Esperimento di Joule e calore: equivalente meccanico, calore specifico ed esercizi

Fino all’inizio dell’Ottocento si pensava che il calore fosse un fluido invisibile, il “calorico”, che passava dai corpi caldi a quelli freddi. Nel 1798 Rumford aveva notato che, alesando le canne dei cannoni, l’attrito produceva calore senza fine, cosa strana per un fluido che avrebbe dovuto esaurirsi. Ma la prova decisiva arrivò verso la metà del secolo con gli esperimenti di James Prescott Joule: il calore non è una sostanza, è energia.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

L’esperimento di Joule

L’apparato più famoso di Joule era un recipiente pieno d’acqua, con pareti isolanti, al cui interno girava un mulinello a palette. Il mulinello era collegato con una corda a due masse che, scendendo per effetto del peso, lo mettevano in rotazione.

Le palette agitavano l’acqua e, per attrito, l’energia del moto si trasformava in agitazione delle molecole: la temperatura dell’acqua aumentava. Il lavoro fatto dalle masse si calcolava facilmente: è il lavoro della forza peso, $W = m g h$ per ogni massa, meno la piccola energia cinetica finale.

Joule ripeté la misura molte volte e con apparati diversi, e trovò sempre lo stesso risultato: per ottenere un certo aumento di temperatura dell’acqua serve sempre la stessa quantità di lavoro, sia che lo si faccia con le palette, sia comprimendo un gas, sia con una corrente elettrica. Lo stesso riscaldamento si poteva ottenere fornendo calore con una fiamma. Quindi calore e lavoro sono due modi di trasferire la stessa cosa: energia.

L’equivalente meccanico della caloria

Il calore si misurava allora in calorie: una caloria è il calore che serve per scaldare 1 grammo d’acqua da 14,5 °C a 15,5 °C. Joule misurò quanti joule di lavoro equivalgono a una caloria, il cosiddetto equivalente meccanico della caloria:

$$1\ \text{cal} = 4{,}186\ \text{J}$$

Oggi il calore si misura direttamente in joule, l’unità di energia del Sistema Internazionale, e la caloria resta solo nelle etichette alimentari, dove “Calorie” con la maiuscola indica in realtà le kilocalorie: 1 kcal = 4186 J.

Cos’è il calore

Il calore $Q$ è l’energia che passa da un sistema a un altro a causa di una differenza di temperatura.

Il calore passa spontaneamente sempre dal corpo più caldo a quello più freddo, finché le temperature si uguagliano e si raggiunge l’equilibrio termico.

La convenzione dei segni è dal punto di vista del sistema:

• $Q > 0$: il sistema riceve calore;
• $Q < 0$: il sistema cede calore.

È la stessa logica del lavoro di una forza in meccanica, positivo quando l’energia arriva al corpo. Attenzione però: in termodinamica il lavoro si conta di solito dal punto di vista opposto, come vedremo con il primo principio.

Capacità termica e calore specifico

Quanto si scalda un corpo se riceve un certo calore? Dipende dal corpo. La capacità termica $C$ è il calore che serve per aumentarne la temperatura di un kelvin:

$$\begin{gathered} C = \frac{Q}{\Delta T} \\ \text{in J/K} \end{gathered}$$

La capacità termica dipende dalla massa: una pentola grande si scalda più lentamente di una piccola. Per caratterizzare il materiale si usa il calore specifico $c$, la capacità termica per unità di massa:

$$\begin{gathered} c = \frac{Q}{m\,\Delta T} \\ Q = m\,c\,\Delta T \end{gathered}$$

Si misura in $\text{J/(kg·K)}$. Per i gas si usa spesso il calore specifico molare, riferito a una mole invece che a un chilogrammo: $Q = n\,c\,\Delta T$.

Sostanza	Calore specifico (J/(kg·K))
acqua	4186
ghiaccio	circa 2100
alluminio	900
vetro	circa 840
ferro	450
rame	385
piombo	128

L’acqua ha un calore specifico altissimo: per scaldarla serve molta energia, e una volta calda la cede lentamente. È per questo che il mare mitiga il clima delle città costiere e che le borse dell’acqua calda restano calde a lungo.

