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Esercizi svolti sul corpo rigido: momento d'inerzia, rotazioni, rotolamento ed equilibrio

Fisica 1 › Corpo rigidodi Valentino RoccoPubblicato il 7 min di lettura

In questa pagina
  1. Esercizio 1 · Il momento d’inerzia di un manubrio
  2. Esercizio 2 · Il volano che si ferma
  3. Esercizio 3 · La gara di rotolamento
  4. Esercizio 4 · L’asta che cade
  5. Esercizio 5 · Il disco che srotola un filo
  6. Esercizio 6 · La trave sostenuta da un cavo
  7. Esercizio 7 · Il proiettile e l’asta appesa
  8. Esercizio 8 · Il disco che oscilla
  9. Per continuare

In questa pagina trovi otto esercizi sul capitolo del corpo rigido, in ordine di difficoltà: i primi sono di base, quelli centrali di livello medio, gli ultimi sono da esame.

Prova da solo seguendo il metodo in 6 passi, e apri la soluzione solo dopo. Nel corpo rigido le equazioni sono due, una per la traslazione e una per la rotazione: non dimenticare quella dei momenti, e scegli il polo in modo da eliminare le forze che non conosci. In tutti gli esercizi usiamo g=9,81 m/s2g = 9{,}81\ \text{m/s}^2.

Esercizio 1 · Il momento d’inerzia di un manubrio

Livello: base · Argomento: momento d'inerzia e Huygens-Steiner

Un’asta omogenea di 1,0 kg e lunga 1,0 m porta a ciascun estremo una piccola sfera di 0,50 kg. Calcola il momento d’inerzia del sistema rispetto a un asse perpendicolare all’asta passante:

  1. per il suo centro;
  2. per uno dei suoi estremi.
Mostra la soluzione

Il momento d’inerzia è additivo: sommiamo quello dell’asta e quelli delle sfere, trattate come punti.

1. Asse per il centro. Le sfere sono a 0,50 m dall’asse:

Ic=112 M L2+2 m(L2)2Ic=112+2⋅0,50⋅0,25 kg⋅m2Ic≈0,083+0,25Ic=0,33 kg⋅m2\begin{gathered} I_c = \frac{1}{12}\,M\,L^2 + 2\,m\left(\frac{L}{2}\right)^2 \\ I_c = \frac{1}{12} + 2 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}25\ \text{kg·m}^2 \\ I_c \approx 0{,}083 + 0{,}25 \\ I_c = 0{,}33\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}

2. Asse per un estremo. Una sfera è sull’asse e non conta, l’altra è a 1,0 m:

Ie=13 M L2+m L2Ie=0,333+0,50 kg⋅m2Ie≈0,83 kg⋅m2\begin{gathered} I_e = \frac{1}{3}\,M\,L^2 + m\,L^2 \\ I_e = 0{,}333 + 0{,}50\ \text{kg·m}^2 \\ I_e \approx 0{,}83\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}

Controllo con Huygens-Steiner: il centro di massa del sistema è nel centro dell’asta, e la massa totale è 2,0 kg. Quindi Ie=Ic+Mtot (L/2)2=0,333+2,0⋅0,25=0,83 kg⋅m2I_e = I_c + M_{tot}\,(L/2)^2 = 0{,}333 + 2{,}0 \cdot 0{,}25 = 0{,}83\ \text{kg·m}^2.

Esercizio 2 · Il volano che si ferma

Livello: base · Argomento: rotazioni attorno a un asse fisso

Un volano a forma di disco omogeneo, di 5,0 kg e raggio 20 cm, gira a 300 giri al minuto. Spento il motore, si ferma in 20 s per effetto di un momento d’attrito costante.

