Forza centripeta: formula, esempi, esercizi svolti e differenza con la forza centrifuga

Fai roteare una pallina legata a un filo: se il filo si spezza, la pallina vola via in linea retta. Un’auto affronta una curva troppo veloce e finisce fuori strada. Entrambi i fenomeni dicono la stessa cosa: per muoversi su una circonferenza serve una forza diretta verso il centro, la forza centripeta. In questa pagina vediamo come si calcola, chi la fornisce nei casi più comuni, l’auto in curva, la curva sopraelevata, il giro della morte, il pendolo conico, i satelliti, la differenza con la forza centrifuga, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Perché serve una forza per girare

Nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante, ma la sua direzione cambia continuamente. Una velocità che cambia è un’accelerazione: l’accelerazione centripeta, diretta verso il centro.

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Per il secondo principio della dinamica, un’accelerazione richiede una forza risultante con la stessa direzione. Senza di essa, per il principio d’inerzia, il corpo proseguirebbe in linea retta, lungo la tangente.

La velocità è sempre tangente alla circonferenza, la forza è sempre perpendicolare alla velocità, verso il centro. Per questo la forza centripeta non cambia il modulo della velocità ma solo la sua direzione, e non compie lavoro: un corpo in moto circolare uniforme ha energia cinetica costante, come dice il teorema dell’energia cinetica.

La formula della forza centripeta

La forza centripeta è la risultante delle forze lungo la direzione radiale, diretta verso il centro:

$$F_c = m\,a_c = m\,\frac{v^2}{R} = m\,\omega^2 R$$

A parità di raggio, raddoppiando la velocità la forza necessaria quadruplica. A parità di velocità, una curva più stretta richiede una forza maggiore: con il raggio dimezzato serve il doppio della forza. Le due forme della formula sono equivalenti, perché $v = \omega R$: la prima è comoda quando si conosce la velocità, la seconda quando si conoscono i giri al secondo.

Chi fornisce la forza centripeta

Situazione	Forza che fa da centripeta
Pallina fatta ruotare con un filo	Tensione del filo
Auto in una curva piana	Attrito statico tra gomme e asfalto
Luna attorno alla Terra, satelliti	Forza gravitazionale
Auto in una curva sopraelevata	Componente orizzontale della reazione normale
Vagone delle montagne russe in un giro della morte	Normale e peso insieme
Pallina di un pendolo conico	Componente orizzontale della tensione
Elettrone nell’atomo, nel modello di Bohr	Attrazione elettrica del nucleo

L’auto in curva

Su una curva piana di raggio $R$ l’unica forza orizzontale sull’auto è l’attrito statico tra gomme e asfalto. È statico perché, se l’auto non sbanda, le gomme non scivolano lateralmente. Perché l’auto resti in strada:

$$\begin{gathered} m\,\frac{v^2}{R} \le \mu_s\,m\,g \\ v_{max} = \sqrt{\mu_s\,g\,R} \end{gathered}$$

La massa si semplifica: la velocità massima in curva non dipende dal peso del veicolo, ma dipende molto dall’aderenza. Ecco la velocità massima per una curva di 50 m di raggio, con coefficienti di attrito indicativi:

Fondo stradale	$\mu_s$ indicativo	Velocità massima
Asfalto asciutto	0,8	circa 71 km/h
Asfalto bagnato	0,5	circa 56 km/h
Neve compatta	0,2	circa 36 km/h
Ghiaccio	0,1	circa 25 km/h

Sul ghiaccio la stessa curva va presa a poco più di un terzo della velocità che si può tenere sull’asciutto. E dato che la forza centripeta cresce con $v^2$, una curva presa a velocità doppia richiede quattro volte l’aderenza.

La curva sopraelevata

Nelle piste e nelle curve autostradali la carreggiata è inclinata di un angolo $\theta$ verso l’interno. In questo modo la reazione normale, perpendicolare alla strada, ha una componente orizzontale diretta verso il centro.

