Conservazione dell'energia meccanica: principio, metodo ed esercizi svolti

Un’altalena che sale e scende, una pallina che rimbalza, le montagne russe: in tutti questi moti c’è qualcosa che si trasforma continuamente senza perdersi. È l’energia meccanica, e il principio della sua conservazione è probabilmente lo strumento più usato negli esercizi di Fisica 1. Permette di trovare velocità e altezze senza calcolare accelerazioni e tempi. In questa pagina vediamo il principio e la sua dimostrazione, i diagrammi a barre dell’energia, la scelta del livello zero, cosa succede con l’attrito e con i motori, quando conviene usarlo e quando no, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’energia meccanica

L’energia meccanica di un corpo è la somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale:

$$E_m = E_k + U = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + U$$

Se agiscono più forze conservative, $U$ è la somma delle loro energie potenziali, per esempio $mgz + \frac{1}{2}kx^2$: la prima è l’energia potenziale del peso, con $z$ la quota, la seconda quella di una molla deformata di $x$. Le loro formule si ricavano nel lavoro della forza peso e della forza elastica.

Il principio di conservazione

Se sul corpo compiono lavoro solo forze conservative, l’energia meccanica resta costante.

$$E_{k,A} + U_A = E_{k,B} + U_B$$

La dimostrazione

Per il teorema dell’energia cinetica, il lavoro delle forze è uguale alla variazione di energia cinetica: $W = E_{k,B} - E_{k,A}$. Se le forze sono conservative, lo stesso lavoro è anche uguale all’opposto della variazione di energia potenziale: $W = U_A - U_B$. Uguagliando:

$$\begin{gathered} E_{k,B} - E_{k,A} = U_A - U_B \\ E_{k,A} + U_A = E_{k,B} + U_B \end{gathered}$$

L’energia non si crea e non si distrugge: si trasforma da cinetica a potenziale e viceversa. Quando il corpo scende perde energia potenziale e guadagna esattamente la stessa quantità di energia cinetica.

I diagrammi a barre dell’energia

Un modo molto chiaro di “vedere” la conservazione è disegnare, in alcuni punti del percorso, una barra divisa in energia potenziale ed energia cinetica. Senza attrito l’altezza totale della barra resta sempre la stessa: cambia solo la divisione tra le due parti.

Più il carrello scende, più la parte cinetica cresce e la velocità aumenta; quando risale, la velocità diminuisce. Il carrello non può mai superare la quota a cui tutta l’energia sarebbe potenziale: è il quarto esercizio. Con l’attrito, invece, le barre si accorciano un po’ a ogni punto.

Il livello zero si sceglie a piacere

L’energia potenziale gravitazionale $mgz$ dipende da dove si mette lo zero della quota. Ma nel principio contano solo le differenze $U_A - U_B$, quindi lo zero si può mettere dove fa più comodo: di solito nel punto più basso, così nessuna energia potenziale è negativa.

Per esempio, per un sasso che cade da 5 m: con lo zero al suolo, $U_A = mg \cdot 5$ e $U_B = 0$; con lo zero nel punto di partenza, $U_A = 0$ e $U_B = -mg \cdot 5$. La differenza è la stessa, e anche la velocità finale. L’unica regola è non cambiare riferimento a metà esercizio.

Quando ci sono forze non conservative

Se agiscono anche forze non conservative, come l’attrito o la spinta di un motore, il loro lavoro $W_{nc}$ cambia l’energia meccanica:

$$W_{nc} = E_{m,B} - E_{m,A} = \Delta E_m$$

• Con l’attrito $W_{nc} < 0$ e l’energia meccanica diminuisce. Non sparisce davvero: si trasforma in energia interna, cioè in calore, che riscalda le superfici a contatto. Sono i freni roventi di un’auto dopo una lunga discesa.
• Con un motore, una persona che spinge o un ascensore che tira, $W_{nc} > 0$ e l’energia meccanica aumenta, come nel sesto esercizio.

Considerando anche il calore, l’energia totale si conserva sempre. L’equivalenza tra lavoro meccanico e calore fu misurata da James Joule negli anni ‘40 dell’Ottocento, con un mulinello che scaldava l’acqua: la trovi nell’esperimento di Joule. La forma generale del principio è il primo principio della termodinamica.

Il metodo per gli esercizi

1. Scegli due istanti, uno iniziale e uno finale, di cui conosci quasi tutto.
2. Fissa il livello di riferimento per l’energia potenziale del peso, di solito il punto più basso.
3. Scrivi l’energia meccanica nei due istanti: $\frac{1}{2}mv^2 + mgz + \frac{1}{2}kx^2$.
4. Controlla le forze non conservative: se non compiono lavoro uguaglia le due energie, altrimenti aggiungi $W_{nc}$.
5. Risolvi per l’incognita.

Il metodo dà il modulo della velocità, non la direzione, e non dice nulla sui tempi: se il problema li chiede, serve la dinamica.

Energia o dinamica?

