Grandezze fisiche e unità di misura: Sistema Internazionale, conversioni e analisi dimensionale

Prima di parlare di moto, forze ed energia bisogna mettersi d’accordo su una cosa: come si misurano le cose. In fisica ogni numero ha un’unità di misura, e sbagliare un’unità significa sbagliare tutto l’esercizio, anche se il ragionamento è perfetto. In questa pagina trovi le grandezze fisiche e le unità di misura del Sistema Internazionale, i multipli e i sottomultipli, un metodo sicuro per fare le conversioni, anche di aree e volumi, e l’analisi dimensionale, il trucco per controllare le formule. Con sei esempi svolti.

Su questo argomento non c’è ancora un video, ma tutte le lezioni di Fisica 1 uscite finora le trovi sul canale La Fisica di Valentino Rocco.

Cos’è una grandezza fisica

Una grandezza fisica è una proprietà di un corpo o di un fenomeno che si può misurare: la lunghezza di un tavolo, la massa di una mela, la durata di una corsa, la temperatura di una stanza. La bellezza o la simpatia, invece, non sono grandezze fisiche: non esiste uno strumento che le misuri in modo oggettivo.

Misurare significa confrontare la grandezza con un campione scelto come riferimento, l’unità di misura, e contare quante volte ci sta. Per questo il risultato di una misura è sempre fatto di due parti:

$$\text{valore} = \text{numero} \times \text{unità di misura}$$

Dire che un tavolo è lungo “2” non significa niente: 2 metri, 2 piedi o 2 chilometri? Il numero da solo non basta, e lo stesso vale per i risultati degli esercizi.

Le misure possono essere dirette, quando confronti la grandezza con lo strumento, come una lunghezza con il metro, o indirette, quando la calcoli da altre misure con una formula, come la velocità media a partire da spazio e tempo.

Le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale

Per non dover inventare un’unità per ogni grandezza, si sceglie un piccolo gruppo di grandezze fondamentali, da cui si ottengono tutte le altre. Il Sistema Internazionale (SI), adottato nel 1960 e oggi usato in quasi tutto il mondo, ne ha sette:

Grandezza	Unità	Simbolo
lunghezza	metro	m
massa	chilogrammo	kg
tempo	secondo	s
intensità di corrente elettrica	ampere	A
temperatura termodinamica	kelvin	K
quantità di sostanza	mole	mol
intensità luminosa	candela	cd

In Fisica 1 userai soprattutto le prime tre, più il kelvin e la mole in termodinamica. L’ampere ti servirà in Fisica 2, con l’elettromagnetismo.

Come sono definite oggi

Un tempo le unità erano definite da oggetti o fenomeni naturali. Nel 1791 il metro fu definito come la decimilionesima parte della distanza tra il Polo Nord e l’equatore, misurata lungo il meridiano di Parigi. Dal 1889 al 2019 il chilogrammo è stato la massa di un cilindretto di platino e iridio conservato vicino a Parigi: se il cilindro si fosse graffiato, sarebbe cambiato il chilogrammo di tutto il mondo.

Oggi tutte le unità del SI sono definite a partire da costanti fondamentali della natura, a cui è stato assegnato un valore esatto. Le più vicine a Fisica 1:

• il secondo è definito dalla frequenza di una particolare transizione dell’atomo di cesio-133, che vale esattamente 9 192 631 770 Hz: è il principio degli orologi atomici;
• il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299 792 458 di secondo, perché la velocità della luce vale per definizione 299 792 458 m/s;
• il chilogrammo, dal 20 maggio 2019, è definito fissando il valore della costante di Planck.

Il vantaggio è enorme: le costanti della natura sono le stesse ovunque e non si possono graffiare.

Le grandezze derivate

Tutte le altre grandezze sono derivate: si ottengono dalle fondamentali con una formula, e la loro unità si ottiene facendo le stesse operazioni sulle unità. La velocità è una lunghezza divisa per un tempo, quindi si misura in metri al secondo. Alcune unità derivate hanno un nome proprio, di solito in onore di uno scienziato:

Grandezza	Unità SI	In unità fondamentali
area $A = l^2$	m²	m²
volume $V = l^3$	m³	m³
densità $\rho = m/V$	kg/m³	kg·m⁻³
velocità $v = \Delta x/\Delta t$	m/s	m·s⁻¹
accelerazione $a = \Delta v/\Delta t$	m/s²	m·s⁻²
forza $F = m\,a$	newton (N)	kg·m·s⁻²
pressione $p = F/S$	pascal (Pa)	kg·m⁻¹·s⁻²
energia e lavoro $W = F\,s$	joule (J)	kg·m²·s⁻²
potenza $P = W/t$	watt (W)	kg·m²·s⁻³
frequenza $f = 1/T$	hertz (Hz)	s⁻¹

Ritroverai il newton nelle leggi di Newton, il joule e il watt in lavoro, potenza ed energia cinetica.

