Moti relativi: sistemi di riferimento, forza di Coriolis e forza centrifuga

Quando osserviamo il moto di un corpo, la prima domanda non è “come si muove?”, ma “rispetto a cosa si muove?”. Un passeggero seduto su un treno in corsa è fermo per chi gli siede accanto, ma per un osservatore sulla banchina si sta spostando a decine di chilometri orari. Nessuna delle due descrizioni è sbagliata: dipendono dal sistema di riferimento scelto.

Lo studio dei moti relativi mette in relazione posizione, velocità e accelerazione misurate da due osservatori in moto l’uno rispetto all’altro. È un argomento centrale di Fisica 1 perché introduce un concetto che ti accompagnerà per tutto il corso: le forze apparenti, tra cui la forza centrifuga e la forza di Coriolis. Non esistono realmente, ma sono indispensabili per descrivere la dinamica in un sistema di riferimento non inerziale.

In questo articolo ricaviamo il teorema delle velocità relative e quello delle accelerazioni relative, distinguiamo il trascinamento traslatorio da quello rotatorio, introduciamo le trasformazioni di Galileo e chiudiamo con gli esempi classici: dall’ascensore alla giostra, dal pendolo sul vagone alla barca che attraversa un fiume.

Sistema di riferimento fisso e sistema mobile

Per confrontare le osservazioni di due osservatori si definisce per convenzione:

• un sistema fisso, con origine $O$ e assi $x$, $y$, $z$;
• un sistema mobile, con origine $O'$ e assi $x'$, $y'$, $z'$, la cui origine si muove rispetto al sistema fisso con velocità $\vec{v}_{O'}$ e i cui assi, in generale, ruotano rigidamente con velocità angolare $\vec{\omega}$.

“Fisso” e “mobile” sono etichette convenzionali: non esiste un punto privilegiato dello spazio, né un’orientazione privilegiata degli assi. Ciò che distingue davvero i due sistemi, come vedremo, è se sono o meno inerziali.

Dato un punto $P$ in moto, la sua posizione vista dai due sistemi è legata da:

$$\vec{r} = \overrightarrow{OO'} + \vec{r}\,'$$

dove $\vec{r}$ è la posizione di $P$ rispetto al sistema fisso, $\overrightarrow{OO'}$ il vettore che unisce le due origini e $\vec{r}\,'$ la posizione di $P$ rispetto al sistema mobile. Da questa relazione, derivando rispetto al tempo, si ottengono tutte le altre.

Il teorema delle velocità relative

Chiamiamo $\vec{v}$ la velocità assoluta di $P$, misurata nel sistema fisso, e $\vec{v}\,'$ la velocità relativa, misurata nel sistema mobile. Derivando la relazione tra le posizioni, e tenendo conto sia della traslazione di $O'$ sia della rotazione degli assi mobili, si ottiene il teorema delle velocità relative:

$$\vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'$$

Le due velocità sono legate da un termine correttivo, la velocità di trascinamento:

$$\vec{v}_t = \vec{v} - \vec{v}\,' = \vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'$$

La velocità di trascinamento è la velocità che avrebbe $P$ se fosse fermo rispetto al sistema mobile e venisse quindi “trascinato” da esso. Dipende solo dal moto del sistema mobile ($\vec{v}_{O'}$, $\vec{\omega}$) e dalla posizione di $P$ in quel sistema ($\vec{r}\,'$).

Trascinamento traslatorio e rotatorio

Conviene distinguere due casi limite.

Moto relativo traslatorio, quando il sistema mobile non ruota ($\vec{\omega} = 0$):

$$\begin{gathered} \vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{v}_{O'} \\ \vec{v}_t = \vec{v}_{O'} \end{gathered}$$

Moto relativo rotatorio, quando il sistema mobile ruota ma la sua origine è ferma ($\vec{v}_{O'} = 0$):

$$\begin{gathered} \vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{\omega} \times \vec{r}\,' \\ \vec{v}_t = \vec{\omega} \times \vec{r}\,' \end{gathered}$$

Il caso generale, un sistema che trasla e ruota insieme, si può sempre pensare come la somma dei due.

Il teorema delle accelerazioni relative

Derivando ancora rispetto al tempo, nell’ipotesi che $\vec{\omega}$ sia costante, si ottiene il legame tra l’accelerazione assoluta $\vec{a}$ e l’accelerazione relativa $\vec{a}\,'$. È il teorema delle accelerazioni relative, il risultato più importante del capitolo:

$$\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_{O'} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,') + 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$$

dove $\vec{a}_{O'}$ è l’accelerazione dell’origine $O'$ rispetto al sistema fisso. I termini correttivi hanno un nome proprio.

