Lavoro, potenza ed energia cinetica: formule, watt, cavalli vapore ed esercizi svolti

In fisica la parola lavoro non vuol dire fatica. Una forza compie lavoro quando il corpo su cui agisce si sposta, e il lavoro misura quanta energia la forza gli trasferisce. Insieme all’energia cinetica, l’energia del movimento, e alla potenza, la rapidità con cui si compie lavoro, apre uno dei capitoli più utili della meccanica: invece di seguire le forze istante per istante, si fa il bilancio dell’energia. In questa pagina vediamo il lavoro come prodotto scalare, il joule, il lavoro positivo, negativo e nullo, il lavoro di più forze e di una forza variabile, l’energia cinetica, la potenza media e istantanea, watt, kilowattora e cavalli vapore, le potenze di tutti i giorni, il rendimento, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è il lavoro in fisica

Spingi un carrello della spesa: più spingi forte e più strada fai, più il carrello prende velocità. La tua spinta gli ha dato energia. Se invece spingi contro un muro, il muro non si sposta e non riceve nulla. Il lavoro misura questo scambio: conta la forza, conta lo spostamento e conta in che direzione la forza agisce rispetto allo spostamento.

Per una forza costante $\vec{F}$ e uno spostamento rettilineo $\Delta\vec{s}$, il lavoro è il prodotto scalare tra forza e spostamento:

$$W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} = F\,\Delta s\cos\theta$$

dove $F$ è il modulo della forza, in newton, $\Delta s$ il modulo dello spostamento, in metri, e $\theta$ l’angolo tra i due.

Per capire il ruolo dell’angolo, pensa a una cassa trascinata con una fune inclinata. La forza della fune si scompone in una parte parallela al pavimento, $F\cos\theta$, e una perpendicolare, $F\sin\theta$.

Solo la componente parallela allo spostamento compie lavoro. Quella verticale alleggerisce un po’ la cassa, ma non la fa avanzare. Per questo si scrive anche $W = F_T\,\Delta s$, dove $F_T = F\cos\theta$ è la componente tangenziale, cioè lungo lo spostamento.

Il lavoro con le componenti

Se conosci le componenti, l’angolo non serve: si moltiplicano le componenti corrispondenti e si somma.

$$W = F_x\,\Delta x + F_y\,\Delta y + F_z\,\Delta z$$

Il risultato è un numero con un segno ma senza direzione: il lavoro è una grandezza scalare. Un singolo contributo può essere negativo, se forza e spostamento hanno componenti di segno opposto, come nel secondo esercizio.

Il joule

Nel Sistema Internazionale il lavoro si misura in joule:

$$1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$$

Per farti un’idea: sollevare una mela di 100 g di un metro richiede circa 1 J, salire un piano di scale qualche migliaio. Il nome ricorda James Prescott Joule, che a metà Ottocento dimostrò che il calore è una forma di energia, come racconto nell’esperimento di Joule. La parola “lavoro” con il significato di oggi viene invece dall’ingegneria: la introdusse Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829, in un trattato sul calcolo dell’effetto delle macchine.

Lavoro positivo, negativo e nullo

Il segno del lavoro dipende solo da $\cos\theta$:

Angolo $\theta$	$\cos\theta$	Lavoro
tra 0° e 90°	positivo	positivo (motore)
90°	0	nullo
tra 90° e 180°	negativo	negativo (resistente)

• Motore: la forza aiuta il moto. La tua spinta sul carrello, il peso di un oggetto che cade.
• Resistente: la forza si oppone al moto. L’attrito su un corpo che scivola ($\theta = 180^\circ$), il peso di una palla lanciata in alto mentre sale.
• Nullo: la forza è perpendicolare allo spostamento. La normale su un pavimento orizzontale, la forza centripeta nel moto circolare.

Il segno non indica una direzione: dice se la forza dà energia al corpo o gliela toglie.

