Terzo principio della termodinamica: Nernst, Planck, zero assoluto ed esercizi svolti

Il primo principio dice che l’energia si conserva, il secondo che l’entropia dell’universo non può diminuire. Il terzo principio della termodinamica riguarda un territorio estremo: la materia vicino alla temperatura più bassa possibile, lo zero assoluto, 0 K = −273,15 °C. Dice che lì l’entropia raggiunge un minimo, zero per un cristallo perfetto, e che lo zero assoluto non si raggiunge mai. In questa pagina vediamo la scala Kelvin, gli enunciati di Nernst e di Planck, il principio di irraggiungibilità, la formula di Boltzmann, l’entropia assoluta, i calori specifici vicino a 0 K, il raffreddamento magnetico, l’entropia residua, le tecniche e i record delle basse temperature, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Lo zero assoluto e la scala Kelvin

In termodinamica la temperatura si misura in kelvin:

$$T\,(\text{K}) = t\,(^\circ\text{C}) + 273{,}15$$

Un kelvin e un grado Celsius hanno la stessa ampiezza: cambia solo il punto di partenza. Dal 2019 il kelvin è definito fissando il valore esatto della costante di Boltzmann, $k_B = 1{,}380\,649 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}$.

Da dove viene questo zero? In un termometro a gas a volume costante, come quello del principio zero, la pressione scende in linea retta con la temperatura e, prolungando la retta, si annulla a circa −273 °C. Per la teoria cinetica dei gas, poi, l’energia cinetica media di traslazione di una molecola è $\tfrac{3}{2}k_B T$: lo zero assoluto è lo stato di minima agitazione.

Minima, però, non vuol dire nulla: per la meccanica quantistica anche a 0 K gli atomi conservano una piccola energia di punto zero. Per questo l’elio, a pressione atmosferica, resta liquido fino allo zero assoluto; per solidificarlo bisogna comprimerlo a circa 25 bar.

Gli enunciati del terzo principio

Il terzo principio ha tre formulazioni classiche.

Enunciato di Nernst (1906). Quando la temperatura tende allo zero assoluto, la variazione di entropia di qualsiasi trasformazione isoterma reversibile tende a zero.

In formula:

$$\Delta S \to 0 \quad \text{per} \quad T \to 0$$

Vicino a 0 K tutti gli stati di un sistema, compresso o espanso, magnetizzato o no, tendono ad avere la stessa entropia.

Enunciato di Planck (1911). Quando la temperatura tende allo zero assoluto, l’entropia di un cristallo perfetto di una sostanza pura tende a zero.

Nernst dice che a 0 K le entropie diventano tutte uguali; Planck aggiunge che quel valore comune è zero, e così permette di parlare di entropia assoluta.

Principio di irraggiungibilità (Nernst, 1912). Non è possibile raggiungere lo zero assoluto con un numero finito di trasformazioni.

Ti puoi avvicinare a 0 K quanto vuoi, ma non ci arriverai mai. Più sotto vediamo perché.

Un po’ di storia

Walther Nernst arrivò al suo «teorema del calore» nel 1906 studiando le reazioni chimiche a temperature sempre più basse. Nel 1907 Albert Einstein, applicando ai solidi le prime idee quantistiche, previde che i calori specifici dovessero annullarsi a bassa temperatura. Nel 1911 Max Planck, nella terza edizione del suo trattato di termodinamica, propose di fissare a zero l’entropia del cristallo perfetto; nel 1912 Nernst, rispondendo ad alcune obiezioni di Einstein, riformulò il teorema come irraggiungibilità dello zero assoluto. Per i suoi lavori di termochimica ricevette il Nobel per la chimica del 1920.

Perché proprio zero: la formula di Boltzmann

La risposta più bella arriva dalla fisica statistica. Come abbiamo visto parlando di entropia, Ludwig Boltzmann la collegò al numero $\Omega$ di disposizioni microscopiche che realizzano lo stesso stato macroscopico:

$$S = k_B \ln \Omega$$

Pensa a un’aula con 30 studenti e 30 sedie. Se ognuno si siede dove vuole, i modi di riempirla sono $30! \approx 2{,}65 \cdot 10^{32}$; se ognuno ha il posto assegnato, il modo è uno solo.