Le regole per scrivere le unità

• I simboli si scrivono minuscoli, tranne quelli che derivano dal nome di una persona: m, kg, s, ma N (Newton), J (Joule), Pa (Pascal), K (Kelvin). Il nome per esteso, invece, è sempre minuscolo: “tre newton”, non “tre Newton”.
• I simboli non hanno il punto e non hanno il plurale: si scrive 5 kg, non «5 kg.» né «5 kgs».
• Tra il numero e il simbolo c’è uno spazio: 20 m, non 20m. L’unica eccezione comune sono gli angoli in gradi: 30°.

Multipli e sottomultipli

Il metro va benissimo per un tavolo, ma per la distanza tra due città o per il diametro di un capello servono numeri scomodi. Per questo si usano i prefissi, che moltiplicano l’unità per una potenza di 10:

Prefisso	Simbolo	Fattore
giga	G	$10^9$
mega	M	$10^6$
kilo	k	$10^3$
etto	h	$10^2$
deca	da	$10^1$
deci	d	$10^{-1}$
centi	c	$10^{-2}$
milli	m	$10^{-3}$
micro	µ	$10^{-6}$
nano	n	$10^{-9}$
pico	p	$10^{-12}$

Così 1 km = 10³ m, 1 mm = 10⁻³ m e 1 µs = 10⁻⁶ s. Con i numeri molto grandi o molto piccoli conviene usare la notazione scientifica, che va a braccetto con i prefissi.

Attenzione alle maiuscole: k minuscola per kilo, M maiuscola per mega e m minuscola per milli. Scrivere Km o MM non è una questione di stile: mm sono millimetri, Mm sarebbero megametri, un miliardo di volte di più.

Come fare le conversioni senza sbagliare

Il metodo più sicuro è moltiplicare per una frazione che vale 1, cioè un fattore di conversione. Dato che 1 km = 1000 m, la frazione $\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}$ vale 1: moltiplicare per lei non cambia la grandezza, cambia solo l’unità. Le unità si semplificano come lettere:

$$3{,}5\ \text{km} = 3{,}5\ \cancel{\text{km}} \cdot \frac{1000\ \text{m}}{1\ \cancel{\text{km}}} = 3500\ \text{m}$$

Il vantaggio è che non devi ricordare se si moltiplica o si divide: scegli la frazione in modo che l’unità da eliminare si semplifichi. Se rimane un’unità strana, hai capovolto la frazione.

Le velocità: km/h e m/s

È la conversione che sbaglierai più spesso, quindi vale la pena ricavarla una volta per tutte:

$$1\ \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Da km/h a m/s si divide per 3,6; da m/s a km/h si moltiplica per 3,6. Un controllo veloce: le velocità in m/s sono sempre numeri più piccoli di quelle in km/h.

Aree e volumi: la trappola delle potenze

Qui casca quasi chiunque. Dato che 1 m = 100 cm, viene spontaneo pensare che 1 m² = 100 cm². Ma un metro quadrato è un quadrato con il lato di 100 cm, e la sua area è 100 × 100 = 10 000 cm². Con i volumi l’effetto è ancora più forte: 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³.

La regola: il fattore di conversione va elevato alla stessa potenza dell’unità. Per le aree lo elevi al quadrato, per i volumi al cubo:

$$\begin{gathered} 1\ \text{cm}^2 = (10^{-2}\ \text{m})^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2 \\ 1\ \text{cm}^3 = (10^{-2}\ \text{m})^3 = 10^{-6}\ \text{m}^3 \end{gathered}$$

Il litro non è un’unità del SI, ma si usa tantissimo: è il volume di un cubo di 1 dm di lato, cioè 1 L = 1 dm³ = 10⁻³ m³. Quindi 1 mL = 1 cm³, e un metro cubo contiene 1000 litri.

Le conversioni più frequenti

Da	A	Come
km/h	m/s	dividi per 3,6
minuti, ore	secondi	1 min = 60 s, 1 h = 3600 s
g	kg	dividi per 1000
cm², cm³	m², m³	moltiplica per 10⁻⁴ e per 10⁻⁶
litri	m³	dividi per 1000
g/cm³	kg/m³	moltiplica per 1000
°C	K	aggiungi 273,15
atmosfere, bar	Pa	1 atm = 101 325 Pa, 1 bar = 10⁵ Pa
calorie	J	1 cal ≈ 4,186 J
kWh	J	1 kWh = 3,6 · 10⁶ J

Le temperature le trovi spiegate per bene nel principio zero e le scale termometriche, le calorie nell’esperimento di Joule.

