Equilibrio delle forze: statico e dinamico, con esempi ed esercizi svolti

Un libro sul tavolo, una lampada appesa al soffitto, un’auto che viaggia in autostrada a velocità costante, un paracadutista che scende col paracadute aperto: sembrano situazioni molto diverse, ma hanno una cosa in comune. In tutti questi casi la somma delle forze che agiscono sul corpo è zero: il corpo è in equilibrio. In questa pagina trovi la condizione di equilibrio, la differenza tra equilibrio statico e dinamico, l’equilibrio stabile, instabile e indifferente, il metodo passo passo per gli esercizi, il teorema di Lami, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La condizione di equilibrio

Un punto materiale è in equilibrio quando la forza risultante, cioè la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su di esso, è nulla:

$$\vec{R} = \sum_i \vec{F}_i = 0$$

Per il secondo principio della dinamica, $\vec{R} = m\,\vec{a}$, quindi una risultante nulla significa accelerazione nulla: la velocità del corpo non cambia, né in modulo né in direzione.

La condizione è vettoriale: nel piano equivale a due equazioni, una per ciascun asse,

$$\begin{gathered} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \end{gathered}$$

e nello spazio se ne aggiunge una terza, $\sum F_z = 0$. Sono queste equazioni a permettere di trovare le forze incognite negli esercizi: per ogni corpo nel piano ne hai due, quindi puoi trovare al massimo due incognite.

Risultante nulla non vuol dire nessuna forza

È l’equivoco più diffuso. Sul libro appoggiato sul tavolo agiscono due forze: il peso, verso il basso, e la reazione del tavolo, verso l’alto. Sono uguali e opposte, quindi si bilanciano e la risultante è zero. Le forze ci sono eccome: se togli il tavolo, il libro cade.

Equilibrio statico ed equilibrio dinamico

Se l’accelerazione è nulla, la velocità resta costante. Ci sono quindi due possibilità.

• Equilibrio statico: il corpo è fermo e resta fermo. È il caso del libro sul tavolo, della lampada appesa, di un ponte.
• Equilibrio dinamico: il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità costante in modulo, direzione e verso. È il caso di un’auto che viaggia in rettilineo a velocità costante: la spinta che arriva dalle ruote motrici è bilanciata esattamente dall’attrito e dalla resistenza dell’aria.

Dal punto di vista delle equazioni i due casi sono identici. È il principio d’inerzia: con risultante nulla un corpo fermo resta fermo e un corpo in moto prosegue in linea retta a velocità costante. Per Aristotele, invece, un corpo in moto si fermava da solo se nessuno lo spingeva; ci vollero Galileo e Newton per capire che è l’attrito a fermarlo, e che senza forze il moto continuerebbe per sempre.

Un esempio di equilibrio dinamico: la velocità limite

Un paracadutista che si lancia da un aereo all’inizio accelera, perché il peso è più grande della resistenza dell’aria. Ma la resistenza cresce con la velocità e, dopo una decina di secondi, diventa uguale al peso: da quel momento la risultante è nulla e il paracadutista scende a velocità costante, la velocità limite. In caduta libera, a pancia in giù, è di circa 200 km/h; quando si apre il paracadute la resistenza aumenta molto e la velocità limite scende a circa 5 m/s. In entrambe le fasi a velocità costante il paracadutista è in equilibrio dinamico, anche se si sta muovendo verso terra.

L’equilibrio dipende dal sistema di riferimento

Le leggi di Newton valgono nei sistemi di riferimento inerziali. Se sei seduto in un autobus che frena, ti senti spinto in avanti anche se nessuna forza reale ti spinge: rispetto all’autobus non sei in equilibrio, rispetto alla strada sì, perché continui a muoverti in linea retta mentre è l’autobus a rallentare. Negli esercizi di questo capitolo si usa sempre un sistema inerziale, legato al suolo; i sistemi accelerati li vediamo nei moti relativi.

Equilibrio stabile, instabile e indifferente

Un corpo in equilibrio può comportarsi in modo molto diverso se lo sposti di poco. È la differenza tra una pallina sul fondo di una ciotola e una pallina in cima a una cupola: entrambe sono in equilibrio, ma la seconda cade al primo soffio.

