Come risolvere gli esercizi di fisica: il metodo in 6 passi, con esempi svolti

Capita a tutti: la teoria sembra chiara, poi si apre il testo di un esercizio e non si sa da dove partire. Il problema quasi mai è la fisica, ma la mancanza di un metodo. In questa guida ti spiego quello che uso io, lo stesso per la cinematica, la dinamica o la termodinamica: sei passi, sempre nello stesso ordine. Poi vediamo cosa fare quando ti blocchi, come affrontare il compito d’esame e tre esercizi svolti dall’inizio alla fine con il metodo.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Il metodo in breve

Prima i sei passi tutti insieme, poi li vediamo uno per uno. Tienili a portata di mano mentre ti alleni: dopo qualche decina di esercizi li seguirai senza pensarci.

1. Leggi il testo (due volte)

La prima lettura serve a capire la situazione: cosa si muove, cosa succede. La seconda a capire cosa chiede l’esercizio. Sottolinea la domanda: è sorprendente quante volte si calcola qualcosa di diverso da quello che è richiesto.

Durante la seconda lettura fai attenzione alle parole che nascondono un dato. Nei testi di fisica molti numeri non sono scritti come numeri:

Nel testo trovi	Significa
“parte da fermo”	velocità iniziale nulla, $v_0 = 0$
“si ferma”, “si arresta”	velocità finale nulla
“con velocità costante”	accelerazione nulla: le forze si bilanciano
“piano liscio”, “senza attrito”	coefficiente d’attrito nullo
“filo inestensibile”	i corpi collegati hanno la stessa accelerazione
“filo ideale”, “carrucola ideale”	la tensione è la stessa lungo tutto il filo
“nel punto più alto” (di un lancio)	la velocità verticale è nulla
“lasciato cadere”	caduta libera da fermo, $a = g$ verso il basso
“rotola senza strisciare”	$v = \omega R$
“i corpi restano uniti”	urto completamente anelastico
“urto elastico”	si conservano quantità di moto ed energia cinetica
“molto lentamente” (in termodinamica)	trasformazione quasistatica
“recipiente isolato termicamente”	nessuno scambio di calore, $Q = 0$
“recipiente rigido”	volume costante, quindi lavoro nullo

Leggi anche i dati con occhio critico. A volte un dato non serve: è lì per vedere se sai riconoscere quello che conta. Altre volte un dato manca perché si semplifica, come la massa in molti problemi sul piano inclinato.

2. Fai un disegno

Anche se il testo non lo chiede, e anche se sembra inutile. Il disegno ti costringe a capire la situazione e ti mostra cose che il testo non dice. Non serve che sia bello, ma deve essere grande e chiaro. Nel disegno metti:

• il sistema di riferimento: dove è l’origine e quali sono i versi positivi degli assi. Da questa scelta dipendono tutti i segni. Scegli gli assi che semplificano i conti: sul piano inclinato, per esempio, conviene un asse lungo il piano e uno perpendicolare;
• in dinamica, tutte le forze su ogni corpo, ognuna con il suo punto di applicazione: è il diagramma di corpo libero, che trovi spiegato nelle leggi di Newton;
• le grandezze note e quelle da trovare, scritte vicino alle frecce o ai punti a cui si riferiscono;
• se il moto ha più fasi, un disegno per ogni fase, con le grandezze all’inizio e alla fine di ciascuna.

Le grandezze che hanno una direzione, come velocità e forze, sono vettori: il disegno ti aiuta a scomporle lungo gli assi senza sbagliare seni e coseni.

3. Elenca dati e incognite, nel Sistema Internazionale

Scrivi in colonna i dati, ognuno con la sua unità di misura, e poi l’incognita con un punto interrogativo. Prima di qualsiasi calcolo converti tutto nel Sistema Internazionale: metri, chilogrammi, secondi, kelvin.