Cosa chiede il problema	Strumento più comodo
Velocità o altezze, senza tempi	Conservazione dell’energia
Tempi, accelerazioni, posizioni nel tempo	Cinematica e secondo principio
Forze dei vincoli, come normale o tensione	Secondo principio, con la velocità presa dall’energia
Urti	Quantità di moto; l’energia solo se l’urto è elastico

Spesso servono tutti e due: nel giro della morte l’energia dà la velocità in ogni punto, e il secondo principio con la forza centripeta dice se il carrello resta sulla pista.

Perché le montagne russe partono con una salita

Le montagne russe tradizionali hanno un solo motore: una catena che tira il treno fino alla cima della prima salita. Da lì in poi il treno va avanti da solo, trasformando energia potenziale in cinetica e viceversa. Ogni dosso successivo deve essere più basso del primo, perché l’energia meccanica non può aumentare, e anzi l’attrito delle ruote e la resistenza dell’aria ne consumano un po’ lungo il percorso. Per questo la prima salita è sempre la più alta, e i progettisti lasciano un margine sulle quote dei dossi successivi.

Oltre la superficie terrestre: la velocità di fuga

La formula $U = mgz$ vale vicino alla superficie terrestre, dove $g$ è praticamente costante. Per distanze grandi si usa l’energia potenziale gravitazionale generale, $U = -GMm/r$, che trovi nell’energia potenziale gravitazionale. Il principio di conservazione resta lo stesso, e permette di rispondere a una domanda famosa: con che velocità bisogna lanciare un oggetto perché non ricada più?

Basta che l’energia meccanica sia almeno zero, cioè che l’energia cinetica iniziale compensi l’energia potenziale negativa alla superficie:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,m\,v^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0 \\ v_{fuga} = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}} \approx 11{,}2\ \text{km/s} \end{gathered}$$

con i dati della Terra. Anche qui la massa dell’oggetto si semplifica, e la velocità non dipende dalla direzione del lancio, trascurando l’aria.

Gli errori più comuni

• Usare la conservazione quando c’è attrito. Se una forza non conservativa compie lavoro, va messo $W_{nc}$; altrimenti la velocità viene troppo grande.
• Contare due volte il peso. O usi l’energia potenziale $mgz$, o metti il lavoro del peso nel teorema dell’energia cinetica: non entrambi.
• Cambiare il livello zero a metà. Le quote vanno misurate sempre dallo stesso riferimento, con il segno.
• Usare la lunghezza della molla invece della deformazione. In $\frac{1}{2}kx^2$, $x$ è quanto la molla è allungata o compressa rispetto alla lunghezza a riposo.
• Pensare che nel giro della morte basti arrivare in cima. In cima serve una velocità minima, $v^2 \geq gR$; con velocità zero il carrello si stacca prima.
• Usare l’energia negli urti anelastici. Lì l’energia meccanica non si conserva: si usa la quantità di moto.
• Chiedere all’energia i tempi o la direzione. L’energia dà solo il modulo della velocità.
• Lasciare le masse in grammi. Con i joule servono kg, metri e secondi: 50 g sono 0,05 kg.

Esercizi svolti

1. Caduta da un’altezza

Testo. Un sasso viene lasciato cadere da 5 m. Con che velocità arriva a terra? E se scivolasse da 5 m lungo uno scivolo liscio di forma qualsiasi?

Con lo zero al suolo, all’inizio l’energia è tutta potenziale, alla fine tutta cinetica:

$$\begin{gathered} m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \\ v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5}\ \text{m/s} \\ v \approx 9{,}9\ \text{m/s} \end{gathered}$$

È la stessa formula della caduta libera, ma vale anche per lo scivolo liscio: la normale non compie lavoro e la velocità finale dipende solo dal dislivello, non dalla forma. Cambia solo il tempo, come nel piano inclinato.

2. Una molla che lancia una pallina

Testo. Una molla di costante $k = 200\ \text{N/m}$, compressa di 10 cm, lancia verticalmente una pallina di 50 g. Con che velocità parte e quanto in alto arriva?

All’inizio l’energia è tutta elastica; quando la molla torna a riposo è diventata cinetica:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \\ v = x\sqrt{\frac{k}{m}} = 0{,}1\sqrt{\frac{200}{0{,}05}}\ \text{m/s} \approx 6{,}32\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Nel punto più alto l’energia è tutta potenziale gravitazionale (trascurando il piccolo tratto in cui la molla si distende):

$$h = \frac{k\,x^2}{2\,m\,g} = \frac{200 \cdot 0{,}01}{2 \cdot 0{,}05 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 2{,}04\ \text{m}$$

3. L’altezza minima per il giro della morte

Testo. Un carrello parte da fermo da un’altezza $h$ e affronta un anello verticale di raggio $R$, senza attrito. Da che altezza minima deve partire per completare il giro? Quanto vale la forza della pista sul carrello nel punto più basso dell’anello, partendo da quell’altezza?