Portare una valigia non è lavoro

Se tieni in mano una valigia ferma, non c’è spostamento e il lavoro è zero. Se cammini in piano a velocità costante, la tua mano spinge la valigia verso l’alto con una forza pari al suo peso, mentre la valigia si sposta in orizzontale: l’angolo è 90° e il lavoro è ancora zero.

Il lavoro di più forze

Quando su un corpo agiscono più forze, ognuna compie il suo lavoro, con il suo segno, e il lavoro totale è la somma:

$$W_{tot} = W_1 + W_2 + \dots + W_n$$

Per un punto materiale è uguale al lavoro della risultante. Il metodo: disegna tutte le forze, calcola il lavoro di ciascuna, somma. Le forze perpendicolari allo spostamento danno zero.

Attenzione a un caso tipico: se spingi una cassa a velocità costante, la tua spinta compie lavoro positivo e l’attrito un lavoro negativo uguale in modulo. Il totale è zero, e infatti la velocità non cambia, ma le singole forze lavorano eccome: tutta l’energia che dai diventa calore.

Il lavoro di una forza variabile

Se la forza cambia da punto a punto, o il percorso è curvo, si divide il percorso in tanti piccoli tratti $\Delta\vec{s}_i$, così brevi che in ognuno la forza è quasi costante, e si sommano i lavori:

$$W \approx \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i \cdot \Delta\vec{s}_i$$

Al limite di tratti infinitesimi $d\vec{s}$, tangenti al percorso, la somma diventa un integrale:

$$W = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int_A^B F_T\,ds$$

Se il moto è lungo una retta e la forza dipende solo dalla posizione, il lavoro è l’area sotto il grafico forza-posizione, proprio come un integrale definito:

$$W = \int_{x_A}^{x_B} F(x)\,dx$$

Ogni rettangolo è il lavoro $F_i\,\Delta s_i$ di un piccolo tratto, e la somma dei rettangoli si avvicina all’area sotto la curva. Una forza diretta in verso opposto all’asse ha il grafico sotto l’asse, e quell’area conta come lavoro negativo. Con un grafico fatto di rette basta la geometria, come nel quarto esercizio.

Per il peso e la forza della molla l’integrale si calcola una volta per tutte, nel lavoro della forza peso e della forza elastica: il lavoro del peso, per esempio, è $m\,g\,h$, con $h$ il dislivello percorso in discesa. Per queste forze il lavoro non dipende dal percorso: sono le forze conservative, alla base della conservazione dell’energia meccanica.

L’energia cinetica

Cosa ottieni quando compi lavoro su un corpo libero di muoversi? Lo metti in moto. Su un corpo di massa $m$, fermo, agisce solo una forza costante $F$. Il moto è uniformemente accelerato con $a = F/m$, e dopo uno spazio $s$ la velocità è tale che $v^2 = 2as$. Il lavoro della forza è:

$$\begin{gathered} W = F\,s = m\,a \cdot \frac{v^2}{2a} \\ W = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \end{gathered}$$

L’accelerazione si semplifica: il lavoro per portare un corpo da fermo alla velocità $v$ dipende solo da massa e velocità. È l’energia cinetica:

$$E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2$$

Si misura in joule, è sempre positiva o nulla e dipende dal quadrato della velocità:

Oggetto	$m$ e $v$	$E_k$ (J)
Servizio a tennis	58 g, 50 m/s	72,5
Persona che corre	70 kg, 5 m/s	875
Auto a 50 km/h	1000 kg, 13,9 m/s	96 500
Auto a 100 km/h	1000 kg, 27,8 m/s	386 000

A velocità doppia, la stessa auto ha un’energia cinetica quattro volte più grande, che i freni devono togliere tutta.

Il risultato vale in generale, per qualsiasi forza e percorso: il lavoro della risultante è uguale alla variazione di energia cinetica, $W_{tot} = \Delta E_k$. È il teorema dell’energia cinetica, che dimostriamo e applichiamo nell’articolo sul teorema dell’energia cinetica.

