Integrali di funzioni razionali fratte: fratti semplici, metodo ed esercizi svolti

Gli integrali di funzioni razionali fratte sono gli integrali di una frazione di polinomi, come $\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}$ o $\frac{1}{x^3 - x}$. Hanno una proprietà rara: una volta scomposto il denominatore, si sanno calcolare sempre, con un metodo preciso, e il risultato contiene solo polinomi, frazioni, logaritmi e arcotangenti. All’esame di Analisi 1 compaiono spesso, da soli o alla fine di una sostituzione, e il metodo dei fratti semplici torna anche nelle serie e nelle equazioni differenziali. In questa pagina vediamo l’idea della scomposizione, frazioni proprie e improprie con la divisione tra polinomi, il denominatore di primo grado, i tre casi del denominatore di secondo grado con le formule generali, il teorema dei fratti semplici per i gradi più alti, il caso $(x^2 + 1)^2$, lo schema completo, gli integrali definiti e la trappola degli asintoti, dove si incontrano queste frazioni, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: la somma di frazioni letta al contrario

Alle superiori hai imparato a sommare due frazioni con il denominatore comune:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \\ {} = \frac{2}{x^2 - 1} \end{gathered}$$

Per integrare si fa il percorso inverso. Si parte da $\frac{1}{x^2 - 1}$, che non è nella tabella, e la si spezza in frazioni più semplici. Dividendo per 2 l’uguaglianza di sopra:

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}$$

Ognuno dei due pezzi si integra a vista con un logaritmo:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{x^2 - 1} \\ {} = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1 \rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1 \rvert + c \\ {} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert \frac{x - 1}{x + 1} \right\rvert + c \end{gathered}$$

Le frazioni come $\frac{1/2}{x - 1}$ si chiamano fratti semplici. Nel grafico si vede cosa succede: ogni fratto è un’iperbole con un solo asintoto verticale, e la somma li ha entrambi, uno ereditato da ciascun pezzo.

Tutto il metodo sta qui: scomporre il denominatore e spezzare la frazione in pezzi che danno logaritmi, potenze o arcotangenti. Resta da capire quali pezzi servono e come trovare i numeri al numeratore.

Frazioni proprie e improprie: prima si divide

Una funzione razionale fratta è un quoziente $\frac{P(x)}{Q(x)}$ di due polinomi, definito dove $Q(x) \neq 0$. È la stessa famiglia di funzioni dello studio di funzione razionale fratta.

I fratti semplici funzionano solo con le frazioni proprie. Con una frazione impropria, prima si fa la divisione tra polinomi, la stessa che serve per gli asintoti obliqui. Vale infatti il teorema della divisione: se $Q$ non è il polinomio nullo, esistono e sono unici due polinomi $S$ (quoziente) e $R$ (resto), con il grado di $R$ minore di quello di $Q$, tali che $P = S \cdot Q + R$. Dividendo per $Q$:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

Il quoziente $S$ è un polinomio e si integra subito; resta la frazione propria $\frac{R}{Q}$.

Esempio 1: una divisione completa. $\displaystyle\int \frac{x^3 + x^2 + 2}{x^2 + 1}\,dx$. I gradi sono 3 e 2: dividiamo. Si procede come con i numeri, guardando ogni volta solo il termine di grado più alto.

1. $x^3 : x^2 = x$. Moltiplichiamo: $x\,(x^2 + 1) = x^3 + x$. Sottraiamo: $(x^3 + x^2 + 2) - (x^3 + x) = x^2 - x + 2$.
2. $x^2 : x^2 = 1$. Moltiplichiamo: $1 \cdot (x^2 + 1) = x^2 + 1$. Sottraiamo: $(x^2 - x + 2) - (x^2 + 1) = 1 - x$.
3. Il resto $1 - x$ ha grado 1, minore di 2: ci fermiamo.

