Moto sotto la forza gravitazionale: orbite, leggi di Keplero ed esercizi svolti

La Luna gira attorno alla Terra senza motori, la Stazione Spaziale fa il giro del pianeta in un’ora e mezza, la Terra impiega un anno a girare attorno al Sole: sono tutti esempi del moto di un corpo sottoposto alla forza gravitazionale di una massa molto più grande. In questa pagina vediamo perché un satellite in orbita sta cadendo, le due grandezze che si conservano, velocità e periodo di un’orbita circolare, le tre leggi di Keplero con la loro storia, perielio e afelio, come si pesano la Terra e i pianeti, come l’energia decide la forma dell’orbita, perché in orbita si fluttua, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Un corpo piccolo attorno a una massa grande

Un corpo di massa $m$, un satellite o un pianeta, è attratto da una massa $M$ molto più grande, come la Terra o il Sole. Per la legge di gravitazione universale la forza punta verso il centro di $M$ e vale:

$$F = G\,\frac{M\,m}{r^2}$$

con $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ e $r$ distanza tra i centri dei due corpi, non dalla superficie. La massa grande si sposta pochissimo e la consideriamo ferma. A rigore entrambi girano attorno al centro di massa, ma per Terra e Sole questo punto è a circa 450 km dal centro del Sole, dentro la stella.

L’accelerazione del corpo piccolo è $GM/r^2$, il campo gravitazionale di $M$, e non contiene $m$: il moto non dipende dalla massa del corpo che orbita. Una vite sfuggita di mano a un astronauta percorre la stessa orbita della Stazione Spaziale, e infatti le resta accanto.

Un’orbita è una caduta

Newton lo spiegava con un esperimento mentale, descritto nel suo Sistema del mondo, pubblicato nel 1728. Un cannone in cima a una montagna altissima spara in orizzontale: più forte spari, più lontano cade la palla. Ma la Terra è rotonda, e a una certa velocità il suolo “scende” sotto la palla tanto quanto la palla cade. La palla non tocca più terra e continua a girare attorno al pianeta: è in orbita, cioè cade per sempre. Per un’orbita radente alla superficie, senza aria, servono circa 7,9 km/s.

E la parabola di un proiettile? In realtà è un pezzettino di ellisse con il centro della Terra in un fuoco: vicino al suolo, dove $g$ è praticamente costante, non si distingue da una parabola.

Le due grandezze che si conservano

La gravità punta sempre verso il centro di $M$: è una forza centrale. Rispetto a quel centro il suo momento è nullo e, per il teorema del momento angolare, il momento angolare del corpo si conserva:

$$\vec{L} = \vec{r} \times m\,\vec{v} = \text{costante}$$

Questo ha due conseguenze.

1. Il moto è piano. $\vec{L}$ non cambia direzione ed è perpendicolare sia a $\vec{r}$ sia a $\vec{v}$, quindi il corpo resta sempre nello stesso piano.
2. La velocità areale è costante. Il raggio spazza aree uguali in tempi uguali (la dimostrazione è nelle forze centrali):

$$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$$

Nei punti in cui la velocità è perpendicolare al raggio, come il punto più vicino e quello più lontano dell’orbita, $L = m\,r\,v$. Più il corpo è vicino, più va veloce, come un pattinatore che gira più in fretta stringendo le braccia.

Si conserva anche l’energia meccanica, perché la gravità è una forza conservativa:

$$E = \frac{1}{2}\,m\,v^2 - G\,\frac{M\,m}{r}$$

Il secondo termine è l’energia potenziale gravitazionale, negativa e nulla all’infinito. Con queste due leggi si risolvono quasi tutti gli esercizi sulle orbite.

L’orbita circolare

In un’orbita circolare di raggio $r$ la gravità fa da forza centripeta:

$$\begin{gathered} G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \\ v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}} \end{gathered}$$

La massa del satellite si semplifica, e c’è una sorpresa: più l’orbita è alta, più il satellite è lento. Il periodo è la circonferenza divisa per la velocità:

$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}}$$

Ecco qualche orbita reale attorno alla Terra, con $GM_T = 3{,}986 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ e $R_T = 6371\ \text{km}$:

Orbita (quota)	$v$ (km/s)	Periodo
Radente (0 km)	7,91	1 h 24 min
ISS (400 km)	7,67	1 h 32 min
GPS (20 200 km)	3,87	11 h 58 min
Geostazionaria (35 800 km)	3,07	23 h 56 min

La Stazione Spaziale fa quasi sedici giri al giorno, i satelliti GPS due. Un satellite geostazionario, sopra l’equatore, gira in un giorno siderale, il tempo di una rotazione della Terra, e resta sempre sopra lo stesso punto: per questo le parabole della TV sui tetti sono fisse. Il calcolo del suo raggio, circa 42 200 km dal centro, è nell’ultimo esercizio della forza centripeta.

