Sistemi termodinamici: aperti, chiusi e isolati, variabili di stato e gas perfetto

Finora abbiamo studiato corpi che si possono seguire uno per uno. La termodinamica cambia punto di vista: descrive un sistema con poche grandezze globali, come pressione, volume e temperatura, e studia gli scambi di energia sotto forma di calore e lavoro. È la fisica dei motori, dei frigoriferi e di tutto ciò che si scalda o si raffredda. In questa pagina vediamo cos’è un sistema termodinamico, la differenza tra sistema aperto, chiuso e isolato, le variabili di stato, le unità di misura, il gas perfetto e la sua equazione di stato $pV = nRT$, il piano di Clapeyron, equilibrio e trasformazioni, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Un nuovo punto di vista

In meccanica servono posizione e velocità di ogni corpo. Con un gas è impossibile: l’aria di un’aula contiene circa $6 \cdot 10^{27}$ molecole, come vedremo nell’esercizio 2, e un computer che ne aggiornasse un miliardo al secondo impiegherebbe quasi 200 miliardi di anni per fare un solo passo di calcolo su tutte.

La termodinamica usa allora poche grandezze macroscopiche, misurabili con un manometro o un termometro. Funziona perché sono medie su moltissime molecole: la pressione è l’effetto medio dei loro urti contro le pareti, la temperatura misura la loro agitazione media. Con numeri così grandi le medie sono stabilissime: le fluttuazioni relative sono dell’ordine di $1/\sqrt{N}$, circa $10^{-14}$ per l’aria di un’aula. Il legame con le molecole è la teoria cinetica dei gas.

Sistema, ambiente e universo

Un sistema termodinamico è la porzione di universo che scegliamo di studiare.

Può essere il gas in un cilindro, l’acqua in una pentola, una stanza, un motore. Tutto ciò con cui interagisce è l’ambiente, separato dal sistema da un confine, reale come le pareti di un recipiente o immaginario. Insieme formano l’universo termodinamico:

$$\text{sistema} + \text{ambiente} = \text{universo}$$

La scelta del sistema, per esempio solo il gas oppure gas e pistone, è libera ed è il primo passo di ogni esercizio: decide cosa conta come scambio con l’ambiente.

Le pareti

Il confine si classifica in base a cosa lascia passare:

• rigido o mobile: una parete rigida tiene fisso il volume; una mobile, come un pistone, lo lascia cambiare e permette di scambiare lavoro;
• adiabatico o diatermico: il primo non lascia passare calore, come un buon thermos; il secondo sì, come il metallo di una pentola, e permette il contatto termico;
• permeabile o impermeabile alla materia.

Nella figura il calore entra solo dal fondo, l’unica parete diatermica.

Sistemi aperti, chiusi e isolati

A seconda di cosa attraversa il confine, un sistema si classifica così:

Sistema	Scambia	Esempio
aperto	energia e materia	pentola senza coperchio, corpo umano
chiuso	solo energia	gas in un cilindro con pistone
isolato	niente	thermos ideale, universo

È aperto anche il motore di un’auto, che aspira aria e carburante e scarica i gas combusti. Una bottiglia tappata al sole, invece, è chiusa: si scalda, ma la materia resta quella. Chiusa, però, non vuol dire isolata: il sistema isolato è un’idealizzazione, perché anche un thermos prima o poi si raffredda. In Fisica 1 studieremo quasi sempre sistemi chiusi: una quantità fissa di gas che scambia calore e lavoro con l’ambiente.

Le variabili di stato

Lo stato di un sistema in equilibrio si descrive con poche grandezze macroscopiche, le variabili di stato: pressione $p$, volume $V$, temperatura $T$, quantità di sostanza $n$, composizione, e anche l’energia interna $U$. Per una quantità fissa di gas ne bastano due: la terza si ricava dall’equazione di stato.

Estensive e intensive

Per distinguerle, dividi idealmente il sistema in due metà uguali.

• Le grandezze che si dimezzano sono estensive: volume, massa, moli, energia interna. Unendo due sistemi, si sommano.
• Quelle che restano uguali sono intensive: temperatura, pressione, densità. Due bicchieri d’acqua a 20 °C, mescolati, non danno acqua a 40 °C.