Un cristallo perfetto a 0 K è l’aula con i posti assegnati: ogni atomo è al suo posto, nello stato di energia più bassa. Se questo stato è unico, $\Omega = 1$ e, siccome $\ln 1 = 0$, anche $S = 0$. Appena la temperatura sale, gli atomi vibrano in tanti modi diversi e $\Omega$ cresce. Se invece lo stato di energia minima non è unico, resta un’entropia residua, che vediamo più avanti.

L’entropia assoluta

L’energia potenziale di un libro la puoi misurare dal pavimento o dal tavolo: lo zero si sceglie come fa comodo, perché contano solo le differenze. Lo stesso vale per l’energia interna e per l’entalpia.

L’entropia, invece, ha uno zero naturale: $S = 0$ per il cristallo perfetto a 0 K. Da lì si sommano il riscaldamento e gli eventuali passaggi di stato, ognuno con il suo calore latente $L$ alla temperatura $T_{tr}$:

$$\begin{gathered} S(T) = \int_0^T \frac{m\,c(T')}{T'}\,dT' \\ {} + \sum \frac{m\,L}{T_{tr}} \end{gathered}$$

Il tratto più vicino a 0 K, dove non si misura, si stima con la legge di Debye, che vediamo tra poco. Così si costruiscono le tabelle di entropia molare standard della chimica, a 25 °C e 1 bar:

Sostanza	$S^\circ$ in J/(mol·K)
diamante	2,4
grafite	5,7
acqua liquida	70
vapore acqueo	189
ossigeno gassoso	205

Il diamante, con un reticolo rigidissimo, ha un’entropia piccolissima; la grafite, fatta di strati legati debolmente, un po’ di più. Il vapore, con le molecole libere in tutto il volume, ne ha quasi il triplo dell’acqua liquida.

I calori specifici tendono a zero

Quando scaldi un corpo di massa $m$ e calore specifico $c$ di un piccolo $dT$, la sua entropia cresce di:

$$dS = \frac{m\,c\,dT}{T}$$

Se $c$ restasse costante fino a 0 K, l’integrale di $dT/T$ a partire da zero darebbe un logaritmo infinito: è un integrale improprio divergente, e l’entropia sarebbe infinita. Quindi anche il calore specifico deve tendere a zero per $T \to 0$.

Le misure lo confermano: nei solidi isolanti, a bassa temperatura, la capacità termica molare segue la legge di Debye (1912):

$$C = a\,T^3$$

dove $a$ dipende dal materiale. Nei metalli si aggiunge un termine proporzionale a $T$, dovuto agli elettroni, ma la capacità termica si annulla comunque.

Il cubo rende il calo vertiginoso: da 10 K a 1 K la capacità termica diventa mille volte più piccola. Con un valore realistico, $a = 7{,}2 \cdot 10^{-5}\ \text{J/(mol·K}^4\text{)}$, una mole di cristallo a 1 K ha $C = 7{,}2 \cdot 10^{-5}\ \text{J/K}$, contro i circa 25 J/K di molti solidi a temperatura ambiente. Basta un flusso di calore di un microwatt per scaldarla di circa 0,014 K ogni secondo: per questo gli esperimenti di bassissima temperatura sono schermati con una cura estrema.

Ne segue anche che il gas perfetto non vale più: la sua variazione di entropia contiene $n\,c_V \ln(T_B/T_A)$, che per $T_A \to 0$ va all’infinito. È un limite del modello: a bassissima temperatura i gas reali condensano. Con strumenti più avanzati si dimostra che per $T \to 0$ si annulla anche il coefficiente di dilatazione termica.

Perché lo zero assoluto è irraggiungibile

Guardiamo uno dei metodi per scendere sotto 1 K: la smagnetizzazione adiabatica, realizzata per la prima volta da William Giauque e D. P. MacDougall nel 1933, fino a 0,25 K. Si usa un sale paramagnetico, i cui atomi si comportano come minuscole calamite. Il ciclo ha due fasi:

1. magnetizzazione a temperatura costante: il sale è a contatto con un bagno freddo e si accende un campo magnetico. Le calamite si allineano, l’ordine aumenta e l’entropia diminuisce: il sale cede al bagno il calore $Q = T\,\Delta S < 0$;
2. smagnetizzazione da isolato: si stacca il sale dal bagno e si spegne lentamente il campo. L’entropia resta costante; le calamite tornano disordinate prendendo energia dalle vibrazioni del reticolo, e il sale si raffredda.