Le dimensioni e l’analisi dimensionale

Ogni grandezza ha delle dimensioni, cioè dice di quali grandezze fondamentali è fatta, indipendentemente dall’unità scelta. Per la meccanica bastano tre simboli: $[L]$ per la lunghezza, $[M]$ per la massa e $[T]$ per il tempo. Le parentesi quadre si leggono «dimensioni di»:

$$\begin{gathered} [v] = [L\,T^{-1}] \\ [a] = [L\,T^{-2}] \\ [F] = [M\,L\,T^{-2}] \\ [E] = [M\,L^2\,T^{-2}] \end{gathered}$$

Una velocità ha sempre le dimensioni di una lunghezza diviso un tempo, sia che la misuri in m/s sia in km/h. Una grandezza che non ha dimensioni, come un rapporto tra due lunghezze o un angolo in radianti, si dice adimensionale.

Il principio di omogeneità

L’analisi dimensionale si basa su un’idea di buon senso: non si possono sommare mele e pere. In una formula corretta:

• si possono sommare o sottrarre solo grandezze con le stesse dimensioni;
• i due membri di un’uguaglianza hanno le stesse dimensioni;
• gli argomenti di seno, coseno, esponenziale e logaritmo sono adimensionali.

Questo ti dà un controllo gratis su ogni formula: se le dimensioni non tornano, la formula è sicuramente sbagliata. Attenzione al contrario, però: se le dimensioni tornano la formula potrebbe essere giusta, ma potrebbe anche avere un fattore numerico sbagliato, come un 2 al posto di un 1/2, che l’analisi dimensionale non vede.

Ricavare una formula con le dimensioni

Con l’analisi dimensionale si può anche indovinare la forma di una legge fisica, a meno di una costante numerica. Lo vediamo nel quinto esempio con il periodo del pendolo. È un metodo molto usato dai fisici per capire da cosa dipende un fenomeno prima di fare i conti completi.

Cifre significative e arrotondamenti

Ogni misura ha un’incertezza, e il numero di cifre con cui la scrivi dice quanto è precisa. Le cifre significative sono tutte le cifre certe più la prima incerta. Per contarle:

• gli zeri all’inizio non contano: 0,0042 ha 2 cifre significative;
• gli zeri in mezzo contano: 1,05 ha 3 cifre significative;
• gli zeri alla fine dopo la virgola contano: 2,50 m ha 3 cifre significative, e dice che la misura è precisa al centimetro;
• in notazione scientifica si contano solo le cifre davanti alla potenza di 10: $3{,}00 \cdot 10^8$ ne ha 3.

Nei calcoli il risultato non può essere più preciso dei dati. In una moltiplicazione o divisione si tengono tante cifre significative quante ne ha il dato che ne ha meno. In una somma o sottrazione si tengono tanti decimali quanti ne ha il dato che ne ha meno. Durante i passaggi intermedi conviene tenere una cifra in più e arrotondare solo alla fine. Altri consigli pratici li trovi in come risolvere gli esercizi di fisica.

Gli errori più comuni

• Dimenticare le unità di misura nei risultati, o non convertire i dati prima di usarli. Mescolare km e m nella stessa formula porta a risultati sbagliati di un fattore 1000.
• Convertire le aree e i volumi come le lunghezze. 1 m² = 10 000 cm², non 100.
• Moltiplicare per 3,6 invece di dividere quando si passa da km/h a m/s. Controllo: in m/s il numero diventa più piccolo.
• Sbagliare le maiuscole dei prefissi: mm, Mm e km non sono intercambiabili.
• Usare i gradi Celsius nelle formule della termodinamica, dove serve la temperatura assoluta in kelvin.
• Confondere massa e peso: la massa si misura in kg, il peso è una forza e si misura in N.
• Arrotondare troppo presto: gli errori si accumulano passaggio dopo passaggio.

Esempi svolti

1. Da km/h a m/s

Un’auto viaggia a 72 km/h. Quanto vale la sua velocità in m/s?

$$72\ \frac{\text{km}}{\text{h}} = 72 \cdot \frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = \frac{72}{3{,}6}\ \frac{\text{m}}{\text{s}} = 20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

In un secondo l’auto percorre 20 metri: in un’ora, cioè 3600 secondi, percorre 72 000 m, proprio 72 km.

2. La densità del ferro

La densità del ferro è circa $7{,}87\ \text{g/cm}^3$. Quanto vale in unità SI? Convertiamo separatamente il numeratore e il denominatore, ricordando di elevare al cubo il fattore dei centimetri:

$$\begin{gathered} 7{,}87\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 7{,}87 \cdot \frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} \\ = 7{,}87 \cdot 10^3\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 7870\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \end{gathered}$$

Un metro cubo di ferro ha una massa di quasi 8 tonnellate. Ricorda la scorciatoia: da g/cm³ a kg/m³ si moltiplica per 1000. Per l’acqua, 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.