Senza contare l’attrito, lungo la verticale la componente verticale della normale bilancia il peso, e lungo l’orizzontale la componente orizzontale fornisce la forza centripeta:

$$\begin{gathered} N\cos\theta = m\,g \\ N\sin\theta = m\,\frac{v^2}{R} \end{gathered}$$

Dividendo membro a membro:

$$\tan\theta = \frac{v^2}{g\,R}$$

A questa velocità, detta velocità di progetto, l’auto percorre la curva anche senza attrito, persino sul ghiaccio. Attenzione alla differenza con il piano inclinato: qui la normale vale $mg/\cos\theta$, più del peso, perché oltre a sostenere l’auto deve anche curvarne la traiettoria.

Con l’attrito

Con l’attrito statico la curva sopraelevata si può percorrere in un intervallo di velocità. Se l’auto va più veloce della velocità di progetto, l’attrito punta verso l’interno, giù lungo la strada, e aiuta la normale; la velocità massima diventa

$$v_{max} = \sqrt{g\,R\,\frac{\sin\theta + \mu_s\cos\theta}{\cos\theta - \mu_s\sin\theta}}$$

Per la curva del terzo esercizio, progettata per 72 km/h con $\theta \approx 22{,}2°$ e $R = 100\ \text{m}$, con $\mu_s = 0{,}5$ si arriva a circa 33 m/s, cioè 120 km/h. Se invece l’auto va troppo piano, rischia di scivolare verso l’interno, e l’attrito punta verso l’alto.

Il giro della morte

Un vagone percorre un anello verticale di raggio $R$. Nel punto più alto, sia il peso sia la normale del binario sono diretti verso il basso, cioè verso il centro:

$$N + m\,g = m\,\frac{v^2}{R}$$

La normale non può essere negativa, perché il binario non può tirare il vagone. La velocità minima per non staccarsi si ha quando $N = 0$, cioè quando il peso da solo fa da forza centripeta:

$$v_{min} = \sqrt{g\,R}$$

Con la conservazione dell’energia meccanica si trova l’altezza minima da cui partire, $\frac{5}{2}R$, e la spinta del binario nel punto più basso, sei volte il peso.

Il pendolo conico

Una pallina appesa a un filo di lunghezza $L$ gira su una circonferenza orizzontale, con il filo inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale: è il pendolo conico, come le sedie di una giostra a catene. Il raggio della circonferenza è $R = L\sin\theta$. La tensione ha una componente verticale che bilancia il peso e una orizzontale che fa da forza centripeta:

$$\begin{gathered} T\cos\theta = m\,g \\ T\sin\theta = m\,\frac{v^2}{R} \end{gathered}$$

Dividendo, si ritrova la stessa relazione della curva sopraelevata, $\tan\theta = v^2/(gR)$, e il periodo di rotazione risulta

$$T_{giro} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}$$

Più la giostra gira veloce, più le catene si allargano verso l’orizzontale. Lo calcoliamo nel quinto esercizio.

I satelliti

Per un satellite in orbita circolare attorno alla Terra la forza centripeta è la gravità:

$$\begin{gathered} G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \\ v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}} \end{gathered}$$

La massa del satellite si semplifica: a una data quota tutti i satelliti viaggiano alla stessa velocità. Più sono lontani, più sono lenti. A circa 36 000 km di quota il periodo è esattamente quello di rotazione della Terra: un satellite lì sopra l’equatore resta sempre sopra lo stesso punto. È l’orbita geostazionaria, usata dai satelliti per le telecomunicazioni e la televisione, che calcoliamo nel sesto esercizio. Il moto dei pianeti e dei satelliti lo approfondiamo nelle forze gravitazionali.

Forza centripeta e forza centrifuga

Quando sei su un’auto in curva ti senti spinto verso l’esterno. Ma per un osservatore fermo a terra nessuna forza ti spinge fuori: è il tuo corpo che, per inerzia, tende a proseguire dritto, mentre l’auto curva.