Il rapporto tra due grandezze estensive è intensivo, perché numeratore e denominatore si dimezzano insieme: la densità $\rho = m/V$, il volume molare $V_m = V/n$, la massa molare $M = m/n$. Per questo valgono per qualsiasi quantità di sostanza.

Le funzioni di stato

Una funzione di stato dipende solo dallo stato del sistema, non da come ci è arrivato. In una gita in montagna la quota dipende solo da dove sei, i chilometri percorsi dal sentiero.

Pressione, volume e temperatura sono funzioni di stato, e nel capitolo ne incontrerai altre tre: l’energia interna $U$ del primo principio, l’entalpia $H$ e l’entropia $S$. Calore e lavoro, invece, non lo sono: come i chilometri, dipendono dalla strada. Se il sistema torna allo stato iniziale, ogni funzione di stato riprende il suo valore.

Le unità di misura

La pressione è una forza per unità di superficie, $p = F/S$, e si misura in pascal: $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$. È piccolissimo: un foglio di carta per stampante appoggiato su un tavolo preme con circa 0,8 Pa. Per questo si usano anche il bar, l’atmosfera, cioè la pressione media dell’aria al livello del mare, e il millimetro di mercurio della pressione del sangue.

Unità	Simbolo	In unità SI
atmosfera	atm	101 325 Pa
bar	bar	100 000 Pa
millimetro di mercurio	mmHg	133,3 Pa
litro	L	$10^{-3}\ \text{m}^3$
millilitro	mL	$10^{-6}\ \text{m}^3$

Due unità di base del Sistema Internazionale servono proprio qui. Il kelvin misura la temperatura assoluta, $T = t + 273{,}15$ con $t$ in gradi Celsius: le differenze sono uguali nelle due scale, ma nelle formule dei gas serve il kelvin. La mole misura la quantità di sostanza: dal 2019 contiene esattamente $6{,}02214076 \cdot 10^{23}$ particelle, il numero di Avogadro $N_A$, che arrotondiamo a $6{,}022 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

La massa molare $M$ è la massa di una mole: 18 g/mol per l’acqua, 32 g/mol per l’ossigeno, circa 29 g/mol per l’aria. Le moli sono $n = m/M$, le molecole $N = n\,N_A$; con le unità SI, $M$ va in kg/mol.

Il gas perfetto

Il sistema che userai in tutto il capitolo è il gas perfetto: un modello di molecole puntiformi, in moto disordinato, che non si attraggono e interagiscono solo con urti elastici. I gas reali ci assomigliano quando sono rarefatti, come l’aria in condizioni ambiente.

Le leggi sperimentali dei gas

L’equazione del gas perfetto riunisce quattro leggi sperimentali.

• Legge di Boyle. A temperatura costante $pV$ è costante: dimezzando il volume di una siringa tappata, la pressione raddoppia. Robert Boyle la pubblicò nel 1662; Edme Mariotte la ritrovò una quindicina d’anni dopo, da qui il nome legge di Boyle-Mariotte.
• Prima legge di Gay-Lussac. A pressione costante il volume è proporzionale alla temperatura assoluta: un palloncino in freezer si sgonfia. Joseph-Louis Gay-Lussac la pubblicò nel 1802, attribuendola a esperimenti inediti di Jacques Charles: per questo è anche la legge di Charles.
• Seconda legge di Gay-Lussac. A volume costante la pressione è proporzionale alla temperatura assoluta: le gomme calde hanno più pressione. Un legame simile l’aveva osservato Guillaume Amontons intorno al 1700.
• Legge di Avogadro. Volumi uguali di gas diversi, alla stessa temperatura e pressione, contengono lo stesso numero di molecole. Amedeo Avogadro la propose nel 1811, ma fu accettata solo dopo il 1860, grazie a Stanislao Cannizzaro.

Legge	Costanti	Relazione
Boyle	$T$, $n$	$pV = \text{cost}$
1ª Gay-Lussac	$p$, $n$	$V/T = \text{cost}$
2ª Gay-Lussac	$V$, $n$	$p/T = \text{cost}$
Avogadro	$p$, $T$	$V/n = \text{cost}$

La numerazione delle leggi di Gay-Lussac cambia tra i libri: ricordale per la grandezza costante.