La potenza

Due persone portano la stessa cassa sullo stesso scaffale, una in 2 secondi e l’altra in 10. Il lavoro è lo stesso, ma la prima è stata cinque volte più rapida. Questa rapidità è la potenza. La potenza media è il lavoro diviso il tempo:

$$P_m = \frac{W}{\Delta t}$$

Si misura in watt, $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$: un apparecchio da 1 kW trasferisce mille joule al secondo.

Potenza istantanea

Se il ritmo non è costante, serve la potenza istantanea, la derivata del lavoro nel tempo. Dato che $dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$ e $d\vec{s}/dt = \vec{v}$:

$$P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} = F\,v\cos\theta$$

La potenza media riguarda un intervallo, quella istantanea un singolo istante, e in generale sono diverse: con una forza costante che accelera un corpo da fermo, alla fine la potenza è il doppio di quella media, come nel quinto esercizio.

Perché in salita si scala marcia

A potenza fissata, la forza alle ruote è $F = P/v$: più forza vuol dire meno velocità. In salita serve tanta forza, quindi si scala marcia e si va più piano, come in bici con il rapporto leggero. E in piano l’auto raggiunge la velocità massima quando $P/v$, alla potenza massima, è sceso fino a uguagliare le resistenze.

Watt, kilowattora e cavallo vapore

Il kilowattora

Il kilowattora della bolletta non è una potenza ma un’energia: quella che un apparecchio da 1 kW consuma in un’ora.

$$\begin{gathered} 1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W} \cdot 3600\ \text{s} \\ {} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J} \end{gathered}$$

Un asciugacapelli da 2000 W acceso per 10 minuti consuma $1{,}2 \cdot 10^6\ \text{J}$, un terzo di kWh: in teoria basterebbe a sollevare una persona di 70 kg di oltre 1700 m. Una lampadina a incandescenza da 60 W accesa 4 ore al giorno consuma circa 88 kWh in un anno, una LED da 8 W con la stessa luce circa 12.

I kilowatt del contratto, invece, sono una potenza: la maggior parte delle case italiane ha 3 kW di potenza impegnata, con una tolleranza del 10% che porta il limite a 3,3 kW. Puoi consumare quanti kWh vuoi, ma se accendi insieme due apparecchi da 2000 W il contatore può staccare.

Il cavallo vapore e James Watt

Il watt ricorda l’ingegnere scozzese James Watt (1736-1819), che nella seconda metà del Settecento rese la macchina a vapore molto più efficiente. I suoi clienti usavano cavalli per azionare pompe e mulini, e Watt voleva dire quanti cavalli sostituiva una sua macchina. Nel 1782 stimò il lavoro al minuto di un cavallo da tiro di un birrificio e l’anno dopo, con il socio Matthew Boulton, fissò il valore a 33 000 «piedi-libbra» al minuto: è l’horsepower, hp, circa 745,7 W. Il nome “watt” per l’unità fu proposto nel 1882 da William Siemens.

In Italia si usa il cavallo vapore, CV: la potenza che serve per sollevare 75 kg di un metro in un secondo. Con il valore convenzionale $g = 9{,}80665\ \text{m/s}^2$:

$$\begin{gathered} 1\ \text{CV} = 75 \cdot 9{,}80665\ \text{W} \approx 735{,}5\ \text{W} \\ 1\ \text{kW} \approx 1{,}36\ \text{CV} \end{gathered}$$

Sul libretto di circolazione la potenza è scritta in kW, nel campo P.2: per avere i cavalli basta moltiplicare per 1,36.

Le potenze di tutti i giorni

Quanto vale una persona? Sali di corsa tre piani di scale, 9 m, in 12 s. Con una massa di 70 kg:

$$\begin{gathered} W = m\,g\,h = 70 \cdot 9{,}81 \cdot 9\ \text{J} \approx 6180\ \text{J} \\ P = \frac{6180\ \text{J}}{12\ \text{s}} \approx 515\ \text{W} \end{gathered}$$

Circa 0,7 CV, ma solo per pochi secondi. Il cavallo di Watt lavorava per ore, mentre una persona, per un’intera giornata di lavoro, riesce a mantenere circa 75 W: un decimo di cavallo.