L’energia di un’orbita circolare

Da $mv^2 = GMm/r$ segue che l’energia cinetica è metà del modulo dell’energia potenziale, quindi:

$$E = -\,G\,\frac{M\,m}{2r} = -K$$

Ecco un apparente paradosso: per salire su un’orbita più alta bisogna dare energia al satellite, eppure lassù andrà più piano. L’energia potenziale cresce del doppio dell’energia fornita: metà la danno i motori, metà la cede l’energia cinetica.

Le tre leggi di Keplero

Per secoli si è pensato che i pianeti girassero su circonferenze. Le orbite vere le trovò Keplero, con tre leggi che oggi si ricavano dalla gravitazione.

Da Tycho Brahe a Newton

Il danese Tycho Brahe misurò per decenni le posizioni dei pianeti a occhio nudo, ma con la precisione migliore della sua epoca. Nel 1600 Johannes Keplero lo raggiunse a Praga; l’anno dopo Tycho morì e Keplero ne ereditò i dati.

Keplero studiò Marte, la cui orbita ha un’eccentricità di circa 0,09, più di cinque volte quella terrestre. Il suo modello migliore, fatto ancora di circonferenze, sbagliava di 8 minuti d’arco, circa un quarto del diametro apparente della Luna piena: con i dati di Tycho era troppo. Keplero abbandonò i cerchi e arrivò all’ellisse.

Le prime due leggi uscirono nel 1609 nell’Astronomia nova (la legge delle aree fu trovata per prima); la terza, scoperta il 15 maggio 1618, nel 1619 nell’Harmonices mundi. Keplero descriveva come si muovono i pianeti; il perché arrivò nel 1687 con i Principia di Newton, che ricavò le tre leggi dalla gravità che cala con il quadrato della distanza.

Prima legge: le orbite sono ellissi

I pianeti percorrono orbite ellittiche, e il Sole occupa uno dei due fuochi.

Un’ellisse è l’insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, è costante. Le grandezze da conoscere sono il semiasse maggiore $a$, metà dell’asse più lungo, e l’eccentricità $\varepsilon = c/a$, dove $c$ è la distanza di un fuoco dal centro: $\varepsilon = 0$ è una circonferenza, $\varepsilon$ vicino a 1 un’ellisse molto allungata. Il punto più vicino al Sole è il perielio, il più lontano l’afelio (per i satelliti della Terra si dice perigeo e apogeo):

$$\begin{gathered} r_p = a\,(1 - \varepsilon) \\ r_a = a\,(1 + \varepsilon) \end{gathered}$$

Sommandole si trova $a = (r_p + r_a)/2$: il semiasse maggiore è la media tra distanza minima e massima. L’altro fuoco è vuoto.

Le orbite dei pianeti sono quasi circolari. La Terra, con $\varepsilon \approx 0{,}0167$, va da circa 147,1 milioni di km dal Sole a inizio gennaio a 152,1 milioni di km a inizio luglio. In Italia siamo quindi più vicini al Sole proprio d’inverno: le stagioni dipendono dall’inclinazione dell’asse terrestre, non dalla distanza.

Seconda legge: aree uguali in tempi uguali

Il raggio che congiunge il Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.

È la conservazione del momento angolare. Nella figura l’ellisse è molto più schiacciata di quelle vere: i due spicchi hanno la stessa area e il pianeta li percorre nello stesso tempo. Vicino al Sole lo spicchio è corto e largo, quindi l’arco percorso è più lungo e il pianeta va più veloce.

Al perielio e all’afelio la velocità è perpendicolare al raggio, quindi $L = m\,r\,v$ e:

$$\begin{gathered} r_p\,v_p = r_a\,v_a \\ \frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{1 + \varepsilon}{1 - \varepsilon} \end{gathered}$$

Per la Terra il rapporto è solo 1,034: circa 30,3 km/s a inizio gennaio e 29,3 km/s a inizio luglio. Basta però a rendere l’inverno del nostro emisfero, che cade vicino al perielio, la stagione più breve: circa 89 giorni, contro i quasi 94 dell’estate. La seconda legge vale per qualunque forza centrale; la prima e la terza, invece, sono una conseguenza specifica della gravità che va come $1/r^2$.