Accelerazione di trascinamento

Dipende, come la velocità di trascinamento, dal moto del sistema mobile e dalla posizione di $P$:

$$\vec{a}_t = \vec{a}_{O'} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,')$$

Il termine $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,')$ è un’accelerazione centripeta: è diretto verso l’asse di rotazione e ha modulo $\omega^2$ per la distanza di $P$ dall’asse.

Accelerazione di Coriolis

Il secondo termine si chiama accelerazione complementare o di Coriolis e dipende dalla velocità di $P$ rispetto al sistema mobile:

$$\vec{a}_c = 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$$

È nulla quando il punto è fermo rispetto al sistema mobile ($\vec{v}\,' = 0$) oppure quando il sistema mobile non ruota ($\vec{\omega} = 0$). In forma compatta, il teorema si scrive:

$$\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_t + \vec{a}_c$$

Nei due casi particolari: per il trascinamento traslatorio $\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_{O'}$; per quello rotatorio $\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,') + 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$.

Velocità e accelerazione di un punto rispetto a un altro

Un caso molto utile nella pratica: il moto di un punto $P_2$ visto da un altro punto $P_1$, anch’esso in movimento. Basta scegliere un sistema mobile che non ruota e la cui origine coincide istante per istante con $P_1$:

$$\begin{gathered} \vec{r}_{1,2} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \\ \vec{v}_{1,2} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 \\ \vec{a}_{1,2} = \vec{a}_2 - \vec{a}_1 \end{gathered}$$

Sono queste relazioni a permettere di calcolare, per esempio, la velocità con cui due auto si avvicinano o si allontanano l’una dall’altra.

Sistemi inerziali e relatività galileiana

Finora abbiamo parlato di sistema “fisso” e “mobile” senza chiederci quale dei due descriva correttamente la dinamica. È il momento di introdurre una distinzione fisica.

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema in cui vale la legge d’inerzia: un punto non soggetto a forze resta in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. In un sistema inerziale il secondo principio ha la sua forma semplice, $\vec{F} = m\,\vec{a}$, con le sole forze vere, quelle dovute a interazioni reali.

Consideriamo un secondo sistema che si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale: $\vec{v}_{O'}$ costante, $\vec{a}_{O'} = 0$ e $\vec{\omega} = 0$. Dal teorema delle accelerazioni relative segue subito $\vec{a} = \vec{a}\,'$: le accelerazioni nei due sistemi coincidono. Quindi:

Tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale sono anch’essi inerziali, e in tutti la legge di Newton ha la stessa forma.

Ne segue che con esperimenti di dinamica fatti all’interno di un sistema inerziale non si può stabilire se il sistema è in quiete o in moto: non ha senso parlare di moto assoluto. È il principio di relatività galileiana.

Se invece il secondo sistema è accelerato, perché $\vec{a}_{O'} \ne 0$ o $\vec{\omega} \ne 0$, la legge di Newton nella forma semplice non vale più: la forza vera non è più proporzionale all’accelerazione misurata nel sistema accelerato.

Le trasformazioni di Galileo

Prendiamo il caso più semplice: assi paralleli e origine $O'$ che si muove lungo l’asse $x$ con velocità costante $v_{O'}$, con le origini coincidenti all’istante $t = 0$. Proiettando le relazioni vettoriali sugli assi si ottengono le trasformazioni di Galileo:

$$\begin{gathered} x' = x - v_{O'}\,t \\ y' = y \\ z' = z \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} v'_x = v_x - v_{O'} \\ v'_y = v_y \\ v'_z = v_z \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a'_x = a_x \\ a'_y = a_y \\ a'_z = a_z \end{gathered}$$

L’accelerazione è la stessa nei due sistemi inerziali: è questa invarianza a garantire che le leggi della dinamica abbiano la stessa forma per entrambi gli osservatori. Le trasformazioni di Galileo valgono finché le velocità sono molto minori di quella della luce. A velocità vicine a $c$ serve la relatività ristretta di Einstein, che a basse velocità ritrova i risultati galileiani.

Trascinamento traslatorio: esempi

Due osservatori inerziali: stesso punto, traiettorie diverse

Un punto si muove nel piano di moto rettilineo uniforme, con velocità di componenti $v_x$, $v_y$. Un secondo osservatore si muove con velocità $v_{O'}$ lungo l’asse $x$. Anche per lui il moto è rettilineo uniforme, come deve essere tra sistemi inerziali, ma con un’inclinazione e un modulo della velocità diversi:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ v' = \sqrt{(v_x - v_{O'})^2 + v_y^2} \end{gathered}$$

Se $v_{O'} = v_x$, l’osservatore mobile vede il punto muoversi parallelamente all’asse $y$. Entrambi però misurano accelerazione nulla, quindi nessuno dei due vede forze agire sul punto.