Le conversioni che servono più spesso:

• da km/h a m/s si divide per 3,6: 72 km/h = 20 m/s;
• da grammi a chilogrammi si divide per 1000, da centimetri a metri per 100;
• da gradi Celsius a kelvin si aggiunge 273,15;
• da litri a metri cubi si divide per 1000;
• da atmosfere a pascal si moltiplica per circa 101 325.

Tutte le altre, con il metodo per non sbagliare anche con aree e volumi, le trovi nella guida su grandezze fisiche e unità di misura.

Dai a ogni grandezza un simbolo, anche a quelle che il testo non nomina, e usa pedici chiari: $v_1$ e $v_2$ per due istanti, $m_A$ e $m_B$ per due corpi. Un nome preciso evita di confondere le grandezze a metà esercizio.

4. Riconosci il fenomeno e scegli le leggi

È il passo più importante, quello che distingue chi ha capito la teoria. Chiediti:

• Che tipo di moto è? Uniforme, uniformemente accelerato, circolare, armonico, parabolico?
• Che forze agiscono? Peso, normale, attrito, tensione, forza elastica?
• Si conserva qualcosa? L’energia meccanica, se non ci sono attriti; la quantità di moto, in un urto; il momento angolare, se il momento delle forze esterne è nullo.

Spesso la stessa domanda si risolve in due modi: con le forze e le leggi di Newton, che danno l’accelerazione e quindi il moto istante per istante; oppure con l’energia, che collega direttamente due istanti senza passare per quello che succede nel mezzo. Se l’esercizio chiede una velocità in una posizione, e non un tempo, l’energia è quasi sempre la strada più rapida.

Lavora all’indietro, partendo dall’incognita

Quando non vedi subito la strada, parti dalla fine. Scrivi l’incognita e chiediti: quale formula la contiene? Poi guarda le altre grandezze in quella formula: le conosci? Se ne manca una, diventa la nuova incognita e ripeti la domanda. In due o tre passaggi arrivi ai dati del testo, e a quel punto hai la catena completa da percorrere in avanti.

Per esempio, se ti chiedono lo spazio di frenata di un’auto e conosci velocità e coefficiente d’attrito: lo spazio sta nella formula $v^2 = v_0^2 - 2a\,d$, che richiede l’accelerazione; l’accelerazione viene dalla seconda legge di Newton, $a = F/m$; la forza è l’attrito, $\mu\,m\,g$. La catena è fatta, e la massa si semplifica.

Controlla che la formula valga nel tuo caso

Ogni formula ha delle condizioni di validità, e usarla fuori da quelle condizioni è uno degli errori più frequenti. Prima di scriverla chiediti se vale davvero nel tuo problema:

Formula o legge	Vale solo se
leggi del moto uniformemente accelerato	l’accelerazione è costante
gittata $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ del moto parabolico	partenza e arrivo sono alla stessa quota
conservazione dell’energia meccanica	lavorano solo forze conservative: niente attrito
conservazione della quantità di moto	la risultante delle forze esterne è nulla, o trascurabile come in un urto
periodo del pendolo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$	le oscillazioni sono piccole
legge di Hooke $F = -kx$	la molla non viene deformata troppo
$pV = nRT$	il gas si comporta come un gas perfetto

5. Risolvi in lettere, e solo alla fine metti i numeri

Scrivi le equazioni in forma simbolica e ricava l’incognita con le formule inverse, senza sostituire i numeri. Solo quando hai una formula del tipo “incognita = espressione dei dati” sostituisci i valori, tutti insieme. Sembra una perdita di tempo, ma ti fa guadagnare molto:

• vedi subito quali dati servono e quali no: a volte la massa si semplifica e non serve conoscerla;
• puoi controllare la formula prima di fare i conti, come spiego al passo 6;
• eviti gli errori di arrotondamento che si accumulano calcolando a metà strada;
• se hai sbagliato un numero, basta rifare l’ultima sostituzione.

Quando sostituisci, scrivi anche le unità di misura accanto ai numeri e portale avanti nel calcolo: se alla fine l’unità che ottieni non è quella della grandezza cercata, hai già trovato un errore.