Il quoziente è $S(x) = x + 1$ e il resto $R(x) = 1 - x$. Verifichiamo che $S \cdot Q + R$ ridia il numeratore:

$$\begin{gathered} (x + 1)(x^2 + 1) + (1 - x) \\ {} = x^3 + x^2 + x + 1 + 1 - x \\ {} = x^3 + x^2 + 2 \end{gathered}$$

Ora si integra termine per termine:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^3 + x^2 + 2}{x^2 + 1}\,dx \\ {} = \int \left(x + 1 + \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{x}{x^2 + 1}\right)dx \\ {} = \frac{x^2}{2} + x + \arctan x - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + c \end{gathered}$$

Gli ultimi due pezzi sono integrali immediati: $\frac{1}{x^2 + 1}$ è nella tabella, e $\frac{x}{x^2 + 1}$ è la derivata del denominatore divisa per 2.

Una scorciatoia. Con denominatori semplici la divisione si fa a mente, aggiungendo e togliendo: $\frac{x}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$.

Il denominatore di primo grado

È il caso più semplice. Con $a \neq 0$:

$$\int \frac{A}{ax + b}\,dx = \frac{A}{a}\ln\lvert ax + b \rvert + c$$

Perché è vero. Derivando, $\left(\frac{A}{a}\ln\lvert ax + b \rvert\right)' = \frac{A}{a} \cdot \frac{a}{ax + b} = \frac{A}{ax + b}$. La formula vale su ciascuno dei due intervalli $x < -\frac{b}{a}$ e $x > -\frac{b}{a}$. Non dimenticare il fattore $\frac{1}{a}$: $\int \frac{dx}{2x - 1}$ è $\frac{1}{2}\ln\lvert 2x - 1 \rvert + c$.

Più avanti serviranno anche le potenze di un fattore di primo grado. Per $r \geq 2$ è la regola delle potenze, con esponente $-r$:

$$\int \frac{A}{(x - \alpha)^r}\,dx = -\frac{A}{(r - 1)(x - \alpha)^{r - 1}} + c$$

Esempio 2. $\displaystyle\int \frac{3x + 1}{2x - 1}\,dx$. I gradi sono uguali, quindi la frazione è impropria. Facciamo comparire il denominatore al numeratore: $3x + 1 = \frac{3}{2}(2x - 1) + \frac{5}{2}$. Quindi

$$\begin{gathered} \frac{3x + 1}{2x - 1} = \frac{3}{2} + \frac{5/2}{2x - 1} \\ \int \frac{3x + 1}{2x - 1}\,dx \\ {} = \frac{3}{2}\,x + \frac{5}{4}\ln\lvert 2x - 1 \rvert + c \end{gathered}$$

Il $\frac{5}{4}$ viene da $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$: il secondo $\frac{1}{2}$ è proprio il fattore $\frac{1}{a}$.

Il denominatore di secondo grado: decide il discriminante

Ora la frazione propria è $\frac{mx + n}{x^2 + px + q}$. Se il primo coefficiente del denominatore non è 1, lo raccogli fuori dall’integrale. Tutto dipende dal segno di $\Delta = p^2 - 4q$, cioè da quante radici reali ha il denominatore.

Discriminante positivo: due logaritmi

Il denominatore ha due radici distinte $x_1$ e $x_2$ e si scompone: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$. Si cercano due numeri $A$ e $B$ tali che

$$\frac{mx + n}{(x - x_1)(x - x_2)} = \frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}$$

e allora

$$\begin{gathered} \int \frac{mx + n}{x^2 + px + q}\,dx \\ {} = A\ln\lvert x - x_1 \rvert + B\ln\lvert x - x_2 \rvert + c \end{gathered}$$

Perché $A$ e $B$ esistono. Con il denominatore comune a destra, serve che $mx + n = A(x - x_2) + B(x - x_1)$ per ogni $x$. Confrontando i coefficienti si ha il sistema $A + B = m$, $\ -Ax_2 - Bx_1 = n$. Ricavando $B = m - A$ dalla prima e sostituendo nella seconda:

$$A = \frac{mx_1 + n}{x_1 - x_2}, \qquad B = \frac{mx_2 + n}{x_2 - x_1}$$

I denominatori non sono zero proprio perché le radici sono distinte: la soluzione esiste ed è unica.

Esempio 3. $\displaystyle\int \frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx$. Qui $\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$, le radici sono $1$ e $-2$, e $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Dobbiamo trovare $A$ e $B$ tali che

$$x + 5 = A(x + 2) + B(x - 1)$$

per ogni $x$. Ci sono due strade.

