Densità e centro di massa di un corpo continuo: formule, integrali ed esercizi svolti

Una trave d’acciaio, un disco, una lastra di lamiera, un filo piegato: nei corpi reali la massa non è concentrata in pochi punti, ma è distribuita in modo continuo. Per descriverli servono due strumenti: la densità, che dice quanta massa c’è in ogni pezzetto del corpo, e il centro di massa calcolato con un integrale. Sono il primo passo per studiare il corpo rigido. In questa pagina vediamo la densità di volume, di superficie e lineare con i valori dei materiali più comuni, la massa e il centro di massa calcolati con gli integrali, le simmetrie, i risultati classici di asta, semicerchio, triangolo e cono, i corpi composti e forati, perché il centro di massa può cadere fuori dal corpo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Dai punti materiali ai corpi continui

Nei sistemi di punti la massa era concentrata in pochi punti, e il centro di massa si calcolava con una somma. Un corpo vero è fatto di un numero enorme di atomi: sommarli uno per uno è impossibile.

L’idea è dividere il corpo in pezzetti così piccoli che ognuno si può trattare come un punto materiale, con massa $dm$ e posizione $\vec{r}$. Quando i pezzetti diventano infinitamente piccoli e numerosi, la somma diventa un integrale: è l’idea delle somme di Riemann dell’integrale definito. Per dire quanta massa c’è in ogni pezzetto serve la densità.

La densità di volume

Prendi un pezzetto del corpo con volume $dV$ e massa $dm$. La densità di volume è il rapporto tra le due:

$$\rho = \frac{dm}{dV}$$

Si misura in $\text{kg/m}^3$. Spesso le tabelle la danno in $\text{g/cm}^3$: per passare all’altra unità basta moltiplicare per mille.

$$1\ \text{g/cm}^3 = \frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} = 1000\ \text{kg/m}^3$$

Le densità di alcuni materiali

Ecco i valori di qualche materiale di tutti i giorni, a temperatura ambiente:

Materiale	$\rho$ (kg/m³)	$\rho$ (g/cm³)
Aria (20 °C)	1,20	0,0012
Ghiaccio	917	0,917
Acqua	1000	1,00
Alluminio	2700	2,70
Ferro	7870	7,87
Rame	8960	8,96
Piombo	11 340	11,3
Mercurio	13 530	13,5
Oro	19 300	19,3

Qualche osservazione utile:

• Il ghiaccio è meno denso dell’acqua: per questo galleggia, con circa nove decimi del volume sott’acqua.
• Una stanza di 4 m × 5 m × 3 m contiene 60 m³ d’aria, cioè circa 72 kg: la massa di una persona.
• Un mattoncino d’oro da un litro avrebbe una massa di 19,3 kg; uno di piombo poco più della metà.

Corpi omogenei e non omogenei

Se la densità è la stessa in tutti i punti, il corpo si dice omogeneo, e la definizione si semplifica:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Un cubo di ferro o una lastra di vetro sono, con ottima approssimazione, omogenei. In generale, però, la densità cambia da punto a punto, $\rho = \rho(x, y, z)$: pensa a una trave di cemento armato, con le barre d’acciaio nel calcestruzzo.

Per un corpo non omogeneo il rapporto $m/V$ dà solo la densità media. L’esempio più spettacolare è la Terra: la sua densità media è circa 5510 kg/m³, il doppio di quella delle rocce della superficie, circa 2700 kg/m³. Quindi all’interno c’è materiale molto più denso: il nucleo di ferro e nichel.

Densità di superficie e densità lineare

Un foglio o una lamiera sono quasi solo superficie; un filo o un’asta quasi solo lunghezza. In questi casi si usano due densità «ridotte»:

Per una lastra omogenea di spessore $s$ e per un filo omogeneo di sezione $A$, le densità ridotte si ottengono da quella di volume:

$$\begin{gathered} \sigma = \rho\,s \\ \lambda = \rho\,A \end{gathered}$$

Una densità superficiale la incontri tutti i giorni: la grammatura della carta. Un foglio «da 80 grammi» ha $\sigma = 80\ \text{g/m}^2$. Un foglio A4 misura 21 cm × 29,7 cm, cioè 0,0624 m², quindi:

$$\begin{gathered} m = \sigma\,S = 80\ \text{g/m}^2 \cdot 0{,}0624\ \text{m}^2 \\ m \approx 5{,}0\ \text{g} \end{gathered}$$

e una risma da 500 fogli circa 2,5 kg. Un filo di rame da 1,5 mm² di sezione, comune negli impianti di casa, ha invece una densità lineare:

$$\begin{gathered} \lambda = \rho\,A = 8960 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \text{kg/m} \\ \lambda \approx 0{,}0134\ \text{kg/m} = 13{,}4\ \text{g/m} \end{gathered}$$

