Trasmissione del calore: conduzione, convezione e irraggiamento

Il calore passa sempre spontaneamente dai corpi più caldi a quelli più freddi. Ma come ci arriva? Una pentola sul fuoco si scalda per contatto, l’aria di una stanza si scalda girando intorno al termosifone, il Sole scalda la Terra attraverso il vuoto dello spazio. Sono i tre meccanismi di trasmissione del calore: conduzione, convezione e irraggiamento.

La conduzione

La conduzione è il passaggio di calore attraverso un materiale, o tra due corpi a contatto, senza spostamento di materia. Le molecole della parte più calda vibrano più intensamente e trasmettono l’agitazione alle vicine, urto dopo urto. Nei metalli contribuiscono anche gli elettroni liberi, che si muovono facilmente: per questo i metalli sono ottimi conduttori di calore, oltre che di elettricità.

La legge di Fourier

Consideriamo una parete piana di spessore $d$ e area $S$, con le due facce alle temperature $T_1$ e $T_2 < T_1$. A regime la temperatura cala in modo lineare attraverso la parete, e il calore che la attraversa nel tempo $\Delta t$ è dato dalla legge di Fourier:

$$P = \frac{Q}{\Delta t} = k\,S\,\frac{T_1 - T_2}{d}$$

$P$ è la potenza termica, cioè il calore per unità di tempo, in watt. Il flusso di calore cresce con l’area e con la differenza di temperatura e diminuisce con lo spessore, come ci si aspetta. In forma locale la legge si scrive $dQ/dt = -k\,S\,dT/dx$: il segno meno dice che il calore va verso dove la temperatura diminuisce.

La conducibilità termica

La costante $k$ è la conducibilità termica del materiale, in $\text{W/(m·K)}$. I buoni conduttori hanno $k$ grande, gli isolanti $k$ piccolo. Alcuni valori tipici a temperatura ambiente:

Materiale	$k$ (W/(m·K))
argento	429
rame	401
oro	318
alluminio	237
ferro	80
piombo	35
acciaio inox	circa 16
vetro	circa 1
mattone	circa 0,6–0,8
acqua	0,6
glicerina	0,29
legno	circa 0,1–0,2
polistirolo espanso	circa 0,035
aria ferma	0,026

Questo spiega un fatto curioso. Un oggetto di metallo e uno di legno nella stessa stanza sono alla stessa temperatura, ma il metallo sembra più freddo: avendo un $k$ centinaia di volte più grande, sottrae calore alla mano molto più in fretta. Il tatto non misura la temperatura, ma la velocità con cui perdiamo calore.

I migliori isolanti, come il polistirolo, la lana o i piumini, funzionano intrappolando aria ferma in tante piccole celle: l’aria conduce pochissimo, purché non possa muoversi e innescare la convezione.

La resistenza termica

La legge di Fourier si può scrivere come la legge di Ohm, con la differenza di temperatura al posto della tensione:

$$\begin{gathered} P = \frac{T_1 - T_2}{R_T} \\ R_T = \frac{d}{k\,S} \end{gathered}$$

$R_T$ è la resistenza termica della parete, in K/W. Per più strati uno dopo l’altro, come un muro con un cappotto isolante, le resistenze si sommano, proprio come resistori in serie.

La convezione

La convezione è il trasporto di calore dovuto al movimento di un fluido, liquido o gas. È il meccanismo tipico di aria e acqua.

Il fluido a contatto con una superficie calda si scalda, si dilata e diventa meno denso: per la spinta di Archimede sale verso l’alto. Il fluido più freddo e più denso scende a prendere il suo posto, si scalda a sua volta e sale. Si formano così le correnti convettive, che rimescolano il fluido e trasportano il calore molto più efficacemente della sola conduzione.

Un termosifone scalda una stanza proprio così: l’aria sale lungo il termosifone, si sposta verso il soffitto, scende raffreddandosi dalla parte opposta e torna verso il termosifone. Su scala più grande, la convezione muove le correnti oceaniche, i venti e i moti del mantello terrestre. Se il fluido è messo in movimento da una pompa o da un ventilatore si parla di convezione forzata: è il caso dell’aria di un phon o del liquido di raffreddamento di un’auto.

Uno strumento semplice per stimare il calore scambiato tra una superficie a temperatura $T$ e un fluido a temperatura $T_f$ è la legge di Newton del raffreddamento:

$$P = h\,S\,(T - T_f)$$

dove $h$ è il coefficiente di scambio convettivo. Non è una costante del materiale: dipende dalla forma della superficie e da come si muove il fluido. Per l’aria ferma vale circa 5–25 $\text{W/(m}^2\text{·K)}$, con un ventilatore molto di più.

L’irraggiamento

L’irraggiamento è completamente diverso: non richiede contatto né un mezzo materiale. Ogni corpo a temperatura $T$ emette energia sotto forma di onde elettromagnetiche, che viaggiano anche nel vuoto. È così che il calore del Sole arriva sulla Terra, ed è il calore che sentiamo sul viso davanti a un falò anche se l’aria intorno è fredda.

La legge di Stefan-Boltzmann

La potenza emessa da una superficie di area $S$ è:

$$P = e\,\sigma\,S\,T^4$$

dove:

• $\sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{·K}^4)$ è la costante di Stefan-Boltzmann;
• $e$ è l’emissività, un numero puro tra 0 e 1 che dipende dalla superficie;
• $T$ è la temperatura assoluta, in kelvin.

