Momento della forza e momento angolare: braccio, teorema ed esercizi svolti

Per aprire una porta spingi vicino alla maniglia, non vicino ai cardini. Per svitare un bullone duro cerchi la chiave più lunga che hai. Conta non solo quanto spingi, ma anche dove e in che direzione: la grandezza che misura la capacità di una forza di far ruotare un corpo è il momento della forza. Il suo compagno è il momento angolare, che sta alle rotazioni come la quantità di moto sta alle traslazioni. In questa pagina vediamo la definizione del momento di una forza, il braccio e la retta d’azione, la regola della mano destra e i segni nei problemi piani, il calcolo con le componenti, la differenza tra newton per metro e joule, il momento angolare di un punto, il teorema del momento angolare, la conservazione con le forze centrali e la seconda legge di Keplero, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il momento di una forza

L’effetto di rotazione di una forza dipende da tre cose: quanto è intensa, quanto lontano dall’asse la applichi e in che direzione spingi. Il momento le mette insieme. Scegliamo un punto $O$, detto polo: per la porta conviene prenderlo sui cardini. Sia $\vec{r}$ il vettore che va da $O$ al punto in cui è applicata la forza $\vec{F}$. Il momento della forza rispetto a $O$ è il prodotto vettoriale:

$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$$

È un vettore e si misura in newton per metro, $\text{N·m}$. Si chiama anche momento torcente, e la coppia di un motore che leggi nelle schede tecniche delle auto è proprio un momento in N·m.

Il modulo e il braccio

Se $\theta$ è l’angolo tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$, il modulo del momento è:

$$M = r\,F\sin\theta = F\,b$$

dove $b = r\sin\theta$ è il braccio: la distanza tra il polo e la retta d’azione, la retta che prolunga la forza. Puoi leggere la formula anche come $r$ per la sola componente della forza perpendicolare a $\vec{r}$, $F\sin\theta$: la componente lungo $\vec{r}$ spinge o tira verso il polo e non fa ruotare nulla.

Nella figura la forza sulla maniglia è inclinata, e il braccio non è la larghezza della porta: è il segmento verde, perpendicolare alla retta d’azione. Ecco quanto conta l’angolo, a parità di $r$ e $F$:

Angolo tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$	$M/(r\,F)$
90°	1
60°	0,866
30°	0,5
150°	0,5
0° o 180°	0

• Il momento è massimo con la forza perpendicolare a $\vec{r}$: il braccio è tutto $r$.
• È nullo se la retta d’azione passa per il polo: spingere la porta verso i cardini non la fa ruotare.
• 30° e 150° danno lo stesso momento, perché la componente perpendicolare è la stessa.
• Se sposti la forza lungo la sua retta d’azione il braccio non cambia, e nemmeno il momento: negli esercizi puoi scegliere il punto della retta più comodo.

Perché la maniglia è lontana dai cardini

Supponi che per aprire una porta con il chiudiporta serva un momento di 9 N·m, con la maniglia a 0,75 m dai cardini. Spingendo sulla maniglia, perpendicolare alla porta, servono $9/0{,}75 = 12\ \text{N}$, poco più del peso di un chilo. A 15 cm dai cardini ne servono $9/0{,}15 = 60\ \text{N}$, cinque volte tanto. Spingendo sulla maniglia con un angolo di 30° rispetto alla porta, il braccio si dimezza e servono 24 N.

È il principio della leva, che trovi nell’equilibrio statico del corpo rigido: con un braccio lungo basta una forza piccola. Lo sfruttano le chiavi inglesi, le pedivelle della bicicletta e il volante dell’auto.

La direzione e il verso

Il vettore $\vec{M}$ è perpendicolare al piano di $\vec{r}$ e $\vec{F}$: sta lungo l’asse attorno a cui la forza tende a far ruotare. Per la porta, che ruota attorno ai cardini verticali, il momento è verticale.

Il verso si trova con la regola della mano destra: chiudi le dita della mano destra nel verso in cui la forza farebbe ruotare il corpo, e il pollice indica il verso del momento. È lo stesso comportamento di una vite comune: girandola in senso orario, guardandola dalla testa, entra nel legno, e il momento punta proprio dentro il legno; in senso antiorario esce e il momento punta verso di te.