La massa di un corpo continuo

La massa totale è la somma delle masse di tutti i pezzetti, cioè l’integrale di $dm$ su tutto il corpo:

$$\begin{gathered} m = \int_V \rho\,dV \\ m = \int_S \sigma\,dS \\ m = \int_l \lambda\,dl \end{gathered}$$

Se il corpo è omogeneo la densità esce dall’integrale e si ritrova $m = \rho V$, $m = \sigma S$ o $m = \lambda l$. L’integrale serve quando la densità cambia, e il trucco è scegliere bene il pezzetto. Per un’asta con densità $\lambda(x)$ è un trattino lungo $dx$, con $dm = \lambda(x)\,dx$. Per un disco la cui densità dipende solo dalla distanza $r$ dal centro è un anello sottile di raggio $r$ e spessore $dr$, con area pari a circonferenza per spessore: $dm = \sigma(r)\,2\pi r\,dr$. La regola: dentro il pezzetto la densità deve essere costante.

Il centro di massa di un corpo continuo

Per un sistema di punti la posizione del centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse:

$$\vec{r}_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{r}_i}{m}$$

Per un corpo continuo la somma diventa un integrale sulla massa:

$$\vec{r}_{cm} = \frac{1}{m}\int \vec{r}\,dm$$

In pratica si lavora per componenti, una coordinata alla volta:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{1}{m}\int x\,dm \\ y_{cm} = \frac{1}{m}\int y\,dm \\ z_{cm} = \frac{1}{m}\int z\,dm \end{gathered}$$

Ogni pezzetto «vota» per la propria posizione con un peso pari alla sua massa: il centro di massa si avvicina a dove c’è più massa.

Il metodo in quattro passi

1. Scegli gli assi sfruttando le simmetrie: spesso resta da calcolare una sola coordinata.
2. Scegli il pezzetto in modo che tutti i suoi punti abbiano la stessa coordinata che ti interessa: per $y_{cm}$ strisce orizzontali, per i corpi rotondi anelli o archi.
3. Scrivi la massa del pezzetto con una sola variabile, per esempio $dm = \sigma\,w(y)\,dy$ per una striscia larga $w(y)$ e alta $dy$.
4. Calcola due integrali, quello della massa e quello di $y\,dm$, e dividili. Controlla che il risultato cada in un punto sensato.

Usare le simmetrie

Spesso l’integrale si può evitare. Se un corpo omogeneo ha un centro di simmetria, il centro di massa è lì: per ogni pezzetto in $\vec{r}$ ce n’è uno uguale in $-\vec{r}$, e i loro contributi si annullano a coppie. Così un’asta omogenea ha il centro di massa a metà, e una sfera, un cubo, un disco o un anello omogenei nel centro geometrico. Se c’è solo un asse o un piano di simmetria, il centro di massa sta sull’asse o sul piano.

Quattro integrali da saper fare

Ecco il metodo all’opera su quattro corpi classici dei compiti d’esame.

L’asta con densità che cresce

Un’asta lunga $L$, disposta lungo l’asse $x$ da $0$ a $L$, ha una densità lineare che cresce in proporzione alla distanza dall’estremo sinistro: $\lambda(x) = k\,x$, dove $k$ è una costante che si misura in $\text{kg/m}^2$. Il pezzetto è un trattino lungo $dx$, con massa $dm = k\,x\,dx$:

$$m = \int_0^L k\,x\,dx = \frac{k\,L^2}{2}$$ $$\begin{gathered} \int_0^L x\,dm = \int_0^L k\,x^2\,dx = \frac{k\,L^3}{3} \\ x_{cm} = \frac{k L^3/3}{k L^2/2} = \frac{2}{3}\,L \end{gathered}$$

Il centro di massa è spostato verso l’estremo più pesante, e $k$ si semplifica: conta solo come varia la densità. Con $k = 2\ \text{kg/m}^2$ e $L = 1\ \text{m}$, per esempio, l’asta ha massa 1 kg e il centro di massa a 0,67 m dall’estremo leggero; se fosse omogenea, a 0,5 m.