• Equilibrio stabile: se sposti il corpo, nasce una forza che lo riporta indietro. Una pallina in una ciotola, un corpo appeso a una molla, un pendolo fermo nella posizione più bassa.
• Equilibrio instabile: se sposti il corpo, nasce una forza che lo allontana ancora di più. Una pallina in cima a una cupola, una matita in equilibrio sulla punta.
• Equilibrio indifferente: il corpo resta in equilibrio anche nella nuova posizione. Una pallina su un tavolo perfettamente orizzontale.

Attorno a un equilibrio stabile, un corpo spostato di poco non torna semplicemente fermo al centro: ci arriva in velocità, lo supera e oscilla. Per piccoli spostamenti queste oscillazioni sono quasi sempre un moto armonico semplice: è il motivo per cui il moto armonico si incontra ovunque.

Come si risolve un esercizio di equilibrio

Gli esercizi di equilibrio si risolvono sempre con lo stesso metodo.

1. Isola il corpo e disegna tutte le forze che agiscono su di esso, il cosiddetto diagramma di corpo libero: peso, reazioni dei vincoli, tensioni dei fili, attriti, forze applicate. Solo le forze che agiscono sul corpo, non quelle che il corpo esercita sugli altri.
2. Scegli gli assi, cercando di allinearne uno al maggior numero di forze. Su un piano inclinato conviene un asse parallelo al piano.
3. Scomponi le forze inclinate nelle loro componenti lungo gli assi, con seno e coseno.
4. Scrivi $\sum F_x = 0$ e $\sum F_y = 0$ con i segni giusti e risolvi il sistema nelle incognite, di solito reazioni vincolari e tensioni.
5. Controlla il risultato: le unità di misura, i segni, e cosa succede nei casi limite, per esempio con un angolo di 0° o di 90°.

Se hai più corpi, ripeti il procedimento per ciascuno e collega le equazioni tramite il terzo principio o la tensione dei fili che li uniscono. Un metodo generale, valido anche per i problemi che non sono di equilibrio, lo trovi in come risolvere gli esercizi di fisica.

Tre forze in equilibrio: il triangolo e il teorema di Lami

Quando le forze sono tre, la condizione $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$ ha un significato geometrico semplice: se disegni le tre forze una dopo l’altra, punta con coda, tornano al punto di partenza e formano un triangolo chiuso. Da questo triangolo si ricava il teorema di Lami: se tre forze applicate allo stesso punto sono in equilibrio, ciascuna è proporzionale al seno dell’angolo formato dalle altre due,

$$\frac{F_1}{\sin\alpha_1} = \frac{F_2}{\sin\alpha_2} = \frac{F_3}{\sin\alpha_3}$$

dove $\alpha_1$ è l’angolo tra $\vec{F}_2$ e $\vec{F}_3$, e così via. È comodissimo per i corpi appesi a due cavi, come vediamo nel quinto esercizio.

Gli errori più comuni

• Pensare che in equilibrio non ci siano forze. Ci sono, ma si bilanciano.
• Credere che per muoversi a velocità costante serva una forza “nel verso del moto” più grande delle altre. Serve una forza che bilanci esattamente gli attriti. Una forza più grande farebbe accelerare il corpo.
• Considerare in equilibrio un corpo in moto circolare uniforme. C’è un’accelerazione centripeta, quindi la risultante non è nulla.
• Scrivere sempre $N = mg$. È vero solo su un piano orizzontale senza altre forze verticali. Su un piano inclinato, o se tiri con una corda inclinata, la normale cambia.
• Usare sempre $\mu_s N$ per l’attrito statico. È il valore massimo: se il corpo è fermo, l’attrito vale quanto serve per tenerlo fermo, che può essere meno.
• Mettere nel diagramma le forze sbagliate. Niente “forza del moto” o “forza d’inerzia” in un sistema inerziale, e niente forze che il corpo esercita sugli altri: solo quelle che gli altri esercitano su di lui.
• Sbagliare seno e coseno nella scomposizione. La componente adiacente all’angolo va con il coseno, quella opposta con il seno: dipende da quale angolo usi, non da quale asse.

Esercizi svolti

1. La lampada appesa a due cavi

Testo. Una lampada di 10 kg è appesa a due cavi uguali, ciascuno inclinato di 60° rispetto al soffitto orizzontale. Quanto vale la tensione di ciascun cavo? E se l’angolo fosse più piccolo?