L’equazione di stato: pV = nRT

Unendo le quattro leggi, $pV/T$ è costante per una quantità fissa di gas ed è proporzionale al numero di moli. È l’equazione di stato dei gas perfetti:

$$p\,V = n\,R\,T$$

con $p$ in pascal, $V$ in metri cubi, $n$ in moli, $T$ in kelvin e $R = 8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$, la costante dei gas. Le unità tornano: $\text{Pa} \cdot \text{m}^3 = \text{N} \cdot \text{m} = \text{J}$, quindi $pV$ è un’energia. In chimica si usa anche $R = 0{,}0821\ \text{L·atm/(mol·K)}$.

La forma combinata compare nel 1834 in una memoria dell’ingegnere francese Émile Clapeyron: per questo si chiama anche equazione di Clapeyron, da non confondere con quella di Clausius-Clapeyron sui passaggi di stato. Le forme inverse:

$$\begin{gathered} p = \frac{n\,R\,T}{V} \qquad V = \frac{n\,R\,T}{p} \\ T = \frac{p\,V}{n\,R} \qquad n = \frac{p\,V}{R\,T} \end{gathered}$$

Se la stessa quantità di gas passa da uno stato 1 a uno stato 2, $nR$ non cambia e:

$$\frac{p_1\,V_1}{T_1} = \frac{p_2\,V_2}{T_2}$$

Le leggi di Boyle e di Gay-Lussac sono casi particolari di questa relazione. Qui pressioni e volumi possono restare in bar e litri, purché le unità siano le stesse ai due lati; la temperatura va sempre in kelvin.

Contando le molecole, $N = n\,N_A$, si usa la costante di Boltzmann, la costante dei gas «per molecola»:

$$\begin{gathered} k_B = \frac{R}{N_A} \approx 1{,}381 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K} \\ p\,V = N\,k_B\,T \end{gathered}$$

Il volume molare

Quanto spazio occupa una mole di gas perfetto a 0 °C e 1 atm? Con $T = 273{,}15\ \text{K}$:

$$\begin{gathered} V = \frac{n\,R\,T}{p} = \frac{1 \cdot 8{,}314 \cdot 273{,}15}{101\,325}\ \text{m}^3 \\ V \approx 0{,}0224\ \text{m}^3 = 22{,}4\ \text{L} \end{gathered}$$

È il volume molare, uguale per tutti i gas: è la legge di Avogadro. A 0 °C e 1 bar vale circa 22,7 L, a 25 °C e 1 bar circa 24,8 L. Le «condizioni standard» cambiano da libro a libro: controlla quali usa l’esercizio.

La densità di un gas

Scrivendo $n = m/M$ si ricava la densità:

$$\begin{gathered} p\,V = \frac{m}{M}\,R\,T \\ \rho = \frac{m}{V} = \frac{p\,M}{R\,T} \end{gathered}$$

Per l’aria a 20 °C e 1 atm viene circa 1,2 kg/m³, per l’elio, con $M = 4\ \text{g/mol}$, circa sette volte meno: infatti i palloncini d’elio salgono. A parità di pressione, poi, la densità cala quando la temperatura sale: è il principio della mongolfiera.

Quando un gas reale non è perfetto

Il modello non funziona più quando contano il volume delle molecole e le loro attrazioni: ad alte pressioni e basse temperature, vicino alla liquefazione. Secondo le tabelle dell’aria, a 1 bar e 300 K l’errore è sotto il millesimo, a 200 bar e temperatura ambiente circa il 3%, a 100 bar e circa −133 °C il volume vero è meno della metà di quello previsto.

Serve allora un’equazione più accurata, come quella che Johannes Diderik van der Waals ricavò nella tesi di dottorato del 1873 (premio Nobel nel 1910):

$$\left(p + \frac{a\,n^2}{V^2}\right)(V - n\,b) = n\,R\,T$$

La costante $a$ tiene conto delle attrazioni, $b$ del volume delle molecole; con $a = b = 0$ torna $pV = nRT$.