Terza legge: il periodo dipende solo dal semiasse maggiore

Il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del semiasse maggiore, con la stessa costante per tutti i pianeti.

È la formula del periodo circolare elevata al quadrato, con il semiasse maggiore al posto del raggio:

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,a^3$$

La costante $4\pi^2/(GM)$ dipende solo dalla massa attorno a cui si orbita: è una per tutti i pianeti del Sole e un’altra per tutti i satelliti della Terra. Se misuri i periodi in anni e le distanze in unità astronomiche (1 UA, circa 149,6 milioni di km, è il semiasse maggiore dell’orbita terrestre), per la Terra $T = 1$ e $a = 1$, e per tutto il sistema solare la legge diventa semplicemente $T^2 = a^3$:

Corpo	$a$ (UA)	$T$ (anni)
Terra	1	1
Marte	1,524	1,881
Giove	5,204	11,86
Cometa di Halley	17,83	75,32

Per Marte $1{,}524^3 \approx 3{,}54$ e $1{,}881^2 \approx 3{,}54$. Funziona anche per la cometa di Halley, con eccentricità 0,967: passata al perielio nel 1986, tornerà nel 2061. A rigore nella formula compare $M + m$, ma anche Giove, il pianeta più grande, ha circa un millesimo della massa del Sole.

La dimostrazione per l’ellisse

In un periodo il raggio spazza tutta l’area dell’ellisse, $A = \pi\,a\,b$, con velocità areale costante $L/(2m)$:

$$\begin{gathered} T = \frac{A}{dA/dt} = \frac{\pi\,a\,b}{L/(2m)} \\ {} = \frac{2\pi\,m\,a\,b}{L} \end{gathered}$$

Dalle equazioni del moto si trova che il momento angolare dell’orbita vale $L = m\sqrt{GMa\,(1 - \varepsilon^2)}$, e il semiasse minore è $b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}$. Sostituendo, l’eccentricità si semplifica:

$$\begin{gathered} T = \frac{2\pi\,a^2\sqrt{1 - \varepsilon^2}}{\sqrt{G\,M\,a\,(1 - \varepsilon^2)}} \\ {} = \frac{2\pi\,a^{3/2}}{\sqrt{G\,M}} \end{gathered}$$

Elevando al quadrato si ritrova la terza legge. Il periodo non dipende dall’eccentricità: un’ellisse allungatissima e un cerchio con lo stesso semiasse maggiore hanno lo stesso periodo.

Pesare la Terra e i pianeti

Girando la terza legge si ottiene la massa del corpo centrale:

$$M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}$$

Basta misurare la distanza e il periodo di un satellite; la massa del satellite non serve. Proviamo con la Luna, che dista in media 384 400 km e fa un giro, rispetto alle stelle, in 27,32 giorni, cioè $2{,}36 \cdot 10^6\ \text{s}$:

$$\begin{gathered} M_T = \frac{4\pi^2 \cdot (3{,}844 \cdot 10^8)^3}{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot (2{,}36 \cdot 10^6)^2}\ \text{kg} \\ M_T \approx 6{,}03 \cdot 10^{24}\ \text{kg} \end{gathered}$$

Il valore vero, $5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, è circa l’1% più piccolo, soprattutto perché la Luna, con l’1,2% della massa terrestre, non è del tutto trascurabile. Allo stesso modo, dall’orbita della Terra si ricava la massa del Sole, circa $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$, e da una luna di Giove la massa di Giove, come nel terzo esercizio.

Dalle orbite, in realtà, si misura $GM$: per passare alla massa serve $G$, misurato da Cavendish con la bilancia di torsione descritta nelle forze gravitazionali.

L’energia decide la forma dell’orbita

Risolvendo le equazioni del moto si trova che l’orbita è sempre una conica con la massa $M$ in un fuoco. Quale conica dipende dal segno dell’energia meccanica:

• $E < 0$: ellisse, o circonferenza. Il corpo è legato e torna sempre indietro: pianeti, Luna, satelliti;
• $E = 0$: parabola. Il corpo arriva all’infinito con velocità nulla;
• $E > 0$: iperbole. Il corpo passa una volta vicino a $M$, viene deviato e se ne va per sempre con una velocità residua.