La caduta di un grave vista da due osservatori

Un punto viene lasciato cadere da un’altezza $h$ nel sistema $O$. Un secondo osservatore si muove con velocità costante $v_{O'}$ lungo l’asse $x$. Per $O$ la caduta è verticale. Per $O'$ il punto parte con velocità orizzontale $-v_{O'}$, quindi descrive un arco di parabola e tocca terra a una distanza dall’origine $O'$:

$$x'_C = -v_{O'}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Entrambi misurano la stessa accelerazione verticale $g$, ma vedono traiettorie diverse. Dalla sola forma della traiettoria nessuno dei due può stabilire chi sia “davvero” fermo: è ancora la relatività galileiana.

Quando l’osservatore mobile accelera

Se il sistema $O'$ ha un’accelerazione costante $a_t$ lungo $x$ e una velocità iniziale $v_{in}$, non è più inerziale. Le trasformazioni diventano:

$$\begin{gathered} x' = x - v_{in}\,t - \frac{1}{2}\,a_t\,t^2 \\ v'_x = v_x - v_{in} - a_t\,t \\ a'_x = a_x - a_t \end{gathered}$$

mentre le componenti lungo $y$ e $z$ restano uguali. Le accelerazioni nei due sistemi non coincidono più: è proprio questa differenza a far comparire le forze apparenti.

Le forze apparenti

Moltiplicando per la massa $m$ il teorema delle accelerazioni relative, e ricordando che nel sistema inerziale $\vec{F} = m\,\vec{a}$, si ottiene la legge di Newton valida in un sistema non inerziale:

$$\vec{F} - m\,\vec{a}_t - m\,\vec{a}_c = m\,\vec{a}\,'$$

I termini $-m\,\vec{a}_t$ e $-m\,\vec{a}_c$ sono le forze apparenti, o forze d’inerzia. Sono proporzionali alla massa, compaiono solo nel sistema non inerziale e permettono all’osservatore accelerato di usare una legge della forma $\vec{F}\,' = m\,\vec{a}\,'$.

La pallina appesa nel vagone che accelera

Una pallina di massa $m$ è appesa con un filo al soffitto di un vagone. Quando il treno accelera con accelerazione $a$, il filo si inclina di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale. Per l’osservatore a terra la pallina accelera insieme al treno, quindi la risultante di tensione e peso deve essere $m\,a$:

$$\begin{gathered} T\sin\theta = m\,a \\ T\cos\theta = m\,g \\ \tan\theta = \frac{a}{g} \end{gathered}$$

Per l’osservatore sul vagone la pallina è ferma: tensione e peso sono bilanciati dalla forza apparente $-m\,\vec{a}$, diretta all’indietro. Se il treno frena il filo si inclina dall’altra parte; se viaggia a velocità costante resta verticale.

Un punto su un carrello con molla

Un punto di massa $m$ è appoggiato sul pavimento liscio di un carrello che accelera con accelerazione $a_t$, davanti a una molla di costante $k$ fissata al carrello. Per l’osservatore a terra il punto, su cui non agiscono forze orizzontali, resta fermo mentre il carrello gli scorre sotto, finché la molla non lo raggiunge e, comprimendosi, gli trasmette l’accelerazione del carrello. A regime la compressione è:

$$x_c = \frac{m\,a_t}{k}$$

Per l’osservatore sul carrello, il punto inizialmente si muove all’indietro con accelerazione $\vec{a}\,' = \vec{a} - \vec{a}_t = -\vec{a}_t$, dato che nel sistema inerziale $\vec{a} = 0$. All’equilibrio la forza elastica bilancia la forza apparente: $k\,x_c = m\,a_t$. La molla funziona da accelerometro: dalla compressione si ricava l’accelerazione del carrello senza guardare fuori.

Il peso apparente in ascensore

Un ascensore sale con accelerazione $a_t$ (positiva verso l’alto), poi procede a velocità costante, infine rallenta. Un corpo in caduta libera al suo interno ha, nel sistema inerziale, accelerazione $-g$. Dato che il trascinamento è traslatorio, $\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_t$, e l’accelerazione apparente è:

$$a' = -(g + a_t)$$

• Mentre l’ascensore accelera verso l’alto ($a_t > 0$) i corpi cadono più in fretta e sembrano pesare di più.
• A velocità costante ($a_t = 0$) tutto va come a terra.
• Mentre rallenta in salita ($a_t < 0$) i corpi sembrano pesare di meno.