Metodo 1: il principio di identità dei polinomi. Due polinomi sono uguali per ogni $x$ se e solo se hanno gli stessi coefficienti. Il secondo membro è $(A + B)x + (2A - B)$, quindi

$$\begin{cases} A + B = 1 \\ 2A - B = 5 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A = 2,\ \ B = -1$$

Metodo 2: sostituire le radici. Con $x = 1$ si annulla il termine con $B$: $\ 6 = 3A$, cioè $A = 2$. Con $x = -2$ si annulla quello con $A$: $\ 3 = -3B$, cioè $B = -1$.

Perché si possono sostituire proprio le radici, dove la frazione di partenza non è definita? L’uguaglianza delle frazioni vale per $x \neq 1$ e $x \neq -2$, ma quella dei numeratori è tra due polinomi che coincidono in infiniti punti: allora sono lo stesso polinomio, e l’uguaglianza vale anche in $1$ e in $-2$. In pratica, per trovare $A$ «copri» il fattore $x - 1$ e calcoli quello che resta, $\frac{x + 5}{x + 2}$, in $x = 1$: è la formula di $A$ vista sopra.

Il risultato:

$$\begin{gathered} \int \frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx \\ {} = 2\ln\lvert x - 1 \rvert - \ln\lvert x + 2 \rvert + c \end{gathered}$$

Controllo. Rimettendo insieme i fratti, il numeratore è $2(x + 2) - (x - 1) = x + 5$.

Discriminante nullo: logaritmo e frazione

Il denominatore è un quadrato, $(x - x_0)^2$. Qui serve un fratto per ogni potenza del fattore:

$$\frac{mx + n}{(x - x_0)^2} = \frac{A}{x - x_0} + \frac{B}{(x - x_0)^2}$$

Il modo più rapido per trovare $A$ e $B$ è scrivere il numeratore «attorno a $x_0$»: $mx + n = m(x - x_0) + (mx_0 + n)$. Quindi $A = m$ e $B = mx_0 + n$. Il primo fratto dà un logaritmo, il secondo è la potenza $(x - x_0)^{-2}$, che ha primitiva $-(x - x_0)^{-1}$:

$$\begin{gathered} \int \frac{mx + n}{(x - x_0)^2}\,dx \\ {} = m\ln\lvert x - x_0 \rvert - \frac{mx_0 + n}{x - x_0} + c \end{gathered}$$

Esempio 4. $\displaystyle\int \frac{3x + 1}{x^2 + 4x + 4}\,dx$. Qui $\Delta = 16 - 16 = 0$ e $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Scriviamo $3x + 1 = 3(x + 2) - 5$:

$$\frac{3x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{5}{(x + 2)^2}$$

Con le radici si sarebbe trovato solo $B$: in $3x + 1 = A(x + 2) + B$, con $x = -2$, $B = -5$. Il coefficiente $A$ si legge confrontando i termini in $x$: $A = 3$. Integrando, il segno meno della potenza e quello del $-5$ si cancellano:

$$\begin{gathered} \int \frac{3x + 1}{x^2 + 4x + 4}\,dx \\ {} = 3\ln\lvert x + 2 \rvert + \frac{5}{x + 2} + c \end{gathered}$$

Discriminante negativo: logaritmo e arcotangente

Il denominatore non ha radici reali, non si scompone ed è sempre positivo. Servono due ingredienti.

1. La formula dell’arcotangente. Per $k > 0$:

$$\int \frac{dx}{(x - h)^2 + k^2} = \frac{1}{k}\arctan\frac{x - h}{k} + c$$

Perché è vero. Derivando con la regola della catena:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{k}\arctan\frac{x - h}{k}\right)' \\ {} = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{1 + \frac{(x - h)^2}{k^2}} \cdot \frac{1}{k} \\ {} = \frac{1}{k^2 + (x - h)^2} \end{gathered}$$

2. Il completamento del quadrato. Si scrive

$$x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + q - \frac{p^2}{4}$$

e $q - \frac{p^2}{4} = -\frac{\Delta}{4}$ è positivo proprio perché $\Delta < 0$: è il $k^2$ della formula.