Il filo piegato a semicerchio

Un filo omogeneo, con densità lineare $\lambda$, è piegato a semicerchio di raggio $R$. Mettiamo l’origine nel centro O e l’asse $y$ sull’asse di simmetria: per simmetria $x_{cm} = 0$, e resta da trovare $y_{cm}$.

Qui conviene usare come variabile l’angolo $\theta$. Un archetto di filo che corrisponde all’angolo $d\theta$ è lungo $R\,d\theta$, ha massa $dm = \lambda R\,d\theta$ e si trova all’altezza $y = R\sin\theta$. L’angolo va da $0$ a $\pi$:

$$\begin{gathered} m = \int_0^\pi \lambda R\,d\theta = \lambda\,\pi R \\ \int y\,dm = \lambda R^2\!\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta = 2\lambda R^2 \end{gathered}$$ $$y_{cm} = \frac{2\lambda R^2}{\lambda\,\pi R} = \frac{2R}{\pi} \approx 0{,}637\,R$$

Il centro di massa è sull’asse di simmetria, a quasi due terzi del raggio: in un punto dove non c’è filo.

La lastra a semicerchio

Ora riempiamo il semicerchio: una lastra omogenea di densità $\sigma$ e raggio $R$. Invece delle strisce orizzontali, usiamo il risultato appena trovato: dividiamo la lastra in archi semicircolari di raggio $r$ e spessore $dr$. Ognuno è un filo a semicerchio, con il centro di massa a $2r/\pi$ e area pari a lunghezza per spessore:

$$dm = \sigma\,\pi r\,dr$$

Mettendo ogni arco nel suo centro di massa:

$$\begin{gathered} \int y\,dm = \int_0^R \frac{2r}{\pi}\,\sigma\,\pi r\,dr \\ {} = 2\sigma\!\int_0^R r^2\,dr = \frac{2\sigma R^3}{3} \end{gathered}$$

e dividendo per la massa della lastra, $m = \sigma\,\pi R^2/2$:

$$\begin{gathered} y_{cm} = \frac{2\sigma R^3/3}{\sigma\,\pi R^2/2} = \frac{4R}{3\pi} \\ y_{cm} \approx 0{,}424\,R \end{gathered}$$

Riempiendo il semicerchio abbiamo aggiunto massa vicino al diametro, quindi il centro di massa scende. Lo stesso risultato si ottiene con strisce orizzontali larghe $2\sqrt{R^2 - y^2}$ e l’integrazione per sostituzione. Nella figura i due casi sono alla stessa scala.

Il triangolo

Una lastra triangolare omogenea ha base $b$ e altezza $h$. La dividiamo in strisce parallele alla base, in cui tutti i punti hanno la stessa $y$. Per la similitudine dei triangoli, la striscia all’altezza $y$ è larga $b\,(1 - y/h)$: $b$ sulla base, zero in cima.

La striscia ha area $b\,(1 - y/h)\,dy$ e massa $dm = \sigma\,b\,(1 - y/h)\,dy$:

$$\begin{gathered} m = \sigma b\int_0^h \left(1 - \frac{y}{h}\right)dy \\ m = \frac{\sigma\,b\,h}{2} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \int y\,dm = \sigma b\int_0^h \left(y - \frac{y^2}{h}\right)dy \\ {} = \frac{\sigma\,b\,h^2}{6} \end{gathered}$$ $$y_{cm} = \frac{\sigma b h^2/6}{\sigma b h/2} = \frac{h}{3}$$

Il centro di massa è a un terzo dell’altezza dalla base, per qualsiasi triangolo e qualsiasi lato preso come base. Quindi è il punto d’incontro delle tre mediane, il baricentro della geometria, e le sue coordinate sono la media di quelle dei vertici:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \\ y_{cm} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \end{gathered}$$

È come se la massa della lastra fosse divisa in tre parti uguali, messe nei tre vertici.

Il cono e gli altri solidi

Con fette orizzontali si trattano i solidi; il cono pieno è nell’esercizio 6. Ecco i risultati da ricordare, per corpi omogenei:

Corpo	Centro di massa	Misurato da
Asta	$L/2$	un estremo
Filo a semicerchio	$2R/\pi \approx 0{,}637\,R$	il centro
Lastra a semicerchio	$4R/(3\pi) \approx 0{,}424\,R$	il centro
Triangolo	$h/3$	la base
Cono pieno	$h/4$	la base
Piramide piena	$h/4$	la base
Semisfera piena	$3R/8$	il centro
Guscio semisferico	$R/2$	il centro

Il cono ha il centro di massa più in basso del triangolo, a $h/4$ invece che a $h/3$, perché l’area delle sue fette cresce con il quadrato del raggio: scendendo verso la base la massa aumenta più in fretta.

