1666, trovando che “corrispondevano abbastanza bene”.

L’idea è questa: se la gravità arriva fino alla Luna, che dista circa 60 raggi terrestri, lì deve essere $60^2 = 3600$ volte più debole. La Luna percorre la sua orbita, di raggio $r \approx 384\,400\ \text{km}$, in 27,32 giorni, cioè $T \approx 2{,}36 \times 10^6\ \text{s}$. La sua accelerazione centripeta è:

$$\begin{gathered} a_c = \frac{4\pi^2\,r}{T^2} \approx 0{,}00272\ \text{m/s}^2 \\ \frac{g}{3600} \approx 0{,}00273\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

I due valori coincidono. Nei Principia Newton presenta il conto in una forma elegante: in un minuto la Luna devia dalla linea retta, verso la Terra, di $\tfrac{1}{2}a_c t^2 \approx 4{,}9\ \text{m}$, tanto quanto cade un sasso vicino al suolo in un secondo. Un tempo 60 volte più lungo, al quadrato, compensa esattamente una forza 3600 volte più debole.

E perché la Luna non ci cade addosso? In un secondo devia di appena 1,4 mm, ma nello stesso secondo percorre circa 1 km lungo l’orbita: cade di continuo, ma va così veloce di lato che la Terra “si incurva” sotto di lei. Orbite e leggi di Keplero le trovi nel moto di un corpo sottoposto alla forza gravitazionale.

Le maree in poche righe

La Luna attira il lato della Terra rivolto verso di lei più del centro, e il centro più del lato opposto. Così l’acqua del lato vicino viene “tirata” verso la Luna e quella del lato lontano resta “indietro”: si formano due rigonfiamenti, e la Terra, girando sotto di essi, vede due alte maree circa ogni 24 ore e 50 minuti.

Conta la differenza di attrazione tra i due lati, che cala come $1/d^3$. Per questo il Sole, che attira la Terra circa 180 volte più della Luna, ha un effetto di marea pari a circa il 46% di quello lunare. Con la luna nuova o piena i due effetti si sommano e si hanno le maree vive, le più ampie.

Gli errori più comuni

• Misurare la distanza dalla superficie. $r$ è la distanza tra i centri: per un satellite a 400 km di quota, $r = 6371 + 400 = 6771\ \text{km}$.
• Dimenticare il quadrato. Raddoppiando la distanza la forza diventa un quarto, non la metà.
• Confondere $G$ con $g$. $G$ è una costante universale; $g$ è un’accelerazione che dipende dal pianeta e dalla quota.
• Pensare che il corpo più grande attiri di più. Le due forze hanno lo stesso modulo; cambia l’accelerazione, $a = F/m$.
• Sommare i moduli delle forze di più masse. Le forze si sommano come vettori, per componenti.
• Pensare che sulla Stazione Spaziale non ci sia gravità. A 400 km di quota $g$ è ancora l’89% di quella al suolo.
• Usare la massa di tutta la Terra per un punto al suo interno. Per il teorema del guscio conta solo la massa più vicina al centro.
• Lasciare le distanze in chilometri. Con $G$ in unità SI servono i metri: $R_T = 6{,}371 \times 10^6\ \text{m}$.

Esercizi svolti

1. Raddoppiare una massa e triplicare la distanza

Testo. Due sfere si attraggono con una forza di $2{,}0 \times 10^{-8}\ \text{N}$. Quanto diventa la forza se raddoppi la massa di una delle due e porti la distanza tra i centri al triplo? E, partendo dalla situazione iniziale, come dovresti cambiare la distanza per avere una forza quattro volte più grande?

Raddoppiare una massa moltiplica la forza per 2, triplicare la distanza la divide per $3^2 = 9$:

$$\begin{gathered} F' = F \cdot \frac{2}{3^2} = 2{,}0 \times 10^{-8} \cdot \frac{2}{9}\ \text{N} \\ F' \approx 4{,}4 \times 10^{-9}\ \text{N} \end{gathered}$$

Per quadruplicare la forza il fattore $1/r^2$ deve diventare 4 volte più grande, quindi la distanza va dimezzata. Non serve conoscere né le masse né $G$: con le proporzioni si risolvono molti esercizi di gravitazione.