Esempio 5. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$. Il discriminante è $4 - 20 = -16 < 0$. Completando il quadrato, $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$, quindi $h = -1$ e $k = 2$:

$$\int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + c$$

Se al numeratore c’è anche la $x$, si fa comparire la derivata del denominatore, $2x + p$, e si scrive il numeratore come suo multiplo più una costante:

$$mx + n = \frac{m}{2}\,(2x + p) + \left(n - \frac{mp}{2}\right)$$

Il primo pezzo dà $\frac{m}{2}\ln(x^2 + px + q)$, senza valore assoluto perché il denominatore è positivo; il secondo è un numero fratto il denominatore, e dà l’arcotangente.

Esempio 6. $\displaystyle\int \frac{3x - 1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$. La derivata del denominatore è $2x + 2$, e $3x - 1 = \frac{3}{2}(2x + 2) - 4$. Con il risultato dell’esempio 5:

$$\begin{gathered} \frac{3}{2}\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5}\,dx \\ {} - 4\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5} \\ {} = \frac{3}{2}\ln(x^2 + 2x + 5) \\ {} - 2\arctan\frac{x + 1}{2} + c \end{gathered}$$

Mettendo insieme i due passaggi si ottiene una formula generale, che conviene saper ricostruire più che imparare a memoria:

$$\begin{gathered} \int \frac{mx + n}{x^2 + px + q}\,dx \\ {} = \frac{m}{2}\ln(x^2 + px + q) \\ {} + \frac{2n - mp}{\sqrt{-\Delta}}\arctan\frac{2x + p}{\sqrt{-\Delta}} + c \end{gathered}$$

Denominatori di grado più alto: il teorema dei fratti semplici

Con un denominatore di grado 3, 4 o più l’idea è la stessa: lo si scompone e si scrive un fratto per ogni fattore. Due teoremi garantiscono che funziona sempre; l’unica difficoltà pratica è trovare la scomposizione, che negli esercizi d’esame di solito è alla portata.

È una conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra: le radici complesse non reali di un polinomio a coefficienti reali vengono a coppie coniugate, e ogni coppia dà un fattore irriducibile. La dimostrazione richiede i numeri complessi e non la vediamo.

Le incognite sono in tutto tante quanto il grado di $Q$. La dimostrazione generale è di algebra lineare e la saltiamo; per due fattori distinti l’abbiamo vista sopra. La conseguenza è importante: ogni funzione razionale ha una primitiva che si scrive con polinomi, frazioni, logaritmi e arcotangenti, su ogni intervallo in cui il denominatore non si annulla.

Quattro esempi di grado tre e quattro

Esempio 7: tre fattori distinti. $\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{x^3 - x}\,dx$. Raccogliendo, $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$. Cerchiamo

$$\frac{x^2 + 1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$$

cioè $x^2 + 1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)$. Le tre radici danno tutto: con $x = 0$, $1 = -A$; con $x = 1$, $2 = 2B$; con $x = -1$, $2 = 2C$. Quindi $A = -1$, $B = 1$, $C = 1$ e

$$\begin{gathered} \int \frac{x^2 + 1}{x^3 - x}\,dx \\ {} = -\ln\lvert x \rvert + \ln\lvert x - 1 \rvert + \ln\lvert x + 1 \rvert + c \\ {} = \ln\left\lvert \frac{x^2 - 1}{x} \right\rvert + c \end{gathered}$$

Esempio 8: un fattore irriducibile. $\displaystyle\int \frac{x + 2}{x^3 + x}\,dx$. Il denominatore è $x(x^2 + 1)$, e $x^2 + 1$ è irriducibile: sopra va un numeratore di primo grado.

$$\frac{x + 2}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$$

Da $x + 2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)\,x$, con $x = 0$ si trova $A = 2$. Il secondo membro è $(A + B)x^2 + Cx + A$: confrontando i coefficienti di $x^2$ e di $x$, $A + B = 0$ e $C = 1$, quindi $B = -2$. Il fratto $\frac{1 - 2x}{x^2 + 1}$ dà un’arcotangente e un logaritmo:

$$\begin{gathered} \int \frac{x + 2}{x^3 + x}\,dx \\ {} = \int \left(\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{2x}{x^2 + 1}\right)dx \\ {} = 2\ln\lvert x \rvert + \arctan x - \ln(x^2 + 1) + c \end{gathered}$$