La forza centrifuga è una forza apparente: compare solo se descrivi il moto dal punto di vista di chi ruota, in un sistema di riferimento non inerziale. In un sistema inerziale esiste solo la forza centripeta. La centrifuga della lavatrice funziona proprio così: i vestiti sono tenuti in cerchio dalla parete del cestello, mentre l’acqua, che passa dai fori, non è trattenuta da niente e prosegue lungo la tangente. Ne parliamo nei moti relativi.

Gli errori più comuni

• Disegnare la forza centripeta come forza in più. Nel diagramma vanno solo le forze vere: peso, normale, tensione, attrito. La “centripeta” è la loro risultante verso il centro.
• Metterla verso l’esterno. La forza centripeta punta sempre verso il centro. Quella verso l’esterno è la centrifuga, che esiste solo nel sistema che ruota.
• Usare il diametro al posto del raggio. In $mv^2/R$ va il raggio della traiettoria.
• Confondere frequenza e velocità angolare. $\omega = 2\pi f$: 2 giri al secondo sono circa 12,6 rad/s, non 2.
• Lasciare la velocità in km/h. 72 km/h sono 20 m/s; dimenticarlo dà una forza quasi 13 volte troppo grande.
• Pensare che nel moto circolare uniforme serva una forza “in avanti”. Serve solo la forza verso il centro; senza attriti la velocità resta costante da sola.
• Usare l’attrito dinamico in curva. Finché l’auto non sbanda, l’attrito è statico.
• Credere che nel giro della morte in cima basti velocità zero. Serve almeno $\sqrt{gR}$.

Esercizi svolti

1. Velocità massima in curva

Testo. Una curva piana ha raggio $R = 50\ \text{m}$ e il coefficiente di attrito statico tra gomme e asfalto è $\mu_s = 0{,}8$. Qual è la velocità massima? E con l’asfalto bagnato, $\mu_s = 0{,}5$?

$$\begin{gathered} v_{max} = \sqrt{0{,}8 \cdot 9{,}81 \cdot 50}\ \text{m/s} \approx 19{,}8\ \text{m/s} \\ v_{max} \approx 71\ \text{km/h} \end{gathered}$$

Con l’asfalto bagnato:

$$\begin{gathered} v_{max} = \sqrt{0{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 50}\ \text{m/s} \\ {} \approx 15{,}7\ \text{m/s} \approx 56\ \text{km/h} \end{gathered}$$

Sul bagnato la stessa curva va presa a 15 km/h in meno.

2. Pallina fatta ruotare con un filo

Testo. Una pallina di 0,2 kg ruota su un piano orizzontale liscio, legata a un filo lungo 0,8 m, facendo 2 giri al secondo. Quanto vale la tensione del filo? Se il filo regge al massimo 50 N, quanti giri al secondo si possono fare?

$$\begin{gathered} \omega = 2\pi f = 4\pi\ \text{rad/s} \approx 12{,}6\ \text{rad/s} \\ T = m\,\omega^2 R = 0{,}2 \cdot (4\pi)^2 \cdot 0{,}8\ \text{N} \\ {} \approx 25{,}3\ \text{N} \end{gathered}$$

Con 50 N, cioè circa il doppio, la velocità angolare può crescere di un fattore $\sqrt{2}$, perché la tensione dipende da $\omega^2$:

$$\begin{gathered} \omega_{max} = \sqrt{\frac{50}{0{,}2 \cdot 0{,}8}}\ \text{rad/s} \approx 17{,}7\ \text{rad/s} \\ f_{max} = \frac{\omega_{max}}{2\pi} \approx 2{,}8\ \text{giri/s} \end{gathered}$$

3. Curva sopraelevata

Testo. Una curva di raggio 100 m deve essere percorribile a 72 km/h (20 m/s) senza bisogno di attrito. Che inclinazione deve avere? Quanto vale la normale su un’auto di 1000 kg?

$$\begin{gathered} \tan\theta = \frac{20^2}{9{,}81 \cdot 100} \approx 0{,}408 \\ \theta \approx 22{,}2° \end{gathered}$$

La normale si ricava dall’equazione verticale:

$$N = \frac{m\,g}{\cos\theta} = \frac{1000 \cdot 9{,}81}{\cos 22{,}2°}\ \text{N} \approx 10\,600\ \text{N}$$

circa l’8% in più del peso, 9810 N.