Il piano di Clapeyron

Per un gas in equilibrio bastano due variabili, quindi ogni stato è un punto del piano di Clapeyron, con il volume in ascissa e la pressione in ordinata. La temperatura si ricava dall’equazione di stato: lo stato A della figura, una mole a 12 L e circa 208 kPa, è a

$$\begin{gathered} T = \frac{p\,V}{n\,R} = \frac{208\,000 \cdot 0{,}012}{1 \cdot 8{,}314}\ \text{K} \\ T \approx 300\ \text{K} \end{gathered}$$

Nel piano alcune linee hanno un nome:

• le isoterme, a temperatura costante, sono iperboli, perché $p = nRT/V$: più alta è la temperatura, più sono lontane dagli assi;
• le isobare, a pressione costante, sono rette orizzontali;
• le isocore, a volume costante, sono rette verticali.

Il nome ricorda Clapeyron, che nella memoria del 1834 disegnò il ciclo di Carnot come una curva chiusa in questo piano. Come vedrai nel primo principio, l’area sotto una linea è il lavoro fatto dal gas.

L’equilibrio termodinamico

Un sistema è in equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato non cambiano nel tempo. Servono tre equilibri insieme:

1. meccanico: forze bilanciate e pressione uniforme; un pistone, per esempio, è fermo;
2. termico: temperatura uniforme, come spiega il principio zero;
3. chimico: nessuna reazione o passaggio di stato in corso.

Solo in equilibrio le variabili di stato hanno un unico valore per tutto il sistema: un gas appena agitato non ha «una» pressione.

Le trasformazioni

Una trasformazione porta il sistema da uno stato di equilibrio a un altro. Pensa a un gas in un cilindro chiuso da un pistone carico di sabbia.

• Quasistatica. Togli un granello alla volta: il gas passa per una successione di stati di equilibrio, e la trasformazione si disegna come una linea continua nel piano di Clapeyron.
• Reversibile. È quasistatica e priva di attriti e di altre cause di irreversibilità, come il calore scambiato tra corpi a temperature diverse. Percorrendola all’indietro, sistema e ambiente tornano entrambi allo stato iniziale. È un’idealizzazione, che approfondiremo con il secondo principio.
• Irreversibile. Togli tutta la sabbia di colpo: il pistone schizza in alto e gli stati intermedi non sono di equilibrio; si disegnano solo gli estremi, uniti da una linea tratteggiata. Sono irreversibili tutte le trasformazioni reali, come un caffè che si raffredda.
• Ciclica. Lo stato finale coincide con quello iniziale, come nelle macchine termiche, per esempio la macchina di Carnot.

Hanno un nome anche le trasformazioni a temperatura, pressione o volume costante, isoterma, isobara e isocora, e quella senza scambi di calore, adiabatica. Le studieremo con il primo principio della termodinamica.

La mappa del capitolo

1. Temperatura ed equilibrio: principio zero e scale termometriche.
2. Il calore come energia: esperimento di Joule e calore e trasmissione del calore.
3. Il bilancio dell’energia: primo principio della termodinamica, teoria cinetica dei gas ed entalpia.
4. Cosa può succedere e cosa no: secondo principio, ciclo di Carnot, teorema di Carnot ed entropia.
5. Il limite delle basse temperature: terzo principio della termodinamica.
6. Per allenarti su tutto il capitolo: esercizi svolti di termodinamica.

Gli errori più comuni

• Usare i gradi Celsius nelle formule. In $pV = nRT$ e in $T_2/T_1$ serve il kelvin: da 10 °C a 20 °C la temperatura assoluta cresce del 3,5%, non raddoppia.
• Lasciare il volume in litri con R = 8,314. Con $R$ in J/(mol·K) servono pascal e metri cubi, e $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$. Con litri e atmosfere usa $R = 0{,}0821\ \text{L·atm/(mol·K)}$.
• Confondere bar e atmosfere, o pressione relativa e assoluta. $1\ \text{atm} = 1{,}013\ \text{bar}$, e il manometro delle gomme misura solo l’eccesso sulla pressione atmosferica.
• Scambiare grandezze estensive e intensive. Dividendo il sistema si dimezzano volume e massa, non pressione e temperatura.
• Usare la massa molare in g/mol con le unità SI. In $\rho = pM/(RT)$ e $n = m/M$ la massa molare va in kg/mol: per l’aria 0,029, non 29.
• Usare pV = nRT dove non vale. Non vale per liquidi e solidi, come il butano liquido di un accendino, né per un gas fuori equilibrio.
• Confondere sistema chiuso e isolato. Il sistema chiuso scambia energia, quello isolato nulla.
• Disegnare una trasformazione irreversibile come una linea continua. Solo quelle quasistatiche passano per stati di equilibrio.