Cosa	Potenza (W)
Lampadina LED	8
Lampadina a incandescenza	60
Corpo umano a riposo	80-120
Ciclista professionista, per un’ora	350-450
Asciugacapelli	2000
Scatto di un velocista su pista	oltre 2000
Auto da 70 CV	51 500

A riposo il corpo consuma più di una lampadina, per tenersi caldo, respirare e far battere il cuore.

Il rendimento

Nessuna macchina trasforma in lavoro utile tutta l’energia che assorbe: una parte diventa calore, negli attriti, nei fili elettrici, nei gas di scarico. Il rendimento è la frazione utile:

$$\eta = \frac{P_{utile}}{P_{assorbita}}$$

È un numero puro, sempre minore di 1, spesso scritto in percentuale:

Macchina	Rendimento
Motore elettrico	90-95%
Motore a benzina	25-30%
Muscoli umani	20-25%
Lampadina a incandescenza (luce)	meno del 5%

L’energia che manca non sparisce, diventa calore: una lampadina a incandescenza è quasi una piccola stufa. Per salire i tre piani di prima, con un rendimento del 25%, il corpo consuma circa quattro volte i 6180 J di lavoro, cioè circa 24 700 J, poco meno di 6 kcal: il resto ti scalda. Se più macchine lavorano in fila i rendimenti si moltiplicano: un motore al 90% che aziona una pompa al 70% ha un rendimento complessivo del 63%.

Gli errori più comuni

• Confondere lavoro e fatica. Reggere un peso fermo, o portarlo in piano a velocità costante, non è lavoro in senso fisico.
• Usare l’angolo sbagliato. $\theta$ è l’angolo tra la forza e lo spostamento, non tra la forza e la verticale.
• Dimenticare il segno. L’attrito dinamico su un corpo che scivola su un pavimento fermo compie lavoro negativo; il lavoro del peso è negativo quando il corpo sale.
• Calcolare $F\,s$ con una forza variabile. Serve l’area sotto il grafico, cioè l’integrale.
• Mettere $N = mg$ con una fune inclinata. La fune alleggerisce il corpo: normale e attrito diminuiscono.
• Pensare che lavoro totale nullo voglia dire nessuna forza. A velocità costante le singole forze possono compiere lavori grandi e opposti.
• Confondere kW e kWh. Il kW è una potenza, il kWh un’energia: $1\ \text{kWh} = 3{,}6\ \text{MJ}$.
• Usare il rendimento al contrario. La potenza assorbita è sempre maggiore di quella utile: $P_{assorbita} = P_{utile}/\eta$.

Esercizi svolti

1. Il trolley tirato in obliquo

Testo. Tiri un trolley per 25 m lungo un corridoio orizzontale, con una forza di 40 N diretta lungo il manico, inclinato di 30° sul pavimento. Quanto lavoro compi? E con il manico a 60°? Quanto lavoro fanno peso e normale?

Forza costante e spostamento rettilineo:

$$\begin{gathered} W = F\,\Delta s\cos\theta \\ W = 40 \cdot 25 \cdot \cos 30^\circ\ \text{J} \approx 866\ \text{J} \end{gathered}$$

Con il manico a 60°, $\cos 60^\circ = 0{,}5$ e il lavoro scende a $40 \cdot 25 \cdot 0{,}5 = 500\ \text{J}$. Peso e normale sono perpendicolari allo spostamento: lavoro zero. Più il manico è inclinato, più la tua forza solleva invece di far avanzare. Se il trolley va a velocità costante con il manico a 30°, gli attriti delle ruote compiono $-866\ \text{J}$ e il lavoro totale è zero.

2. Il lavoro con le componenti

Testo. Una barca a vela si sposta di $\Delta\vec{s} = (40, 30)\ \text{m}$ mentre il vento spinge la vela con una forza costante $\vec{F} = (200, -50)\ \text{N}$. Quanto lavoro compie il vento? Che angolo formano forza e spostamento?