Il prodotto vettoriale non è commutativo: $\vec{F} \times \vec{r} = -\,\vec{r} \times \vec{F}$. L’ordine giusto è sempre prima $\vec{r}$, poi $\vec{F}$.

I segni nei problemi piani

Quasi sempre, negli esercizi, le forze stanno tutte nel piano del foglio. Allora i momenti sono tutti perpendicolari al foglio e basta un numero con il segno:

• positivo se la forza tende a far ruotare in senso antiorario (momento che esce dal foglio);
• negativo se tende a far ruotare in senso orario (momento che entra nel foglio).

Il momento totale è la somma dei momenti con il loro segno. Due bambini ai lati opposti di un’altalena a bilico danno momenti di segno opposto: se si equivalgono, l’altalena resta ferma. Lo vediamo nell’esercizio 2.

Il calcolo con le componenti

Se conosci le componenti di $\vec{r} = (x;\ y;\ z)$ e di $\vec{F}$, il momento si calcola con la regola del prodotto vettoriale:

$$\begin{aligned} M_x &= y\,F_z - z\,F_y \\ M_y &= z\,F_x - x\,F_z \\ M_z &= x\,F_y - y\,F_x \end{aligned}$$

Nel piano $xy$ resta solo $M_z = x\,F_y - y\,F_x$, che ha già il segno giusto: positivo per le rotazioni antiorarie. Per esempio, una forza $\vec{F} = (3;\ 4)\ \text{N}$ applicata nel punto $(2;\ 1)\ \text{m}$ ha momento rispetto all’origine $M_z = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5\ \text{N·m}$, antiorario. La forza vale 5 N, quindi il braccio è $b = M/F = 1\ \text{m}$, trovato senza calcolare nessun angolo.

Newton per metro o joule?

Anche il joule è un newton per un metro, ma per il momento non si usa. Il lavoro è un prodotto scalare, $\vec{F} \cdot \vec{s}$: uno scalare, in joule, che conta la componente della forza lungo lo spostamento. Il momento è un prodotto vettoriale: un vettore, in N·m, che conta la componente perpendicolare al raggio.

Le due grandezze si incontrano quando un momento fa ruotare un corpo. Se la forza resta perpendicolare al raggio, come la mano sulla chiave, il punto percorre un arco $s = r\,\Delta\varphi$, con l’angolo in radianti, e il lavoro è:

$$W = F\,s = F\,r\,\Delta\varphi = M\,\Delta\varphi$$

Un momento di 10 N·m che fa fare un giro completo a un bullone, $2\pi$ rad, compie circa 62,8 J di lavoro.

Il momento angolare di un punto materiale

Il momento angolare di un punto di massa $m$ e velocità $\vec{v}$, rispetto a un polo $O$, è il momento della sua quantità di moto $\vec{p} = m\,\vec{v}$:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\,\vec{v}$$

Si costruisce come il momento della forza, con $\vec{p}$ al posto di $\vec{F}$, e si misura in $\text{kg·m}^2/\text{s}$. Il modulo è $L = m\,v\,r\sin\theta = m\,v\,b$, dove $b$ è la distanza tra il polo e la retta della velocità; il verso si trova con la regola della mano destra.

Il caso più importante è un punto che percorre una circonferenza di raggio $R$ attorno a $O$. La velocità è tangente, quindi perpendicolare al raggio, e nel moto circolare $v = \omega R$:

$$L = m\,v\,R = m\,\omega\,R^2$$

$\vec{L}$ è perpendicolare al piano della circonferenza: verso l’alto se il punto gira in senso antiorario visto dall’alto, come nella figura, verso il basso se gira in senso orario. Nel moto circolare uniforme non cambia mai.

Attenzione: il momento angolare non riguarda solo le cose che girano. Un’auto su una strada dritta ha momento angolare $m\,v\,b$ rispetto a una casa a bordo strada, con $b$ distanza tra casa e strada; se l’auto va a velocità costante, anche $L$ è costante. Rispetto a un polo sulla strada, invece, $\vec{r}$ e $\vec{v}$ sono paralleli e $L = 0$.

