Equilibrio statico del corpo rigido: condizioni, leve, scala appoggiata ed esercizi

Un ponte, una mensola, una scala appoggiata al muro, una gru che solleva un carico, un’insegna appesa fuori da un bar: sono tutti corpi rigidi che devono restare fermi. La statica studia le condizioni perché questo accada. Per un punto materiale bastava che la risultante delle forze fosse nulla; per un corpo rigido non basta, perché il corpo potrebbe ruotare. In questa pagina trovi le due condizioni di equilibrio, come scegliere il polo, il metodo per gli esercizi, i tre tipi di leva, la scala, la trave e l’insegna, la stabilità e gli errori più comuni.

Le condizioni di equilibrio

Dalle due equazioni cardinali, un corpo rigido ha il centro di massa fermo e non ruota se sono nulle sia la risultante sia il momento risultante delle forze esterne:

$$\vec{R} = \sum_i \vec{F}_i = 0 \qquad \vec{M} = \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i = 0$$

• La prima condizione garantisce che il centro di massa non acceleri.
• La seconda garantisce che il momento angolare non cambi, e quindi che il corpo non inizi a ruotare.

Sono due condizioni distinte, una sulle forze e una sui momenti: nessuna delle due implica l’altra. Due forze uguali e opposte applicate in punti diversi, come quelle delle mani sul volante, hanno risultante nulla ma momento diverso da zero: formano una coppia, e il volante gira.

Il momento di una forza, in breve

Il modulo del momento di una forza rispetto a un polo è la forza per il suo braccio, cioè la distanza tra il polo e la retta d’azione della forza:

$$M = F \cdot b$$

Nei problemi piani basta dare a ogni momento un segno: per esempio positivo se la forza tende a far ruotare il corpo in senso antiorario, negativo se in senso orario. Una forza che passa per il polo ha braccio zero e quindi momento nullo.

La scelta del polo

Il momento di un sistema di forze dipende in generale dal polo. Ma se la risultante è nulla, il momento è lo stesso rispetto a qualsiasi polo: se cambiamo polo da $O$ a $O'$, il momento cambia di $\overrightarrow{O'O} \times \vec{R}$, che è zero.

In equilibrio, quindi, il polo si può scegliere liberamente. Conviene metterlo nel punto in cui sono applicate le forze incognite: i loro momenti sono nulli e spariscono dall’equazione. È il trucco che rende semplici quasi tutti gli esercizi di statica.

Il metodo per gli esercizi

Per un corpo con tutte le forze in un piano, le condizioni di equilibrio diventano tre equazioni scalari: due per le forze e una per i momenti.

1. Disegna il corpo e tutte le forze esterne: il peso nel baricentro, le reazioni dei vincoli, gli attriti, i carichi.
2. Scrivi $R_x = 0$ e $R_y = 0$.
3. Scegli il polo dove agiscono più forze incognite e scrivi $M = 0$, con il segno di ogni momento dato dal verso di rotazione che produrrebbe.
4. Risolvi il sistema. Se hai più incognite che equazioni, il problema è staticamente indeterminato: servono informazioni sulle deformazioni, che in Fisica 1 non si studiano.

Le reazioni dei vincoli più comuni:

• un appoggio liscio dà una forza perpendicolare alla superficie;
• una cerniera dà una forza in una direzione qualsiasi, che si scrive con due componenti incognite, $H$ e $V$;
• un filo o un cavo dà una tensione diretta lungo il filo, sempre di trazione;
• un incastro, come una mensola murata, dà una forza e anche un momento.