Un controllo elegante: i teoremi di Pappo-Guldino

Il secondo teorema di Pappo-Guldino permette di controllare questi risultati senza integrali: se fai ruotare una figura piana attorno a un asse che non la taglia, il volume del solido è l’area della figura per la strada percorsa dal suo centro di massa:

$$V = A \cdot 2\pi\,y_{cm}$$

dove $y_{cm}$ è la distanza del centro di massa dall’asse. La lastra a semicerchio, ruotando attorno al diametro, genera una sfera:

$$\begin{gathered} \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{\pi R^2}{2} \cdot 2\pi\,y_{cm} \\ y_{cm} = \frac{4R}{3\pi} \end{gathered}$$

proprio il risultato di prima. Il primo teorema fa lo stesso con le curve: il filo a semicerchio genera la superficie della sfera, $4\pi R^2$, e si ritrova $2R/\pi$. Al contrario, dal centro di massa si ricavano volumi e superfici dei solidi di rotazione.

Corpi composti e corpi con un buco

Se un corpo è formato da parti di cui conosci massa e centro di massa, non serve nessun integrale: ogni parte è un punto materiale con tutta la massa nel proprio centro di massa, e si usa la formula dei sistemi di punti:

$$x_{cm} = \frac{m_1\,x_1 + m_2\,x_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots}$$

Esempio: un’asta omogenea di 3 kg, lunga 1 m, porta a un estremo una piccola sfera di 1 kg. Con l’origine nell’altro estremo, l’asta ha il centro di massa a 0,5 m e la sfera a 1 m:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{3 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 1}{3 + 1}\ \text{m} \\ x_{cm} = 0{,}625\ \text{m} \end{gathered}$$

Il trucco della massa negativa

Un corpo con un buco è il corpo pieno meno il pezzo che manca, che entra nella formula con massa negativa:

$$x_{cm} = \frac{M\,x_M - m_f\,x_f}{M - m_f}$$

dove $M$ e $x_M$ si riferiscono al corpo pieno, $m_f$ e $x_f$ al pezzo tolto. In una lastra omogenea al posto delle masse si possono usare le aree. Prendi un disco di raggio $R$ con un foro di raggio $R/2$ che tocca il bordo, cioè centrato a $R/2$ dal centro. Il foro ha un quarto dell’area:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{0 - \frac{1}{4}\pi R^2 \cdot \frac{R}{2}}{\pi R^2 - \frac{1}{4}\pi R^2} \\ x_{cm} = -\frac{R}{6} \end{gathered}$$

Il centro di massa si sposta di $R/6$ dalla parte opposta al foro. È la versione continua del trucco usato con i punti materiali nel centro di massa.

Quando il centro di massa è fuori dal corpo

Il centro di massa non deve per forza trovarsi dove c’è materia: è una media, e la media tra un 4 e un 8 è 6 anche se nessuno ha preso 6. In un anello è al centro del buco; nel filo a semicerchio a $0{,}64\,R$ dal centro, dove non c’è filo; in una squadra a L nell’angolo vuoto (esercizio 3); in un boomerang o in un ferro di cavallo dalla parte concava, fuori dal materiale.

L’esempio più famoso è il salto in alto con la tecnica di Dick Fosbury, che con essa vinse l’oro alle Olimpiadi di Città del Messico del 1968. L’atleta passa sopra l’asticella di schiena, inarcato: il centro di massa è fuori dal corpo, sotto la schiena, passa vicinissimo all’asticella e, secondo alcune analisi, in teoria può persino passarle sotto. Così, a parità di asticella, l’atleta deve sollevare un po’ meno il proprio centro di massa.

Anche quando è nel vuoto, il centro di massa è il punto in cui agisce il peso: decide se un oggetto resta in piedi o si ribalta, come vediamo nell’equilibrio statico del corpo rigido.

Centro di massa e baricentro

Il baricentro è il punto in cui si può considerare applicata la forza peso di tutto il corpo. Se $\vec{g}$ è lo stesso su tutto il corpo, come per gli oggetti ordinari sulla Terra, il baricentro coincide con il centro di massa: per questo il peso $m\vec{g}$ si disegna nel centro di massa e i due nomi si usano come sinonimi.