Nel grafico dell’entropia in funzione della temperatura, con $T$ in ascissa, ogni ciclo è un gradino: un tratto verticale verso il basso e uno orizzontale verso sinistra.

Per il terzo principio le due curve arrivano entrambe a zero per $T \to 0$: si incontrano nell’origine. Così i gradini si fanno sempre più piccoli. Nel modello più semplice ogni ciclo moltiplica la temperatura per lo stesso fattore, per esempio 0,4: dopo $n$ cicli $T_n = 0{,}4^n\,T_0$, che si avvicina a zero senza mai arrivarci (esercizio 6).

Se invece la curva con il campo spento finisse a 0 K più in alto di quella con il campo acceso, un tratto orizzontale partito abbastanza in basso toccherebbe l’asse $T = 0$: lo zero assoluto si raggiungerebbe in un numero finito di passi. È così che il teorema di Nernst porta all’irraggiungibilità.

E c’è il problema opposto. Per il teorema di Carnot, togliere un calore $|Q_1|$ a un corpo a $T_1$ e scaricarlo nell’ambiente a $T_2$ richiede almeno il lavoro:

$$W_{min} = |Q_1|\,\frac{T_2 - T_1}{T_1}$$

che per $T_1 \to 0$ cresce senza limite.

Entropia residua: quando il cristallo non è perfetto

Alcune sostanze, raffreddate, non diventano cristalli perfetti e conservano un po’ di entropia anche vicino a 0 K: è l’entropia residua.

L’esempio classico è il monossido di carbonio. La molecola CO è quasi simmetrica e nel cristallo si può sistemare in due versi, CO oppure OC, con energie quasi uguali. Raffreddandosi, le molecole restano «congelate» nel verso in cui si trovano, perché non hanno più l’energia per girarsi. Con due possibilità per molecola, una mole di $N_A$ molecole ha $\Omega = 2^{N_A}$ disposizioni:

$$\begin{gathered} S = k_B \ln 2^{N_A} = N_A\,k_B \ln 2 \\ S = R \ln 2 \approx 5{,}76\ \text{J/(mol·K)} \end{gathered}$$

perché $N_A\,k_B = R$, la costante dei gas. Le misure danno circa 4,6 J/(mol·K): il disordine non è completo.

Un altro caso famoso è il ghiaccio: gli ossigeni formano un reticolo regolare, ma gli idrogeni si possono disporre in tanti modi. Nel 1935 Linus Pauling, contando queste disposizioni, stimò $R \ln(3/2) \approx 3{,}37\ \text{J/(mol·K)}$; l’anno dopo Giauque e Stout misurarono circa 3,4 J/(mol·K). Anche i vetri, liquidi «congelati» nel disordine, hanno entropia residua. Il terzo principio non è violato: non sono cristalli perfetti in equilibrio.

Come si arriva vicino allo zero assoluto

Ogni tecnica di raffreddamento parte da dove arriva la precedente.

• Gas liquefatti. L’azoto liquido bolle a 77 K, cioè −196 °C. L’elio liquido bolle a 4,2 K: lo ottenne per primo Heike Kamerlingh Onnes a Leida, nel 1908, e nel 1911 scoprì che il mercurio così raffreddato perde ogni resistenza elettrica: la superconduttività.
• Evaporazione. Pompando via il vapore se ne vanno le molecole più veloci, e il liquido che resta è più freddo: è il motivo per cui soffi sulla minestra. Con l’elio si scende verso 1 K, e sotto 2,17 K diventa superfluido, cioè scorre senza viscosità. Con l’elio-3 si arriva a circa 0,3 K.
• Refrigeratore a diluizione. Con una miscela di elio-3 ed elio-4 raggiunge in modo continuo pochi millikelvin, e raffredda i computer quantistici superconduttori. Nel 2014, ai Laboratori del Gran Sasso, l’esperimento CUORE ha tenuto a circa 6 mK un recipiente di rame da un metro cubo, di circa 400 kg, per più di 15 giorni: fu definito il metro cubo più freddo dell’universo conosciuto.
• Smagnetizzazione. Quella dei nuclei atomici arriva al microkelvin e più in basso.
• Laser e trappole. Per i gas di pochi atomi si usano laser che frenano gli atomi (Nobel 1997), poi si lasciano «evaporare» i più veloci da una trappola magnetica. Nel 1995, al JILA di Boulder, Eric Cornell e Carl Wieman ottennero così il primo condensato di Bose-Einstein, con atomi di rubidio a circa 170 nanokelvin; pochi mesi dopo Wolfgang Ketterle ci riuscì con il sodio (Nobel 2001).

