Formule inverse in fisica: come ricavarle passo per passo, con esempi

In un esercizio di fisica capita continuamente di conoscere la grandezza che di solito si calcola e di dover trovare un’altra. Si conosce la velocità e serve il tempo, si conosce il periodo di un pendolo e serve la lunghezza del filo. Servono le formule inverse. Non bisogna impararle a memoria: bastano due regole e un po’ di pratica per ricavarle tutte in pochi secondi. In questa guida vediamo come, con tutti i casi che si incontrano in Fisica 1.

Cos’è una formula inversa

Una legge fisica è un’uguaglianza tra grandezze. La forma in cui la scriviamo di solito isola una grandezza in particolare, per esempio la velocità media nel moto rettilineo uniforme:

$$v = \frac{s}{t}$$

Ma la stessa uguaglianza contiene anche lo spazio e il tempo. Risolta rispetto a loro diventa:

$$\begin{gathered} s = v\,t \\ t = \frac{s}{v} \end{gathered}$$

Sono le formule inverse. Non sono leggi nuove: è sempre la stessa legge, letta da un altro punto di vista.

Le due regole fondamentali

Tutte le formule inverse si ricavano con un solo principio: un’uguaglianza resta vera se si fa la stessa operazione su entrambi i membri. In pratica servono due regole.

Prima regola: somme e sottrazioni. Si può sommare o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri. Il risultato è che un termine che si somma passa dall’altra parte sottraendo, e viceversa.

Seconda regola: prodotti e divisioni. Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per la stessa quantità, purché diversa da zero. Un fattore che moltiplica passa dall’altra parte dividendo, e viceversa.

A queste si aggiungono le operazioni inverse delle funzioni: il quadrato si scioglie con la radice, la radice con il quadrato, l’esponenziale con il logaritmo, il seno con l’arcoseno.

Il metodo è sempre lo stesso: guarda le operazioni che “avvolgono” l’incognita e toglile una alla volta, dalla più esterna alla più interna, come si sbucciano gli strati di una cipolla.

I casi che si incontrano in fisica

Prodotti e quozienti

Dalla seconda legge di Newton, $F = m\,a$: per trovare la massa si divide per $a$, per trovare l’accelerazione si divide per $m$.

$$\begin{gathered} m = \frac{F}{a} \\ a = \frac{F}{m} \end{gathered}$$

Se l’incognita è al denominatore, conviene prima portarla al numeratore moltiplicando entrambi i membri. Da $v = s/t$ si ottiene $v\,t = s$, e poi si divide per $v$.

Somme: prima si isola il termine, poi la grandezza

Nella legge della velocità del moto uniformemente accelerato cerchiamo il tempo:

$$v = v_0 + a\,t$$

L’operazione più esterna intorno a $t$ è la somma con $v_0$: la togliamo per prima. Poi resta il prodotto per $a$:

$$\begin{gathered} v - v_0 = a\,t \\ t = \frac{v - v_0}{a} \end{gathered}$$

Quadrati e radici

L’energia cinetica è $E_k = \frac{1}{2}m\,v^2$. Per trovare la velocità prima si isola $v^2$, poi si estrae la radice:

$$\begin{gathered} v^2 = \frac{2\,E_k}{m} \\ v = \sqrt{\frac{2\,E_k}{m}} \end{gathered}$$

L’equazione $v^2 = \ldots$ avrebbe anche la soluzione negativa, ma il modulo di una velocità è positivo: si tiene il segno più. Lo stesso vale per tempi e lunghezze.