Come trovarlo con un filo a piombo

Il baricentro di un cartoncino di forma qualsiasi si trova senza conti. Appendilo a un chiodo per un punto vicino al bordo: all’equilibrio il baricentro è sulla verticale del chiodo, perché solo così il peso non ha momento. Traccia la verticale con un filo a piombo, poi ripeti appendendolo per un altro punto: il baricentro è dove le due rette si incrociano.

Il centro di massa serve anche nelle rotazioni: il momento d’inerzia si calcola con integrali simili a questi, e per un asse qualsiasi si ricava da quello per l’asse parallelo passante per il centro di massa, con il teorema di Huygens-Steiner.

Un po’ di storia

Lo studio dei centri di gravità risale ad Archimede di Siracusa, nel III secolo a.C.: nel trattato Sull’equilibrio dei piani trovò, senza integrali, quelli del parallelogramma, del triangolo, del trapezio e di un segmento di parabola, con la geometria e la legge della leva. Intorno al 320 d.C. Pappo di Alessandria enunciò nella Collezione i teoremi sui solidi di rotazione, che Paul Guldin enunciò di nuovo nel 1640: per questo portano il nome di entrambi. Gli integrali arrivarono con Newton e Leibniz, alla fine del Seicento.

Gli errori più comuni

• Sbagliare le unità. 1 g/cm³ sono 1000 kg/m³, non 0,001: un centimetro cubo è un milionesimo di metro cubo.
• Usare la densità sbagliata. Per un filo $dm = \lambda\,dl$, per una lastra $\sigma\,dS$, per un solido $\rho\,dV$: le unità ti dicono quale stai usando.
• Dimenticare di dividere per la massa. $\int x\,dm$ non è una posizione: va diviso per $m$.
• Scegliere un pezzetto con la coordinata che cambia. Per $y_{cm}$ servono strisce orizzontali, con la stessa $y$ in tutti i punti.
• Usare la simmetria della forma quando la densità non è uniforme. Il centro di massa si sposta verso la parte più densa.
• Sommare il buco invece di sottrarlo. Il pezzo tolto va sottratto sia al numeratore sia al denominatore.
• Pensare che il centro di massa debba stare dentro il corpo. In un anello o in una squadra a L cade nel vuoto.

Esercizi svolti

1. Un cubo di ferro e uno di alluminio

Testo. Un cubo di ferro omogeneo ha lo spigolo di 10 cm. Qual è la sua massa? Quanto dovrebbe essere lungo lo spigolo di un cubo di alluminio con la stessa massa? Usa le densità della tabella.

Lo spigolo è 0,1 m, quindi il volume è $(0{,}1\ \text{m})^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$, cioè un litro:

$$\begin{gathered} m = \rho\,V = 7870\ \text{kg/m}^3 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 \\ m = 7{,}87\ \text{kg} \end{gathered}$$

Il cubo di alluminio deve avere la stessa massa, quindi un volume più grande:

$$\begin{gathered} V_{Al} = \frac{m}{\rho_{Al}} = \frac{7{,}87}{2700}\ \text{m}^3 \\ V_{Al} \approx 2{,}91 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 \end{gathered}$$ $$l = \sqrt[3]{V_{Al}} \approx 0{,}143\ \text{m} = 14{,}3\ \text{cm}$$

Il volume è quasi il triplo, ma lo spigolo cresce solo del 43%, perché il volume va con il cubo dello spigolo. Per simmetria, il centro di massa è nel centro del cubo.

2. L’asta con densità variabile

Testo. Un’asta lunga $L = 1{,}5\ \text{m}$ è disposta lungo l’asse $x$, da $x = 0$ a $x = L$. La sua densità lineare cresce da un estremo all’altro secondo $\lambda(x) = \lambda_0\,(1 + x/L)$, con $\lambda_0 = 2\ \text{kg/m}$. Trova la massa dell’asta e la posizione del centro di massa.