Esempio 9: un fattore ripetuto. $\displaystyle\int \frac{9}{(x - 1)^2(x + 2)}\,dx$. Il fattore $(x - 1)^2$ vuole due fratti:

$$\begin{gathered} \frac{9}{(x - 1)^2(x + 2)} \\ {} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x + 2} \end{gathered}$$

cioè $9 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2$. Con $x = 1$: $\ 9 = 3B$, $B = 3$. Con $x = -2$: $\ 9 = 9C$, $C = 1$. Per $A$ non c’è una radice da usare: il coefficiente di $x^2$ a destra è $A + C$, a sinistra è 0, quindi $A = -1$.

$$\begin{gathered} \int \frac{9}{(x - 1)^2(x + 2)}\,dx \\ {} = -\ln\lvert x - 1 \rvert - \frac{3}{x - 1} + \ln\lvert x + 2 \rvert + c \\ {} = \ln\left\lvert \frac{x + 2}{x - 1} \right\rvert - \frac{3}{x - 1} + c \end{gathered}$$

Esempio 10: il denominatore $x^4 - 1$. $\displaystyle\int \frac{dx}{x^4 - 1}$. Si scompone come differenza di quadrati: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$. Il metodo generale chiede quattro incognite, $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$. Qui però c’è un trucco: $(x^2 + 1) - (x^2 - 1) = 2$, quindi

$$\begin{gathered} \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 + 1) - (x^2 - 1)}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)} \\ {} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + 1}\right) \end{gathered}$$

Il primo pezzo l’abbiamo integrato all’inizio, il secondo è un’arcotangente:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{x^4 - 1} \\ {} = \frac{1}{4}\ln\left\lvert \frac{x - 1}{x + 1} \right\rvert - \frac{1}{2}\arctan x + c \end{gathered}$$

Con il metodo generale si trova lo stesso: $A = \frac{1}{4}$, $B = -\frac{1}{4}$, $C = 0$, $D = -\frac{1}{2}$. E prima di scomporre guarda sempre se l’integrale è immediato: $\int \frac{x^3}{x^4 - 1}\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert x^4 - 1 \rvert + c$, perché $x^3$ è la derivata del denominatore divisa per 4.

Un fattore irriducibile ripetuto

Un fratto come $\frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ non si integra direttamente con un logaritmo o un’arcotangente. Lo si integra con la sostituzione $x = \tan t$, con $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$. Allora $dx = (1 + \tan^2 t)\,dt$ e $1 + \tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{(1 + x^2)^2} = \int \frac{1 + \tan^2 t}{(1 + \tan^2 t)^2}\,dt \\ {} = \int \cos^2 t\,dt = \frac{t + \sin t\cos t}{2} + c \end{gathered}$$

L’integrale di $\cos^2 t$ si fa con la formula $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$. Per tornare a $x$: $t = \arctan x$ e $\sin t\cos t = \tan t \cdot \cos^2 t = \frac{x}{1 + x^2}$. Quindi

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{(1 + x^2)^2} \\ {} = \frac{x}{2(1 + x^2)} + \frac{1}{2}\arctan x + c \end{gathered}$$

Si arriva allo stesso risultato per parti: si scrive $\frac{1}{(1 + x^2)^2} = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{x^2}{(1 + x^2)^2}$ e si integra l’ultimo pezzo per parti, con $f = x$ e $g' = \frac{x}{(1 + x^2)^2}$. Se invece al numeratore c’è $x$, l’integrale è immediato: $\int \frac{x}{(1 + x^2)^2}\,dx = -\frac{1}{2(1 + x^2)} + c$.

Lo schema completo

Ecco la scaletta da seguire con qualsiasi frazione di polinomi.

1. È immediato? Se il numeratore è la derivata del denominatore, a meno di una costante, il risultato è un logaritmo.
2. Confronta i gradi. Se la frazione è impropria, dividi: polinomio più frazione propria.
3. Scomponi il denominatore in fattori di primo grado e di secondo grado irriducibili.
4. Scrivi i fratti semplici con i coefficienti incogniti, tanti quanto il grado del denominatore.
5. Trova i coefficienti: prima sostituisci le radici, poi confronta i coefficienti per quelli che mancano.
6. Integra ogni fratto: logaritmi, potenze, arcotangenti.
7. Controlla derivando, o rimettendo i fratti a denominatore comune.