Con le componenti:

$$\begin{gathered} W = F_x\,\Delta x + F_y\,\Delta y \\ W = \bigl(200 \cdot 40 + (-50) \cdot 30\bigr)\ \text{J} \\ W = (8000 - 1500)\ \text{J} = 6500\ \text{J} \end{gathered}$$

I moduli sono $F = \sqrt{200^2 + 50^2} \approx 206{,}2\ \text{N}$ e $\Delta s = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} \cos\theta = \frac{W}{F\,\Delta s} = \frac{6500}{206{,}2 \cdot 50} \approx 0{,}631 \\ \theta \approx 50{,}9^\circ \end{gathered}$$

La componente $y$ della forza si oppone a quella dello spostamento e toglie 1500 J, ma l’angolo complessivo è acuto e il lavoro è positivo.

3. Una cassa trascinata con l’attrito

Testo. Una cassa di 20 kg, ferma sul pavimento, viene trascinata per 5 m con una fune che tira con 100 N, inclinata di 30° sopra l’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_d = 0{,}3$. Calcola il lavoro di ciascuna forza e la velocità finale.

Peso e normale sono verticali e non compiono lavoro. Il lavoro della fune è:

$$W_F = 100 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ\ \text{J} \approx 433{,}0\ \text{J}$$

Per l’attrito serve la normale. In verticale la cassa è in equilibrio, e la fune la tira in su con $F\sin 30^\circ = 50\ \text{N}$:

$$\begin{gathered} N = m\,g - F\sin 30^\circ \\ N = (196{,}2 - 50)\ \text{N} = 146{,}2\ \text{N} \end{gathered}$$

L’attrito vale $\mu_d N \approx 43{,}9\ \text{N}$, opposto allo spostamento:

$$W_A = -0{,}3 \cdot 146{,}2 \cdot 5\ \text{J} \approx -219{,}3\ \text{J}$$

Il lavoro totale, $433{,}0 - 219{,}3 = 213{,}7\ \text{J}$, diventa energia cinetica:

$$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 213{,}7}{20}}\ \text{m/s} \approx 4{,}62\ \text{m/s}$$

L’attrito si è preso circa metà del lavoro della fune. Con $N = mg$ avresti trovato un attrito di 58,9 N e solo 3,72 m/s: è l’errore tipico con le funi inclinate.

4. Il lavoro dal grafico forza-posizione

Testo. Spingi un carrello di 10 kg, fermo su un pavimento liscio, con una forza orizzontale che cresce in modo uniforme da 20 N a 60 N nei primi 4 m, poi resta a 60 N per altri 2 m. Quanto lavoro compi? Che velocità ha il carrello alla fine? Qual è la forza media?

Il lavoro è l’area sotto il grafico: un trapezio più un rettangolo.

$$\begin{gathered} W_1 = \frac{20 + 60}{2} \cdot 4\ \text{J} = 160\ \text{J} \\ W_2 = 60 \cdot 2\ \text{J} = 120\ \text{J} \end{gathered}$$

In tutto 280 J. Controllo con l’integrale: nel primo tratto $F(x) = 20 + 10x$, e

$$\int_0^4 (20 + 10x)\,dx = \left[20x + 5x^2\right]_0^4 = 160\ \text{J}$$

Il pavimento è liscio, quindi tutto il lavoro diventa energia cinetica:

$$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 280}{10}}\ \text{m/s} \approx 7{,}48\ \text{m/s}$$

La forza media è quella costante che farebbe lo stesso lavoro sugli stessi 6 m: $280/6 \approx 46{,}7\ \text{N}$. Non è la media tra 20 N e 60 N, perché la forza resta al massimo per un terzo del percorso.

5. Una spinta costante: potenza media e istantanea

Testo. Un corpo di 5 kg, fermo su un piano orizzontale liscio, viene spinto da una forza orizzontale costante di 20 N per 10 m. Trova il lavoro, la velocità finale, la potenza media e quella istantanea alla fine del tratto.