Le leve

Una leva è un’asta rigida che può ruotare attorno a un punto fisso, il fulcro. Su di lei agiscono due forze: la potenza $P$, cioè la forza che applichi, e la resistenza $R$, il carico da vincere. Prendendo i momenti rispetto al fulcro, la reazione del fulcro sparisce e resta la legge della leva:

$$P \cdot b_P = R \cdot b_R$$

Forza per braccio è uguale da una parte e dall’altra. Se il braccio della potenza è più lungo di quello della resistenza, basta una forza più piccola del carico e la leva si dice vantaggiosa; se è più corto, svantaggiosa; se sono uguali, indifferente. La legge della leva la dimostrò Archimede, nel III secolo a.C., e a lui si attribuisce la frase «datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo».

I tre tipi di leva

A seconda di dove si trova il fulcro, le leve si dividono in tre generi:

• Primo genere: il fulcro sta tra potenza e resistenza. Può essere vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente: le forbici, le tenaglie, l’altalena a bilico, la bilancia a due piatti.
• Secondo genere: la resistenza sta in mezzo. Il braccio della potenza è sempre più lungo, quindi è sempre vantaggiosa: la carriola, lo schiaccianoci, l’apribottiglie.
• Terzo genere: la potenza sta in mezzo. Il braccio della potenza è sempre più corto, quindi è sempre svantaggiosa, ma in cambio l’estremo della leva si muove molto di più e più in fretta: le pinzette, la canna da pesca, il nostro avambraccio.

L’altalena a bilico

Su un’altalena a bilico un bambino di 30 kg siede a 2 m dal fulcro: dove deve sedersi un adulto di 60 kg per stare in equilibrio? Prendiamo come polo il fulcro: la reazione del fulcro ha momento nullo, e anche il peso dell’asse, se il suo centro di massa è sul fulcro:

$$\begin{gathered} 30\ \text{kg} \cdot g \cdot 2\ \text{m} = 60\ \text{kg} \cdot g \cdot d \\ d = 1\ \text{m} \end{gathered}$$

L’adulto, che pesa il doppio, deve sedersi a metà distanza. La condizione sulle forze dà invece la reazione del fulcro, che regge entrambi: $N = 90\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \approx 883\ \text{N}$.

Equilibrio stabile, instabile e indifferente

Un corpo in equilibrio, spostato di poco, può comportarsi in tre modi:

• stabile: torna nella posizione di equilibrio, come un pendolo sotto il punto di sospensione. Il baricentro è nella posizione più bassa possibile, cioè in un minimo dell’energia potenziale;
• instabile: si allontana sempre di più, come una matita in equilibrio sulla punta. Il baricentro è in un massimo dell’energia potenziale;
• indifferente: resta in equilibrio anche nella nuova posizione, come una sfera su un piano orizzontale. L’altezza del baricentro non cambia.

Il ribaltamento

Un corpo appoggiato su un piano resta in equilibrio finché la verticale passante per il baricentro cade all’interno della base d’appoggio. Finché è così, il peso ha un momento che riporta il corpo indietro; quando la verticale esce dalla base, il momento del peso cambia verso e il corpo si ribalta.

Se inclini un oggetto di base larga $a$, con il baricentro all’altezza $h$ dal piano, si ribalta quando l’angolo di inclinazione supera:

$$\tan\theta = \frac{a/2}{h}$$

Più il baricentro è basso e la base larga, più l’oggetto è stabile. È per questo che le auto da corsa sono basse e larghe, e che i mobili alti si fissano al muro.

Gli errori più comuni

• Dimenticare una forza. Il peso del corpo stesso, o una delle due componenti della reazione di una cerniera, sono le più trascurate.
• Sbagliare il braccio. Il braccio è la distanza dal polo alla retta d’azione della forza, non la distanza dal polo al punto di applicazione: per una forza inclinata compare un seno o un coseno.
• Mettere il peso nel punto sbagliato. Il peso di un corpo omogeneo agisce nel suo centro, non in un estremo.
• Sbagliare i segni dei momenti. Decidi all’inizio quale verso di rotazione è positivo e rispettalo per tutte le forze.
• Prendere l’attrito statico uguale a $\mu_s N$. L’attrito statico vale quello che serve all’equilibrio; $\mu_s N$ è solo il suo valore massimo.
• Scegliere un polo scomodo. Funziona lo stesso, ma le equazioni si complicano: mettilo dove agiscono le forze incognite.