Se l’ascensore cadesse liberamente, con $a_t = -g$, si avrebbe $a' = 0$: un oggetto lasciato andare resterebbe sospeso. È l’assenza di peso, la stessa degli astronauti in orbita. La gravità non scompare: tutto il sistema cade con la stessa accelerazione dei corpi al suo interno.

Trascinamento rotatorio: forza centrifuga e forza di Coriolis

Ora il sistema mobile non trasla ($\vec{v}_{O'} = 0$, $\vec{a}_{O'} = 0$) ma ruota con velocità angolare costante $\vec{\omega}$. La legge di Newton nel sistema rotante diventa:

$$\vec{F} + \vec{F}_{centr} + \vec{F}_{Cor} = m\,\vec{a}\,'$$

con le due forze apparenti tipiche delle rotazioni:

$$\begin{gathered} \vec{F}_{centr} = -m\,\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,') \\ \vec{F}_{Cor} = -2m\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,' \end{gathered}$$

• La forza centrifuga dipende solo dalla posizione: è diretta radialmente verso l’esterno, lontano dall’asse di rotazione, e vale $m\,\omega^2 d$, dove $d$ è la distanza dall’asse.
• La forza di Coriolis dipende dalla velocità relativa: è perpendicolare sia a $\vec{\omega}$ sia a $\vec{v}\,'$ e si annulla se il punto è fermo nel sistema rotante.

Il filo a piombo su una piattaforma rotante

Un filo a piombo è appeso a distanza $r$ dall’asse di una piattaforma che ruota con velocità angolare $\omega$, e si inclina di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale. Il piombo è fermo rispetto alla piattaforma, quindi la forza di Coriolis è nulla.

Per l’osservatore inerziale il piombo si muove su una circonferenza, e la risultante di peso e tensione fornisce la forza centripeta:

$$\begin{gathered} T\sin\theta = m\,\omega^2 r \\ T\cos\theta = m\,g \\ \tan\theta = \frac{\omega^2 r}{g} \end{gathered}$$

Per l’osservatore sulla piattaforma il piombo è fermo, e tensione e peso sono bilanciati dalla forza centrifuga $m\,\omega^2 r$, verso l’esterno. Misurando $\theta$ si ricava $\omega$ senza uscire dal sistema rotante.

Il rotor del luna park

Un cilindro di raggio $R$ ruota attorno al proprio asse verticale con velocità angolare $\omega$. Una persona appoggiata alla parete interna ruota con il cilindro senza cadere, grazie all’attrito statico con la parete (coefficiente $\mu_s$).

Nel sistema inerziale la parete esercita una reazione normale che fa da forza centripeta, $N = m\,\omega^2 R$. La persona non scivola se l’attrito regge il peso, $m\,g \le \mu_s N$:

$$\omega \ge \sqrt{\frac{g}{\mu_s R}}$$

Nel sistema rotante si arriva allo stesso risultato imponendo l’equilibrio: in orizzontale tra normale e forza centrifuga, in verticale tra peso e attrito. Il risultato è identico, ma nel secondo caso la forza centrifuga va introdotta esplicitamente, perché nel sistema inerziale non esiste.

Il dischetto e il filo tagliato

Un dischetto di massa $m$ ruota con una piattaforma liscia, trattenuto da un filo a distanza $r$ dall’asse. Se il filo viene tagliato, per l’osservatore inerziale il dischetto non è più soggetto a forze orizzontali e prosegue di moto rettilineo uniforme, con velocità $\omega r$ tangente alla circonferenza: è il principio d’inerzia.

Per l’osservatore sulla piattaforma, invece, il dischetto descrive una traiettoria curva che si allontana dall’asse e “resta indietro” rispetto alla rotazione. Per spiegarla deve invocare sia la forza centrifuga sia quella di Coriolis:

$$m\,\vec{a}\,' = m\,\omega^2 r'\,\hat{u}_r - 2m\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$$

dove $r'$ è la distanza dall’asse e $\hat{u}_r$ il versore radiale verso l’esterno.