  1. Calcola l’accelerazione angolare e il momento d’attrito.
  2. Quanti giri compie prima di fermarsi?
  3. Quanto lavoro compie l’attrito?
Mostra la soluzione

Dati: ω0=300⋅2π/60≈31,4 rad/s\omega_0 = 300 \cdot 2\pi/60 \approx 31{,}4\ \text{rad/s} e I=12MR2=12⋅5,0⋅0,202=0,10 kg⋅m2I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \cdot 5{,}0 \cdot 0{,}20^2 = 0{,}10\ \text{kg·m}^2.

1.

α=ω0t=31,420 rad/s2α≈1,57 rad/s2M=I α≈0,10⋅1,57 N⋅mM≈0,157 N⋅m\begin{gathered} \alpha = \frac{\omega_0}{t} = \frac{31{,}4}{20}\ \text{rad/s}^2 \\ \alpha \approx 1{,}57\ \text{rad/s}^2 \\ M = I\,\alpha \approx 0{,}10 \cdot 1{,}57\ \text{N·m} \\ M \approx 0{,}157\ \text{N·m} \end{gathered}

2. Nel moto uniformemente decelerato l’angolo è velocità media per tempo:

θ=ω02 t≈314 rad=50 giri\theta = \frac{\omega_0}{2}\,t \approx 314\ \text{rad} = 50\ \text{giri}

3. Il lavoro dell’attrito è uguale alla variazione di energia cinetica di rotazione:

W=0−12 I ω02=−12⋅0,10⋅31,42 JW≈−49 J\begin{gathered} W = 0 - \frac{1}{2}\,I\,\omega_0^2 = -\frac{1}{2} \cdot 0{,}10 \cdot 31{,}4^2\ \text{J} \\ W \approx -49\ \text{J} \end{gathered}

Controllo: W=−M θ=−0,157⋅314≈−49 JW = -M\,\theta = -0{,}157 \cdot 314 \approx -49\ \text{J}.

Esercizio 3 · La gara di rotolamento

Livello: medio · Argomento: puro rotolamento

Da una rampa alta 1,5 m partono da ferme una sfera piena e un cilindro pieno, che rotolano senza strisciare, e un cubetto di ghiaccio che scivola senza attrito. Con che velocità arriva ciascuno in fondo? Chi vince?

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Nel puro rotolamento l’attrito statico non compie lavoro: l’energia meccanica si conserva. In fondo l’energia cinetica è di traslazione più di rotazione, con ω=v/R\omega = v/R:

m g h=12 m v2+12 I v2R2v=2 g h1+I/(mR2)\begin{gathered} m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + \frac{1}{2}\,I\,\frac{v^2}{R^2} \\ v = \sqrt{\frac{2\,g\,h}{1 + I/(mR^2)}} \end{gathered}
  • Sfera piena, I/(mR2)=2/5I/(mR^2) = 2/5: v=107gh≈4,58 m/sv = \sqrt{\frac{10}{7}gh} \approx 4{,}58\ \text{m/s}.
  • Cilindro pieno, I/(mR2)=1/2I/(mR^2) = 1/2: v=43gh≈4,43 m/sv = \sqrt{\frac{4}{3}gh} \approx 4{,}43\ \text{m/s}.
  • Cubetto di ghiaccio, nessuna rotazione: v=2gh≈5,42 m/sv = \sqrt{2gh} \approx 5{,}42\ \text{m/s}.

Vince il ghiaccio, poi la sfera, poi il cilindro. Il risultato non dipende né dalla massa né dal raggio: chi ha più energia “intrappolata” nella rotazione è più lento.

Esercizio 4 · L’asta che cade

Livello: medio · Argomento: rotazioni e conservazione dell'energia

Un’asta omogenea lunga 0,80 m può ruotare senza attrito intorno a un asse orizzontale passante per un suo estremo. Viene tenuta orizzontale e lasciata cadere da ferma.

  1. Calcola l’accelerazione angolare all’istante iniziale e l’accelerazione dell’estremo libero.
  2. Calcola la velocità angolare e la velocità dell’estremo libero quando l’asta passa per la verticale.
Mostra la soluzione

Il momento d’inerzia rispetto all’estremo è I=13mL2I = \frac{1}{3}mL^2, e il peso è applicato nel centro, a L/2L/2 dall’asse.