Se le incognite sembrano troppe

A volte, scritte le equazioni, ci si accorge di avere più incognite che equazioni, e sembra di essere bloccati. Quasi sempre manca una relazione che il problema contiene ma non dice esplicitamente. Chiediti:

• Ci sono altre relazioni nascoste nel testo? Un filo inestensibile lega le accelerazioni dei corpi; un rotolamento senza strisciare lega velocità e velocità angolare, $v = \omega R$; il terzo principio dice che due forze di azione e reazione sono uguali; la geometria della figura lega lunghezze e angoli.
• Posso combinare le equazioni per eliminare qualche incognita? Nella macchina di Atwood del secondo esempio, sommando le equazioni dei due corpi la tensione si cancella e resta solo l’accelerazione.
• C’è un’altra legge che posso usare? Se con le forze le incognite non tornano, prova con l’energia o con una conservazione: aggiungono un’equazione senza introdurre nuove incognite.

6. Controlla il risultato

Prima di passare alla domanda successiva, dedica un minuto al controllo. Tre domande:

• Le unità di misura tornano? Se cerchi una velocità e la tua formula dà $\text{m}^2/\text{s}$, c’è un errore. È l’analisi dimensionale, e scopre la maggior parte degli errori algebrici.
• L’ordine di grandezza è sensato? Un’auto a 3000 km/h, una persona che pesa 7 kg, un sasso che cade per 40 minuti: rileggi i conti.
• I casi limite funzionano? Prova a mettere a zero l’attrito, o l’angolo, o a rendere uguali due masse nella formula finale: devi ritrovare un risultato che conosci.

Un controllo utile in più: il risultato deve stare dove te lo aspetti. Una temperatura di equilibrio deve essere compresa tra le due temperature iniziali; la tensione di un filo che sostiene un corpo che scende accelerando deve essere minore del suo peso; una velocità finale con attrito deve essere minore di quella senza attrito.

Infine, arrotonda con criterio. Il risultato non può essere più preciso dei dati da cui viene: va scritto con lo stesso numero di cifre significative del dato meno preciso. Se una lunghezza è data come 2,5 m e un tempo come 1,37 s, il risultato va dato con due cifre significative. La calcolatrice ti mostra dieci cifre, ma solo le prime hanno significato fisico.

Quando sei bloccato: le domande da farti

Anche con il metodo può capitare di non trovare la strada. Prima di guardare la soluzione, passa in rassegna questa lista:

1. Ho capito cosa chiede? Rileggi la domanda parola per parola.
2. Ho usato tutti i dati? Un dato che non hai ancora usato è spesso l’indizio che manca. E hai tradotto tutte le parole chiave della tabella del primo passo?
3. Il disegno è completo? Mancano forze, come la normale o l’attrito? Hai scelto assi comodi?
4. Posso lavorare all’indietro? Parti dall’incognita e cerca la formula che la contiene.
5. Posso risolvere un problema più semplice? Togli l’attrito, metti una sola massa, considera solo la prima fase del moto. Risolto quello, aggiungi un pezzo alla volta.
6. Ho già visto un esercizio simile? La strada è spesso la stessa, con altri numeri.

Come affrontare il compito d’esame

Il metodo è lo stesso, ma all’esame c’è il tempo da gestire e un voto da portare a casa. Qualche consiglio pratico:

• Leggi tutto il compito prima di iniziare, e comincia dall’esercizio che ti sembra più facile: ti dà sicurezza e punti.
• Dividi il tempo in base ai punti di ogni esercizio, e non restare bloccato troppo su una sola domanda: passa alla successiva e torna indietro dopo.
• Scrivi il procedimento, non solo il risultato: disegno, sistema di riferimento, leggi usate, passaggi in lettere. Chi corregge deve poter seguire il ragionamento, e un procedimento corretto con un errore di calcolo vale molto più di un numero sbagliato senza spiegazione.
• Se ti manca un risultato intermedio, dagli un nome e vai avanti. Scrivi “chiamo $a$ l’accelerazione del primo punto” e svolgi le domande successive in funzione di $a$.
• Tieni gli ultimi minuti per il controllo: unità di misura, segni, ordini di grandezza e le unità accanto a ogni risultato finale.