Tra i record pubblicati, uno dei più bassi è di 38 picokelvin, ottenuto nel 2021 con circa centomila atomi di rubidio in caduta libera nella torre di Brema. È una temperatura efficace, legata alla lentezza con cui la nuvola di atomi si allarga, e riguarda pochi atomi per pochi secondi: record di questo tipo dipendono da come si misura la temperatura, quindi ne troverai citati di diversi.

La natura non scende così in basso. Il minimo misurato da una stazione meteorologica è −89,2 °C, circa 184 K, a Vostok, in Antartide, nel 1983. Lo spazio profondo è a 2,7 K, la temperatura della radiazione cosmica di fondo. La figura mette tutto in fila su una scala logaritmica, dove ogni tacca vale un fattore 10.

In questa discesa di quasi tredici ordini di grandezza nessuno ha mai toccato lo 0 K, come prevede il terzo principio.

I quattro principi a confronto

Principio	Cosa dice	Formula
zero	in equilibrio termico la temperatura è la stessa	$T_A = T_B$
primo	l’energia si conserva	$\Delta U = Q - W$
secondo	i processi spontanei hanno un verso	$\Delta S_{univ} \ge 0$
terzo	l’entropia ha uno zero assoluto; 0 K non si raggiunge	$S \to 0$ per $T \to 0$

Gli errori più comuni

• Confondere il terzo principio della termodinamica con quello della dinamica. Quello della dinamica è il principio di azione e reazione delle leggi di Newton: hanno in comune solo il numero.
• Pensare che allo zero assoluto gli atomi siano fermi. Resta l’energia di punto zero: l’elio a pressione atmosferica non solidifica nemmeno a 0 K.
• Dire che a 0 K l’entropia di qualsiasi sostanza è zero. Vale per i cristalli perfetti; vetri, ghiaccio e monossido di carbonio hanno entropia residua.
• Credere che «irraggiungibile» voglia dire «non ci si può avvicinare». Si arriva a decine di picokelvin; impossibile è arrivare esattamente a 0 K.
• Usare i gradi Celsius nelle formule. Rendimenti, coefficienti di prestazione ed entropie vogliono i kelvin.
• Usare il gas perfetto vicino a 0 K. Con calore specifico costante l’entropia andrebbe a meno infinito.
• Pensare che le «temperature negative» siano sotto lo zero assoluto. Il gas di atomi di potassio a temperatura assoluta negativa preparato a Monaco di Baviera nel 2013 cede calore a qualunque sistema a temperatura positiva: in un certo senso è più caldo, non più freddo.

Esercizi svolti

1. Dal kelvin al grado Celsius

Testo. Converti in gradi Celsius le temperature dell’azoto liquido (77 K), dell’elio liquido (4,2 K) e del fondo cosmico (2,7 K). Una giornata a 20 °C è «due volte più calda» di una a 10 °C?

Basta togliere 273,15:

$$\begin{gathered} t = T - 273{,}15 \\ 77\ \text{K} \to -196{,}15\ ^\circ\text{C} \\ 4{,}2\ \text{K} \to -268{,}95\ ^\circ\text{C} \\ 2{,}7\ \text{K} \to -270{,}45\ ^\circ\text{C} \end{gathered}$$

Un rapporto tra temperature ha senso solo in kelvin, dove lo zero è fisico. 20 °C sono 293,15 K e 10 °C sono 283,15 K:

$$\frac{293{,}15\ \text{K}}{283{,}15\ \text{K}} \approx 1{,}035$$

La giornata a 20 °C è più calda solo del 3,5%, non del doppio. La stanza, invece, è davvero circa 70 volte più calda dell’elio liquido: $293{,}15/4{,}2 \approx 70$.

2. Carnot con una sorgente sempre più fredda

Testo. Una macchina di Carnot ha la sorgente calda a $T_2 = 300\ \text{K}$. Calcola il rendimento con la sorgente fredda a 77 K, 4,2 K e 1 mK. Nel caso a 1 mK la macchina assorbe $Q_2 = 1\ \text{J}$, e un frigorifero ideale deve togliere dalla sorgente fredda il calore che riceve, per tenerla a 1 mK. Quanto lavoro netto resta?