Esercizi svolti

1. La scala appoggiata al muro

Testo. Una scala omogenea lunga 5 m e di massa 20 kg è appoggiata a un muro liscio e forma un angolo $\theta = 60°$ con il pavimento, che è scabro. Quanto valgono le reazioni, e qual è il coefficiente d’attrito minimo perché la scala non scivoli?

Le forze sono quattro:

• il peso $mg$, nel centro della scala;
• la normale del pavimento $N_1$, verticale;
• l’attrito statico $f$ del pavimento, orizzontale, verso il muro;
• la normale del muro $N_2$, orizzontale, perché il muro è liscio e non dà attrito.

Forze verticali e orizzontali:

$$\begin{gathered} N_1 = m\,g = 20 \cdot 9{,}81\ \text{N} = 196{,}2\ \text{N} \\ f = N_2 \end{gathered}$$

Momenti rispetto al piede della scala, dove sono applicate $N_1$ e $f$ che così spariscono. Il peso ha braccio $\frac{L}{2}\cos\theta$, la normale del muro braccio $L\sin\theta$, e tendono a far ruotare la scala in versi opposti:

$$\begin{gathered} N_2\,L\sin\theta = m\,g\,\frac{L}{2}\cos\theta \\ N_2 = \frac{m\,g}{2\tan\theta} = \frac{196{,}2}{2\tan 60°}\ \text{N} \approx 56{,}6\ \text{N} \end{gathered}$$

e quindi anche $f \approx 56{,}6\ \text{N}$.

Coefficiente d’attrito minimo. L’attrito statico non può superare $\mu_s N_1$:

$$\mu_s \ge \frac{f}{N_1} = \frac{1}{2\tan\theta} = \frac{1}{2\tan 60°} \approx 0{,}289$$

Il risultato non dipende né dalla lunghezza né dalla massa della scala, ma solo dall’angolo. Più la scala è inclinata, cioè più $\theta$ è piccolo, più attrito serve: con $\theta = 45°$ servirebbe già $\mu_s \ge 0{,}5$. Ecco perché le scale scivolano quando si allontana troppo il piede dal muro.

2. La trave su due appoggi

Testo. Una trave omogenea di 50 kg, lunga 4 m, è appoggiata ai due estremi A e B. A 1 m da A è posato un carico di 100 kg. Quanto valgono le reazioni dei due appoggi?

Le forze sono verticali: le reazioni $R_A$ e $R_B$ verso l’alto, il peso della trave nel centro, a 2 m da A, e il peso del carico, a 1 m da A. Momenti rispetto ad A, così $R_A$ sparisce:

$$\begin{gathered} R_B \cdot 4 = 50 \cdot 9{,}81 \cdot 2 + 100 \cdot 9{,}81 \cdot 1 \\ R_B = \frac{981 + 981}{4}\ \text{N} \approx 490\ \text{N} \end{gathered}$$

Forze verticali: $R_A = (50 + 100) \cdot 9{,}81 - 490{,}5 \approx 981\ \text{N}$. L’appoggio più vicino al carico regge il doppio dell’altro. Controllo con i momenti rispetto a B: $981 \cdot 4 = 490{,}5 \cdot 2 + 981 \cdot 3$, cioè $3924 = 981 + 2943$. Torna.

3. L’insegna sostenuta da un cavo

Testo. Un’asta orizzontale di 10 kg, lunga 2 m, è fissata al muro con una cerniera. All’estremo libero è appesa un’insegna di 20 kg, e lo stesso estremo è collegato al muro da un cavo che forma un angolo di 30° con l’asta. Quanto vale la tensione del cavo? E la reazione della cerniera?

