Forza peso: formula, differenza tra massa e peso, esempi ed esercizi svolti

Lasci cadere un oggetto e questo va verso il basso; sali su una bilancia e leggi un numero. Dietro entrambe le cose c’è la forza peso, la forza più comune che incontrerai negli esercizi di dinamica. In questo articolo vediamo da dove viene, come si calcola e perché massa e peso non sono la stessa cosa, come cambia da un pianeta all’altro e con la quota, come si scompone su un piano inclinato e cosa misura davvero una bilancia, con gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

La formula della forza peso

La forza peso è la forza con cui la Terra attira un corpo. Nella caduta libera abbiamo visto che tutti i corpi, trascurando l’aria, cadono con la stessa accelerazione $g$. Per il secondo principio della dinamica, la forza che produce questa accelerazione su un corpo di massa $m$ è:

$$\vec{P} = m\,\vec{g}$$

In modulo $P = mg$, con $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$ sulla superficie terrestre. La forza peso è sempre diretta verticalmente verso il basso, cioè verso il centro della Terra, e si misura in newton. Un newton è circa il peso di una mela piccola, da 100 g: $0{,}1 \cdot 9{,}81 \approx 1\ \text{N}$.

Massa e peso non sono la stessa cosa

Nel linguaggio di tutti i giorni diciamo “peso 70 chili”, ma in fisica è un errore: il chilogrammo è l’unità della massa, non del peso.

	Massa	Peso
Cosa misura	L’inerzia del corpo	La forza di attrazione del pianeta
Tipo di grandezza	Scalare	Vettoriale
Unità di misura	kg	N
Dipende dal luogo?	No	Sì
Strumento	Bilancia a due piatti	Dinamometro

La massa di un astronauta è la stessa sulla Terra, sulla Luna e nello spazio. Il suo peso invece cambia, perché cambia $g$. Che la massa che compare in $F = ma$ sia la stessa che determina l’attrazione gravitazionale non è affatto ovvio: è un fatto sperimentale verificato con precisione altissima, che trovi in massa inerziale e massa gravitazionale.

Il modo di dire “peso 70 chili” ha una storia: per molto tempo si è usato il chilogrammo-peso, il peso di una massa di 1 kg con l’accelerazione di gravità standard, fissata nel 1901 a $9{,}80665\ \text{m/s}^2$. Vale quindi 9,80665 N. Oggi non fa parte del Sistema Internazionale, e negli esercizi il peso va sempre in newton.

Cosa misurano le bilance

Una bilancia a due piatti confronta il peso del corpo con quello di masse campione: dato che $g$ è lo stesso per i due piatti, misura la massa, e darebbe lo stesso risultato sulla Luna. Un dinamometro, cioè una molla che si allunga sotto il peso, misura invece una forza: sulla Luna si allungherebbe sei volte meno. La pesapersone di casa è un dinamometro tarato in chilogrammi, che divide la forza per 9,81: funziona bene solo sulla Terra e da ferma.

Da dove viene g

Il peso è un caso particolare della forza di gravitazione universale, l’attrazione che si esercita tra due masse qualsiasi. Sulla superficie di un pianeta di massa $M$ e raggio $R$, la forza su un corpo di massa $m$ è:

$$\begin{gathered} P = G\,\frac{M\,m}{R^2} \\ g = G\,\frac{M}{R^2} \end{gathered}$$

dove $G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ è la costante di gravitazione universale. Con i dati della Terra ($M \approx 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, $R \approx 6{,}37 \times 10^{6}\ \text{m}$) si ottiene proprio $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$.

Da questa formula si capisce perché $g$:

• non dipende dalla massa del corpo che cade: è per questo che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione;
• cambia da un pianeta all’altro, perché dipende dalla massa e dal raggio del pianeta;
• diminuisce con la quota, perché aumenta la distanza dal centro della Terra.

Il peso sugli altri corpi celesti

Corpo celeste	$g$ alla superficie (m/s²)	Peso di una persona di 70 kg
Terra	9,81	687 N
Venere	8,87	621 N
Marte	3,72	260 N
Mercurio	3,70	259 N
Luna	1,62	113 N

Mercurio e Marte hanno quasi la stessa gravità superficiale anche se Mercurio è più piccolo: è molto più denso, e la massa più concentrata compensa il raggio minore. Sulla Luna il peso è circa un sesto di quello terrestre, ed è per questo che gli astronauti delle missioni Apollo si muovevano a balzi.