La temperatura di equilibrio

Se mettiamo a contatto due corpi a temperature diverse, isolati dal resto, il calore ceduto dal più caldo è uguale a quello ricevuto dal più freddo: la somma dei calori scambiati è nulla.

$$m_1\,c_1\,(T_e - T_1) + m_2\,c_2\,(T_e - T_2) = 0$$

Risolvendo per la temperatura di equilibrio:

$$T_e = \frac{m_1\,c_1\,T_1 + m_2\,c_2\,T_2}{m_1\,c_1 + m_2\,c_2}$$

È una media delle temperature pesata con le capacità termiche: come il centro di massa è una media delle posizioni pesata con le masse. È il principio del calorimetro, lo strumento con cui si misurano i calori specifici.

I passaggi di stato e il calore latente

Se scaldiamo del ghiaccio a 0 °C, la temperatura non sale finché tutto il ghiaccio non si è sciolto: il calore fornito serve a rompere i legami del cristallo, non ad aumentare l’agitazione delle molecole. Lo stesso accade per l’acqua che bolle a 100 °C.

Il calore necessario per cambiare stato a una massa $m$ è:

$$Q = m\,L$$

dove $L$ è il calore latente del passaggio di stato, in J/kg. Per l’acqua, alla pressione atmosferica:

• fusione del ghiaccio, a 0 °C: $L_f \approx 334\ \text{kJ/kg}$;
• evaporazione dell’acqua, a 100 °C: $L_v \approx 2260\ \text{kJ/kg}$.

Per sciogliere un chilogrammo di ghiaccio serve tanto calore quanto per scaldare un chilogrammo d’acqua di circa 80 °C.

Esercizi svolti

Rifare l’esperimento di Joule

Due masse da 10 kg scendono di 2 m, facendo girare un mulinello immerso in 1 kg d’acqua. Trascurando le perdite, di quanto si scalda l’acqua?

$$\begin{gathered} W = 2 \cdot m\,g\,h = 2 \cdot 10 \cdot 9{,}81 \cdot 2\ \text{J} \\ W = 392{,}4\ \text{J} \end{gathered}$$ $$\Delta T = \frac{W}{m_{acqua}\,c} = \frac{392{,}4}{1 \cdot 4186}\ \text{K} \approx 0{,}094\ \text{K}$$

Meno di un decimo di grado: per questo Joule doveva ripetere la discesa delle masse decine di volte, e usare termometri molto precisi. Con 20 discese l’acqua si scalda di circa 1,9 K.

Mescolare acqua calda e fredda

Versiamo 200 g d’acqua a 80 °C in 300 g d’acqua a 20 °C. Il calore specifico è lo stesso e si semplifica:

$$\begin{gathered} T_e = \frac{0{,}2 \cdot 80 + 0{,}3 \cdot 20}{0{,}2 + 0{,}3}\ \text{°C} = \frac{16 + 6}{0{,}5}\ \text{°C} \\ T_e = 44\ \text{°C} \end{gathered}$$

Qui possiamo usare i gradi Celsius, perché la formula contiene solo differenze di temperatura.

Il ghiaccio nella bibita

Mettiamo 100 g di ghiaccio a 0 °C in 400 g d’acqua a 50 °C. Il ghiaccio si scioglie tutto? Per fonderlo servono:

$$Q_f = m\,L_f = 0{,}1 \cdot 334\,000\ \text{J} = 33\,400\ \text{J}$$

Cedendo questo calore, l’acqua scende di $33\,400/(0{,}4 \cdot 4186) \approx 20\ \text{°C}$, quindi arriva a circa 30 °C: il ghiaccio si scioglie tutto. Ora abbiamo 100 g d’acqua a 0 °C e 400 g a 30 °C, che si mescolano:

$$T_e = \frac{0{,}1 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 30}{0{,}5}\ \text{°C} = 24\ \text{°C}$$

In sintesi

• Joule dimostrò che il calore è energia: $1\ \text{cal} = 4{,}186\ \text{J}$.
• Il calore è l’energia che passa per una differenza di temperatura, dal corpo caldo al freddo; $Q > 0$ se il sistema lo riceve.
• Capacità termica $C = Q/\Delta T$; calore specifico $c = Q/(m\Delta T)$, quindi $Q = mc\Delta T$.
• Due corpi a contatto raggiungono la temperatura di equilibrio $T_e = \frac{m_1c_1T_1 + m_2c_2T_2}{m_1c_1 + m_2c_2}$.
• Nei passaggi di stato la temperatura resta costante e $Q = mL$.

Il calore passa da un corpo all’altro, ma in che modo? Per contatto, con le correnti di un fluido o anche attraverso il vuoto: sono i tre meccanismi della trasmissione del calore.