Gli errori più comuni

• Non convertire le unità di misura, soprattutto km/h, grammi, litri e gradi Celsius.
• Usare la calcolatrice impostata in radianti quando gli angoli sono in gradi, o viceversa.
• Sbagliare i segni: una grandezza diretta contro il verso positivo dell’asse è negativa.
• Confondere massa e peso: la massa si misura in kg, il peso è una forza e si misura in newton.
• Usare una formula fuori dalle sue condizioni di validità, come la conservazione dell’energia meccanica in presenza di attrito.
• Dimenticare una forza nel diagramma di corpo libero, di solito la normale o l’attrito.
• Arrotondare troppo presto: tieni almeno tre cifre significative fino alla fine.

Esercizi svolti con il metodo

Ecco tre esercizi di tre capitoli diversi, risolti seguendo i sei passi uno per uno.

1. Il blocco sul piano inclinato

Un blocco di 5,00 kg viene lasciato libero su un piano inclinato di 30,0° e scivola per 3,00 m. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,200. Con che velocità arriva in fondo?

1. Il testo. “Lasciato libero” significa che parte da fermo. Si chiede la velocità finale, non il tempo.

2. Il disegno. Asse $x$ lungo il piano, positivo verso il basso; asse $y$ perpendicolare. Sul blocco agiscono il peso $m\vec{g}$, la normale $\vec{N}$ e l’attrito dinamico $\vec f_d$, diretto verso l’alto lungo il piano, cioè contro il moto.

3. Dati e incognite. $m = 5{,}00\ \text{kg}$, $\theta = 30{,}0°$, $\mu_d = 0{,}200$, $d = 3{,}00\ \text{m}$, $v_0 = 0$. Incognita: $v$. Sono già tutti nel Sistema Internazionale.

4. Le leggi. È un piano inclinato con attrito: le forze sono costanti, quindi il moto è uniformemente accelerato. Lungo $y$ non c’è moto: $N = mg\cos\theta$. Lungo $x$:

$$m\,a = m\,g\sin\theta - \mu_d\,m\,g\cos\theta$$

5. In lettere. La massa si semplifica, quindi non serviva:

$$a = g\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$$

Partendo da fermo, la velocità dopo un tratto $d$ è $v = \sqrt{2ad}$:

$$v = \sqrt{2\,g\,d\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)}$$

Solo ora i numeri:

$$\begin{gathered} \sin\theta - \mu_d\cos\theta = 0{,}500 - 0{,}200 \cdot 0{,}866 \\ \sin\theta - \mu_d\cos\theta \approx 0{,}327 \\ v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 3{,}00 \cdot 0{,}327}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ v \approx 4{,}39\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

6. Il controllo.

• Unità: sotto radice c’è $\text{m/s}^2 \cdot \text{m} = \text{m}^2/\text{s}^2$, la radice dà m/s. Corretto.
• Caso limite: senza attrito, $\mu_d = 0$, si ritrova $v = \sqrt{2gd\sin\theta} = \sqrt{2gh}$, la velocità della caduta libera dalla stessa altezza $h = d\sin\theta$. Corretto.
• Altra strada: con il teorema dell’energia cinetica, il lavoro del peso meno quello dell’attrito è uguale all’energia cinetica finale: $mgd\sin\theta - \mu_d\,mg\cos\theta\,d = \frac{1}{2}mv^2$. Si ritrova la stessa formula.
• Ordine di grandezza: 4,4 m/s, circa 16 km/h, per uno scivolo di 3 m. Sensato.
• Cifre significative: i dati ne hanno tre, quindi il risultato si dà con tre cifre, 4,39 m/s.

2. La macchina di Atwood: le incognite sembrano troppe

Due corpi di massa $m_1 = 3{,}00\ \text{kg}$ e $m_2 = 2{,}00\ \text{kg}$ sono appesi ai capi di un filo ideale che passa su una carrucola ideale. Il sistema viene lasciato libero. Trova l’accelerazione dei corpi e la tensione del filo.