Come cambia g con la quota

Allontanandosi dal centro della Terra, $g$ diminuisce con il quadrato della distanza $r$:

$$g(r) = g_0\left(\frac{R}{r}\right)^2$$

dove $g_0 = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ è il valore alla superficie e $R \approx 6371\ \text{km}$ il raggio medio terrestre.

Dove	Distanza dal centro della Terra	$g$ (m/s²)
Livello del mare	6371 km	9,81
Cima dell’Everest	6380 km	9,78
Stazione Spaziale	6771 km	8,69
Satelliti geostazionari	42 157 km	0,22
Luna	384 400 km	0,0027

Per altezze piccole rispetto al raggio terrestre vale l’approssimazione $g \approx g_0\,(1 - 2h/R)$: in cima all’Everest $g$ è solo lo 0,3% più piccolo. Per questo negli esercizi di Fisica 1, dove le altezze sono al massimo di qualche centinaio di metri, $g$ si considera costante. Alla quota della Stazione Spaziale, invece, è ancora circa il 90% del valore al suolo: gli astronauti fluttuano non perché lì non ci sia gravità, ma perché sono in caduta libera insieme alla stazione.

L’ultima riga della tabella è il calcolo che fece Newton: se la stessa forza che fa cadere una mela tiene la Luna in orbita, alla distanza della Luna, circa 60 raggi terrestri, deve valere $1/60^2 = 1/3600$ di quella al suolo. Lo verifichiamo nel quarto esercizio.

Latitudine e rotazione

Anche sulla Terra $g$ varia leggermente con la latitudine, da circa $9{,}78\ \text{m/s}^2$ all’equatore a circa $9{,}83\ \text{m/s}^2$ ai poli. I motivi sono due: la Terra è un po’ schiacciata ai poli, quindi lì si è più vicini al centro; e ruota, quindi all’equatore una piccola parte dell’attrazione serve a far percorrere ai corpi la loro circonferenza quotidiana, come spiegato nei moti relativi.

Peso e reazione del piano

Un corpo appoggiato su un tavolo non cade perché il tavolo esercita una reazione normale che bilancia il peso. Attenzione: peso e normale non sono una coppia di azione e reazione, perché agiscono sullo stesso corpo.

Per il terzo principio le coppie di azione e reazione sono due:

• il peso del libro, con cui la Terra attira il libro, ha come reazione la forza con cui il libro attira la Terra, uguale e opposta, applicata alla Terra;
• la normale, con cui il tavolo spinge il libro, ha come reazione la forza con cui il libro preme sul tavolo, applicata al tavolo.

Peso e normale sono uguali e opposti solo perché il libro è in equilibrio su un piano orizzontale. Se spingi il libro verso il basso con la mano, o se il piano è inclinato, la normale cambia e non vale più $mg$.

Dove è applicato il peso: il baricentro

Su un corpo esteso la gravità agisce su ogni sua parte. L’effetto complessivo è lo stesso di un’unica forza $Mg$ applicata in un punto, il baricentro, che in un campo di gravità uniforme coincide con il centro di massa. Per questo un oggetto appoggiato resta in piedi finché la verticale che passa per il baricentro cade dentro la sua base d’appoggio.

Il peso su un piano inclinato

Su un piano inclinato conviene scegliere un asse parallelo al piano e uno perpendicolare. Il peso resta verticale, quindi va scomposto lungo i due assi.

$$\begin{gathered} P_{\parallel} = m\,g\sin\theta \\ P_{\perp} = m\,g\cos\theta \end{gathered}$$

La componente parallela tira il corpo giù lungo il piano; quella perpendicolare lo preme contro il piano ed è bilanciata dalla normale, che quindi vale $N = mg\cos\theta$, non $mg$. L’angolo tra il peso e la perpendicolare al piano è uguale all’inclinazione $\theta$: è il punto in cui ci si confonde più spesso tra seno e coseno. Un controllo veloce: con $\theta = 0$, piano orizzontale, la componente parallela deve essere zero, e $\sin 0 = 0$.

Il lavoro del peso

Quando un corpo scende di un’altezza $h$, il peso compie un lavoro positivo $W = mgh$; quando sale, negativo. Il lavoro dipende solo dal dislivello, non dal percorso: per questo il peso è una forza conservativa, con energia potenziale $U = mgh$. Lo vediamo nel lavoro della forza peso e della forza elastica e nell’energia potenziale gravitazionale.