Qualche ordine di grandezza:

Oggetto	$L$ (kg·m²/s)
Pallina su un filo	0,1
Bambino su una giostra	90
Terra attorno al Sole	$2{,}7 \cdot 10^{40}$
Elettrone dell’idrogeno	$1{,}05 \cdot 10^{-34}$

La pallina ha 0,1 kg e gira a 2 m/s su un raggio di 0,5 m; il bambino ha 30 kg e gira a 2 m/s a 1,5 m dal centro. La Terra ha massa $5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$ e va a 29,8 km/s a $1{,}496 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ dal Sole. Per l’elettrone, nel modello di Bohr, il valore è la costante di Planck ridotta, $\hbar$ («acca tagliato»).

Il teorema del momento angolare

Deriviamo $\vec{L} = \vec{r} \times m\,\vec{v}$ con la regola del prodotto, tenendo fermo il polo:

$$\begin{gathered} \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times m\,\vec{v} + \vec{r} \times m\,\frac{d\vec{v}}{dt} \\ {} = \vec{v} \times m\,\vec{v} + \vec{r} \times m\,\vec{a} \end{gathered}$$

Il primo termine è nullo, perché il prodotto vettoriale di un vettore con se stesso è zero. Nel secondo, per il secondo principio, $m\,\vec{a}$ è la forza risultante. Resta:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{M}$$

Rispetto a un polo fisso, la derivata del momento angolare di un punto è uguale al momento della forza risultante.

È la versione per le rotazioni di $\vec{F} = d\vec{p}/dt$: la forza cambia la quantità di moto, il momento della forza cambia il momento angolare. Per un sistema di punti contano solo i momenti delle forze esterne, come vedremo nel momento angolare di un sistema di punti.

Non è una legge nuova, ma il secondo principio riscritto. Per una pallina su un’asta leggera di lunghezza $r$, spinta da una forza $F$ perpendicolare all’asta, rispetto al perno $M = F\,r$ e $L = m\,v\,r$: il teorema dà $m\,dv/dt = F$, il secondo principio lungo la tangente. La forza dell’asta, che passa per il perno, sparisce: è il vantaggio dei momenti.

Il parallelo con le traslazioni, riassunto:

Traslazioni	Rotazioni
Forza $\vec{F}$	Momento $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{p} = m\,\vec{v}$	$\vec{L} = \vec{r} \times m\,\vec{v}$
$\vec{F} = d\vec{p}/dt$	$\vec{M} = d\vec{L}/dt$
Se $\vec{F} = 0$, $\vec{p}$ è costante	Se $\vec{M} = 0$, $\vec{L}$ è costante

La conservazione del momento angolare

Se il momento della forza rispetto al polo è nullo, il momento angolare resta costante:

$$\vec{M} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{L} = \text{costante}$$

Succede quando la risultante è nulla, come per l’auto che va dritta a velocità costante, oppure quando la forza passa sempre per il polo.

Il secondo caso è quello delle forze centrali, sempre dirette verso un punto fisso: la gravità del Sole su un pianeta, la tensione di un filo legato a un chiodo. Preso quel punto come polo, $\vec{r}$ e $\vec{F}$ sono paralleli e il momento è nullo. Ne seguono due conseguenze, dimostrate nelle forze centrali:

• $\vec{L}$ ha direzione fissa, quindi il moto avviene in un piano;
• il raggio dal centro al corpo spazza aree uguali in tempi uguali: è la seconda legge di Keplero.

Dove l’orbita passa vicino al centro il corpo va veloce, dove passa lontano va piano. Nei punti in cui la velocità è perpendicolare al raggio la conservazione si scrive $v_1\,r_1 = v_2\,r_2$: lo usiamo per la cometa di Halley nell’esercizio 6.

Lo stesso vale per una pallina legata a un filo che passa per un foro al centro di un tavolo liscio (esercizio 5). Esteso ai corpi formati da tante masse, il principio spiega perché una pattinatrice gira più veloce stringendo le braccia: avvicina massa all’asse, riduce il momento d’inerzia e la velocità angolare aumenta.