4. Giro della morte

Testo. In un anello di raggio $R = 10\ \text{m}$, qual è la velocità minima nel punto più alto? Quanto vale la spinta del binario su un vagone di 500 kg che passa in cima a 15 m/s?

$$v_{min} = \sqrt{9{,}81 \cdot 10}\ \text{m/s} \approx 9{,}9\ \text{m/s}$$

A 15 m/s, nel punto più alto peso e normale insieme forniscono la forza centripeta:

$$\begin{gathered} N = m\,\frac{v^2}{R} - m\,g \\ {} = 500 \cdot \frac{15^2}{10} - 500 \cdot 9{,}81\ \text{N} \\ {} = 11\,250 - 4905\ \text{N} \approx 6350\ \text{N} \end{gathered}$$

Il binario spinge il vagone verso il basso con circa 1,3 volte il suo peso: i passeggeri a testa in giù si sentono comunque premuti sul sedile.

5. Il pendolo conico

Testo. Una pallina di 0,3 kg, appesa a un filo lungo 1 m, gira su una circonferenza orizzontale con il filo inclinato di 30° rispetto alla verticale. Trova il raggio, la tensione, la velocità e il tempo di un giro.

$$\begin{gathered} R = L\sin 30° = 0{,}5\ \text{m} \\ T = \frac{m\,g}{\cos 30°} = \frac{0{,}3 \cdot 9{,}81}{0{,}866}\ \text{N} \approx 3{,}40\ \text{N} \end{gathered}$$

Da $\tan\theta = v^2/(gR)$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{g\,R\tan 30°} \\ {} = \sqrt{9{,}81 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}577}\ \text{m/s} \\ {} \approx 1{,}68\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il tempo di un giro è la circonferenza divisa per la velocità, $2\pi \cdot 0{,}5 / 1{,}68 \approx 1{,}87\ \text{s}$, lo stesso che dà la formula $2\pi\sqrt{L\cos\theta/g}$.

6. L’orbita geostazionaria

Testo. Un satellite geostazionario compie un giro in un giorno siderale, 23 h 56 min, cioè circa 86 164 s. A che distanza dal centro della Terra deve trovarsi? Con $GM = 3{,}986 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ per la Terra.

La gravità fa da forza centripeta, e con $v = 2\pi r/T$:

$$\begin{gathered} \frac{G\,M}{r^2} = \frac{4\pi^2\,r}{T^2} \\ r = \sqrt[3]{\frac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} r = \sqrt[3]{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 86\,164^2}{4\pi^2}}\ \text{m} \\ {} \approx 4{,}22 \cdot 10^7\ \text{m} \end{gathered}$$

Circa 42 160 km dal centro, cioè circa 35 800 km di quota sopra l’equatore. Il satellite viaggia a $2\pi r/T \approx 3{,}1\ \text{km/s}$, molto più piano della Stazione Spaziale, che è più vicina.

Altri problemi su curve, giri della morte e moto circolare li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• Per muoversi su una circonferenza serve una risultante diretta verso il centro: $F_c = mv^2/R = m\omega^2 R$. È perpendicolare alla velocità e non compie lavoro.
• La forza centripeta non è un nuovo tipo di forza ma un ruolo: la svolgono tensione, attrito, gravità, normale.
• Curva piana: $v_{max} = \sqrt{\mu_s g R}$. Curva sopraelevata senza attrito: $\tan\theta = v^2/(gR)$, la stessa relazione del pendolo conico.
• Giro della morte: nel punto più alto serve almeno $v = \sqrt{gR}$.
• Satelliti: $v = \sqrt{GM/r}$; l’orbita geostazionaria è a circa 36 000 km di quota.
• La forza centrifuga è apparente: compare solo nel sistema di riferimento che ruota.

Un altro moto su un arco di circonferenza, in cui la forza centripeta è fornita dalla tensione, è quello del pendolo semplice.