Dalla forza centripeta sappiamo che nel punto più alto dell’anello serve almeno $v^2 = gR$: lì il peso da solo deve bastare a curvare la traiettoria. Il punto più alto è a quota $2R$. Conservazione dell’energia tra la partenza e la cima dell’anello:

$$\begin{gathered} m\,g\,h = m\,g\,(2R) + \frac{1}{2}\,m\,g\,R \\ h_{min} = \frac{5}{2}\,R \end{gathered}$$

Per un anello di raggio 10 m il carrello deve partire da almeno 25 m: non basta partire da 20 m, l’altezza dell’anello.

Nel punto più basso, partendo da $\frac{5}{2}R$, l’energia dà $v^2 = 2g \cdot \frac{5}{2}R = 5gR$. Lì la normale verso l’alto meno il peso fornisce la forza centripeta:

$$\begin{gathered} N - m\,g = m\,\frac{v^2}{R} = 5\,m\,g \\ N = 6\,m\,g \end{gathered}$$

Sei volte il peso: è la sensazione di essere schiacciati sul sedile all’ingresso del giro. Per questo i giri della morte veri non sono circolari ma a goccia, più stretti in alto e più larghi in basso.

4. La montagna russa

Testo. Un carrello di 500 kg passa per il punto A, a 30 m di quota, a 2 m/s. Poi scende in B, a 10 m, e risale in C, a 20 m, come nel diagramma a barre più sopra. Trascurando l’attrito, quanto vale la sua velocità in B e in C? Quanto in alto potrebbe arrivare al massimo?

Con lo zero al suolo, l’energia meccanica è

$$\begin{gathered} E_m = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 2^2 + 500 \cdot 9{,}81 \cdot 30\ \text{J} \\ {} = 1000 + 147\,150\ \text{J} = 148\,150\ \text{J} \end{gathered}$$

In ogni punto $\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_A^2 + g\,(z_A - z)$, e la massa si semplifica:

$$\begin{gathered} v_B = \sqrt{2^2 + 2 \cdot 9{,}81 \cdot 20}\ \text{m/s} \approx 19{,}9\ \text{m/s} \\ v_C = \sqrt{2^2 + 2 \cdot 9{,}81 \cdot 10}\ \text{m/s} \approx 14{,}1\ \text{m/s} \end{gathered}$$

La quota massima è quella in cui tutta l’energia diventa potenziale:

$$z_{max} = 30 + \frac{2^2}{2 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 30{,}2\ \text{m}$$

Un dosso più alto di 30,2 m il carrello non lo supera, per quanto ripida sia la discesa prima.

5. Una slitta con attrito

Testo. Una slitta di 60 kg, con il bambino sopra, parte da ferma da una collina alta 20 m e arriva in fondo a 15 m/s. Quanta energia è stata dissipata dall’attrito?

$$\begin{gathered} W_{nc} = E_{m,B} - E_{m,A} \\ W_{nc} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 15^2 - 60 \cdot 9{,}81 \cdot 20\ \text{J} \\ W_{nc} = 6750 - 11\,772\ \text{J} \\ W_{nc} \approx -5020\ \text{J} \end{gathered}$$

Circa il 43% dell’energia iniziale si è trasformata in calore. Senza attrito la slitta sarebbe arrivata a $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20} \approx 19{,}8\ \text{m/s}$.

6. L’ascensore e il lavoro del motore

Testo. Un ascensore di 800 kg parte da fermo e sale di 15 m in 20 s, arrivando a 2 m/s. Quanto lavoro ha fatto il motore? Con che potenza media?

Il motore compie un lavoro positivo, quindi l’energia meccanica aumenta di $W_{nc}$:

$$\begin{gathered} W_{motore} = \Delta E_m = m\,g\,h + \frac{1}{2}\,m\,v^2 \\ {} = 800 \cdot 9{,}81 \cdot 15 + \frac{1}{2} \cdot 800 \cdot 2^2\ \text{J} \\ {} \approx 117\,700 + 1600\ \text{J} \approx 119\ \text{kJ} \end{gathered}$$

Quasi tutto il lavoro serve a sollevare l’ascensore; poco più dell’1% diventa energia cinetica. La potenza media è

$$P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{119\,000}{20}\ \text{W} \approx 6\ \text{kW}$$

Altri problemi su lavoro, energia e potenza li trovi negli esercizi svolti su lavoro ed energia.

In sintesi

• L’energia meccanica è $E_m = E_k + U$.
• Se compiono lavoro solo forze conservative, $E_m$ si conserva: $E_{k,A} + U_A = E_{k,B} + U_B$.
• Le forze che non compiono lavoro, come la normale di una superficie fissa, non disturbano la conservazione.
• Il livello zero dell’energia potenziale si sceglie a piacere, ma resta lo stesso per tutto l’esercizio.
• Con forze non conservative: $W_{nc} = \Delta E_m$; l’attrito trasforma energia meccanica in calore, un motore la fa aumentare.
• Il metodo dà velocità e altezze, non tempi né direzioni; per le forze dei vincoli serve anche il secondo principio.

L’esempio più elegante di conservazione dell’energia è l’oscillatore armonico, in cui l’energia passa continuamente da potenziale a cinetica: lo vediamo nell’oscillatore armonico ed energia.