Esercizi svolti di gravitazione: satelliti, orbite, campo e velocità di fuga

In questa pagina trovi otto esercizi sul capitolo della gravitazione, in ordine di difficoltà: i primi sono di base, quelli centrali di livello medio, gli ultimi sono da esame.

Prova da solo seguendo il metodo in 6 passi, e apri la soluzione solo dopo. Attenzione a un errore classico: nella legge di gravitazione $r$ è la distanza dal centro del pianeta, non dalla superficie.

Dati usati in tutti gli esercizi:

• $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$;
• massa della Terra $M_T = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$ e raggio $R_T = 6{,}371 \cdot 10^6\ \text{m}$, quindi $GM_T \approx 3{,}986 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$.

Esercizio 1 · Quanto pesi su Marte

Livello: base · Argomento: legge di gravitazione universale

Marte ha massa $6{,}42 \cdot 10^{23}\ \text{kg}$ e raggio $3{,}39 \cdot 10^6\ \text{m}$. Quanto vale l’accelerazione di gravità sulla sua superficie? Quanto pesa lì un astronauta di 70 kg?

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Il peso sulla superficie è la forza di gravità del pianeta, $mg = GMm/R^2$, quindi:

$$\begin{gathered} g_{Marte} = \frac{G\,M}{R^2} \\ g_{Marte} = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}42 \cdot 10^{23}}{(3{,}39 \cdot 10^6)^2} \\ g_{Marte} \approx 3{,}73\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$ $$P = m\,g_{Marte} = 70 \cdot 3{,}73\ \text{N} \approx 261\ \text{N}$$

Circa il 38% del peso sulla Terra. La massa invece resta 70 kg: è la stessa ovunque.

Esercizio 2 · La Stazione Spaziale Internazionale

Livello: base · Argomento: orbite circolari

La Stazione Spaziale Internazionale orbita a circa 400 km di quota, su un’orbita quasi circolare. Calcola la sua velocità e il periodo dell’orbita.

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Il raggio dell’orbita si misura dal centro della Terra: $r = R_T + h = 6{,}771 \cdot 10^6\ \text{m}$. La gravità fa da forza centripeta:

$$\begin{gathered} \frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \\ v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}771 \cdot 10^6}}\ \text{m/s} \\ v \approx 7{,}67\ \text{km/s} \end{gathered}$$ $$T = \frac{2\pi\,r}{v} \approx 5545\ \text{s} \approx 92\ \text{min}$$

La Stazione fa circa 16 giri della Terra al giorno. La massa della Stazione non compare: alla stessa quota, un satellite di 1 kg e uno di 400 tonnellate vanno alla stessa velocità.

Esercizio 3 · L’orbita geostazionaria

Livello: medio · Argomento: terza legge di Keplero

Un satellite geostazionario resta sempre sopra lo stesso punto dell’equatore, perché il suo periodo è uguale a quello di rotazione della Terra, 23 h 56 min, cioè 86 164 s. A che quota orbita, e con quale velocità?

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Da $v = \sqrt{GM/r}$ e $v = 2\pi r/T$ si ricava la terza legge di Keplero per orbite circolari:

$$\begin{gathered} \frac{G\,M_T}{r} = \frac{4\pi^2\,r^2}{T^2} \\ r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}} \\ r = \sqrt[3]{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 86\,164^2}{4\pi^2}}\ \text{m} \\ r \approx 4{,}22 \cdot 10^7\ \text{m} \end{gathered}$$

Circa 42 200 km dal centro, quindi a una quota di circa 35 800 km. La velocità è:

$$v = \frac{2\pi\,r}{T} \approx 3{,}07\ \text{km/s}$$

Molto più lenta della Stazione Spaziale: più l’orbita è alta, più il satellite è lento.