2. Tu attiri la Terra

Testo. Una persona di 70 kg sta sulla superficie terrestre. Calcola con la legge di gravitazione la forza con cui la Terra la attira e confrontala con $mg$. Con che forza la persona attira la Terra, e che accelerazione le dà? Usa $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6{,}371 \times 10^6\ \text{m}$.

La distanza tra la persona e il centro della Terra è il raggio terrestre:

$$\begin{gathered} F = G\,\frac{M_T\,m}{R_T^2} \\ {} = \frac{6{,}674 \times 10^{-11} \cdot 5{,}97 \times 10^{24} \cdot 70}{(6{,}371 \times 10^6)^2}\ \text{N} \\ {} \approx 687\ \text{N} \end{gathered}$$

Il peso calcolato con $g$ è $70 \cdot 9{,}81 \approx 687\ \text{N}$: la forza peso è proprio l’attrazione gravitazionale della Terra. Per il terzo principio la persona attira la Terra con la stessa forza, ma le dà un’accelerazione:

$$\begin{gathered} a_T = \frac{F}{M_T} = \frac{687}{5{,}97 \times 10^{24}}\ \text{m/s}^2 \\ a_T \approx 1{,}15 \times 10^{-22}\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

In un secondo la Terra si sposterebbe di circa $6 \times 10^{-23}\ \text{m}$, molto meno del diametro di un protone. Stessa forza, effetti lontanissimi: la differenza la fa la massa.

3. Pesare la Terra

Testo. Conoscendo $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$, il raggio terrestre $R_T = 6371\ \text{km}$ e $G$, calcola la massa della Terra e la sua densità media. Confrontala con quella delle rocce della crosta, circa $2700\ \text{kg/m}^3$.

Da $g = GM_T/R_T^2$ si ricava la massa:

$$\begin{gathered} M_T = \frac{g\,R_T^2}{G} \\ {} = \frac{9{,}81 \cdot (6{,}371 \times 10^6)^2}{6{,}674 \times 10^{-11}}\ \text{kg} \\ {} \approx 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg} \end{gathered}$$

Il volume di una sfera è $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$:

$$\begin{gathered} V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot (6{,}371 \times 10^6)^3\ \text{m}^3 \\ V \approx 1{,}083 \times 10^{21}\ \text{m}^3 \\ \rho = \frac{M_T}{V} \approx 5510\ \text{kg/m}^3 \end{gathered}$$

La Terra è in media 5,5 volte più densa dell’acqua, circa il doppio delle rocce che abbiamo sotto i piedi: il suo interno deve essere molto più denso, e infatti è fatto in gran parte di ferro. È proprio il ragionamento di Cavendish: misurata l’attrazione tra masse note, la Terra si può “pesare”.

4. A che quota g si dimezza

Testo. A che altezza sopra la superficie terrestre l’accelerazione di gravità è la metà di quella al suolo? E quanto vale $g$ a 10 km, la quota di un aereo di linea? Usa $R_T = 6371\ \text{km}$ e $g_0 = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Vogliamo $g(r) = g_0/2$, con $g(r) = g_0\,(R_T/r)^2$:

$$\begin{gathered} \left(\frac{R_T}{r}\right)^2 = \frac{1}{2} \\ r = \sqrt{2}\,R_T \approx 9010\ \text{km} \end{gathered}$$

L’altezza dalla superficie è $h = (\sqrt{2} - 1)\,R_T \approx 2640\ \text{km}$. A 10 km di quota, invece, $r = 6381\ \text{km}$:

$$\begin{gathered} g = 9{,}81 \cdot \left(\frac{6371}{6381}\right)^2\ \text{m/s}^2 \\ g \approx 9{,}78\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Lo stesso risultato si ottiene con l’approssimazione $g_0\,(1 - 2h/R_T) = 9{,}81 \cdot 0{,}99686$. Per dimezzare $g$ bisogna salire di oltre 2600 km, più della distanza in linea d’aria tra Roma e Mosca: la gravità si indebolisce molto lentamente.

5. Due sfere ad angolo retto

Testo. Una sferetta di 1 kg è nell’origine. Una sfera di piombo di 10 kg ha il centro sull’asse $x$, a 30 cm, e un’altra di 20 kg ha il centro sull’asse $y$, a 40 cm. Trova modulo e direzione della forza gravitazionale totale sulla sferetta.