Al contrario, se l’incognita è sotto radice si eleva tutto al quadrato. Dal periodo del pendolo semplice:

$$\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \\ \frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{L}{g} \\ L = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} \end{gathered}$$

Incognita al quadrato al denominatore

Nella legge di gravitazione universale cerchiamo la distanza:

$$\begin{gathered} F = G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2} \\ r^2 = G\,\frac{m_1\,m_2}{F} \\ r = \sqrt{\frac{G\,m_1\,m_2}{F}} \end{gathered}$$

Equazioni di secondo grado

A volte l’incognita compare sia al primo sia al secondo grado, e non si può isolare con le regole precedenti. Succede con la legge oraria del moto uniformemente accelerato quando si cerca il tempo:

$$y = v_0\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2$$

Si scrive l’equazione nella forma standard $a t^2 + b t + c = 0$ e si usa la formula risolutiva:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,g\,t^2 - v_0\,t + y = 0 \\ t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2\,g\,y}}{g} \end{gathered}$$

Qui le due soluzioni possono avere entrambe significato fisico: un sasso lanciato verso l’alto passa per la stessa quota due volte, una salendo e una scendendo.

Logaritmi ed esponenziali

Nel primo principio della termodinamica il lavoro di un’isoterma è $W = nRT\ln(V_B/V_A)$. Per trovare il volume finale si isola il logaritmo e poi si applica l’esponenziale a entrambi i membri:

$$\begin{gathered} \ln\frac{V_B}{V_A} = \frac{W}{n\,R\,T} \\ V_B = V_A\,e^{\,W/(nRT)} \end{gathered}$$

Funzioni trigonometriche

Nel moto parabolico la gittata è $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$. Per trovare l’angolo di lancio si isola il seno e si applica l’arcoseno:

$$\begin{gathered} \sin(2\theta) = \frac{g\,R}{v_0^2} \\ \theta = \frac{1}{2}\arcsin\frac{g\,R}{v_0^2} \end{gathered}$$

Attenzione: il seno assume lo stesso valore per due angoli, $2\theta$ e $180° - 2\theta$. Esistono quindi due angoli di lancio, $\theta$ e $90° - \theta$, che danno la stessa gittata.

Gli errori più comuni

• Dimenticare le parentesi. Da $v = v_0 + at$ si ottiene $t = (v - v_0)/a$, non $t = v - v_0/a$: la divisione riguarda tutta la differenza.
• Semplificare un termine di una somma. In $\frac{a + b}{a}$ non si può “cancellare” la $a$: si semplificano solo i fattori, mai gli addendi.
• Spezzare la radice di una somma. $\sqrt{a^2 + b^2}$ non è $a + b$.
• Dividere per zero. Se la grandezza per cui dividi può essere nulla, quella formula inversa in quel caso non vale.
• Dimenticare una soluzione, come il secondo tempo di passaggio o il secondo angolo di lancio.

Il controllo con le unità di misura

Ogni formula inversa si può verificare in pochi secondi controllando le unità di misura: i due membri devono avere la stessa unità. Per la lunghezza del pendolo:

$$\begin{gathered} L = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} \\ \rightarrow\;\; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \text{s}^2 = \text{m} \end{gathered}$$

Torna: è una lunghezza. Se avessimo scritto per errore $L = g/(4\pi^2 T^2)$, avremmo ottenuto $\text{m/s}^4$, e l’errore sarebbe saltato all’occhio subito. È il controllo che consiglio anche nel metodo per risolvere gli esercizi di fisica.

Esempi svolti

Un pendolo che batte i secondi. Che lunghezza deve avere un pendolo perché il periodo sia di 2 s?

$$L = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81 \cdot 2^2}{4\pi^2}\ \text{m} \approx 0{,}994\ \text{m}$$

Un’auto e la sua energia. Un’auto di 1000 kg ha un’energia cinetica di 200 kJ:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{\frac{2\,E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 200\,000}{1000}}\ \text{m/s} \\ v = 20\ \text{m/s} = 72\ \text{km/h} \end{gathered}$$

Un sasso lanciato verso l’alto. Un sasso lanciato a 15 m/s quando passa a 10 m di quota?

$$\begin{gathered} t = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 2 \cdot 9{,}81 \cdot 10}}{9{,}81}\ \text{s} \\ t = \frac{15 \pm 5{,}37}{9{,}81}\ \text{s} \end{gathered}$$

Le due soluzioni sono $t_1 \approx 0{,}98\ \text{s}$, mentre sale, e $t_2 \approx 2{,}08\ \text{s}$, mentre scende.