Un po’ di storia

Archimede, nel III secolo a.C., dimostrò la legge della leva nel trattato Sull’equilibrio dei piani: due pesi sono in equilibrio quando le loro distanze dal fulcro sono inversamente proporzionali ai pesi, cioè quando i loro momenti si bilanciano. Secondo Pappo di Alessandria avrebbe detto «datemi un punto d’appoggio e solleverò il mondo».

Il momento angolare entrò in scena con i pianeti. Keplero pubblicò la legge delle aree nel 1609, nell’Astronomia nova. Newton, nei Principia del 1687, dimostrò che vale per qualunque forza diretta verso un centro fisso: è la prima proposizione del primo libro, e oggi la leggiamo come conservazione del momento angolare.

Gli errori più comuni

• Usare la distanza dal punto di applicazione al posto del braccio. Il braccio è la distanza dalla retta d’azione: se la forza è inclinata vale $r\sin\theta$, non $r$.
• Sbagliare l’angolo. $\theta$ è l’angolo tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$; se il testo dà l’angolo con la perpendicolare a $\vec{r}$, serve il coseno.
• Invertire l’ordine del prodotto. $\vec{F} \times \vec{r}$ ha verso opposto a $\vec{r} \times \vec{F}$.
• Sommare i moduli dei momenti. Nel piano ogni momento ha un segno: due momenti opposti possono annullarsi.
• Cambiare polo a metà esercizio. Tutti i momenti vanno calcolati rispetto allo stesso polo, e per il teorema il polo deve essere fermo.
• Pensare che solo ciò che gira abbia momento angolare. Un punto in moto rettilineo ha $L = m\,v\,b$ rispetto a un polo fuori dalla sua retta.
• Esprimere il momento in joule. Ha le stesse dimensioni del lavoro, ma si scrive in N·m.
• Credere che conservare $L$ voglia dire conservare l’energia. Nella pallina tirata nel foro $L$ resta costante e l’energia cinetica aumenta.

Esercizi svolti

1. La chiave inglese

Testo. Stringi un bullone con una chiave lunga 25 cm, applicando 40 N all’estremità. Quanto vale il momento se la forza è perpendicolare alla chiave? E se forma 60° con la chiave? Un bullone bloccato si sblocca con 60 N·m: che forza perpendicolare serve con questa chiave, e con una prolunga che porta il braccio a 50 cm?

Con la forza perpendicolare il braccio è tutta la chiave:

$$M = r\,F = 0{,}25 \cdot 40\ \text{N·m} = 10\ \text{N·m}$$

A 60° il braccio scende a $0{,}25 \cdot \sin 60° \approx 0{,}217\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} M = r\,F\sin 60° = 0{,}25 \cdot 40 \cdot 0{,}866\ \text{N·m} \\ M \approx 8{,}66\ \text{N·m} \end{gathered}$$

Per sbloccare il bullone:

$$\begin{gathered} F = \frac{M}{r} = \frac{60}{0{,}25}\ \text{N} = 240\ \text{N} \\ F' = \frac{60}{0{,}5}\ \text{N} = 120\ \text{N} \end{gathered}$$

Con la chiave normale dovresti spingere con il peso di circa 24,5 kg, con la prolunga basta la metà. Ma vale anche al contrario: con una leva lunga è facile stringere troppo e rovinare il bullone.

2. L’altalena a bilico

Testo. Un’altalena a bilico è un’asse di 4 m imperniata al centro. Anna, 25 kg, siede a sinistra a 2 m dal perno; Marco, 35 kg, a destra a 1,2 m. Con l’asse orizzontale, quanto vale il momento totale rispetto al perno, e da che parte ruota l’asse? Dove dovrebbe sedersi Marco per l’equilibrio?