Situazione	Fratti	Danno
grado di $P$ ${\geq}$ grado di $Q$	prima dividi	polinomio
${ax + b}$	${\frac{A}{ax + b}}$	logaritmo
${\Delta > 0}$	${\frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}}$	due logaritmi
${\Delta = 0}$	${\frac{A}{x - x_0} + \frac{B}{(x - x_0)^2}}$	logaritmo e frazione
${\Delta < 0}$	${\frac{mx + n}{x^2 + px + q}}$	logaritmo e arcotangente
${(x - \alpha)^r}$	$r$ fratti ${\frac{A_i}{(x - \alpha)^i}}$	logaritmo e frazioni
${(x^2 + px + q)^s}$	$s$ fratti ${\frac{B_ix + C_i}{(x^2 + px + q)^i}}$	logaritmo, arcotangente e frazioni

Integrali definiti e asintoti verticali

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se la funzione è continua su $[a, b]$ basta una primitiva: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Per una funzione razionale, continua su $[a, b]$ vuol dire che il denominatore non si annulla in nessun punto dell’intervallo.

Esempio 11. $\displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1}$. Su $[2, 3]$ il denominatore vale almeno 3: la funzione è continua. Con la primitiva trovata all’inizio:

$$\begin{gathered} \int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1} = \left[\frac{1}{2}\ln\left\lvert \frac{x - 1}{x + 1} \right\rvert\right]_2^3 \\ {} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} \\ {} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0{,}203 \end{gathered}$$

Nel grafico l’integrale è l’area della regione colorata, lontana dagli asintoti verticali $x = 1$ e $x = -1$.

Controllo. Su $[2, 3]$ la funzione scende da $\frac{1}{3}$ a $\frac{1}{8}$, quindi l’integrale sta tra $0{,}125$ e $0{,}333$. Di più: il grafico è convesso, cioè sta sotto la corda, e l’area deve essere minore di quella del trapezio, $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{8}\right) \approx 0{,}229$. Il valore $0{,}203$ torna.

Dove si incontrano le funzioni razionali

Dopo una sostituzione. Molti integrali diventano razionali con un cambio di variabile. Con $t = e^x$ si ha $dt = e^x\,dx$, e il denominatore diventa $t^2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2)$:

$$\begin{gathered} \int \frac{e^x}{e^{2x} + 3e^x + 2}\,dx = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} \\ {} = \int \left(\frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t + 2}\right)dt \\ {} = \ln\frac{e^x + 1}{e^x + 2} + c \end{gathered}$$

I coefficienti 1 e $-1$ vengono dal metodo delle radici; il valore assoluto non serve perché $t = e^x > 0$. Allo stesso modo la sostituzione $t = \tan\frac{x}{2}$ trasforma ogni frazione in seno e coseno in una frazione di polinomi in $t$: lo vedi negli integrali di funzioni goniometriche e irrazionali.

Nelle serie. La scomposizione $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ fa «crollare» la somma della serie di Mengoli: è il meccanismo delle serie telescopiche.

Una curiosità: la crescita logistica. Una popolazione con risorse limitate cresce, nel modello più semplice, secondo l’equazione $y' = y(1 - y)$, dove $y$ è la frazione della capienza massima già occupata. È il modello che corregge la crescita esponenziale quando il cibo e lo spazio finiscono. Risolverla (lo farai con le equazioni differenziali) richiede proprio un integrale razionale, per $0 < y < 1$:

$$\begin{gathered} \int \frac{dy}{y(1 - y)} = \int \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y}\right)dy \\ {} = \ln\frac{y}{1 - y} + c \end{gathered}$$

Uguagliandolo a $t$ più una costante e ricavando $y$ si trova $y(t) = \frac{1}{1 + Ce^{-t}}$, con $C > 0$: la famosa curva a S.