Esercizio 4 · La velocità di fuga

Livello: medio · Argomento: energia potenziale gravitazionale

1. Calcola la velocità di fuga dalla superficie della Terra.
2. Calcola quella dalla Luna, che ha massa $7{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$ e raggio $1{,}737 \cdot 10^6\ \text{m}$.
3. Perché la Luna non ha un’atmosfera?

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Un corpo sfugge alla gravità se la sua energia meccanica è almeno zero, cioè se può arrivare a distanza infinita con velocità nulla:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,m\,v^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0 \\ v_f = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}} \end{gathered}$$

1. Terra:

$$\begin{gathered} v_f = \sqrt{\frac{2 \cdot 3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}371 \cdot 10^6}}\ \text{m/s} \\ v_f \approx 11{,}2\ \text{km/s} \end{gathered}$$

2. Luna:

$$\begin{gathered} v_f = \sqrt{\frac{2 \cdot 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}35 \cdot 10^{22}}{1{,}737 \cdot 10^6}} \\ v_f \approx 2{,}38\ \text{km/s} \end{gathered}$$

3. Le molecole di un gas hanno velocità di qualche centinaio di metri al secondo, come abbiamo visto con la teoria cinetica, e una parte di esse molto di più. Sulla Luna, con una velocità di fuga così bassa e il Sole che scalda la superficie oltre i 100 °C, nel corso di miliardi di anni il gas è sfuggito tutto.

Esercizio 5 · Dove i campi di Terra e Luna si annullano

Livello: medio · Argomento: campo gravitazionale

La distanza Terra-Luna è $3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}$ e la massa della Terra è circa 81,3 volte quella della Luna. In quale punto, sulla congiungente, il campo gravitazionale totale è nullo?

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Tra i due corpi i due campi hanno versi opposti, perché ognuno punta verso la propria massa. Il campo totale è nullo dove hanno lo stesso modulo. Chiamiamo $x$ la distanza dal centro della Terra e $d$ la distanza Terra-Luna:

$$\begin{gathered} \frac{G\,M_T}{x^2} = \frac{G\,M_L}{(d - x)^2} \\ \frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{M_L}{M_T}} = \frac{1}{\sqrt{81{,}3}} \approx \frac{1}{9{,}01} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} x = \frac{9{,}01}{10{,}01}\,d \approx 0{,}90 \cdot 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m} \\ x \approx 3{,}46 \cdot 10^8\ \text{m} \end{gathered}$$

Circa 346 000 km dalla Terra, il 90% della distanza: la Luna è così leggera che il suo campo prevale solo in una piccola regione intorno a lei.

Esercizio 6 · L’energia per andare in orbita

Livello: medio · Argomento: energia nelle orbite

Quanta energia serve, come minimo, per portare un satellite di 1000 kg dalla superficie terrestre a un’orbita circolare a 400 km di quota? Trascura la rotazione della Terra e l’aria. Quanta di questa energia serve per salire, e quanta per la velocità orbitale?

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Sulla superficie, da fermo, l’energia è solo potenziale: $E_i = -GM_Tm/R_T$. In orbita circolare l’energia meccanica è la metà dell’energia potenziale, $E_f = -GM_Tm/(2r)$. Con $r = 6{,}771 \cdot 10^6\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} \Delta E = G\,M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\,r}\right) \\ \Delta E \approx 3{,}31 \cdot 10^{10}\ \text{J} \end{gathered}$$

Come si divide:

• per salire di 400 km: $\Delta U = GM_Tm\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right) \approx 3{,}7 \cdot 10^9\ \text{J}$, circa l’11%;
• per la velocità orbitale: $E_k = \frac{GM_Tm}{2r} \approx 2{,}94 \cdot 10^{10}\ \text{J}$, circa l’89%.

Andare in orbita non è tanto una questione di altezza, quanto di velocità: un razzo deve soprattutto accelerare in orizzontale.

Esercizio 7 · Un’orbita ellittica

Livello: da esame · Argomento: orbite ellittiche e leggi di Keplero

Un satellite si muove su un’orbita ellittica intorno alla Terra. La distanza minima dal centro della Terra (perigeo) è 7000 km, quella massima (apogeo) 14 000 km.