L’angolo di lancio. Un pallone calciato a 20 m/s deve cadere a 30 m di distanza:

$$\begin{gathered} \sin(2\theta) = \frac{9{,}81 \cdot 30}{20^2} \approx 0{,}736 \\ 2\theta \approx 47{,}4° \end{gathered}$$

Gli angoli possibili sono $\theta \approx 23{,}7°$, un tiro teso, e $\theta \approx 66{,}3°$, un pallonetto.

Le formule inverse più usate in Fisica 1

Argomento	Formula	Formule inverse
moto rettilineo uniforme	$x = x_0 + v\,t$	$t = \dfrac{x - x_0}{v}$, $\ v = \dfrac{x - x_0}{t}$
moto uniformemente accelerato	$v = v_0 + a\,t$	$t = \dfrac{v - v_0}{a}$, $\ a = \dfrac{v - v_0}{t}$
moto uniformemente accelerato	$v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta x$	$\Delta x = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$, $\ a = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2\,\Delta x}$
caduta libera	$h = \frac{1}{2}\,g\,t^2$	$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
caduta libera	$v = \sqrt{2\,g\,h}$	$h = \dfrac{v^2}{2g}$
moto circolare	$a_c = \dfrac{v^2}{r}$	$v = \sqrt{a_c\,r}$, $\ r = \dfrac{v^2}{a_c}$
leggi di Newton	$F = m\,a$	$m = \dfrac{F}{a}$, $\ a = \dfrac{F}{m}$
energia cinetica	$E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2$	$v = \sqrt{\dfrac{2E_k}{m}}$, $\ m = \dfrac{2E_k}{v^2}$
energia potenziale	$U = m\,g\,h$	$h = \dfrac{U}{m\,g}$
forza elastica	$U = \frac{1}{2}\,k\,x^2$	$x = \sqrt{\dfrac{2U}{k}}$, $\ k = \dfrac{2U}{x^2}$
pendolo semplice	$T = 2\pi\sqrt{L/g}$	$L = \dfrac{g\,T^2}{4\pi^2}$, $\ g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$
oscillatore armonico	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$	$k = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2}$, $\ m = \dfrac{k\,T^2}{4\pi^2}$
gravitazione	$F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$	$r = \sqrt{\dfrac{G\,m_1 m_2}{F}}$
gas perfetto	$p\,V = n\,R\,T$	$T = \dfrac{p\,V}{n\,R}$, $\ n = \dfrac{p\,V}{R\,T}$
calore	$Q = m\,c\,\Delta T$	$\Delta T = \dfrac{Q}{m\,c}$, $\ c = \dfrac{Q}{m\,\Delta T}$
ciclo di Carnot	$\eta = 1 - \dfrac{T_1}{T_2}$	$T_2 = \dfrac{T_1}{1 - \eta}$, $\ T_1 = T_2\,(1 - \eta)$

Per ogni argomento, nell’articolo collegato trovi la formula nel suo contesto, con il significato di ogni grandezza ed esempi svolti.

In sintesi

• Una formula inversa è la stessa legge risolta rispetto a un’altra grandezza: non va imparata a memoria.
• Le regole sono due: un addendo cambia membro cambiando segno, un fattore cambia membro passando da moltiplicazione a divisione.
• Si tolgono le operazioni intorno all’incognita dalla più esterna alla più interna; quadrati e radici, esponenziali e logaritmi si sciolgono a vicenda.
• Con le radici si tiene la soluzione con significato fisico; nelle equazioni di secondo grado e con il seno le soluzioni possono essere due.
• Controlla sempre la formula ottenuta con le unità di misura.

Ora che sai ricavare qualsiasi incognita, puoi seguire il programma di Fisica 1 dall’inizio, a partire dal moto rettilineo uniforme.