Sistemi di punti: forze interne ed esterne, equazioni cardinali ed esercizi svolti

Due pattinatori che si spingono, un’auto che parte al semaforo, un fuoco d’artificio che esplode: in tutti questi casi non c’è un corpo solo, ma un sistema di corpi che interagiscono. Per studiarli bisogna prima separare le forze interne, che i corpi del sistema si scambiano tra loro, dalle forze esterne, che arrivano da fuori: solo queste ultime possono cambiare il moto complessivo del sistema. In questa pagina vediamo cos’è un sistema di punti materiali, come la scelta del sistema decide quali forze sono interne, perché le forze interne si annullano a coppie, la prima equazione cardinale, perché non puoi sollevarti tirandoti per i capelli né spingere un’auto da dentro, perché un’auto accelera, il lavoro delle forze interne, la seconda equazione cardinale, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un sistema di punti materiali

Un sistema di punti materiali è un insieme di $n$ punti, di masse $m_1, m_2, \dots, m_n$, di cui vogliamo studiare il moto complessivo: due palle da biliardo, un fucile con il suo proiettile, la Terra e la Luna, le molecole di un gas. Anche un corpo esteso si può pensare fatto di tantissimi pezzetti, ognuno trattato come un punto: tutto quello che vediamo qui vale quindi anche per il corpo rigido.

La cosa più importante è che il sistema lo scegli tu, nel modo più comodo per il problema. Un trucco pratico è disegnare una linea chiusa tratteggiata attorno ai corpi che vuoi studiare: è il confine del sistema, e tutto ciò che sta fuori è l’esterno.

Forze interne e forze esterne

Una volta tracciato il confine, ogni forza che agisce su un punto del sistema rientra in uno di due gruppi.

• Le forze interne sono quelle che i punti del sistema esercitano l’uno sull’altro. Indichiamo con $\vec{F}_{ij}$ la forza che il punto $j$ esercita sul punto $i$.
• Le forze esterne sono esercitate su punti del sistema da corpi che non ne fanno parte: il peso, dovuto alla Terra, la reazione del pavimento, l’attrito dell’aria. Indichiamo con $\vec{F}_i^{(E)}$ la risultante delle forze esterne sul punto $i$.

La stessa forza può essere interna o esterna

Prendi due blocchi A e B su un piano liscio, collegati da una fune, e tira il blocco B con una forza $\vec{F}$. Se scegli come sistema A + B, la fune tira A verso destra e B verso sinistra con forze uguali e opposte: la tensione è interna, e l’unica forza esterna orizzontale è $\vec{F}$. Se scegli come sistema solo A, la tensione diventa esterna, ed è proprio lei a far accelerare A.

Per l’accelerazione dell’insieme conviene A + B: la tensione sparisce e trovi subito $a = F/(m_A + m_B)$. Per la tensione devi isolare un blocco, così diventa esterna e compare nelle equazioni: è il metodo dei corpi collegati della tensione dei fili. Lo stesso vale in grande: l’attrazione tra Terra e Luna, circa $2 \cdot 10^{20}\ \text{N}$, è interna per il sistema Terra-Luna ed esterna per la sola Luna, che è tenuta in orbita proprio da lei.

Sistema scelto	Forza	Tipo
Blocchi A + B	tensione della fune	interna
Solo il blocco A	tensione della fune	esterna
Terra e Luna	attrazione reciproca	interna
Solo la Luna	attrazione della Terra	esterna
Auto con passeggero	spinta sul cruscotto	interna
Auto con passeggero	attrito della strada	esterna

Le forze interne si annullano a coppie

Per il terzo principio della dinamica, le forze interne compaiono sempre a coppie di azione e reazione: se il punto $j$ spinge il punto $i$, il punto $i$ spinge il punto $j$ con una forza uguale e opposta.

$$\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}$$

Sommando tutte le forze interne, ogni forza trova la sua compagna. Con tre punti, per esempio, le coppie sono tre e ogni parentesi è zero:

$$\begin{gathered} \vec{R}^{(I)} = (\vec{F}_{12} + \vec{F}_{21}) + (\vec{F}_{13} + \vec{F}_{31}) \\ {} + (\vec{F}_{23} + \vec{F}_{32}) = 0 \end{gathered}$$

Con $n$ punti è lo stesso, solo con più coppie:

$$\vec{R}^{(I)} = \sum_{i}\sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij} = 0$$