3. Aree e volumi

Un foglio ha una superficie di 250 cm², e una bottiglia contiene 1,5 L. Esprimiamo tutto in unità SI:

$$\begin{gathered} 250\ \text{cm}^2 = 250 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2 = 0{,}025\ \text{m}^2 \\ 1{,}5\ \text{L} = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 = 0{,}0015\ \text{m}^3 \end{gathered}$$

Se avessi diviso per 100 invece che per 10 000, avresti ottenuto 2,5 m²: un foglio grande come un tappeto. Un’occhiata al risultato basta a scoprire l’errore.

4. Controllare una formula con le dimensioni

Un compagno ti dice che, nel moto uniformemente accelerato, lo spazio percorso è $s = v_0\,t + \frac{1}{2}\,a\,t^2$. Un altro sostiene che sia $s = v_0\,t^2 + a\,t$. Chi ha ragione? Controlliamo le dimensioni di ogni termine:

$$\begin{gathered} [v_0\,t] = [L\,T^{-1}] \cdot [T] = [L] \\ [a\,t^2] = [L\,T^{-2}] \cdot [T^2] = [L] \end{gathered}$$

Nella prima formula tutti i termini sono lunghezze, come $s$: le dimensioni tornano. Nella seconda, invece, $[v_0\,t^2] = [L\,T]$ e $[a\,t] = [L\,T^{-1}]$: si sommano grandezze diverse, quindi la formula è sicuramente sbagliata. Che il coefficiente giusto sia proprio 1/2, però, l’analisi dimensionale non lo può dire: lo dimostriamo nel moto rettilineo uniformemente accelerato.

5. Il periodo del pendolo con l’analisi dimensionale

Da cosa può dipendere il periodo $T$ di un pendolo, cioè il tempo di un’oscillazione completa? Proviamo con la lunghezza del filo $L$, la massa $m$ e l’accelerazione di gravità $g$, e cerchiamo una formula del tipo $T = k\,L^a\,m^b\,g^c$, con $k$ numero puro. Il periodo è un tempo, quindi a sinistra ci sono le dimensioni $[T]$ di un tempo, e a destra devono risultare le stesse:

$$\begin{gathered} [T] = [L]^a\,[M]^b\,[L\,T^{-2}]^c \\ [T] = [L^{a + c}\,M^b\,T^{-2c}] \end{gathered}$$

Confrontando gli esponenti: per il tempo $-2c = 1$, quindi $c = -\frac{1}{2}$; per la massa $b = 0$; per la lunghezza $a + c = 0$, quindi $a = \frac{1}{2}$. Il risultato è:

$$T = k\,\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Senza scrivere nemmeno un’equazione del moto abbiamo scoperto due cose: il periodo non dipende dalla massa, e quadruplicando la lunghezza il periodo raddoppia. La costante $k = 2\pi$ si trova solo risolvendo il problema per intero, come facciamo nel pendolo semplice: per un pendolo lungo 1 m, $T = 2\pi\sqrt{1/9{,}81}\ \text{s} \approx 2{,}0\ \text{s}$.

6. La bolletta della luce

Un forno elettrico consuma 2,7 kWh. Quanti joule sono? Dato che 1 kWh è l’energia di una potenza di 1000 W per un’ora, cioè 3600 s:

$$\begin{gathered} 1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W} \cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J} \\ 2{,}7\ \text{kWh} = 2{,}7 \cdot 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J} \approx 9{,}7 \cdot 10^6\ \text{J} \end{gathered}$$

Il kilowattora non è un’unità di potenza ma di energia: è quello che paghi in bolletta.

In sintesi

• Una grandezza fisica è una proprietà misurabile, e il suo valore è sempre un numero accompagnato da un’unità di misura.
• Il Sistema Internazionale ha sette grandezze fondamentali; in meccanica servono metro, chilogrammo e secondo. Tutte le altre unità sono derivate, come il newton (kg·m/s²) e il joule (kg·m²/s²).
• I prefissi moltiplicano l’unità per potenze di 10: kilo $10^3$, centi $10^{-2}$, milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$.
• Per convertire si moltiplica per un fattore che vale 1; per aree e volumi il fattore va elevato al quadrato e al cubo. Da km/h a m/s si divide per 3,6.
• Le formule corrette sono omogenee: sommano grandezze con le stesse dimensioni e hanno le stesse dimensioni nei due membri. L’analisi dimensionale controlla le formule e ne ricava la forma, ma non le costanti numeriche.

Il passo successivo è imparare a lavorare con le grandezze vettoriali: trovi tutto nella guida sui vettori in fisica.