La quarta potenza è fondamentale: raddoppiando la temperatura assoluta, la potenza irraggiata diventa sedici volte più grande. Per questo l’irraggiamento domina ad alta temperatura.

Il corpo nero e il bilancio di energia

Un corpo con $e = 1$ si chiama corpo nero: emette la massima potenza possibile a quella temperatura, e allo stesso tempo assorbe tutta la radiazione che lo colpisce, senza rifletterne. Un buon emettitore è anche un buon assorbitore: una superficie nera si scalda al sole più di una bianca, e una superficie lucida e riflettente, con $e$ piccolo, emette poco. È il principio delle coperte termiche dorate e delle pareti argentate dei thermos.

Ogni corpo emette e intanto assorbe la radiazione dell’ambiente. Se l’ambiente è alla temperatura $T_a$, la potenza netta persa è:

$$P_{netta} = e\,\sigma\,S\left(T^4 - T_a^4\right)$$

Il Sole, per esempio, irraggia nello spazio un’enorme potenza dalla sua superficie a circa 5800 K, ma non si raffredda: l’energia persa è rimpiazzata da quella prodotta dalle reazioni di fusione nucleare nel suo nucleo.

Il confronto tra i tre meccanismi

• Conduzione: serve un mezzo materiale, ma non c’è spostamento di materia. Domina nei solidi. Legge di Fourier: $P = kS\Delta T/d$.
• Convezione: serve un fluido e c’è spostamento di materia. Domina nei liquidi e nei gas. Legge di Newton: $P = hS\Delta T$.
• Irraggiamento: non serve un mezzo, avviene anche nel vuoto, e non c’è spostamento di materia. Domina ad alte temperature e nel vuoto. Legge di Stefan-Boltzmann: $P = e\sigma ST^4$.

Nella realtà i tre meccanismi agiscono quasi sempre insieme. Un thermos li combatte tutti: l’intercapedine vuota blocca conduzione e convezione, le pareti argentate riducono l’irraggiamento.

Esercizi svolti

Una parete di mattoni

Una parete di mattoni ha area 10 m², spessore 30 cm e conducibilità termica $k = 0{,}63\ \text{W/(m·K)}$. Dentro ci sono 20 °C, fuori 0 °C. Quanto calore passa in un’ora?

$$\begin{gathered} P = k\,S\,\frac{\Delta T}{d} = 0{,}63 \cdot 10 \cdot \frac{20}{0{,}30}\ \text{W} \\ P = 420\ \text{W} \end{gathered}$$ $$Q = P\,\Delta t = 420\ \text{W} \cdot 3600\ \text{s} \approx 1{,}5 \cdot 10^6\ \text{J}$$

Un milione e mezzo di joule ogni ora, come una stufetta da 420 W sempre accesa solo per compensare questa parete.

Con il cappotto. Aggiungiamo all’esterno 5 cm di polistirolo, con $k = 0{,}035\ \text{W/(m·K)}$. Le resistenze termiche sono:

$$\begin{gathered} R_{mattone} = \frac{0{,}30}{0{,}63 \cdot 10}\ \text{K/W} \\ R_{mattone} \approx 0{,}048\ \text{K/W} \\ R_{polistirolo} = \frac{0{,}05}{0{,}035 \cdot 10}\ \text{K/W} \\ R_{polistirolo} \approx 0{,}143\ \text{K/W} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} P = \frac{\Delta T}{R_{mattone} + R_{polistirolo}} = \frac{20}{0{,}190}\ \text{W} \\ P \approx 105\ \text{W} \end{gathered}$$

Cinque centimetri di polistirolo riducono le perdite a un quarto.

Il calore irraggiato dal corpo umano

La pelle nuda ha una superficie di circa 1,8 m², una temperatura di circa 34 °C (307 K) ed emissività $e \approx 0{,}97$. Le pareti della stanza sono a 20 °C (293 K). La potenza netta persa per irraggiamento è:

$$\begin{gathered} P = 0{,}97 \cdot 5{,}67 \cdot 10^{-8} \cdot 1{,}8 \\ {} \cdot \left(307^4 - 293^4\right)\ \text{W} \\ P \approx 150\ \text{W} \end{gathered}$$

Più del metabolismo a riposo, che è circa 100 W: per questo senza vestiti, che riducono la temperatura della superficie esterna, a 20 °C sentiamo freddo.

In sintesi

• Conduzione: per contatto, senza spostamento di materia; legge di Fourier $P = kS(T_1 - T_2)/d$.
• La resistenza termica $R_T = d/(kS)$ si somma per strati in serie.
• Convezione: trasporto di calore con il movimento di un fluido; legge di Newton $P = hS(T - T_f)$.
• Irraggiamento: onde elettromagnetiche, anche nel vuoto; legge di Stefan-Boltzmann $P = e\sigma ST^4$.
• Il corpo nero ha $e = 1$; la potenza netta scambiata con l’ambiente è $e\sigma S(T^4 - T_a^4)$.

Calore e lavoro sono due modi di scambiare energia: il loro bilancio con l’energia interna del sistema è il primo principio della termodinamica.