La densità vale 2 kg/m nell’estremo sinistro e 4 kg/m in quello destro. Il pezzetto è un trattino $dx$, con $dm = \lambda_0\,(1 + x/L)\,dx$:

$$\begin{gathered} m = \lambda_0\int_0^L \left(1 + \frac{x}{L}\right)dx \\ m = \lambda_0\left(L + \frac{L}{2}\right) = \frac{3}{2}\,\lambda_0 L \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \int_0^L x\,dm = \lambda_0\int_0^L \left(x + \frac{x^2}{L}\right)dx \\ {} = \lambda_0\left(\frac{L^2}{2} + \frac{L^2}{3}\right) = \frac{5}{6}\,\lambda_0 L^2 \end{gathered}$$ $$x_{cm} = \frac{\frac{5}{6}\,\lambda_0 L^2}{\frac{3}{2}\,\lambda_0 L} = \frac{5}{9}\,L$$

Con i numeri:

$$\begin{gathered} m = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 1{,}5\ \text{kg} = 4{,}5\ \text{kg} \\ x_{cm} = \frac{5}{9} \cdot 1{,}5\ \text{m} \approx 0{,}833\ \text{m} \end{gathered}$$

Il centro di massa è 8,3 cm oltre la metà dell’asta (0,75 m), verso la parte più densa: meno che con $\lambda = k\,x$, dove la densità parte da zero.

3. La squadra a L

Testo. Una lastra omogenea a forma di L è formata da due rettangoli larghi 10 cm. Il braccio orizzontale va da $x = 0$ a $x = 40\ \text{cm}$, con $y$ tra 0 e 10 cm, e ha massa 0,8 kg. Il braccio verticale va da $y = 10\ \text{cm}$ a $y = 40\ \text{cm}$, con $x$ tra 0 e 10 cm, e ha massa 0,6 kg. Dove si trova il centro di massa? È dentro la lastra?

Ogni rettangolo ha il centro di massa nel proprio centro: il braccio orizzontale, 40 cm × 10 cm, in $(20;\ 5)$ cm, quello verticale, 10 cm × 30 cm, in $(5;\ 25)$ cm. Le masse sono proporzionali alle aree, 400 cm² e 300 cm², come in una lastra omogenea. Trattando ogni braccio come un punto:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{0{,}8 \cdot 20 + 0{,}6 \cdot 5}{0{,}8 + 0{,}6}\ \text{cm} \\ x_{cm} \approx 13{,}6\ \text{cm} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y_{cm} = \frac{0{,}8 \cdot 5 + 0{,}6 \cdot 25}{0{,}8 + 0{,}6}\ \text{cm} \\ y_{cm} \approx 13{,}6\ \text{cm} \end{gathered}$$

Le coordinate sono uguali perché la L è simmetrica rispetto alla bisettrice $y = x$. Il punto $(13{,}6;\ 13{,}6)$ cm ha $x$ e $y$ maggiori di 10 cm, quindi non sta in nessuno dei due bracci: il centro di massa è fuori dalla lastra, nell’angolo vuoto della L. Non potresti tenerla in equilibrio sulla punta di un dito.

4. La lastra quadrata con un foro

Testo. Una lastra quadrata omogenea ha il lato di 40 cm; mettiamo l’origine nel suo centro. Nella lastra si pratica un foro circolare di raggio 8 cm, con il centro nel punto $(10;\ 10)$ cm. Dove si trova il centro di massa della lastra forata?

Con il trucco della massa negativa, usando le aree al posto delle masse: il quadrato pieno ha area 1600 cm² e centro di massa nell’origine, il foro ha area

$$A_f = \pi \cdot 8^2\ \text{cm}^2 \approx 201\ \text{cm}^2$$

circa il 12,6% del quadrato. Il centro di massa della lastra forata è:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{1600 \cdot 0 - 201 \cdot 10}{1600 - 201}\ \text{cm} \\ x_{cm} \approx -1{,}44\ \text{cm} \end{gathered}$$

e per simmetria anche $y_{cm} \approx -1{,}44\ \text{cm}$. Il centro di massa si sposta lungo la diagonale, dalla parte opposta al foro, di $1{,}44 \cdot \sqrt{2} \approx 2{,}0\ \text{cm}$.

5. La lettera D di filo

Testo. Un filo omogeneo è piegato a forma di D: un semicerchio di raggio $R = 10\ \text{cm}$ chiuso dal suo diametro. Dove si trova il centro di massa? Confrontalo con quello di una lastra a semicerchio dello stesso raggio.