Esercizi svolti

1. Le unità giuste per un palloncino

Testo. Un palloncino contiene 4,0 L di elio a 25 °C e alla pressione di 780 mmHg. Esprimi pressione, volume e temperatura in unità SI e trova quante moli e quanti grammi di elio contiene ($M = 4{,}00\ \text{g/mol}$).

Prima le conversioni:

$$\begin{gathered} p = 780 \cdot 133{,}3\ \text{Pa} \approx 1{,}040 \cdot 10^5\ \text{Pa} \\ V = 4{,}0\ \text{L} = 4{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 \\ T = (25 + 273{,}15)\ \text{K} = 298{,}15\ \text{K} \end{gathered}$$

Poi le moli e la massa:

$$\begin{gathered} n = \frac{p\,V}{R\,T} \\ {} = \frac{1{,}040 \cdot 10^5 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}}{8{,}314 \cdot 298{,}15}\ \text{mol} \\ {} \approx 0{,}168\ \text{mol} \\ m = n\,M = 0{,}168 \cdot 4{,}00\ \text{g} \approx 0{,}67\ \text{g} \end{gathered}$$

Controllo con le unità «chimiche», $p = 780/760\ \text{atm} \approx 1{,}026\ \text{atm}$ e $R = 0{,}0821\ \text{L·atm/(mol·K)}$:

$$n = \frac{1{,}026 \cdot 4{,}0}{0{,}0821 \cdot 298{,}15}\ \text{mol} \approx 0{,}168\ \text{mol}$$

Lo stesso risultato: il palloncino contiene meno di un grammo di gas.

2. Quanta aria c’è in un’aula

Testo. Un’aula misura 10 m × 8 m × 3 m. L’aria è a 20 °C e alla pressione atmosferica, 101 325 Pa. Quante moli e quante molecole d’aria contiene? Quanto pesa quell’aria? Usa $M = 0{,}029\ \text{kg/mol}$.

Il volume è $V = 240\ \text{m}^3$ e la temperatura $T = 293{,}15\ \text{K}$:

$$\begin{gathered} n = \frac{p\,V}{R\,T} = \frac{101\,325 \cdot 240}{8{,}314 \cdot 293{,}15}\ \text{mol} \\ n \approx 9980\ \text{mol} \\ N = n\,N_A \approx 6{,}0 \cdot 10^{27} \\ m = n\,M \approx 289\ \text{kg} \end{gathered}$$

Controllo con la densità: $\rho = pM/(RT) \approx 1{,}206\ \text{kg/m}^3$, e $\rho\,V \approx 1{,}206 \cdot 240\ \text{kg} \approx 289\ \text{kg}$. L’aria di un’aula pesa quasi 300 kg, quanto quattro adulti: non ce ne accorgiamo perché ci preme intorno da tutte le parti.

3. La mongolfiera

Testo. L’involucro di una mongolfiera ha un volume di 2800 m³ ed è aperto in basso. Fuori l’aria è a 15 °C, dentro viene scaldata fino a 100 °C; la pressione è 101 325 Pa dentro e fuori. Trova la densità dell’aria fuori e dentro e la massa massima che il pallone può sollevare, involucro e cesta compresi. Che tipo di sistema è l’aria nel pallone?