Gli errori più comuni

• Scomporre senza controllare i gradi. Con una frazione impropria i fratti semplici non bastano: $\frac{x^3}{x^2 - 1}$ non è $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$. Prima la divisione.
• Un solo fratto per un fattore ripetuto. Per $(x - 1)^2$ servono $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2}$. Scrivere $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 1}$ equivale a scrivere un fratto solo.
• Un numeratore costante sopra un fattore irriducibile. Sopra $x^2 + 1$ va $Bx + C$, non solo $C$: altrimenti le incognite non bastano.
• Dimenticare il fattore 1/a. $\int \frac{dx}{2x + 1} = \frac{1}{2}\ln\lvert 2x + 1 \rvert + c$, non $\ln\lvert 2x + 1 \rvert + c$.
• Usare le radici per tutti i coefficienti. Con un fattore ripetuto danno solo il coefficiente della potenza più alta; gli altri si trovano confrontando i coefficienti o sostituendo un valore comodo come $x = 0$.
• Togliere il valore assoluto. Si scrive $\ln\lvert x - 1 \rvert$, non $\ln(x - 1)$. Il valore assoluto si toglie solo se l’argomento è sempre positivo, come $x^2 + 2x + 5$.
• Credere irriducibile ogni polinomio senza radici reali. $x^4 + 1$ si scompone in due trinomi; irriducibili sono solo i trinomi di secondo grado con $\Delta < 0$.
• Integrare attraverso un asintoto. Se il denominatore si annulla in $[a, b]$, $F(b) - F(a)$ non ha senso: l’integrale è improprio.

Esercizi svolti

Altri integrali di frazioni, mescolati con le altre tecniche, li trovi negli esercizi svolti sugli integrali.

1. Un denominatore con il primo coefficiente 2

Testo. Calcola $\displaystyle\int \frac{x + 2}{2x^2 - x - 1}\,dx$.

Il numeratore ha grado più basso: niente divisione. Il discriminante è $1 + 8 = 9 > 0$ e le radici sono $x = \frac{1 \pm 3}{4}$, cioè $1$ e $-\frac{1}{2}$. Il primo coefficiente 2 va messo in uno dei fattori, e conviene tenerlo nel secondo per evitare frazioni:

$$\begin{gathered} 2x^2 - x - 1 = 2(x - 1)\left(x + \frac{1}{2}\right) \\ {} = (x - 1)(2x + 1) \end{gathered}$$

Cerchiamo $A$ e $B$ tali che $x + 2 = A(2x + 1) + B(x - 1)$. Con $x = 1$: $\ 3 = 3A$, quindi $A = 1$. Con $x = -\frac{1}{2}$: $\ \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}B$, quindi $B = -1$. Il secondo fratto ha $a = 2$ e prende un $\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \int \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2x + 1}\right)dx \\ {} = \ln\lvert x - 1 \rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert 2x + 1 \rvert + c \end{gathered}$$

Controllo: $(2x + 1) - (x - 1) = x + 2$. Il risultato è una somma di due logaritmi, come sempre con $\Delta > 0$.

2. Prima la divisione

Testo. Calcola $\displaystyle\int \frac{x^3 + 2}{x^2 - x}\,dx$.

I gradi sono 3 e 2: la frazione è impropria. Dividiamo:

1. $x^3 : x^2 = x$; $\ x(x^2 - x) = x^3 - x^2$; sottraendo resta $x^2 + 2$.
2. $x^2 : x^2 = 1$; $\ 1 \cdot (x^2 - x) = x^2 - x$; sottraendo resta $x + 2$, di grado 1: stop.

Quoziente $x + 1$, resto $x + 2$. Verifica: $(x + 1)(x^2 - x) + x + 2 = x^3 - x + x + 2 = x^3 + 2$. Quindi

$$\frac{x^3 + 2}{x^2 - x} = x + 1 + \frac{x + 2}{x(x - 1)}$$

Per la frazione propria, $x + 2 = A(x - 1) + Bx$. Con $x = 0$: $\ 2 = -A$, quindi $A = -2$. Con $x = 1$: $\ B = 3$. In totale:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^3 + 2}{x^2 - x}\,dx \\ {} = \frac{x^2}{2} + x - 2\ln\lvert x \rvert + 3\ln\lvert x - 1 \rvert + c \end{gathered}$$

Il quoziente ha dato la parte polinomiale, il resto i due logaritmi.

3. Discriminante negativo e un integrale definito

Testo. Calcola $\displaystyle\int_3^5 \frac{x + 1}{x^2 - 6x + 13}\,dx$.