La prima equazione cardinale

La quantità di moto totale è la somma delle quantità di moto dei singoli punti e, come si vede nel centro di massa, è uguale a quella di un punto con tutta la massa $M$ che si muove con il centro di massa:

$$\vec{P} = \sum_{i=1}^{n} m_i\,\vec{v}_i = M\,\vec{v}_{cm}$$

Scriviamo ora il secondo principio per ogni punto. Sul punto $i$ agiscono le forze esterne e quelle interne esercitate da tutti gli altri punti:

$$\frac{d\vec{p}_i}{dt} = \vec{F}_i^{(E)} + \sum_{j \ne i}\vec{F}_{ij}$$

Sommando su tutti i punti, a sinistra si ottiene la derivata della quantità di moto totale; a destra la risultante delle forze esterne più quella delle forze interne, che è nulla. Resta la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi:

$$\frac{d\vec{P}}{dt} = M\,\vec{a}_{cm} = \vec{R}^{(E)}$$

La quantità di moto totale cambia solo per effetto delle forze esterne. Il centro di massa si muove come un punto che ha tutta la massa del sistema e subisce solo le forze esterne.

È un’equazione tra vettori, quindi vale per componenti. Nel piano:

$$\begin{cases} M\,a_{cm,x} = R_x^{(E)} \\ M\,a_{cm,y} = R_y^{(E)} \end{cases}$$

Integrandola nel tempo, la variazione di $\vec{P}$ è uguale all’impulso delle sole forze esterne, $\Delta\vec{P} = \int \vec{R}^{(E)}\,dt$; se la risultante esterna è nulla, $\vec{P}$ resta costante: è la conservazione della quantità di moto.

Il regalo più grande è che per il moto del centro di massa non serve conoscere le forze interne: possono essere complicatissime, come in due blocchi uniti da una molla che oscilla, ma il centro di massa risponde solo a quelle esterne. Per questo in tanti esercizi puoi trattare un corpo esteso come un punto.

Perché non puoi sollevarti tirandoti per i capelli

Il barone di Münchhausen, un nobile tedesco realmente esistito (1720-1797), è il protagonista di racconti esagerati pubblicati per la prima volta in un libro da Rudolf Erich Raspe nel 1785. In uno degli episodi più famosi il barone, finito in una palude, si salva tirandosi fuori per i capelli: in una celebre illustrazione di Gustave Doré si solleva per il codino insieme al suo cavallo.

È impossibile, proprio per la prima equazione cardinale. La mano tira i capelli verso l’alto, ma i capelli tirano la mano verso il basso con una forza uguale e opposta: è una coppia di forze interne, a somma zero. Restano il peso e le forze della palude, quindi il centro di massa non sale. Per alzarti serve una forza esterna, come la spinta del pavimento quando salti.

Allo stesso modo non puoi spingere un’auto stando seduto dentro: premi sul cruscotto, il cruscotto ti spinge all’indietro contro il sedile, e tu spingi il sedile, cioè l’auto, all’indietro. Da fuori, invece, ci riesci. Ma attenzione: per il sistema auto più persona, la spinta delle mani è interna anche adesso. La forza esterna che mette in moto tutto è l’attrito del suolo sui piedi, diretto in avanti.

La persona preme con i piedi sul suolo all’indietro, e il suolo spinge lei in avanti. Con i piedi su una lastra di ghiaccio, invece, saresti tu a scivolare all’indietro.

Perché un’auto accelera

Nel motore lo scoppio della miscela spinge i pistoni, i pistoni fanno girare l’albero, l’albero trascina le ruote: sono tutte forze interne all’auto, e da sole non possono far accelerare il suo centro di massa. La gomma, però, nel punto in cui tocca l’asfalto spinge la strada all’indietro, e la strada spinge la gomma in avanti: è l’attrito statico, statico perché la gomma che rotola non striscia. È questa la forza esterna che accelera l’auto:

$$M\,a_{cm} = f_s \le \mu_s\,N$$

dove $N$ è la parte del peso che grava sulle ruote motrici. L’attrito ha un massimo, quindi anche l’accelerazione, qualunque sia la potenza del motore (esercizio 4). Sul ghiaccio le ruote slittano e l’auto quasi non parte.