Immagina di lanciare un corpo dal punto $P$, a distanza $r$ da $M$, perpendicolarmente al raggio. Con $v_c = \sqrt{GM/r}$ percorre un cerchio. Un po’ più veloce, un’ellisse che ha in $P$ il punto più vicino. A $\sqrt{2}\,v_c$, la velocità di fuga da quella distanza, una parabola; oltre, un’iperbole. Se invece è più lento di $v_c$, percorre un’ellisse che ha in $P$ il punto più lontano.

Dalla superficie terrestre la velocità di fuga vale circa 11,2 km/s, come si ricava nell’energia potenziale gravitazionale. Un’iperbole vera è quella di ‘Oumuamua, il primo oggetto interstellare mai osservato, scoperto il 19 ottobre 2017: è passato vicino al Sole con eccentricità circa 1,2 e non tornerà più.

Energia e velocità sull’ellisse

Per un’ellisse l’energia generalizza quella del cerchio e dipende solo dal semiasse maggiore:

$$E = -\,G\,\frac{M\,m}{2a}$$

Uguagliandola a $\tfrac{1}{2}mv^2 - GMm/r$ si trova la velocità in qualunque punto dell’orbita, una formula comodissima negli esercizi:

$$v^2 = G\,M\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$$

Per $r = a$ ritrovi il cerchio; per $a$ che tende all’infinito, cioè la parabola, ritrovi la velocità di fuga. A parità di energia, quindi di $a$, è il momento angolare a decidere quanto l’ellisse è schiacciata.

Perché in orbita si fluttua

Alla quota della Stazione Spaziale, 400 km, la gravità c’è eccome:

$$\begin{gathered} g = \frac{G\,M_T}{r^2} = \frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{(6{,}771 \cdot 10^6)^2}\ \text{m/s}^2 \\ g \approx 8{,}69\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

quasi il 90% di quella al suolo. Gli astronauti fluttuano perché la stazione e tutto quello che contiene sono in caduta libera: cadono insieme, con la stessa accelerazione, mentre corrono di lato abbastanza in fretta da non toccare mai terra. Il pavimento cade con loro e non li spinge, come in un ascensore con il cavo spezzato. Che tutti i corpi cadano allo stesso modo è il principio di equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale.

Gli errori più comuni

• Usare la quota al posto della distanza dal centro. Nelle formule $r = R + h$: per la Stazione Spaziale 6771 km, non 400 km.
• Pensare che un satellite più pesante debba andare più veloce. La massa del satellite si semplifica.
• Credere che in orbita non ci sia gravità. È la gravità a tenerlo in orbita; si fluttua perché si cade con la navicella.
• Mettere il Sole al centro dell’ellisse. Il Sole è in un fuoco; il centro e l’altro fuoco sono vuoti.
• Usare nella terza legge una distanza qualsiasi. Per un’ellisse va il semiasse maggiore, la media tra perielio e afelio.
• Usare la stessa costante di Keplero per corpi centrali diversi. $T^2/a^3 = 4\pi^2/(GM)$ cambia se cambia $M$.
• Pensare che un’orbita più alta sia più veloce. Per salire serve energia, ma lassù il satellite va più piano.
• Mescolare le unità. Con $G$ in unità SI servono metri e secondi: chilometri e giorni vanno convertiti prima.

Esercizi svolti

1. La velocità della Terra attorno al Sole

Testo. La Terra percorre un’orbita quasi circolare di raggio $1{,}496 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ in 365,26 giorni. Con che velocità si muove? Controlla il risultato con la formula dell’orbita circolare, sapendo che la massa del Sole è $M_S = 1{,}989 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$.

Il periodo in secondi è $T = 365{,}26 \cdot 86\,400\ \text{s} \approx 3{,}156 \cdot 10^7\ \text{s}$, quindi:

$$\begin{gathered} v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 1{,}496 \cdot 10^{11}}{3{,}156 \cdot 10^7}\ \text{m/s} \\ v \approx 2{,}98 \cdot 10^4\ \text{m/s} = 29{,}8\ \text{km/s} \end{gathered}$$

Con la formula dell’orbita circolare:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{\frac{G\,M_S}{r}} \\ {} = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}989 \cdot 10^{30}}{1{,}496 \cdot 10^{11}}}\ \text{m/s} \\ {} \approx 29{,}8\ \text{km/s} \end{gathered}$$

I due conti coincidono: circa 107 000 km/h. Nei cinque secondi che ti servono a leggere questa frase hai percorso, insieme alla Terra, quasi 150 km attorno al Sole.

2. Il periodo di Marte

Testo. Il semiasse maggiore dell’orbita di Marte è 1,524 UA. Quanto dura un anno marziano? Non usare né $G$ né la massa del Sole.