Le masse dei due pezzi sono proporzionali alle lunghezze. Con l’origine nel centro del diametro e l’asse $y$ sull’asse di simmetria, l’arco è lungo $\pi R \approx 31{,}4$ cm con il centro di massa a $2R/\pi \approx 6{,}37$ cm, il diametro è lungo $2R = 20$ cm con il centro di massa nell’origine:

$$\begin{gathered} y_{cm} = \frac{\pi R \cdot \frac{2R}{\pi} + 2R \cdot 0}{\pi R + 2R} \\ y_{cm} = \frac{2R}{\pi + 2} \approx 0{,}389\,R \end{gathered}$$

Con $R = 10$ cm il centro di massa è a circa 3,89 cm dal diametro: più in basso che nell’arco da solo, 6,37 cm, e anche che nella lastra a semicerchio, $4R/(3\pi) \approx 4{,}24$ cm, perché quasi il 40% della massa della D sta sul diametro, a quota zero.

6. Il cono pieno

Testo. Dimostra che il centro di massa di un cono pieno omogeneo, di altezza $h$ e raggio di base $R$, si trova a $h/4$ dalla base. Poi applica il risultato a un cono di alluminio alto 12 cm, con raggio di base 4 cm: quanto vale la sua massa e dove si trova il centro di massa?

Mettiamo l’asse $y$ lungo l’asse del cono, con l’origine nel centro della base: per simmetria il centro di massa è sull’asse. Dividiamo il cono in dischi spessi $dy$; per similitudine, quello all’altezza $y$ ha raggio $r = R\,(1 - y/h)$:

$$dm = \rho\,\pi R^2\left(1 - \frac{y}{h}\right)^2 dy$$

La massa è:

$$\begin{gathered} m = \rho\,\pi R^2\int_0^h \left(1 - \frac{y}{h}\right)^2 dy \\ m = \frac{1}{3}\,\rho\,\pi R^2 h \end{gathered}$$

cioè densità per volume del cono. Per il numeratore sviluppiamo il quadrato:

$$\begin{gathered} \int y\,dm = \rho\,\pi R^2 \cdot I \\ I = \int_0^h \left(y - \frac{2y^2}{h} + \frac{y^3}{h^2}\right)dy \\ I = \frac{h^2}{2} - \frac{2h^2}{3} + \frac{h^2}{4} = \frac{h^2}{12} \end{gathered}$$ $$y_{cm} = \frac{\frac{1}{12}\,\rho\,\pi R^2 h^2}{\frac{1}{3}\,\rho\,\pi R^2 h} = \frac{h}{4}$$

Ora i numeri, con $h = 0{,}12\ \text{m}$ e $R = 0{,}04\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} V = \frac{1}{3}\,\pi \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}12\ \text{m}^3 \\ V \approx 2{,}01 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m = \rho\,V = 2700 \cdot 2{,}01 \cdot 10^{-4}\ \text{kg} \\ m \approx 0{,}543\ \text{kg} \end{gathered}$$

Il centro di massa è sull’asse, a $12/4 = 3$ cm dalla base. Un cilindro con la stessa base e la stessa altezza lo avrebbe a 6 cm: il cono, con la massa concentrata in basso, va inclinato di più prima di ribaltarsi.

Altri problemi con centro di massa e corpi estesi li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti e negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• La densità di volume è $\rho = dm/dV$, in kg/m³; per lastre e fili si usano $\sigma = dm/dS$ e $\lambda = dm/dl$. Per un corpo omogeneo $\rho = m/V$, e 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.
• La massa di un corpo continuo è l’integrale della densità: $m = \int \rho\,dV$, $\int \sigma\,dS$ oppure $\int \lambda\,dl$.
• Il centro di massa è $\vec{r}_{cm} = \tfrac{1}{m}\int \vec{r}\,dm$; per componenti $x_{cm} = \tfrac{1}{m}\int x\,dm$. Il pezzetto si sceglie con la stessa coordinata in tutti i suoi punti.
• Se forma e densità sono simmetriche, il centro di massa sta sul centro, sull’asse o sul piano di simmetria.
• Risultati classici: filo a semicerchio $2R/\pi$ e lastra a semicerchio $4R/(3\pi)$ dal centro; triangolo $h/3$, cono e piramide $h/4$ dalla base.
• Corpi composti: ogni parte è un punto con la massa nel proprio centro di massa; un buco si sottrae come massa negativa.
• Il centro di massa può cadere fuori dal corpo; con $\vec{g}$ uniforme coincide con il baricentro.

Ora che sappiamo dove si trova il centro di massa, vediamo come si può muovere un corpo rigido: il moto di un corpo rigido.