Anche in frenata la protagonista è la strada: le pastiglie che stringono il disco sono forze interne e rallentano le ruote, ma a fermare l’auto è l’attrito dell’asfalto sulle gomme, diretto all’indietro. Lo stesso schema vale quando cammini: il piede spinge il pavimento all’indietro, il pavimento spinge te in avanti. E un razzo nello spazio? Per il sistema razzo più gas espulsi non ci sono forze esterne, ma per il solo razzo la spinta dei gas è esterna, ed è lei che lo accelera.

Le forze interne possono cambiare l’energia

Le forze interne hanno risultante nulla, ma il loro lavoro in generale non è nullo. Prendi una coppia: $\vec{F}_{ij}$ agisce sul punto $i$, che si sposta di $d\vec{r}_i$, e $\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}$ agisce sul punto $j$, che si sposta di $d\vec{r}_j$. Il lavoro della coppia è:

$$\begin{gathered} dW^{(I)} = \vec{F}_{ij}\cdot d\vec{r}_i + \vec{F}_{ji}\cdot d\vec{r}_j \\ {} = \vec{F}_{ij}\cdot d(\vec{r}_i - \vec{r}_j) \end{gathered}$$

Dipende solo dallo spostamento relativo dei due punti. Se la loro distanza non cambia, come in un corpo rigido, il lavoro interno è zero; se si avvicinano o si allontanano, no. Per questo il teorema dell’energia cinetica, per un sistema, contiene entrambi i lavori:

$$\Delta K = W^{(E)} + W^{(I)}$$

• In un’esplosione la quantità di moto totale non cambia, ma l’energia cinetica passa da zero a un valore enorme: è il lavoro delle forze interne.
• Quando salti, il pavimento ti spinge ma non compie lavoro, perché i piedi, finché lo toccano, sono fermi: l’energia viene dai muscoli (esercizio 6). Allo stesso modo l’attrito della strada su una ruota che non slitta decide l’accelerazione dell’auto, ma l’energia viene dal motore.
• Due blocchi che strisciano uno sull’altro si scambiano attriti uguali e opposti, ma il loro lavoro totale è negativo: trasformano energia cinetica in calore.

In breve: la quantità di moto totale la cambiano solo le forze esterne, l’energia cinetica anche quelle interne. Per separare le due cose con ordine c’è il teorema di König.

La seconda equazione cardinale

Le forze di una coppia di azione e reazione non sono solo uguali e opposte: stanno anche sulla stessa retta, quella che congiunge i due punti. Per questo i loro momenti, rispetto a qualunque polo, si annullano:

$$\begin{gathered} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ij} + \vec{r}_j \times \vec{F}_{ji} \\ {} = (\vec{r}_i - \vec{r}_j) \times \vec{F}_{ij} = 0 \end{gathered}$$

perché $\vec{r}_i - \vec{r}_j$ è parallelo alla forza, e il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo. Il momento risultante delle forze interne è quindi nullo, e ragionando come per la prima equazione si ottiene la seconda equazione cardinale:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}^{(E)}$$

dove $\vec{L}$ è il momento angolare totale e $\vec{M}^{(E)}$ il momento risultante delle sole forze esterne, calcolati rispetto a un polo fisso o al centro di massa. La dimostrazione completa è nel momento angolare di un sistema di punti.

Le forze interne non cambiano il momento angolare totale, ma possono cambiare come il sistema ruota: una pattinatrice che chiude le braccia gira più veloce, con lo stesso momento angolare. Persino un gatto che cade partendo senza ruotare riesce a girarsi e atterrare sulle zampe: cambiando forma si riorienta senza mai acquistare momento angolare.

Per un corpo rigido le due equazioni cardinali bastano a determinare il moto: sei equazioni scalari per sei grandezze, tre per la posizione del centro di massa e tre per l’orientazione. Per un sistema che si deforma, come un gas, non bastano: non dicono come si muove ogni singolo punto.

Un po’ di storia

L’idea centrale era già chiara a Newton. Nei Principia del 1687, subito dopo le tre leggi del moto, enunciò come corollario che il centro di gravità comune di due o più corpi non cambia il suo stato di quiete o di moto per effetto delle azioni dei corpi tra loro: è la prima equazione cardinale detta a parole. La forma generale delle equazioni di traslazione e di rotazione si deve soprattutto a Leonhard Euler, che nel Settecento costruì la meccanica dei corpi rigidi in una serie di opere culminata in una memoria del 1776.