Marte e la Terra girano attorno allo stesso Sole, quindi con i periodi in anni e le distanze in UA vale $T^2 = a^3$:

$$T = a^{3/2} = 1{,}524^{3/2}\ \text{anni} \approx 1{,}881\ \text{anni}$$

cioè circa 687 giorni, proprio l’anno marziano misurato. Il confronto con la Terra evita tutti i numeri grandi: è il modo più veloce di usare la terza legge.

3. Pesare Giove con la luna Io

Testo. Io, una delle lune di Giove scoperte da Galileo, percorre un’orbita quasi circolare di raggio 421 800 km in 1,769 giorni. Quanto vale la massa di Giove? Quante volte è più grande di quella della Terra, $5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$?

In unità SI, $r = 4{,}218 \cdot 10^8\ \text{m}$ e $T = 1{,}769 \cdot 86\,400\ \text{s} \approx 1{,}528 \cdot 10^5\ \text{s}$. Dalla terza legge girata:

$$\begin{gathered} M_G = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} \\ {} = \frac{4\pi^2 \cdot (4{,}218 \cdot 10^8)^3}{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot (1{,}528 \cdot 10^5)^2}\ \text{kg} \\ {} \approx 1{,}90 \cdot 10^{27}\ \text{kg} \end{gathered}$$

Il rapporto con la Terra è $1{,}90 \cdot 10^{27} / 5{,}97 \cdot 10^{24} \approx 318$. Giove ha più di trecento volte la massa della Terra, e l’abbiamo pesato solo guardando quanto impiega una sua luna a fare un giro.

4. Perielio e afelio della Terra

Testo. La distanza della Terra dal Sole varia tra 147,1 milioni di km al perielio e 152,1 milioni di km all’afelio. Trova il semiasse maggiore, l’eccentricità e la velocità della Terra al perielio e all’afelio, con $M_S = 1{,}989 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$.

Il semiasse maggiore è la media delle due distanze, e da $r_a - r_p = 2a\varepsilon$ si ricava l’eccentricità:

$$\begin{gathered} a = \frac{r_p + r_a}{2} = 149{,}6 \cdot 10^6\ \text{km} \\ \varepsilon = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p} = \frac{5{,}0}{299{,}2} \approx 0{,}0167 \end{gathered}$$

Al perielio usiamo la formula della velocità sull’ellisse, con $GM_S \approx 1{,}327 \cdot 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$:

$$\begin{gathered} v_p = \sqrt{G\,M_S\left(\frac{2}{r_p} - \frac{1}{a}\right)} \\ v_p \approx 3{,}029 \cdot 10^4\ \text{m/s} \approx 30{,}3\ \text{km/s} \end{gathered}$$

All’afelio basta la conservazione del momento angolare:

$$\begin{gathered} v_a = v_p\,\frac{r_p}{r_a} = 30{,}29 \cdot \frac{147{,}1}{152{,}1}\ \text{km/s} \\ v_a \approx 29{,}3\ \text{km/s} \end{gathered}$$

La differenza è di appena 1 km/s, circa il 3%, perché l’orbita terrestre è quasi circolare; con la formula dell’energia si trova lo stesso $v_a$.

5. Ellisse, parabola o iperbole?

Testo. Una sonda si trova a 7000 km dal centro della Terra e si muove perpendicolarmente al raggio. Che orbita percorre se la sua velocità è 9 km/s? E se è 12 km/s? Nel primo caso trova la distanza massima dalla Terra, nel secondo la velocità con cui la sonda arriva all’infinito.

Confrontiamo con la velocità circolare e con quella di fuga:

$$\begin{gathered} v_c = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{7 \cdot 10^6}}\ \text{m/s} \\ v_c \approx 7{,}55\ \text{km/s} \\ v_f = \sqrt{2}\,v_c \approx 10{,}67\ \text{km/s} \end{gathered}$$

Con 9 km/s la sonda è più veloce di $v_c$ ma più lenta di $v_f$: l’energia è negativa e l’orbita è un’ellisse con il perigeo nel punto di partenza. Dalla formula della velocità sull’ellisse:

$$\begin{gathered} \frac{1}{a} = \frac{2}{r} - \frac{v^2}{G\,M_T} \\ {} = (2{,}857 - 2{,}032) \cdot 10^{-7}\ \text{m}^{-1} \\ a \approx 1{,}212 \cdot 10^7\ \text{m} = 12\,120\ \text{km} \end{gathered}$$

L’apogeo è a $r_a = 2a - r_p \approx 24\,240 - 7000 = 17\,240\ \text{km}$ dal centro, circa 10 900 km di quota, e lì la sonda va a $v\,r_p/r_a \approx 3{,}65\ \text{km/s}$.