Il peso apparente in ascensore

La bilancia non misura il peso, ma la forza con cui la spingi, che è uguale alla normale $N$. In un ascensore che accelera verso l’alto con accelerazione $a$, il secondo principio dà:

$$\begin{gathered} N - mg = m\,a \\ N = m\,(g + a) \end{gathered}$$

La bilancia segna più del peso: ti senti più pesante. Se l’ascensore accelera verso il basso, $N = m(g - a)$ e ti senti più leggero. Se cadesse liberamente, con $a = g$, la bilancia segnerebbe zero: è l’assenza di peso, la stessa che sperimentano gli astronauti in orbita. Ne parliamo meglio nei moti relativi e nel principio di equivalenza.

Conta l’accelerazione, non il verso della velocità: un ascensore che sale e sta frenando accelera verso il basso, e ti senti più leggero, come nel secondo esercizio. Quando l’ascensore viaggia a velocità costante, in salita o in discesa, la bilancia segna il peso vero.

Gli errori più comuni

• Confondere kg e N. La massa è in kilogrammi, il peso in newton. Una persona “di 70 kg” pesa circa 687 N.
• Considerare peso e normale azione e reazione. Agiscono sullo stesso corpo; le reazioni stanno sulla Terra e sul tavolo.
• Scrivere sempre $N = mg$. Vale solo per un corpo in equilibrio su un piano orizzontale senza altre forze verticali. Su un piano inclinato $N = mg\cos\theta$; in un ascensore che accelera $N = m(g \pm a)$.
• Sbagliare il segno di $g$. $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ è un modulo, sempre positivo. Il segno dipende dall’asse: con l’asse verso l’alto l’accelerazione di gravità è $-g$.
• Invertire seno e coseno sul piano inclinato. La componente lungo il piano è $mg\sin\theta$, quella perpendicolare $mg\cos\theta$.
• Pensare che i corpi pesanti cadano più in fretta. Il peso è proporzionale alla massa, ma lo è anche l’inerzia: l’accelerazione è $g$ per tutti, aria a parte.
• Usare $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ anche lontano dalla Terra. In orbita o sulla Luna serve la legge di gravitazione.
• Credere che la bilancia di casa misuri la massa. Misura una forza: in ascensore, sulla Luna o su un piano inclinato darebbe un numero diverso.

Esercizi svolti

1. Peso sulla Terra, sulla Luna e su Marte

Testo. Una persona ha massa $m = 70\ \text{kg}$. Quanto pesa sulla Terra, sulla Luna e su Marte? Quanto vale la sua massa in ciascun caso?

$$\begin{gathered} P_{Terra} = 70 \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 687\ \text{N} \\ P_{Luna} = 70 \cdot 1{,}62\ \text{N} \approx 113\ \text{N} \\ P_{Marte} = 70 \cdot 3{,}72\ \text{N} \approx 260\ \text{N} \end{gathered}$$

La massa resta 70 kg in tutti e tre i casi. Una pesapersone tarata sulla Terra, che divide per 9,81, sulla Luna segnerebbe circa 11,6 kg e su Marte circa 26,5 kg.

2. La bilancia in ascensore

Testo. La stessa persona è su una bilancia in un ascensore. Cosa segna la bilancia, in N e in kg, quando l’ascensore a) parte verso l’alto con $a = 2\ \text{m/s}^2$; b) sale a velocità costante; c) sta arrivando al piano e frena con $a = 2\ \text{m/s}^2$?

a) L’accelerazione è verso l’alto:

$$\begin{gathered} N = m\,(g + a) = 70 \cdot (9{,}81 + 2)\ \text{N} \\ N \approx 827\ \text{N} \end{gathered}$$

Una bilancia tarata in chilogrammi, che divide per $g$, segnerebbe circa 84 kg.

b) A velocità costante l’accelerazione è zero e $N = mg \approx 687\ \text{N}$: la bilancia segna 70 kg, come da ferma.

c) L’ascensore sale ma rallenta, quindi l’accelerazione è verso il basso: $N = m(g - a) = 70 \cdot 7{,}81\ \text{N} \approx 547\ \text{N}$, cioè circa 56 kg. È la sensazione di “leggerezza” che si prova quando l’ascensore si ferma all’ultimo piano.

3. Calcolare g su Marte

Testo. Marte ha una massa di $6{,}42 \cdot 10^{23}$ kg e un raggio di $3{,}39 \cdot 10^6$ m. Quanto vale l’accelerazione di gravità alla sua superficie?

$$\begin{gathered} g_M = G\,\frac{M}{R^2} \\ {} = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}42 \cdot 10^{23}}{(3{,}39 \cdot 10^6)^2}\ \text{m/s}^2 \\ {} \approx 3{,}73\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

circa il 38% di quella terrestre. Marte ha circa un decimo della massa della Terra, ma anche un raggio quasi dimezzato: il raggio al quadrato al denominatore compensa in parte la massa più piccola.