Con $\rho = pM/(RT)$ e $M = 0{,}029\ \text{kg/mol}$:

$$\begin{gathered} \rho_{fuori} = \frac{101\,325 \cdot 0{,}029}{8{,}314 \cdot 288{,}15}\ \text{kg/m}^3 \\ \rho_{fuori} \approx 1{,}2266\ \text{kg/m}^3 \\ \rho_{dentro} = \frac{101\,325 \cdot 0{,}029}{8{,}314 \cdot 373{,}15}\ \text{kg/m}^3 \\ \rho_{dentro} \approx 0{,}9472\ \text{kg/m}^3 \end{gathered}$$

Per il principio di Archimede la spinta è pari al peso dell’aria fredda spostata, che ha una massa di $1{,}2266 \cdot 2800 \approx 3434\ \text{kg}$; l’aria calda dentro ne ha $0{,}9472 \cdot 2800 \approx 2652\ \text{kg}$. La differenza è la massa sollevabile:

$$m_{max} = (\rho_{fuori} - \rho_{dentro})\,V \approx 782\ \text{kg}$$

Controllo: a pressione uguale $\rho_{dentro}/\rho_{fuori} = T_{fuori}/T_{dentro} = 288{,}15/373{,}15 \approx 0{,}772$, e infatti $0{,}9472/1{,}2266 \approx 0{,}772$. L’aria nel pallone è un sistema aperto: scaldandosi, circa il 23% esce dal fondo, ed è questa perdita di massa che fa salire la mongolfiera.

4. La gomma dopo l’autostrada

Testo. Di mattina, a 10 °C, il manometro del distributore segna 2,2 bar per una gomma dell’auto. Dopo un’ora di autostrada l’aria nella gomma è a 45 °C. Se il volume non cambia, cosa segna ora il manometro? La pressione atmosferica è 1,013 bar.

Il manometro misura la pressione relativa, cioè l’eccesso su quella atmosferica, ma la legge di Gay-Lussac vuole quella assoluta:

$$p_1 = (2{,}2 + 1{,}013)\ \text{bar} = 3{,}213\ \text{bar}$$

A volume costante $p/T$ non cambia, con le temperature in kelvin:

$$\begin{gathered} p_2 = p_1\,\frac{T_2}{T_1} = 3{,}213 \cdot \frac{318{,}15}{283{,}15}\ \text{bar} \\ p_2 \approx 3{,}610\ \text{bar} \end{gathered}$$

Il manometro segna $3{,}610 - 1{,}013 \approx 2{,}6\ \text{bar}$. Controllo: $T_2/T_1 \approx 1{,}124$, e $3{,}213 \cdot 1{,}124 \approx 3{,}61\ \text{bar}$. Con la pressione relativa avresti trovato 2,47 bar, sbagliato; con i gradi Celsius $2{,}2 \cdot 45/10 = 9{,}9\ \text{bar}$, assurdo. Ecco perché le gomme si controllano a freddo.

5. Una bolla che sale

Testo. Un sub, a 20 m di profondità in un lago, espira una bolla d’aria di 1,5 cm³. A quella profondità l’acqua è a 8 °C, in superficie è a 20 °C e la pressione dell’aria è 101 325 Pa. Che volume ha la bolla in superficie? Supponi che l’aria della bolla abbia sempre la temperatura dell’acqua; la densità dell’acqua è $1000\ \text{kg/m}^3$.

In un liquido fermo la pressione cresce con la profondità secondo la legge di Stevino, $p = p_0 + \rho\,g\,h$:

$$\begin{gathered} p_1 = 101\,325 + 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 20\ \text{Pa} \\ p_1 = 297\,525\ \text{Pa} \approx 2{,}98 \cdot 10^5\ \text{Pa} \end{gathered}$$

L’aria della bolla è un sistema chiuso, quindi $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, con $p_2 = p_0$:

$$\begin{gathered} V_2 = V_1\,\frac{p_1}{p_0}\,\frac{T_2}{T_1} \\ {} = 1{,}5 \cdot \frac{297\,525}{101\,325} \cdot \frac{293{,}15}{281{,}15}\ \text{cm}^3 \\ {} \approx 1{,}5 \cdot 2{,}936 \cdot 1{,}043\ \text{cm}^3 \approx 4{,}6\ \text{cm}^3 \end{gathered}$$

Controllo: $p_1V_1/T_1 = 297\,525 \cdot 1{,}5/281{,}15 \approx 1587$ e $p_2V_2/T_2 = 101\,325 \cdot 4{,}59/293{,}15 \approx 1586$, uguali a meno degli arrotondamenti. La bolla triplica di volume. Per lo stesso motivo un sub non deve mai trattenere il respiro mentre risale: l’aria nei polmoni si espanderebbe allo stesso modo.