1. Istante iniziale. L’asta è orizzontale, il braccio del peso è L/2L/2:

m g L2=13 m L2 αα=3 g2 L=3⋅9,811,6 rad/s2α≈18,4 rad/s2\begin{gathered} m\,g\,\frac{L}{2} = \frac{1}{3}\,m\,L^2\,\alpha \\ \alpha = \frac{3\,g}{2\,L} = \frac{3 \cdot 9{,}81}{1{,}6}\ \text{rad/s}^2 \\ \alpha \approx 18{,}4\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}

L’estremo libero ha accelerazione a=α L=32 g≈14,7 m/s2a = \alpha\,L = \frac{3}{2}\,g \approx 14{,}7\ \text{m/s}^2: più di gg. Se sull’estremo ci fosse appoggiata una monetina, l’asta le “scapperebbe da sotto”.

2. Alla verticale. Il centro di massa è sceso di L/2L/2. Per la conservazione dell’energia:

m g L2=12⋅13 m L2 ω2ω=3 gL≈6,07 rad/s\begin{gathered} m\,g\,\frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\,m\,L^2\,\omega^2 \\ \omega = \sqrt{\frac{3\,g}{L}} \approx 6{,}07\ \text{rad/s} \end{gathered} v=ω L≈4,85 m/sv = \omega\,L \approx 4{,}85\ \text{m/s}

Esercizio 5 · Il disco che srotola un filo

Livello: medio · Argomento: carrucola reale

Un disco omogeneo di 4,0 kg e raggio 15 cm può ruotare senza attrito intorno al suo asse, fisso e orizzontale. Intorno al disco è avvolto un filo, all’estremo del quale pende un corpo di 1,0 kg. Il sistema parte da fermo.

  1. Calcola l’accelerazione del corpo e la tensione del filo.
  2. Calcola la velocità del corpo e la velocità angolare del disco dopo 2,0 s.
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1. Equazioni del corpo e del disco, con I=12MR2I = \frac{1}{2}MR^2 e il filo che non scivola, a=αRa = \alpha R:

m g−T=m aT R=12 M R2 aR⇒T=12 M a\begin{gathered} m\,g - T = m\,a \\ T\,R = \frac{1}{2}\,M\,R^2\,\frac{a}{R} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{1}{2}\,M\,a \end{gathered}

Sostituendo:

a=m gm+M/2=9,813,0 m/s2a=3,27 m/s2T=m (g−a)≈6,54 N\begin{gathered} a = \frac{m\,g}{m + M/2} = \frac{9{,}81}{3{,}0}\ \text{m/s}^2 \\ a = 3{,}27\ \text{m/s}^2 \\ T = m\,(g - a) \approx 6{,}54\ \text{N} \end{gathered}

2.

v=a t=6,54 m/sω=vR=6,540,15 rad/s=43,6 rad/s\begin{gathered} v = a\,t = 6{,}54\ \text{m/s} \\ \omega = \frac{v}{R} = \frac{6{,}54}{0{,}15}\ \text{rad/s} = 43{,}6\ \text{rad/s} \end{gathered}

Controllo con l’energia. In 2,0 s il corpo scende di 12at2=6,54 m\frac{1}{2}at^2 = 6{,}54\ \text{m}, perdendo mgh≈64,2 Jmgh \approx 64{,}2\ \text{J}. L’energia cinetica finale è 12⋅1,0⋅6,542+12⋅0,045⋅43,62≈21,4+42,8=64,2 J\frac{1}{2} \cdot 1{,}0 \cdot 6{,}54^2 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}045 \cdot 43{,}6^2 \approx 21{,}4 + 42{,}8 = 64{,}2\ \text{J}.

Esercizio 6 · La trave sostenuta da un cavo

Livello: medio · Argomento: equilibrio statico

Una trave omogenea orizzontale di 40 kg, lunga 3,0 m, è incernierata a un muro a un estremo. L’altro estremo è sostenuto da un cavo fissato al muro, che forma un angolo di 30° con la trave, e da lì pende un carico di 60 kg.