Forza e spostamento sono paralleli, peso e normale non lavorano:

$$\begin{gathered} W = F\,s = 20 \cdot 10\ \text{J} = 200\ \text{J} \\ v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 200}{5}}\ \text{m/s} \approx 8{,}94\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il moto è uniformemente accelerato con $a = F/m = 4\ \text{m/s}^2$, quindi il tempo è:

$$t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{4}}\ \text{s} \approx 2{,}236\ \text{s}$$ $$\begin{gathered} P_m = \frac{W}{t} = \frac{200}{2{,}236}\ \text{W} \approx 89{,}4\ \text{W} \\ P_{fin} = F\,v_f = 20 \cdot 8{,}94\ \text{W} \approx 179\ \text{W} \end{gathered}$$

La potenza finale è il doppio di quella media: con forza costante la velocità, e quindi $P = F\,v$, cresce in modo lineare nel tempo, e la media è metà del valore finale.

6. L’auto: accelerare e viaggiare

Testo. Un’auto di 1000 kg passa da 0 a 100 km/h in 10 s su strada piana. Quale potenza media serve, trascurando gli attriti? A 100 km/h costanti attriti e aria valgono in tutto 500 N: quanta potenza serve? Con un rendimento del motore del 25%, e circa 32 MJ di energia in un litro di benzina, quanti litri consuma ogni 100 km?

La velocità è $v = 100/3{,}6 \approx 27{,}78\ \text{m/s}$. Il lavoro per accelerare è l’energia cinetica finale:

$$\begin{gathered} W = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 27{,}78^2\ \text{J} \approx 386\,000\ \text{J} \\ P_m = \frac{386\,000}{10}\ \text{W} \approx 38{,}6\ \text{kW} \end{gathered}$$

circa 52 CV. A velocità costante la forza motrice bilancia solo le resistenze:

$$P = F\,v = 500 \cdot 27{,}78\ \text{W} \approx 13{,}9\ \text{kW}$$

circa 19 CV. Per il consumo: su 100 km le resistenze assorbono il lavoro $F\,d$, e la benzina deve fornire quattro volte tanto:

$$\begin{gathered} W = 500 \cdot 100\,000\ \text{J} = 50\ \text{MJ} \\ E = \frac{W}{\eta} = \frac{50\ \text{MJ}}{0{,}25} = 200\ \text{MJ} \end{gathered}$$

Sono $200/32 = 6{,}25$ litri ogni 100 km, un consumo realistico. In pianura basta poca potenza: quella massima serve per accelerare e per le salite. Nella realtà, per lo 0-100 servono più dei 52 CV calcolati, perché il motore non eroga sempre la potenza massima.

Altri problemi su lavoro, energia e potenza li trovi negli esercizi svolti su lavoro ed energia.

In sintesi

• Lavoro di una forza costante: $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} = F\,\Delta s\cos\theta = F_x\Delta x + F_y\Delta y + F_z\Delta z$, in joule.
• Il lavoro è positivo se $\theta < 90^\circ$, negativo se $\theta > 90^\circ$, nullo se la forza è perpendicolare allo spostamento o il corpo è fermo.
• Lavoro totale: somma dei lavori di tutte le forze. Forza variabile: $W = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}$, l’area sotto il grafico forza-posizione.
• Energia cinetica: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, e $W_{tot} = \Delta E_k$.
• Potenza media $P_m = W/\Delta t$, istantanea $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$, in watt: $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$.
• $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$ è un’energia; $1\ \text{CV} \approx 735{,}5\ \text{W}$, $1\ \text{kW} \approx 1{,}36\ \text{CV}$.
• Rendimento: $\eta = P_{utile}/P_{assorbita}$, sempre minore di 1.

Il prossimo passo è il teorema dell’energia cinetica, che trasforma queste definizioni in uno strumento per risolvere gli esercizi.