Gli errori più comuni

• Mettere le forze interne nella prima equazione cardinale. La tensione di una fune tra due corpi del sistema, la spinta tra due pattinatori, la forza di una molla: nella risultante $\vec{R}^{(E)}$ non vanno.
• Pensare che azione e reazione si annullino su un corpo. Agiscono su corpi diversi: si annullano solo sommando su tutto il sistema.
• Non dire qual è il sistema, o cambiarlo a metà. Una forza è interna o esterna solo rispetto a un sistema preciso: prima di scrivere le equazioni, disegna il confine.
• Credere che il motore faccia accelerare l’auto. Il motore esercita forze interne; la forza esterna che accelera l’auto è l’attrito della strada sulle ruote motrici.
• Pensare che le forze interne non compiano lavoro. La loro risultante è nulla, il lavoro no: esplosioni, molle e muscoli cambiano l’energia cinetica.
• Confondere $M$ e $\vec{M}$. $M$ senza freccia è la massa totale, $\vec{M}^{(E)}$ è il momento delle forze esterne.
• Usare la seconda equazione con un polo qualsiasi. Nella forma semplice vale con un polo fisso o con il centro di massa.

Esercizi svolti

1. Due pattinatori che si spingono

Testo. Due pattinatori di 60 kg e 80 kg sono fermi sul ghiaccio e si spingono a vicenda. Il primo si allontana a 2 m/s. Con che velocità si muove il secondo? Quanta energia cinetica hanno prodotto? Se la spinta dura 0,5 s, quanto vale la forza media su ciascuno?

Peso e reazione del ghiaccio si bilanciano e l’attrito è trascurabile: la risultante esterna è nulla e la quantità di moto totale resta zero.

$$\begin{gathered} 60 \cdot 2 + 80\,v_2 = 0 \\ v_2 = -\frac{120}{80}\ \text{m/s} = -1{,}5\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il secondo si muove a 1,5 m/s nel verso opposto. L’energia cinetica passa da zero a

$$\begin{gathered} K = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 2^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot 1{,}5^2 \\ K = (120 + 90)\ \text{J} = 210\ \text{J} \end{gathered}$$

prodotti dalle forze interne, cioè dai muscoli. Il primo guadagna 120 kg·m/s in 0,5 s: la forza media su di lui è $120/0{,}5 = 240\ \text{N}$, sul secondo $-240\ \text{N}$. Forze uguali e opposte, ma il più pesante va più piano, e il centro di massa resta fermo.

2. Tre corpi legati da molle

Testo. Tre corpi di 1 kg, 2 kg e 3 kg, fermi su un piano orizzontale liscio, sono collegati da molle. Sul primo agisce una forza costante di 6 N lungo $x$, sul secondo una di 8 N lungo $y$, sul terzo nessuna. I corpi oscillano in modo complicato. Quanto vale l’accelerazione del centro di massa? Di quanto si è spostato dopo 3 s?

Le molle danno forze interne; peso e reazione del piano si bilanciano. Con la massa totale di 6 kg:

$$\begin{cases} a_{cm,x} = \dfrac{6}{6}\ \text{m/s}^2 = 1\ \text{m/s}^2 \\[6pt] a_{cm,y} = \dfrac{8}{6}\ \text{m/s}^2 \approx 1{,}33\ \text{m/s}^2 \end{cases}$$

Il modulo è $\sqrt{1^2 + 1{,}33^2} \approx 1{,}67\ \text{m/s}^2$, cioè la risultante esterna, $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \text{N}$, divisa per 6 kg, a circa 53° dall’asse $x$. Partendo da fermo:

$$\begin{gathered} s = \tfrac{1}{2}\,a_{cm}\,t^2 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{10}{6} \cdot 3^2\ \text{m} \\ s = 7{,}5\ \text{m} \end{gathered}$$

cioè 4,5 m lungo $x$ e 6 m lungo $y$. I corpi oscillano, ma il centro di massa avanza dritto come un punto di 6 kg tirato da 10 N.

3. Due pattinatori e una fune

Testo. Due pattinatori di 60 kg e 90 kg sono fermi sul ghiaccio, a 10 m di distanza, e tengono i capi di una fune leggera. Il primo tira la fune con una forza costante di 30 N. Dove si incontrano, dopo quanto tempo e con che velocità? Quanto lavoro compiono le forze interne?