Trave orizzontale incernierata a un muro, sostenuta all'estremo libero da un cavo inclinato di 30 gradi rispetto alla trave, con un carico appeso all'estremo

Calcola la tensione del cavo e la reazione della cerniera.

Mostra la soluzione

Forze sulla trave: peso della trave, 392 N, nel centro; peso del carico, 589 N, all’estremo; tensione TT del cavo all’estremo, inclinata di 30°; reazione della cerniera, con componenti HxH_x e HyH_y incognite.

Momenti rispetto alla cerniera, così le sue due incognite spariscono. Solo la componente verticale della tensione, Tsin⁡30°T\sin 30°, ha braccio rispetto alla cerniera:

Tsin⁡30°⋅3,0=40⋅9,81⋅1,5+  60⋅9,81⋅3,0T=588,6+1765,81,5 NT≈1570 N\begin{gathered} T\sin 30° \cdot 3{,}0 = 40 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}5 \\ \qquad + \; 60 \cdot 9{,}81 \cdot 3{,}0 \\ T = \frac{588{,}6 + 1765{,}8}{1{,}5}\ \text{N} \\ T \approx 1570\ \text{N} \end{gathered}

Forze:

Hx=Tcos⁡30°≈1360 NHy=(40+60)⋅9,81−Tsin⁡30°Hy≈981−785 NHy≈196 N\begin{gathered} H_x = T\cos 30° \approx 1360\ \text{N} \\ H_y = (40 + 60) \cdot 9{,}81 - T\sin 30° \\ H_y \approx 981 - 785\ \text{N} \\ H_y \approx 196\ \text{N} \end{gathered}

Il cavo tira la trave verso il muro, e la cerniera la spinge in verso opposto con HxH_x; HyH_y è diretta verso l’alto. La tensione è oltre una volta e mezza il peso totale: un cavo poco inclinato deve tirare molto per sostenere il carico.

Esercizio 7 · Il proiettile e l’asta appesa

Livello: da esame · Argomento: conservazione del momento angolare

Un’asta omogenea di 1,0 kg, lunga 1,0 m, è appesa per un estremo a un perno orizzontale e pende verticale, ferma. Un proiettile di 50 g, che viaggia orizzontalmente a 20 m/s, colpisce l’estremo inferiore dell’asta e vi resta conficcato.

  1. Calcola la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto.
  2. Di quale angolo massimo si solleva l’asta?
  3. Che frazione dell’energia cinetica del proiettile si perde nell’urto?
Mostra la soluzione

1. L’urto. Il perno esercita una forza impulsiva, quindi la quantità di moto non si conserva. Si conserva però il momento angolare rispetto al perno, perché la forza del perno ha braccio nullo. Il momento d’inerzia dopo l’urto è quello dell’asta più quello del proiettile all’estremo:

I=13 M L2+m L2I=0,333+0,050 kg⋅m2I≈0,383 kg⋅m2\begin{gathered} I = \frac{1}{3}\,M\,L^2 + m\,L^2 \\ I = 0{,}333 + 0{,}050\ \text{kg·m}^2 \\ I \approx 0{,}383\ \text{kg·m}^2 \end{gathered} m v L=I ωω=0,050⋅20⋅1,00,383 rad/s≈2,61 rad/s\begin{gathered} m\,v\,L = I\,\omega \\ \omega = \frac{0{,}050 \cdot 20 \cdot 1{,}0}{0{,}383}\ \text{rad/s} \approx 2{,}61\ \text{rad/s} \end{gathered}

2. La risalita. Ora non ci sono più urti e l’energia meccanica si conserva. Quando il sistema ruota di θ\theta, il centro dell’asta sale di L2(1−cos⁡θ)\frac{L}{2}(1 - \cos\theta) e il proiettile di L(1−cos⁡θ)L(1 - \cos\theta):