Con 12 km/s la velocità supera quella di fuga: l’energia è positiva e l’orbita è un’iperbole. All’infinito l’energia potenziale è nulla, quindi $\tfrac{1}{2}v_\infty^2 = \tfrac{1}{2}v^2 - GM_T/r$ e, dato che $2GM_T/r = v_f^2$:

$$\begin{gathered} v_\infty = \sqrt{v^2 - v_f^2} = \sqrt{12^2 - 10{,}67^2}\ \text{km/s} \\ v_\infty \approx 5{,}49\ \text{km/s} \end{gathered}$$

Un terzo di velocità in più cambia il destino della sonda: da prigioniera della Terra a libera di andarsene.

6. Dall’orbita bassa all’orbita geostazionaria

Testo. Un satellite è in orbita circolare a $r_1 = 6700\ \text{km}$ dal centro della Terra e deve salire sull’orbita geostazionaria, $r_2 = 42\,164\ \text{km}$. Usa un’ellisse di trasferimento con il perigeo su $r_1$ e l’apogeo su $r_2$, l’orbita di trasferimento di Hohmann. Di quanto deve aumentare la velocità al perigeo e all’apogeo? Quanto dura il viaggio?

Sull’orbita di partenza:

$$\begin{gathered} v_1 = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r_1}} = \sqrt{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}7 \cdot 10^6}}\ \text{m/s} \\ v_1 \approx 7{,}71\ \text{km/s} \end{gathered}$$

L’ellisse di trasferimento ha $a_t = (r_1 + r_2)/2 = 24\,432\ \text{km}$. Al suo perigeo:

$$\begin{gathered} v_p = \sqrt{G\,M_T\left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{a_t}\right)} \\ v_p \approx 10{,}13\ \text{km/s} \end{gathered}$$

Il primo aumento è $\Delta v_1 = 10{,}13 - 7{,}71 \approx 2{,}42\ \text{km/s}$. All’apogeo, per la conservazione del momento angolare, la velocità è scesa a $v_a = v_p\,r_1/r_2 \approx 1{,}61\ \text{km/s}$, mentre l’orbita geostazionaria richiede $v_2 = \sqrt{GM_T/r_2} \approx 3{,}07\ \text{km/s}$. Serve quindi un secondo aumento $\Delta v_2 = 3{,}07 - 1{,}61 \approx 1{,}46\ \text{km/s}$, per un totale di circa 3,88 km/s. Il viaggio dura metà del periodo dell’ellisse:

$$\begin{gathered} t = \pi\sqrt{\frac{a_t^3}{G\,M_T}} \approx 1{,}90 \cdot 10^4\ \text{s} \\ t \approx 5{,}28\ \text{h} \end{gathered}$$

circa 5 ore e 17 minuti. È il paradosso dell’energia: il satellite accelera due volte, ma alla fine va più piano di prima.

Altri problemi su satelliti, orbite e velocità di fuga li trovi negli esercizi svolti di gravitazione.

In sintesi

• La gravità è centrale: il momento angolare si conserva, il moto è piano e $dA/dt = L/(2m)$ è costante. Al perielio e all’afelio $r_p v_p = r_a v_a$.
• Si conserva anche l’energia $E = \tfrac{1}{2}mv^2 - GMm/r$.
• Orbita circolare: $v = \sqrt{GM/r}$, $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$, $E = -GMm/(2r)$. Più è alta, più è lenta.
• Prima legge di Keplero: ellissi con il Sole in un fuoco, $r_p = a(1 - \varepsilon)$ e $r_a = a(1 + \varepsilon)$.
• Seconda legge: aree uguali in tempi uguali, quindi il pianeta è più veloce al perielio.
• Terza legge: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,a^3$; girata, $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2)$ pesa il corpo centrale.
• Ellisse se $E < 0$, con $E = -GMm/(2a)$; parabola se $E = 0$; iperbole se $E > 0$. Sull’ellisse $v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$.
• In orbita si fluttua perché si è in caduta libera insieme alla navicella, non perché manchi la gravità.

Con la gravitazione si chiude la dinamica di un singolo punto materiale. Il capitolo successivo studia insiemi di più corpi: i sistemi di punti materiali.