Per il principio di sovrapposizione calcoliamo le due forze separatamente. Quella della sfera da 10 kg punta lungo $+x$, quella della sfera da 20 kg lungo $+y$:

$$\begin{gathered} F_x = \frac{6{,}674 \times 10^{-11} \cdot 10 \cdot 1}{0{,}3^2}\ \text{N} \\ F_x \approx 7{,}42 \times 10^{-9}\ \text{N} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} F_y = \frac{6{,}674 \times 10^{-11} \cdot 20 \cdot 1}{0{,}4^2}\ \text{N} \\ F_y \approx 8{,}34 \times 10^{-9}\ \text{N} \end{gathered}$$

Le due forze sono perpendicolari: il modulo della risultante si trova con il teorema di Pitagora, la direzione con l’arcotangente:

$$\begin{gathered} F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \approx 1{,}12 \times 10^{-8}\ \text{N} \\ \theta = \arctan\frac{F_y}{F_x} \approx 48^\circ \end{gathered}$$

La forza forma circa 48° con l’asse $x$, un po’ più verso la sfera da 20 kg. Sommando i moduli avresti trovato $1{,}58 \times 10^{-8}\ \text{N}$, sbagliando di oltre il 40%.

6. Il tunnel attraverso la Terra

Testo. Immagina un tunnel rettilineo che attraversa la Terra passando per il centro. Supponi la Terra omogenea e trascura aria e attriti. Lasci cadere un sasso dall’imbocco: che moto fa? Quanto tempo impiega a sbucare dall’altra parte, e con che velocità passa per il centro?

A distanza $x$ dal centro, per il teorema del guscio conta solo la massa interna alla sfera di raggio $x$, cioè $M\,x^3/R^3$. La forza è diretta verso il centro:

$$\begin{gathered} F = -\frac{G\,M\,m\,x^3/R^3}{x^2} \\ F = -\frac{m\,g_0}{R}\,x \end{gathered}$$

È una forza di richiamo proporzionale allo spostamento, come quella di una molla: il sasso compie un moto armonico semplice con:

$$\begin{gathered} \omega = \sqrt{\frac{g_0}{R}} \\ {} = \sqrt{\frac{9{,}81}{6{,}371 \times 10^6}}\ \text{rad/s} \\ {} \approx 1{,}241 \times 10^{-3}\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Il periodo è $T = 2\pi/\omega \approx 5063\ \text{s}$, circa 84,4 minuti, e per arrivare dall’altra parte ne serve metà: circa 42 minuti. Al centro la velocità è massima, $v = \omega R = \sqrt{g_0 R}$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{9{,}81 \cdot 6{,}371 \times 10^6}\ \text{m/s} \\ v \approx 7{,}9\ \text{km/s} \end{gathered}$$

All’altro imbocco il sasso si ferma, torna indietro e oscilla per sempre. Curiosità: 84 minuti e 7,9 km/s sono anche il periodo e la velocità di un satellite in orbita radente.

In sintesi

• Legge di gravitazione universale: $F = G\,m_1 m_2/r^2$, attrattiva e diretta lungo la congiungente, con $r$ distanza tra i centri.
• Forma vettoriale: $\vec{F}_{1,2} = -G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\,\hat{u}_{1,2}$, e $\vec{F}_{2,1} = -\vec{F}_{1,2}$.
• $G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, misurata per la prima volta con la bilancia di Cavendish (1798).
• Accelerazione di gravità: $g = GM/R^2$, circa $9{,}82\ \text{m/s}^2$ per la Terra; sugli altri pianeti dipende da massa e raggio.
• Con la quota: $g(h) = g_0\,R^2/(R + h)^2$, circa $g_0\,(1 - 2h/R)$ per $h$ piccolo.
• Teorema del guscio: da fuori un corpo sferico attira come un punto nel centro; dentro un guscio la forza è zero; dentro un pianeta omogeneo $g = g_0\,r/R$.
• Più masse: le forze si sommano come vettori.
• La Luna, a circa 60 raggi terrestri, ha un’accelerazione centripeta di circa $g/3600$.

La massa compare due volte, in $F = ma$ e nella legge di gravitazione: è la stessa massa? Lo vediamo nella massa inerziale e massa gravitazionale.