1. Calcola il semiasse maggiore e il periodo dell’orbita.
2. Calcola la velocità al perigeo e all’apogeo.

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1. Il semiasse maggiore è la media tra distanza minima e massima:

$$a = \frac{r_p + r_a}{2} = 10\,500\ \text{km}$$

La terza legge di Keplero vale anche per le ellissi, con $a$ al posto del raggio:

$$\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G\,M_T}} = 2\pi\sqrt{\frac{(1{,}05 \cdot 10^7)^3}{3{,}986 \cdot 10^{14}}}\ \text{s} \\ T \approx 10\,700\ \text{s} \approx 2{,}97\ \text{h} \end{gathered}$$

2. Usiamo due conservazioni. Al perigeo e all’apogeo la velocità è perpendicolare al raggio, quindi la conservazione del momento angolare dà $r_p\,v_p = r_a\,v_a$. La conservazione dell’energia dà:

$$\frac{1}{2}\,v_p^2 - \frac{G\,M_T}{r_p} = \frac{1}{2}\,v_a^2 - \frac{G\,M_T}{r_a}$$

Sostituendo $v_a = v_p\,r_p/r_a$ e risolvendo:

$$\begin{gathered} v_p = \sqrt{\frac{2\,G\,M_T\,r_a}{r_p\,(r_p + r_a)}} \\ v_p = \sqrt{\frac{2 \cdot 3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 1{,}4 \cdot 10^7}{7 \cdot 10^6 \cdot 2{,}1 \cdot 10^7}}\ \text{m/s} \\ v_p \approx 8{,}71\ \text{km/s} \end{gathered}$$ $$v_a = v_p\,\frac{r_p}{r_a} \approx 4{,}36\ \text{km/s}$$

Al perigeo il satellite va al doppio della velocità che ha all’apogeo: è la seconda legge di Keplero, delle aree.

Esercizio 8 · La massa di un pianeta sconosciuto

Livello: da esame · Argomento: gravitazione universale

Una sonda orbita intorno a un pianeta sconosciuto su un’orbita circolare a 200 km di quota, con un periodo di 100 minuti. Il raggio del pianeta, misurato dalle immagini, è 3000 km.

1. Calcola la massa del pianeta.
2. Calcola la sua densità media. Di che cosa potrebbe essere fatto?
3. Calcola l’accelerazione di gravità sulla superficie e la velocità di fuga.

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1. Dalla terza legge di Keplero, con $r = R + h = 3{,}2 \cdot 10^6\ \text{m}$ e $T = 6000\ \text{s}$:

$$\begin{gathered} M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot (3{,}2 \cdot 10^6)^3}{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 6000^2}\ \text{kg} \\ M \approx 5{,}4 \cdot 10^{23}\ \text{kg} \end{gathered}$$

È così che si misurano davvero le masse dei pianeti: guardando come si muovono i loro satelliti.

2. Il volume è $\frac{4}{3}\pi R^3 \approx 1{,}13 \cdot 10^{20}\ \text{m}^3$, quindi:

$$\rho = \frac{M}{V} \approx 4800\ \text{kg/m}^3$$

Più delle rocce comuni, circa 3000 kg/m³, ma meno del ferro, 7900 kg/m³: probabilmente un pianeta roccioso con un nucleo metallico, come la Terra, che ha densità media di circa 5500 kg/m³.

3.

$$\begin{gathered} g = \frac{G\,M}{R^2} \approx 4{,}0\ \text{m/s}^2 \\ v_f = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}} \approx 4{,}9\ \text{km/s} \end{gathered}$$

Per continuare

Se un esercizio ti ha messo in difficoltà, ripassa l’argomento collegato e riprova il giorno dopo senza guardare la soluzione. Poi passa al capitolo successivo, dove studieremo più corpi insieme: i sistemi di punti materiali.

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