Studiamo il nodo in cui si incontrano i cavi. Per simmetria i due cavi hanno la stessa tensione $T$: le componenti orizzontali, $T\cos 60°$, sono uguali e opposte e si annullano. Lungo la verticale le due componenti $T\sin 60°$ devono bilanciare il peso:

$$\begin{gathered} 2\,T\sin 60° - mg = 0 \\ T = \frac{mg}{2\sin 60°} = \frac{98{,}1\ \text{N}}{2 \cdot 0{,}866} \approx 56{,}6\ \text{N} \end{gathered}$$

Con lo stesso conto, $T = \dfrac{mg}{2\sin\theta}$, ecco come cambia la tensione con l’angolo:

Angolo dei cavi	Tensione di ciascun cavo
90° (cavi verticali)	49,1 N
60°	56,6 N
30°	98,1 N
10°	282 N
5°	563 N

Più i cavi sono vicini all’orizzontale, più devono tirare. A 30° ciascun cavo regge già l’intero peso della lampada; a 5° più di cinque volte. Un cavo perfettamente orizzontale non potrebbe mai reggere un peso: per questo un filo del bucato teso non resta mai dritto, e i cavi dell’alta tensione sono sempre un po’ incurvati.

2. La cassa trascinata a velocità costante

Testo. Una cassa di 20 kg viene trascinata sul pavimento a velocità costante con una forza orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Quanto vale la forza?

La velocità è costante, quindi la cassa è in equilibrio dinamico. Lungo la verticale $N = mg$; lungo l’orizzontale la forza applicata bilancia esattamente l’attrito:

$$\begin{gathered} F = \mu_d\,N = \mu_d\,m\,g \\ F = 0{,}3 \cdot 20 \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 58{,}9\ \text{N} \end{gathered}$$

Per mantenere la cassa in moto a velocità costante serve una forza uguale all’attrito, non maggiore. Una forza maggiore la farebbe accelerare.

3. La stessa cassa tirata con una corda inclinata

Testo. La stessa cassa viene trascinata a velocità costante con una corda inclinata di 30° verso l’alto. Quanto vale ora la forza? E la reazione del pavimento?

Ora la forza ha una componente verticale, $F\sin 30°$, che solleva un poco la cassa e riduce la normale. Le due equazioni di equilibrio sono:

$$\begin{gathered} N + F\sin 30° - mg = 0 \\ F\cos 30° - \mu_d\,N = 0 \end{gathered}$$

Ricavando $N$ dalla prima e sostituendo nella seconda:

$$\begin{gathered} F = \frac{\mu_d\,m\,g}{\cos 30° + \mu_d \sin 30°} \\ F = \frac{0{,}3 \cdot 196{,}2}{0{,}866 + 0{,}15}\ \text{N} \approx 57{,}9\ \text{N} \end{gathered}$$ $$N = 196{,}2 - 57{,}9 \cdot 0{,}5\ \text{N} \approx 167{,}2\ \text{N}$$

Serve un po’ meno forza che tirando in orizzontale, anche se solo una parte di $F$ è diretta in avanti: la normale più piccola riduce l’attrito. È il motivo per cui una valigia o uno slittino si tirano con la corda inclinata verso l’alto.

4. Il blocco fermo sul piano inclinato

Testo. Un blocco di 5 kg è fermo su un piano inclinato di 20°. Il coefficiente di attrito statico è 0,4. Quanto vale la forza di attrito? Fino a che angolo il blocco resta fermo?

Il peso è $mg = 5 \cdot 9{,}81\ \text{N} = 49{,}05\ \text{N}$. Con l’asse $x$ lungo il piano e l’asse $y$ perpendicolare, usando $\cos 20° \approx 0{,}940$ e $\sin 20° \approx 0{,}342$:

$$\begin{gathered} N = mg\cos 20° \approx 46{,}1\ \text{N} \\ F_a = mg\sin 20° \approx 16{,}8\ \text{N} \end{gathered}$$

La forza di attrito vale 16,8 N: esattamente quanto serve per bilanciare la componente del peso lungo il piano. Il massimo che l’attrito statico potrebbe dare è

$$\mu_s\,N = 0{,}4 \cdot 46{,}1\ \text{N} \approx 18{,}4\ \text{N}$$

più di quanto serve, quindi il blocco resta fermo. Il blocco comincia a scivolare quando $mg\sin\theta$ supera $\mu_s\,mg\cos\theta$, cioè quando $\tan\theta > \mu_s$: con $\mu_s = 0{,}4$ l’angolo limite è $\arctan 0{,}4 \approx 21{,}8°$, e non dipende dalla massa.