Con $\eta = 1 - T_1/T_2$, per esempio a 4,2 K:

$$\eta = 1 - \frac{4{,}2}{300} = 0{,}986$$

$T_1$	$\eta$
77 K	0,743
4,2 K	0,986
1 mK	0,999997

Il rendimento si avvicina a 1 senza raggiungerlo. A 1 mK la macchina produce $W = \eta\,Q_2 \approx 0{,}999997\ \text{J}$ e cede alla sorgente fredda $|Q_1| = Q_2\,T_1/T_2 \approx 3{,}3 \cdot 10^{-6}\ \text{J}$. Per riportare questo calore a 300 K il frigorifero ideale spende:

$$\begin{gathered} W_{frigo} = |Q_1|\,\frac{T_2 - T_1}{T_1} \\ {} = Q_2\,\frac{T_1}{T_2} \cdot \frac{T_2 - T_1}{T_1} \\ {} = Q_2 \left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right) = W \end{gathered}$$

Il frigorifero consuma esattamente il lavoro prodotto: il guadagno netto è zero.

3. Quanto costa togliere calore vicino allo zero assoluto

Testo. Un frigorifero ideale scarica calore nell’ambiente a $T_2 = 300\ \text{K}$. Quanto lavoro serve, come minimo, per togliere 1 J a un corpo a 77 K, a 4,2 K e a 10 mK? Che potenza minima assorbe un refrigeratore che a 10 mK estrae 10 μW?

Dal coefficiente di prestazione del frigorifero di Carnot, $|Q_1|/W = T_1/(T_2 - T_1)$, si ricava $W_{min} = |Q_1|\,(T_2 - T_1)/T_1$. Per esempio a 4,2 K: $W_{min} = 1 \cdot (300 - 4{,}2)/4{,}2\ \text{J} \approx 70{,}4\ \text{J}$.

$T_1$	$W_{min}$ per 1 J (J)
77 K	2,90
4,2 K	70,4
10 mK	29 999

A 10 mK ogni joule tolto costa quasi 30 000 J di lavoro. Per 10 μW:

$$\begin{gathered} P_{min} = 10 \cdot 10^{-6}\ \text{W} \cdot 29\,999 \\ P_{min} \approx 0{,}30\ \text{W} \end{gathered}$$

È il limite ideale: le macchine reali consumano molto di più. E più $T_1$ si avvicina a zero, più il costo esplode.

4. Un cristallo con la legge di Debye

Testo. Una mole di un cristallo isolante, a bassa temperatura, ha capacità termica $C = a\,T^3$ con $a = 7{,}2 \cdot 10^{-5}\ \text{J/K}^4$. Calcola $C$ a 1 K e a 10 K, il calore per scaldare il cristallo da 1 K a 10 K e la sua entropia a 10 K, sapendo che a 0 K è nulla.

La capacità termica cresce con il cubo della temperatura:

$$\begin{gathered} C(1\ \text{K}) = 7{,}2 \cdot 10^{-5}\ \text{J/K} \\ C(10\ \text{K}) = 7{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot 1000\ \text{J/K} \\ C(10\ \text{K}) = 0{,}072\ \text{J/K} \end{gathered}$$

Dato che $C$ cambia con la temperatura, il calore è un integrale:

$$\begin{gathered} Q = \int_{T_i}^{T_f} a\,T^3\,dT = \frac{a}{4}\left(T_f^4 - T_i^4\right) \\ Q = \frac{7{,}2 \cdot 10^{-5}}{4} \cdot 9999\ \text{J} \\ Q \approx 0{,}18\ \text{J} \end{gathered}$$

Per l’entropia si integra $dS = C\,dT/T = a\,T^2\,dT$ partendo da $S(0) = 0$:

$$\begin{gathered} S(T) = \int_0^T a\,T'^2\,dT' = \frac{a\,T^3}{3} \\ S(10\ \text{K}) = \frac{7{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot 1000}{3}\ \text{J/K} \\ S(10\ \text{K}) = 0{,}024\ \text{J/K} \end{gathered}$$

Nota che $S = C/3$: l’entropia va a zero insieme alla capacità termica, come vuole il terzo principio. Per confronto, a temperatura ambiente, con $C \approx 25\ \text{J/K}$, per scaldare il cristallo di un solo kelvin servono circa 25 J: quasi 140 volte il calore che basta per andare da 1 K a 10 K.