4. La mela e la Luna

Testo. La Luna dista circa 384 400 km dal centro della Terra e compie un giro in 27,32 giorni. Calcola la sua accelerazione centripeta e confrontala con il valore di $g$ alla sua distanza, ricavato dalla legge dell’inverso del quadrato.

L’accelerazione centripeta della Luna, con $T = 27{,}32 \cdot 86\,400\ \text{s} \approx 2{,}36 \cdot 10^6\ \text{s}$, è:

$$\begin{gathered} a_c = \frac{4\pi^2\,r}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 3{,}844 \cdot 10^8}{(2{,}36 \cdot 10^6)^2}\ \text{m/s}^2 \\ {} \approx 0{,}0027\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Dalla legge dell’inverso del quadrato:

$$\begin{gathered} g_{Luna} = 9{,}81 \cdot \left(\frac{6371}{384\,400}\right)^2\ \text{m/s}^2 \\ {} \approx 0{,}0027\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

I due valori coincidono: la forza che fa cadere una mela è la stessa che tiene la Luna sulla sua orbita, indebolita con il quadrato della distanza. È il ragionamento con cui Newton arrivò alla gravitazione universale. Il moto in orbita lo trovi nella forza centripeta.

5. La cassa sul piano inclinato

Testo. Una cassa di 50 kg è su un piano inclinato liscio di 25°, lungo 3 m. Quanto valgono le componenti del peso e la reazione normale? Che forza serve per spingerla su a velocità costante, parallelamente al piano? Confronta il lavoro necessario con quello per sollevarla in verticale alla stessa altezza.

Il peso è $mg = 50 \cdot 9{,}81\ \text{N} = 490{,}5\ \text{N}$:

$$\begin{gathered} P_{\parallel} = 490{,}5 \cdot \sin 25°\ \text{N} \approx 207\ \text{N} \\ P_{\perp} = 490{,}5 \cdot \cos 25°\ \text{N} \approx 445\ \text{N} \end{gathered}$$

La normale bilancia la componente perpendicolare, $N \approx 445\ \text{N}$. Per spingere la cassa a velocità costante serve una forza uguale alla componente parallela, circa 207 N: meno della metà dei 490,5 N necessari per sollevarla in verticale.

Il lavoro, però, è lo stesso. Lungo il piano: $207{,}3 \cdot 3 \approx 622\ \text{J}$. In verticale, l’altezza è $h = 3\sin 25° \approx 1{,}27\ \text{m}$ e il lavoro è $490{,}5 \cdot 1{,}27 \approx 622\ \text{J}$. Il piano inclinato fa risparmiare forza, non lavoro: serve meno forza, ma per un tratto più lungo.

6. Dinamometro e bilancia sulla Luna

Testo. Un dinamometro a molla con $k = 500\ \text{N/m}$ regge una massa di 2 kg. Di quanto si allunga la molla sulla Terra e sulla Luna? Cosa segnerebbe invece una bilancia a due piatti?

La molla si allunga finché la forza elastica bilancia il peso, $k\,\Delta l = mg$:

$$\begin{gathered} \Delta l_{Terra} = \frac{2 \cdot 9{,}81}{500}\ \text{m} \approx 3{,}9\ \text{cm} \\ \Delta l_{Luna} = \frac{2 \cdot 1{,}62}{500}\ \text{m} \approx 0{,}65\ \text{cm} \end{gathered}$$

Sulla Luna la molla si allunga sei volte meno, perché misura il peso. Una bilancia a due piatti, invece, segnerebbe 2 kg in entrambi i posti: su tutti e due i piatti la gravità è ridotta della stessa quantità, e l’equilibrio resta lo stesso.

Altri problemi con peso, piani inclinati e ascensori li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• La forza peso è $\vec{P} = m\,\vec{g}$, diretta verticalmente verso il basso, con $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$ sulla Terra.
• La massa si misura in kg ed è la stessa ovunque; il peso si misura in newton e dipende dal luogo.
• $g = GM/R^2$ dipende dal pianeta ma non dalla massa del corpo; diminuisce con il quadrato della distanza dal centro e varia un poco con la latitudine.
• Peso e reazione normale non sono azione e reazione; la normale vale $mg$ solo su un piano orizzontale in equilibrio.
• Su un piano inclinato il peso si scompone in $mg\sin\theta$ lungo il piano e $mg\cos\theta$ perpendicolare.
• La bilancia misura la normale, che in un ascensore accelerato è diversa dal peso.

Il peso, insieme alla reazione del piano, è all’origine di un’altra forza fondamentale: la forza di attrito.