5. Il semaforo appeso a due cavi diversi

Testo. Un semaforo di 15 kg è appeso a due cavi: il primo forma un angolo di 30° con l’orizzontale, il secondo di 45°. Trova le due tensioni.

Il peso è $mg = 15 \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 147{,}2\ \text{N}$. Le componenti orizzontali devono annullarsi, quelle verticali bilanciare il peso:

$$\begin{gathered} T_1\cos 30° = T_2\cos 45° \\ T_1\sin 30° + T_2\sin 45° = mg \end{gathered}$$

Dalla prima $T_2 = T_1\,\dfrac{\cos 30°}{\cos 45°} \approx 1{,}225\,T_1$; sostituendo nella seconda:

$$\begin{gathered} T_1\,(0{,}5 + 1{,}225 \cdot 0{,}707) = 147{,}2\ \text{N} \\ T_1 \approx 107{,}7\ \text{N} \qquad T_2 \approx 131{,}9\ \text{N} \end{gathered}$$

Il cavo più ripido regge di più. Verifica con il teorema di Lami. L’angolo tra $T_2$ e il peso è $90° + 45° = 135°$, quello tra $T_1$ e il peso è $90° + 30° = 120°$, quello tra i due cavi è $180° - 30° - 45° = 105°$:

$$\begin{gathered} \frac{T_1}{\sin 135°} = \frac{T_2}{\sin 120°} \\ {} = \frac{147{,}2\ \text{N}}{\sin 105°} \approx 152{,}3\ \text{N} \\ T_1 \approx 152{,}3 \cdot 0{,}707\ \text{N} \approx 107{,}7\ \text{N} \\ T_2 \approx 152{,}3 \cdot 0{,}866\ \text{N} \approx 131{,}9\ \text{N} \end{gathered}$$

6. Il paracadutista e la molla

Testo. a) Un paracadutista di 80 kg, attrezzatura compresa, scende a velocità costante di 5 m/s con il paracadute aperto. Quanto vale la forza dell’aria? b) Un corpo di 0,5 kg è appeso fermo a una molla con costante elastica 200 N/m. Di quanto è allungata la molla?

a) La velocità è costante: equilibrio dinamico. La forza dell’aria bilancia esattamente il peso, $F_{aria} = mg = 80 \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 785\ \text{N}$, verso l’alto. Non serve conoscere la velocità: a 5 m/s o a 200 km/h, se la velocità è costante la forza dell’aria è uguale al peso. Durante l’apertura del paracadute, invece, la forza dell’aria è più grande del peso: il paracadutista rallenta, ma continua a scendere.

b) Equilibrio statico: la forza elastica $k\,\Delta l$ bilancia il peso.

$$\begin{gathered} \Delta l = \frac{m\,g}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}81}{200}\ \text{m} \\ {} \approx 0{,}0245\ \text{m} = 2{,}45\ \text{cm} \end{gathered}$$

Altri problemi con piani inclinati, funi e carrucole li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• Un punto materiale è in equilibrio quando la risultante delle forze è nulla: $\sum F_x = 0$ e $\sum F_y = 0$, più $\sum F_z = 0$ nello spazio.
• Risultante nulla vuol dire accelerazione nulla, non assenza di forze.
• Equilibrio statico: corpo fermo. Equilibrio dinamico: moto rettilineo uniforme, come la caduta a velocità limite. Il moto circolare uniforme non è un equilibrio.
• L’equilibrio può essere stabile, instabile o indifferente; attorno a un equilibrio stabile il corpo oscilla.
• Negli esercizi: diagramma di corpo libero, assi, scomposizione, due equazioni per corpo. Con tre forze si può usare il teorema di Lami.
• La normale non è sempre $mg$ e l’attrito statico non è sempre $\mu_s N$: valgono quanto serve per l’equilibrio.

Una delle forze presenti in quasi tutti i problemi di equilibrio è il peso: lo vediamo nella forza peso. L’equilibrio dei corpi estesi, in cui conta anche dove sono applicate le forze, lo trovi nell’equilibrio statico del corpo rigido.