Il moto rispetto alla Terra

Il sistema che usiamo ogni giorno, solidale con la superficie terrestre, non è rigorosamente inerziale: ruota con velocità angolare

$$\omega = \frac{2\pi}{T} \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\ \text{rad/s}$$

dove $T$ è il periodo di rotazione. Per essere precisi, $T$ è il giorno siderale di circa 23 h 56 min, ma con 24 h il risultato cambia di pochissimo. Per un corpo vicino alla superficie terrestre, di raggio $R \approx 6{,}37 \times 10^6\ \text{m}$, l’accelerazione di gravità effettivamente misurata è corretta rispetto a quella dovuta alla sola attrazione gravitazionale, $\vec{g}_0$:

$$\vec{g} = \vec{g}_0 - \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{R}) - 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$$

• Il primo termine correttivo è centrifugo: perpendicolare all’asse terrestre, verso l’esterno, dipende dalla latitudine. Alla latitudine di 45° vale circa $2{,}4 \times 10^{-2}\ \text{m/s}^2$: riduce leggermente $g_0$ e devia il filo a piombo di circa 0,1° rispetto alla direzione del centro della Terra.
• Il secondo termine è dovuto alla forza di Coriolis e dipende dalla velocità del corpo rispetto alla Terra. Su grandi scale è importante: devia le correnti oceaniche e i venti e contribuisce alla rotazione dei cicloni.

Nella maggior parte dei problemi di meccanica questi termini sono trascurabili rispetto ad altri effetti, come la resistenza dell’aria, e il sistema terrestre si tratta come inerziale.

La barca che attraversa il fiume

Il moto rispetto al sistema fisso si può sempre pensare come composizione del moto relativo e del moto di trascinamento. Un esempio classico: una barca attraversa un fiume di larghezza $d$. La corrente ha velocità costante $v_F$ e la barca si muove, rispetto all’acqua, perpendicolarmente alla corrente con velocità costante $v_B$.

Il tempo di attraversamento si calcola nel sistema solidale con l’acqua: $t = d/v_B$. In questo tempo la corrente trascina la barca a valle di:

$$b = \frac{d}{v_B}\,v_F$$

Per un osservatore sulla riva, la barca percorre un segmento inclinato, di lunghezza $\ell$ e inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla direzione della corrente, con velocità $v$:

$$\begin{gathered} \ell = \sqrt{d^2 + b^2} \\ \tan\theta = \frac{v_B}{v_F} \\ v = \sqrt{v_B^2 + v_F^2} \end{gathered}$$

La velocità vista dalla riva è la somma vettoriale della velocità relativa all’acqua e della velocità di trascinamento della corrente: un caso perfetto di moto relativo traslatorio.

Esempio numerico: la bilancia in ascensore

Un ascensore parte da fermo e accelera verso l’alto con $a_t = 2\ \text{m/s}^2$. Un passeggero di massa $m = 70\ \text{kg}$ è su una bilancia. Cosa indica la bilancia durante l’accelerazione?

Nel sistema inerziale, sul passeggero agiscono il peso $mg$ verso il basso e la reazione $N$ della bilancia verso l’alto. Il passeggero accelera con l’ascensore:

$$\begin{gathered} N - m\,g = m\,a_t \\ N = m\,(g + a_t) = 70 \cdot (9{,}81 + 2)\ \text{N} \\ N \approx 827\ \text{N} \end{gathered}$$

Nel sistema dell’ascensore, il passeggero è fermo. L’osservatore a bordo deve aggiungere la forza apparente $-m\,\vec{a}_t$, diretta verso il basso:

$$\begin{gathered} N - m\,g - m\,a_t = 0 \\ N = m\,(g + a_t) \approx 827\ \text{N} \end{gathered}$$

Il risultato è lo stesso, come deve essere, perché $N$ è una grandezza misurabile. Cambia l’interpretazione: per l’osservatore a terra è il secondo principio applicato a un corpo che accelera; per il passeggero è un equilibrio tra forze vere e una forza apparente che lo “schiaccia” verso il basso.

In sintesi

• Posizione: $\vec{r} = \overrightarrow{OO'} + \vec{r}\,'$.
• Velocità: $\vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{v}_t$, con $\vec{v}_t = \vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'$.
• Accelerazione: $\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_t + \vec{a}_c$, con $\vec{a}_t = \vec{a}_{O'} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,')$ e $\vec{a}_c = 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$.
• In un sistema non inerziale: $m\,\vec{a}\,' = \vec{F} - m\,\vec{a}_{O'} + \vec{F}_{centr} + \vec{F}_{Cor}$.
• Forza centrifuga $-m\,\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}\,')$ e forza di Coriolis $-2m\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'$ sono forze apparenti.
• Relatività galileiana: un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale è inerziale, e nessun esperimento di dinamica interno può dire chi è “davvero” fermo.

Con i moti relativi si chiude la dinamica del punto. Il capitolo successivo introduce un modo diverso e potentissimo di risolvere i problemi: lavoro ed energia.