1. Il testo. “Filo ideale” e “carrucola ideale” sono parole chiave: il filo non si allunga e la tensione è la stessa ai due capi. “Lasciato libero”: si parte da fermi. Si chiedono due grandezze, $a$ e $T$.

2. Il disegno. Su ogni corpo agiscono il peso, verso il basso, e la tensione, verso l’alto. Il corpo più pesante, $m_1$, scende e $m_2$ sale. Scegliamo per ciascun corpo il verso positivo nel verso del suo moto: verso il basso per $m_1$, verso l’alto per $m_2$. Così l’accelerazione è positiva per entrambi.

3. Dati e incognite. $m_1 = 3{,}00\ \text{kg}$, $m_2 = 2{,}00\ \text{kg}$, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$. Incognite: $a$ e $T$.

4. Le leggi. La seconda legge di Newton per ciascun corpo. A prima vista le incognite sono quattro: due accelerazioni e due tensioni. Ma le relazioni nascoste nel testo le riducono a due. Il filo inestensibile dà la stessa accelerazione $a$ ai due corpi; il filo e la carrucola ideali danno la stessa tensione $T$ ai due capi:

$$\begin{gathered} m_1\,a = m_1\,g - T \\ m_2\,a = T - m_2\,g \end{gathered}$$

5. In lettere. Sommando le due equazioni la tensione si cancella:

$$\begin{gathered} (m_1 + m_2)\,a = (m_1 - m_2)\,g \\ a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,g \end{gathered}$$

Sostituendo $a$ nella seconda equazione si trova la tensione:

$$T = m_2\,(g + a) = \frac{2\,m_1\,m_2}{m_1 + m_2}\,g$$

Ora i numeri:

$$\begin{gathered} a = \frac{3{,}00 - 2{,}00}{5{,}00} \cdot 9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 1{,}96\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ T = \frac{2 \cdot 3{,}00 \cdot 2{,}00}{5{,}00} \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 23{,}5\ \text{N} \end{gathered}$$

6. Il controllo.

• Unità: $a$ è un numero puro per $g$, quindi m/s²; $T$ è kg per m/s², quindi newton. Corretto.
• Casi limite: con masse uguali, $m_1 = m_2$, si trova $a = 0$ e $T = m\,g$: il sistema sta in equilibrio, come ci si aspetta. Con $m_2 = 0$ si trova $a = g$: $m_1$ cade liberamente. Corretto.
• Dove deve stare il risultato: $m_1$ scende accelerando, quindi la tensione deve essere minore del suo peso, 29,4 N; $m_2$ sale accelerando, quindi deve essere maggiore del suo, 19,6 N. 23,5 N sta proprio in mezzo.

Trovi questo sistema studiato nel dettaglio nell’articolo sulla tensione dei fili, e la versione con la carrucola dotata di massa nella carrucola reale.

3. Il gas nella bombola: l’errore delle unità

Una bombola rigida da 10,0 L contiene aria alla pressione di 2,00 atm e alla temperatura di 20,0 °C. Lasciata al sole, si scalda fino a 50,0 °C. Che pressione raggiunge l’aria?

1. Il testo. “Bombola rigida”: il volume non cambia, quindi è una trasformazione a volume costante. Il gas non esce, quindi anche il numero di moli resta lo stesso. Si chiede la pressione finale.

2. Il disegno. Basta uno schizzo della bombola nei due stati, con $p_1, T_1$ e $p_2, T_2$, e lo stesso volume $V$.

3. Dati e incognite. $V = 10{,}0\ \text{L}$, $p_1 = 2{,}00\ \text{atm}$, $T_1 = 20{,}0 + 273{,}15 = 293{,}15\ \text{K}$, $T_2 = 50{,}0 + 273{,}15 = 323{,}15\ \text{K}$. Incognita: $p_2$. Le temperature vanno obbligatoriamente in kelvin, come vedremo tra poco.