Con il polo nel perno, la reazione del perno e il peso dell’asse, applicato al centro, hanno momento nullo. Il peso di Anna fa ruotare in senso antiorario, quello di Marco in senso orario:

$$\begin{gathered} M_A = 25 \cdot 9{,}81 \cdot 2\ \text{N·m} \\ M_A = 490{,}5\ \text{N·m} \\ M_M = -35 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}2\ \text{N·m} \\ M_M \approx -412{,}0\ \text{N·m} \end{gathered}$$ $$M = 490{,}5 - 412{,}0 \approx 78{,}5\ \text{N·m}$$

Il momento è positivo: l’asse ruota in senso antiorario e Anna scende, anche se pesa meno, perché ha un braccio più lungo. All’equilibrio i due momenti sono uguali in modulo:

$$\begin{gathered} 25 \cdot g \cdot 2 = 35 \cdot g \cdot x \\ x = \frac{50}{35}\ \text{m} \approx 1{,}43\ \text{m} \end{gathered}$$

$g$ si semplifica. Marco deve allontanarsi dal perno di circa 23 cm.

3. Il momento con le componenti

Testo. La forza $\vec{F} = (0;\ 3;\ 4)\ \text{N}$ è applicata nel punto $P = (1;\ 2;\ 0)\ \text{m}$. Calcola il momento rispetto all’origine, il suo modulo e il braccio, e verifica che $\vec{M}$ sia perpendicolare a $\vec{r}$ e a $\vec{F}$.

Con $x = 1$, $y = 2$, $z = 0$:

$$\begin{aligned} M_x &= 2 \cdot 4 - 0 \cdot 3 = 8 \\ M_y &= 0 \cdot 0 - 1 \cdot 4 = -4 \\ M_z &= 1 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 3 \end{aligned}$$

Quindi $\vec{M} = (8;\ -4;\ 3)\ \text{N·m}$ e:

$$\begin{gathered} M = \sqrt{8^2 + 4^2 + 3^2}\ \text{N·m} \\ M = \sqrt{89}\ \text{N·m} \approx 9{,}43\ \text{N·m} \end{gathered}$$

La forza vale $F = \sqrt{9 + 16}\ \text{N} = 5\ \text{N}$, quindi $b = M/F \approx 9{,}43/5 \approx 1{,}89\ \text{m}$. Il controllo con i prodotti scalari:

$$\begin{gathered} \vec{M} \cdot \vec{r} = 8 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 0 \\ \vec{M} \cdot \vec{F} = 8 \cdot 0 - 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 0 \end{gathered}$$

Il momento è perpendicolare a entrambi, come deve essere. Il braccio è minore di $r = \sqrt{5} \approx 2{,}24\ \text{m}$ perché la forza non è perpendicolare a $\vec{r}$: l’angolo tra i due è circa 57,5°.

4. Un sasso che cade

Testo. Un sasso di 0,2 kg viene lasciato cadere da fermo da 30 m di altezza. Il polo $O$ è a terra, 3 m a sinistra del punto in cui cadrà il sasso. Quanto vale il momento angolare rispetto a $O$ dopo 2 s? Verifica il teorema del momento angolare.

Dopo 2 s di caduta libera $v = g\,t = 19{,}62\ \text{m/s}$, e il sasso è sceso di $\tfrac{1}{2}g\,t^2 \approx 19{,}6\ \text{m}$: è ancora in aria. La sua retta di moto, verticale, dista $d = 3\ \text{m}$ da $O$, e questo è il braccio a qualunque altezza:

$$\begin{gathered} L = m\,v\,d = 0{,}2 \cdot 19{,}62 \cdot 3\ \text{kg·m}^2/\text{s} \\ L \approx 11{,}8\ \text{kg·m}^2/\text{s} \end{gathered}$$

Il peso ha lo stesso braccio, quindi un momento costante:

$$\begin{gathered} M = m\,g\,d = 0{,}2 \cdot 9{,}81 \cdot 3\ \text{N·m} \\ M \approx 5{,}89\ \text{N·m} \end{gathered}$$

Partendo da $L = 0$, il teorema dà $L = M\,t = 5{,}886 \cdot 2 \approx 11{,}8\ \text{kg·m}^2/\text{s}$: torna. Visto da $O$ il sasso gira in senso orario, quindi $L$ e $M$ sono negativi. Va in linea retta, eppure il suo momento angolare cresce, perché il peso non passa per $O$.

5. La pallina tirata nel foro

Testo. Una pallina di 0,2 kg gira su un tavolo liscio, legata a un filo che passa per un foro al centro. All’inizio il raggio è 0,5 m e la velocità 2 m/s. Tirando il filo da sotto, il raggio scende a 0,25 m. Trova la nuova velocità, le velocità angolari e il lavoro di chi tira il filo.