Le incognite sono tre: la tensione $T$ e le due componenti della reazione della cerniera, $H$ e $V$. Momenti rispetto alla cerniera, così $H$ e $V$ spariscono. Solo la componente verticale della tensione, $T\sin 30°$, ha braccio: è applicata a 2 m dalla cerniera.

$$\begin{gathered} T\sin 30° \cdot 2 = 10 \cdot 9{,}81 \cdot 1 + 20 \cdot 9{,}81 \cdot 2 \\ T = \frac{98{,}1 + 392{,}4}{2 \cdot 0{,}5}\ \text{N} \approx 491\ \text{N} \end{gathered}$$

Forze orizzontali e verticali:

$$\begin{gathered} H = T\cos 30° \approx 425\ \text{N} \\ V = (10 + 20) \cdot 9{,}81\ \text{N} - T\sin 30° \\ V \approx 294 - 245\ \text{N} \approx 49\ \text{N} \end{gathered}$$

Il cavo deve reggere quasi 500 N, molto più del peso dell’insegna, 196 N: con un angolo piccolo, solo una piccola parte della tensione tira verso l’alto. La cerniera spinge l’asta soprattutto in orizzontale, contro il muro.

4. L’avambraccio che regge un peso

Testo. Tieni in mano un peso di 5 kg con l’avambraccio orizzontale. La mano è a 35 cm dal gomito, e il bicipite è attaccato all’avambraccio a 4 cm dal gomito, e tira verticalmente verso l’alto. Trascurando il peso dell’avambraccio, che forza deve fare il bicipite?

L’avambraccio è una leva di terzo genere: il fulcro è il gomito, la potenza è il bicipite, la resistenza è il peso nella mano. Momenti rispetto al gomito:

$$\begin{gathered} F \cdot 0{,}04 = 5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}35 \\ F = \frac{17{,}2}{0{,}04}\ \text{N} \approx 429\ \text{N} \end{gathered}$$

Il bicipite deve tirare con una forza quasi nove volte il peso che regge. È il prezzo della leva svantaggiosa: in cambio, accorciandosi di un solo centimetro, il muscolo fa salire la mano di quasi 9 cm.

5. L’armadio che si ribalta

Testo. Un armadio è largo 60 cm e ha il baricentro a 90 cm da terra. Di quanto si può inclinare, facendolo ruotare attorno a uno spigolo della base, prima che si ribalti?

Si ribalta quando la verticale per il baricentro supera lo spigolo:

$$\tan\theta = \frac{0{,}30}{0{,}90} \approx 0{,}333 \qquad \theta \approx 18{,}4°$$

Poco meno di 20°. Riempire i cassetti bassi abbassa il baricentro e rende l’armadio più stabile; riempire i ripiani alti fa il contrario.

Altri esercizi sul corpo rigido li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• Le condizioni di equilibrio del corpo rigido sono $\vec{R} = 0$ e $\vec{M} = 0$: due condizioni distinte, su forze e momenti. Per l’equilibrio statico il corpo deve anche essere inizialmente fermo.
• Se $\vec{R} = 0$ il momento non dipende dal polo: conviene sceglierlo dove agiscono le forze incognite.
• Legge della leva: $P \cdot b_P = R \cdot b_R$. Le leve di secondo genere sono sempre vantaggiose, quelle di terzo sempre svantaggiose.
• Scala appoggiata a un muro liscio: $\mu_s \ge 1/(2\tan\theta)$.
• L’equilibrio è stabile se il baricentro è in un minimo dell’energia potenziale; un corpo appoggiato si ribalta quando la verticale per il baricentro esce dalla base.

Con l’equilibrio statico si chiude il capitolo sul corpo rigido, e con esso la meccanica. Il prossimo capitolo cambia punto di vista: invece di seguire il moto dei singoli corpi, studia calore, temperatura ed energia interna, a partire dai sistemi termodinamici.