6. Un pistone con una massa sopra

Testo. Un cilindro verticale di sezione $S = 60\ \text{cm}^2$ è chiuso da un pistone di massa trascurabile, che scorre senza attrito, con sopra una massa $m = 15\ \text{kg}$. Il gas perfetto sotto il pistone è a 17 °C e forma una colonna alta 15 cm; fuori c’è l’atmosfera, $p_0 = 101\,325\ \text{Pa}$. Trova la pressione del gas e il numero di moli. Poi il gas viene scaldato lentamente fino a 87 °C: trova il nuovo volume e di quanto sale il pistone. La trasformazione è quasistatica?

Il pistone è in equilibrio: la forza del gas, $pS$, bilancia quella dell’atmosfera, $p_0S$, più il peso $mg$:

$$\begin{gathered} p = p_0 + \frac{m\,g}{S} \\ {} = 101\,325\ \text{Pa} + \frac{15 \cdot 9{,}81}{60 \cdot 10^{-4}}\ \text{Pa} \\ {} = (101\,325 + 24\,525)\ \text{Pa} \\ {} = 125\,850\ \text{Pa} \approx 1{,}26 \cdot 10^5\ \text{Pa} \end{gathered}$$

Il volume iniziale è $V_1 = S\,h_1 = 9{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3$, cioè 0,90 L, e $T_1 = 290{,}15\ \text{K}$:

$$\begin{gathered} n = \frac{p\,V_1}{R\,T_1} \\ {} = \frac{125\,850 \cdot 9{,}0 \cdot 10^{-4}}{8{,}314 \cdot 290{,}15}\ \text{mol} \\ {} \approx 0{,}0470\ \text{mol} \end{gathered}$$

Durante il riscaldamento il pistone regge sempre la stessa massa e la stessa atmosfera, quindi la pressione resta 125 850 Pa: è un’isobara. Con $T_2 = 360{,}15\ \text{K}$:

$$\begin{gathered} V_2 = V_1\,\frac{T_2}{T_1} \\ {} = 9{,}0 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{360{,}15}{290{,}15}\ \text{m}^3 \\ {} \approx 1{,}117 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 \\ h_2 = \frac{V_2}{S} \approx 0{,}186\ \text{m} \end{gathered}$$

Il pistone sale di $\Delta h \approx 18{,}6 - 15 = 3{,}6\ \text{cm}$. Controllo: $h_2/h_1 = 18{,}6/15 = 1{,}24$, uguale a $T_2/T_1 = 360{,}15/290{,}15 \approx 1{,}24$.

Il riscaldamento è lento: a ogni istante il pistone è in equilibrio e il gas ha temperatura uniforme, quindi la trasformazione è quasistatica, un segmento orizzontale nel piano di Clapeyron da 0,90 L a 1,12 L. Se invece togliessi la massa di colpo, il pistone schizzerebbe in alto e oscillerebbe: una trasformazione irreversibile, di cui si conoscono solo gli estremi.

Altri problemi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti di termodinamica.

In sintesi

• Il sistema è la parte di universo che studiamo, l’ambiente è il resto.
• I sistemi aperti scambiano energia e materia, quelli chiusi solo energia, quelli isolati nulla.
• Dividendo il sistema, le grandezze estensive si dimezzano, quelle intensive no.
• Le funzioni di stato, come $U$, $H$ e $S$, dipendono solo dallo stato; calore e lavoro no.
• Gas perfetto: $pV = nRT = Nk_BT$, con $R = 8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$, $p$ in Pa, $V$ in m³ e $T$ in K.
• Stessa quantità di gas: $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$. Volume molare: 22,4 L a 0 °C e 1 atm. Densità: $\rho = pM/(RT)$.
• Piano di Clapeyron: isoterme iperboli, isobare orizzontali, isocore verticali.
• Le trasformazioni quasistatiche sono linee continue; quelle reali sono irreversibili.

Il primo passo è capire cos’è davvero la temperatura e come si misura: il principio zero della termodinamica.