5. L’entropia residua del monossido di carbonio

Testo. In un cristallo di monossido di carbonio ogni molecola può restare bloccata in due versi, CO oppure OC. Calcola l’entropia residua di una mole, supponendo i versi del tutto casuali, e confrontala con il valore misurato, circa 4,6 J/(mol·K).

Le molecole sono $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}$, ognuna con 2 possibilità, quindi $\Omega = 2^{N_A}$:

$$\begin{gathered} S = k_B \ln 2^{N_A} = N_A\,k_B \ln 2 = R \ln 2 \\ S = 8{,}314 \cdot 0{,}693\ \text{J/(mol·K)} \\ S \approx 5{,}76\ \text{J/(mol·K)} \end{gathered}$$

Per farti un’idea di quanto è grande $\Omega$: ha circa $N_A \log_{10} 2 \approx 1{,}8 \cdot 10^{23}$ cifre. Il valore misurato è circa l’80% di quello teorico, $4{,}6/5{,}76 \approx 0{,}80$: una parte delle molecole riesce a mettersi in ordine prima di restare bloccata.

6. Quanti passi verso lo zero assoluto

Testo. In un modello semplificato di smagnetizzazione adiabatica ogni ciclo moltiplica la temperatura per 0,4. Partendo da $T_0 = 1\ \text{K}$, trova la temperatura dopo i primi tre cicli. Quanti cicli servono per andare sotto 1 mK? E sotto 1 μK? E per arrivare a 0 K?

Dopo $n$ cicli $T_n = 0{,}4^n\,T_0$, quindi $T_1 = 0{,}4\ \text{K}$, $T_2 = 0{,}16\ \text{K}$ e $T_3 = 0{,}064\ \text{K}$. I salti sono 0,6 K, 0,24 K e 0,096 K: ogni gradino è più piccolo del precedente, come nella figura.

Per andare sotto 1 mK serve $0{,}4^n < 10^{-3}$. Si prende il logaritmo e si divide per $\ln 0{,}4$, che è negativo, quindi il verso si inverte, come nelle disequazioni esponenziali:

$$\begin{gathered} n > \frac{\ln 10^{-3}}{\ln 0{,}4} \approx 7{,}54 \\ n = 8 \end{gathered}$$

Dopo 8 cicli $T \approx 0{,}66\ \text{mK}$. Sotto 1 μK servono $n > \ln 10^{-6}/\ln 0{,}4 \approx 15{,}08$, cioè 16 cicli, fino a circa 0,43 μK; il sedicesimo abbassa la temperatura di appena 0,64 μK. Arrivare a 0 K richiederebbe $0{,}4^n = 0$, impossibile per qualunque $n$: è l’irraggiungibilità in versione numerica. Altri problemi li trovi negli esercizi svolti di termodinamica.

In sintesi

• Scala Kelvin: $T = t + 273{,}15$; a 0 K = −273,15 °C l’agitazione è minima, ma non nulla.
• Nernst: $\Delta S \to 0$ per $T \to 0$ in ogni isoterma reversibile.
• Planck: l’entropia di un cristallo perfetto tende a zero; con Boltzmann, $S = k_B \ln \Omega$ con $\Omega = 1$.
• Entropia assoluta: $S(T) = \int_0^T m\,c\,dT'/T' + \sum m\,L/T_{tr}$.
• Vicino a 0 K i calori specifici tendono a zero; nei solidi isolanti $C = a\,T^3$ e $S = C/3$.
• Lo zero assoluto non si raggiunge in un numero finito di passi: ogni ciclo guadagna meno del precedente.
• Carnot: $\eta = 1 - T_1/T_2 < 1$; frigorifero: $W_{min} = |Q_1|(T_2 - T_1)/T_1$, che esplode per $T_1 \to 0$.
• Entropia residua del CO: $R \ln 2 \approx 5{,}76$ J/(mol·K) in teoria, circa 4,6 misurati.

Con il terzo principio si chiude la termodinamica e con essa il programma di Fisica 1: dalla cinematica fino alle leggi che governano il calore e l’energia dell’universo.