4. Le leggi. L’aria a queste pressioni si comporta bene come un gas perfetto, quindi vale $pV = nRT$ in entrambi gli stati.

5. In lettere. Dividendo l’equazione dello stato finale per quella dello stato iniziale, $V$, $n$ e $R$ si semplificano:

$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} \qquad p_2 = p_1\,\frac{T_2}{T_1}$$

Il volume non serve: era un dato superfluo. E dato che le pressioni compaiono in un rapporto, possono restare in atmosfere:

$$p_2 = 2{,}00\ \text{atm} \cdot \frac{323{,}15\ \text{K}}{293{,}15\ \text{K}} \approx 2{,}20\ \text{atm}$$

6. Il controllo.

• L’errore classico: con le temperature in gradi Celsius si otterrebbe $p_2 = 2{,}00 \cdot 50{,}0 / 20{,}0 = 5{,}00\ \text{atm}$, due volte e mezza la pressione iniziale. Scaldare l’aria di soli trenta gradi non può avere un effetto così grande: l’ordine di grandezza smaschera l’errore. Nelle leggi dei gas la temperatura va sempre in kelvin, perché è la temperatura assoluta a essere proporzionale a $pV$.
• Ordine di grandezza: la temperatura assoluta cresce di circa il 10%, da 293 a 323 K, e la pressione cresce dello stesso 10%. Sensato.
• Cifre significative: tre, come i dati: 2,20 atm.

Come si diventa bravi: l’allenamento

Il metodo è il punto di partenza, ma a risolvere i problemi si impara solo risolvendone tanti. Qualche consiglio pratico:

• Cerca le somiglianze. Risolvere un problema richiede un po’ di creatività, ma molto spesso la strada giusta è quella di un problema simile che hai già svolto. Più esercizi hai fatto, più è facile riconoscere lo schema.
• Allenati sugli esercizi del tuo corso. Gli esercizi proposti dal tuo professore e i testi degli esami degli anni passati sono il materiale migliore: ti mostrano il tipo di problemi e il livello di difficoltà che troverai all’esame.
• Quando sei bloccato, guarda una soluzione, ma con giudizio. Prova prima da solo per un tempo ragionevole. Poi leggi la soluzione di un esercizio svolto, capisci il passaggio che ti mancava e, il giorno dopo, rifai l’esercizio da capo senza guardare.
• Tieni un quaderno degli errori. Ogni volta che sbagli, scrivi in una riga cosa è successo: “dimenticato l’attrito”, “temperatura in Celsius”. Rileggerlo prima dell’esame ti evita di ripetere gli stessi errori.

Su questo sito ogni capitolo di Fisica 1 ha una pagina di esercizi svolti in stile esame, con la soluzione da aprire solo dopo averci provato: comincia dagli esercizi svolti di cinematica e dagli esercizi svolti di dinamica. Se vuoi allenarti con esercizi spiegati passo per passo anche in video, ho preparato un corso di esercizi di Fisica 1 su Udemy, con lo stesso metodo che trovi in questa pagina.

In sintesi

1. Leggi il testo due volte e sottolinea la domanda; traduci le parole chiave in dati.
2. Fai un disegno con il sistema di riferimento e le forze.
3. Elenca dati e incognite, convertiti nel Sistema Internazionale.
4. Riconosci il fenomeno e scegli le leggi, controllando che valgano nel tuo caso; se non vedi la strada, lavora all’indietro dall’incognita.
5. Risolvi in lettere e sostituisci i numeri solo alla fine; se le incognite sembrano troppe, cerca le relazioni nascoste.
6. Controlla unità, ordine di grandezza e casi limite, e arrotonda alle cifre significative giuste.

E poi allenati: tanti esercizi, a partire da quelli del tuo corso e dagli esami passati.

Per cominciare, segui il programma di Fisica 1: ogni argomento ha esempi svolti con questo metodo. E per ricavare velocemente l’incognita giusta da ogni formula, leggi la guida alle formule inverse in fisica.