La tensione passa per il foro, quindi il momento angolare rispetto al foro si conserva:

$$\begin{gathered} m\,v_1\,r_1 = m\,v_2\,r_2 \\ v_2 = v_1\,\frac{r_1}{r_2} = 2 \cdot \frac{0{,}5}{0{,}25}\ \text{m/s} = 4\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Le velocità angolari, $\omega = v/r$, passano da $2/0{,}5 = 4\ \text{rad/s}$ a $4/0{,}25 = 16\ \text{rad/s}$: la velocità raddoppia, la velocità angolare quadruplica, perché in $L = m\,\omega\,r^2$ il raggio è al quadrato. Il lavoro è la variazione di energia cinetica:

$$\begin{gathered} K_1 = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 2^2\ \text{J} = 0{,}4\ \text{J} \\ K_2 = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 4^2\ \text{J} = 1{,}6\ \text{J} \end{gathered}$$

$W = 1{,}6 - 0{,}4 = 1{,}2\ \text{J}$: il momento angolare si conserva, l’energia no.

6. La cometa di Halley

Testo. Nel punto più vicino al Sole, il perielio, la cometa di Halley dista dal Sole circa 0,59 UA; nel più lontano, l’afelio, circa 35 UA, con 1 UA $= 1{,}496 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. All’afelio, raggiunto a dicembre 2023, viaggiava a circa 0,91 km/s. Quanto è veloce al perielio? Quanto vale la velocità areale?

La gravità del Sole è centrale, quindi il momento angolare della cometa rispetto al Sole si conserva. Al perielio e all’afelio la velocità è perpendicolare al raggio:

$$\begin{gathered} m\,v_p\,r_p = m\,v_a\,r_a \\ v_p = v_a\,\frac{r_a}{r_p} = 0{,}91 \cdot \frac{35}{0{,}59}\ \text{km/s} \\ v_p \approx 54\ \text{km/s} \end{gathered}$$

La massa non serve, e nemmeno convertire le UA: conta il rapporto tra le distanze, circa 59. Infatti al perielio del 1986 la cometa viaggiava a circa 54,5 km/s. La velocità areale è $L/(2m) = v\,r/2$:

$$\begin{gathered} \frac{dA}{dt} = \frac{v_a\,r_a}{2} \\ {} = \frac{910 \cdot 35 \cdot 1{,}496 \cdot 10^{11}}{2}\ \text{m}^2/\text{s} \\ {} \approx 2{,}4 \cdot 10^{15}\ \text{m}^2/\text{s} \end{gathered}$$

Ogni secondo il raggio Sole-cometa spazza circa 2,4 milioni di miliardi di metri quadrati, vicino o lontano dal Sole: è la seconda legge di Keplero.

Altri problemi li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido e negli esercizi svolti di gravitazione.

In sintesi

• Il momento di una forza rispetto a un polo è $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, in N·m, con modulo $M = r\,F\sin\theta = F\,b$.
• Il momento è massimo con la forza perpendicolare a $\vec{r}$ e nullo se la retta d’azione passa per il polo.
• Il verso si trova con la regola della mano destra; nel piano $M_z = x\,F_y - y\,F_x$, positivo in senso antiorario.
• Momento e lavoro sono diversi; un momento che fa ruotare di $\Delta\varphi$ compie il lavoro $W = M\,\Delta\varphi$.
• Il momento angolare di un punto è $\vec{L} = \vec{r} \times m\,\vec{v}$, con modulo $m\,v\,b$; nel moto circolare $L = m\,v\,R = m\,\omega\,R^2$.
• Rispetto a un polo fisso, $d\vec{L}/dt = \vec{M}$.
• Se $\vec{M} = 0$, $\vec{L}$ si conserva: con le forze centrali il moto è piano e vale la legge delle aree, con $v_1\,r_1 = v_2\,r_2$ dove $\vec{v}$ è perpendicolare a $\vec{r}$.

Quando un momento agisce per un certo tempo, il suo effetto si misura con l’impulso angolare.