12 I ω2=(M g L2+m g L)(1−cos⁡θ)\frac{1}{2}\,I\,\omega^2 = \left(M\,g\,\frac{L}{2} + m\,g\,L\right)(1 - \cos\theta) 1,30 J=5,40 J⋅(1−cos⁡θ)1−cos⁡θ≈0,242θ≈41°\begin{gathered} 1{,}30\ \text{J} = 5{,}40\ \text{J} \cdot (1 - \cos\theta) \\ 1 - \cos\theta \approx 0{,}242 \\ \theta \approx 41° \end{gathered}

3. Il proiettile aveva 12⋅0,050⋅202=10 J\frac{1}{2} \cdot 0{,}050 \cdot 20^2 = 10\ \text{J}; dopo l’urto restano 1,30 J. Si perde circa l’87%: l’urto è completamente anelastico.

Esercizio 8 · Il disco che oscilla

Livello: da esame · Argomento: pendolo composto

Un disco omogeneo di raggio 20 cm è appeso a un chiodo che passa per un foro vicino al bordo, ed è libero di oscillare nel suo piano.

  1. Calcola il periodo delle piccole oscillazioni e la lunghezza del pendolo semplice equivalente.
  2. A che distanza dal centro andrebbe messo il foro per avere il periodo più breve possibile? Quanto vale quel periodo?
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1. È un pendolo composto con distanza asse-centro di massa h=Rh = R. Per Huygens-Steiner, I=12mR2+mR2=32mR2I = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2:

T=2πIm g h=2π3 R2 gT=2π0,309,81 s≈1,10 s\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m\,g\,h}} = 2\pi\sqrt{\frac{3\,R}{2\,g}} \\ T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}30}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 1{,}10\ \text{s} \end{gathered}

La lunghezza equivalente è l=I/(mh)=32R=30 cml = I/(mh) = \frac{3}{2}R = 30\ \text{cm}: il disco oscilla come un pendolo semplice lungo 30 cm.

2. Il periodo è minimo quando la distanza dal centro è uguale al raggio giratore, h=k=Icm/m=R/2≈14,1 cmh = k = \sqrt{I_{cm}/m} = R/\sqrt{2} \approx 14{,}1\ \text{cm}. Allora I=m(k2+h2)=2mk2I = m(k^2 + h^2) = 2mk^2 e

Tmin=2π2 kg=2π0,2839,81 sTmin≈1,07 s\begin{gathered} T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{2\,k}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}283}{9{,}81}}\ \text{s} \\ T_{min} \approx 1{,}07\ \text{s} \end{gathered}

Il miglioramento è piccolo, perché vicino al minimo il periodo cambia poco. Il vantaggio di questa posizione è un altro: il periodo diventa poco sensibile a piccoli errori nella posizione del foro.

Per continuare

Se un esercizio ti ha messo in difficoltà, ripassa l’argomento collegato e riprova il giorno dopo senza guardare la soluzione. Poi passa all’ultimo capitolo del programma: la termodinamica, a partire dai sistemi termodinamici.

Se vuoi altri esercizi spiegati passo per passo anche in video, li trovi nel mio corso di esercizi di Fisica 1 su Udemy.

Domande frequenti

Come si risolve un esercizio sul corpo rigido?

Si scrivono le due equazioni cardinali: R = m·a_cm per il centro di massa e M = I·α per la rotazione, scegliendo bene il polo dei momenti. Poi si aggiungono i vincoli, come v = ωR nel rotolamento o a = αR per un filo che non scivola. Per velocità e posizioni conviene spesso la conservazione dell'energia, con l'energia cinetica di rotazione ½Iω².

Cosa si conserva quando un proiettile colpisce un corpo che ruota attorno a un asse fisso?

Il momento angolare rispetto all'asse fisso. La quantità di moto invece non si conserva, perché il perno esercita una forza impulsiva durante l'urto, ma questa forza ha momento nullo rispetto all'asse.

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