La risultante esterna è nulla, quindi il centro di massa resta fermo. Con l’origine nel primo pattinatore:

$$x_{cm} = \frac{60 \cdot 0 + 90 \cdot 10}{150}\ \text{m} = 6\ \text{m}$$

Si incontrano lì, a 6 m dal punto di partenza del primo e a 4 m da quello del secondo, chiunque dei due tiri. La fune tira ciascuno con 30 N: $a_1 = 30/60 = 0{,}5\ \text{m/s}^2$ e $a_2 = 30/90 \approx 0{,}333\ \text{m/s}^2$, uno verso l’altro. Insieme coprono 10 m:

$$\begin{gathered} 10 = \tfrac{1}{2}\,(a_1 + a_2)\,t^2 \\ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{0{,}833}}\ \text{s} \approx 4{,}90\ \text{s} \end{gathered}$$

Le velocità sono $v_1 = 0{,}5 \cdot 4{,}90 \approx 2{,}45\ \text{m/s}$ e $v_2 \approx 0{,}333 \cdot 4{,}90 \approx 1{,}63\ \text{m/s}$, con quantità di moto uguali e opposte, circa 147 kg·m/s. Le energie cinetiche sono circa 180 J e 120 J: in tutto 300 J, proprio la forza per lo spostamento relativo, $30 \cdot 10 = 300\ \text{J}$, come prevede il lavoro di una coppia di forze interne.

4. Quanto può accelerare un’auto

Testo. Un’auto di 1200 kg ha la trazione anteriore, e sulle ruote anteriori grava il 60% del peso. Tra gomme e asfalto asciutto $\mu_s = 0{,}8$. Trascurando aria e attrito volvente, e supponendo che la ripartizione del peso non cambi accelerando, quanto valgono l’accelerazione massima e il tempo minimo da 0 a 100 km/h? E con quattro ruote motrici, o con la trazione anteriore sul ghiaccio, dove $\mu_s = 0{,}1$?

L’unica forza esterna orizzontale è l’attrito statico sulle ruote motrici, che al massimo vale $\mu_s$ per la forza normale su quelle ruote, $0{,}6\,mg$:

$$\begin{gathered} f_{max} = 0{,}8 \cdot 0{,}6 \cdot 1200 \cdot 9{,}81\ \text{N} \\ f_{max} \approx 5650\ \text{N} \end{gathered}$$

Dalla prima equazione cardinale:

$$\begin{gathered} a_{max} = \frac{f_{max}}{m} = 0{,}8 \cdot 0{,}6 \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \\ a_{max} \approx 4{,}71\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Con 100 km/h ≈ 27,8 m/s, il tempo minimo è $27{,}8/4{,}71 \approx 5{,}90\ \text{s}$. Con quattro ruote motrici $a_{max} = 0{,}8 \cdot 9{,}81 \approx 7{,}85\ \text{m/s}^2$ e bastano circa 3,54 s. Sul ghiaccio $a_{max} = 0{,}1 \cdot 0{,}6 \cdot 9{,}81 \approx 0{,}589\ \text{m/s}^2$ e servono almeno 47 s. La massa si semplifica e la potenza del motore non compare: oltre questi valori le ruote slittano.

5. Due blocchi sovrapposti

Testo. Un blocco di $m_1 = 2\ \text{kg}$ è appoggiato su uno di $m_2 = 3\ \text{kg}$, che sta su un pavimento liscio. Tra i blocchi $\mu_s = 0{,}3$ e $\mu_d = 0{,}25$. Una forza orizzontale $F$ tira il blocco di sotto. Con $F = 10\ \text{N}$ si muovono insieme? Qual è la forza massima perché restino uniti? Con $F = 20\ \text{N}$, quanto valgono le accelerazioni?

Per il sistema dei due blocchi l’attrito tra loro è interno: se si muovono insieme, $a = F/M = 10/5 = 2\ \text{m/s}^2$. Per il solo blocco di sopra l’attrito è esterno ed è l’unica forza orizzontale: servono $f = 2 \cdot 2 = 4\ \text{N}$, e l’attrito statico arriva fino a $0{,}3 \cdot 2 \cdot 9{,}81 \approx 5{,}89\ \text{N}$. Restano uniti.

Al massimo l’attrito dà al blocco di sopra un’accelerazione $\mu_s\,g \approx 2{,}94\ \text{m/s}^2$, e il sistema non può superarla:

$$\begin{gathered} F_{max} = (m_1 + m_2)\,\mu_s\,g \\ F_{max} = 5 \cdot 2{,}94\ \text{N} \approx 14{,}7\ \text{N} \end{gathered}$$

Con 20 N i blocchi scivolano. L’attrito dinamico, $0{,}25 \cdot 2 \cdot 9{,}81 \approx 4{,}91\ \text{N}$, spinge in avanti il blocco di sopra e frena quello di sotto:

$$\begin{gathered} a_1 = \frac{4{,}91}{2}\ \text{m/s}^2 \approx 2{,}45\ \text{m/s}^2 \\ a_2 = \frac{20 - 4{,}91}{3}\ \text{m/s}^2 \approx 5{,}03\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Controllo con la prima equazione cardinale: il centro di massa deve accelerare a $F/M = 4\ \text{m/s}^2$, qualunque cosa facciano i blocchi tra loro. E infatti $(2 \cdot 2{,}45 + 3 \cdot 5{,}03)/5 \approx 4{,}00\ \text{m/s}^2$.

6. Il salto da fermo

Testo. Una persona di 70 kg si accovaccia e salta in verticale. Durante la spinta il suo centro di massa sale di 40 cm, dopo lo stacco di altri 50 cm. Supponendo costante la forza del pavimento, trova la velocità di stacco, la forza del pavimento, la durata della spinta e il lavoro di pavimento, peso e muscoli.

Dopo lo stacco agisce solo il peso: per salire di 50 cm serve

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5}\ \text{m/s} \\ v \approx 3{,}13\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Durante la spinta il centro di massa passa da fermo a 3,13 m/s in 40 cm: $a = v^2/(2s) = 9{,}81/0{,}8 \approx 12{,}26\ \text{m/s}^2$. Le forze esterne sono il peso e la spinta $N$ del pavimento, e per la prima equazione cardinale $N - mg = ma$:

$$\begin{gathered} N = m\,(g + a) = 70 \cdot (9{,}81 + 12{,}26)\ \text{N} \\ N \approx 1545\ \text{N} \end{gathered}$$

circa 2,25 volte il peso, 687 N. La spinta dura $t = v/a = 3{,}13/12{,}26 \approx 0{,}26\ \text{s}$.

Il pavimento non compie lavoro, perché i piedi non si muovono. Il peso compie $-70 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}4 \approx -275\ \text{J}$ e l’energia cinetica allo stacco è $\tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot 3{,}13^2 \approx 343\ \text{J}$. Da $\Delta K = W^{(E)} + W^{(I)}$:

$$\begin{gathered} W^{(I)} = \Delta K - W^{(E)} \\ W^{(I)} \approx (343 + 275)\ \text{J} = 618\ \text{J} \end{gathered}$$

pari a $mg$ per tutto il dislivello, $70 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}9 \approx 618\ \text{J}$. Il pavimento ha dato la quantità di moto, con un impulso netto $(N - mg)\,t \approx 219\ \text{kg·m/s}$, pari a $70 \cdot 3{,}13$; i muscoli hanno dato tutta l’energia.

Altri problemi con centro di massa, esplosioni e urti li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Il sistema lo scegli tu: le forze interne agiscono tra i suoi punti, quelle esterne vengono da fuori. La stessa forza può essere interna o esterna.
• Per il terzo principio le forze interne si annullano a coppie: $\vec{R}^{(I)} = 0$ e, stando ogni coppia sulla stessa retta, $\vec{M}^{(I)} = 0$.
• Quantità di moto totale: $\vec{P} = \sum m_i\vec{v}_i = M\vec{v}_{cm}$.
• Prima equazione cardinale: $d\vec{P}/dt = M\vec{a}_{cm} = \vec{R}^{(E)}$; vale per componenti, e se $\vec{R}^{(E)} = 0$ la quantità di moto si conserva.
• Seconda equazione cardinale: $d\vec{L}/dt = \vec{M}^{(E)}$, con polo fisso o nel centro di massa.
• Un’auto accelera grazie all’attrito della strada, una forza esterna; il motore esercita forze interne.
• Il lavoro delle forze interne in generale non è nullo: $\Delta K = W^{(E)} + W^{(I)}$.

Il punto che riassume il moto di tutto il sistema è il centro di massa.