Il discriminante è $36 - 52 = -16 < 0$: il denominatore è sempre positivo e la funzione è continua su $[3, 5]$. La derivata del denominatore è $2x - 6$, quindi scriviamo $x + 1 = \frac{1}{2}(2x - 6) + 4$. Il primo pezzo dà $\frac{1}{2}\ln(x^2 - 6x + 13)$. Per il secondo completiamo il quadrato, $x^2 - 6x + 13 = (x - 3)^2 + 4$, cioè $h = 3$ e $k = 2$: dà $4 \cdot \frac{1}{2}\arctan\frac{x - 3}{2}$. Una primitiva è quindi

$$\begin{gathered} F(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 6x + 13) \\ {} + 2\arctan\frac{x - 3}{2} \end{gathered}$$

Il denominatore vale 8 in $x = 5$ e 4 in $x = 3$, mentre l’arcotangente vale $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ e $\arctan 0 = 0$:

$$\begin{gathered} F(5) - F(3) = \frac{1}{2}\ln 8 + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\ln 4 \\ {} = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{2} \approx 1{,}917 \end{gathered}$$

Controllo: sull’intervallo la funzione vale tra $0{,}75$ (in $x = 5$) e circa $1{,}06$ (il suo massimo), quindi l’integrale, su una lunghezza 2, sta tra $1{,}5$ e $2{,}12$. Il valore $1{,}917$ ci sta.

4. Un fattore ripetuto

Testo. Calcola $\displaystyle\int \frac{2x + 3}{x^3 + 2x^2 + x}\,dx$.

Raccogliamo la $x$ e riconosciamo un quadrato: $x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) = x(x + 1)^2$. I fratti sono tre:

$$\frac{2x + 3}{x(x + 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^2}$$

cioè $2x + 3 = A(x + 1)^2 + Bx(x + 1) + Cx$. Con $x = 0$: $\ A = 3$. Con $x = -1$: $\ 1 = -C$, quindi $C = -1$. Il coefficiente di $x^2$ a destra è $A + B$ e a sinistra 0, quindi $B = -3$. Controllo con $x = 1$: a sinistra 5, a destra $3 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 1 = 5$. Integrando, il fratto con il quadrato dà $+\frac{1}{x + 1}$:

$$\begin{gathered} \int \frac{2x + 3}{x^3 + 2x^2 + x}\,dx \\ {} = 3\ln\lvert x \rvert - 3\ln\lvert x + 1 \rvert + \frac{1}{x + 1} + c \\ {} = 3\ln\left\lvert \frac{x}{x + 1} \right\rvert + \frac{1}{x + 1} + c \end{gathered}$$

Il fattore ripetuto ha prodotto, oltre ai logaritmi, una frazione.

5. Un parametro: logaritmi o arcotangente?

Testo. Al variare del numero reale $a$, calcola $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + a}$. Per quali valori di $a$ la primitiva contiene un’arcotangente? Per quali non contiene né logaritmi né arcotangenti?

Il discriminante è $\Delta = 4 - 4a = 4(1 - a)$, e completando il quadrato $x^2 + 2x + a = (x + 1)^2 + (a - 1)$. Tre casi.

Se $a > 1$, $\Delta < 0$ e $a - 1 = k^2$ con $k = \sqrt{a - 1}$:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{x^2 + 2x + a} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{a - 1}}\arctan\frac{x + 1}{\sqrt{a - 1}} + c \end{gathered}$$

Con $a = 5$ ritrovi l’esempio 5.

Se $a = 1$, $\Delta = 0$ e il denominatore è $(x + 1)^2$:

$$\int \frac{dx}{(x + 1)^2} = -\frac{1}{x + 1} + c$$

Se $a < 1$, $\Delta > 0$. Con $s = \sqrt{1 - a} > 0$ il denominatore è una differenza di quadrati, $(x + 1)^2 - s^2 = (x + 1 - s)(x + 1 + s)$, con radici $-1 + s$ e $-1 - s$. Con il metodo delle radici $A = \frac{1}{2s}$ e $B = -\frac{1}{2s}$:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{x^2 + 2x + a} \\ {} = \frac{1}{2s}\ln\left\lvert \frac{x + 1 - s}{x + 1 + s} \right\rvert + c \end{gathered}$$

Per esempio con $a = 0$ si ha $s = 1$ e il risultato è $\frac{1}{2}\ln\left\lvert \frac{x}{x + 2} \right\rvert + c$. Risposte: l’arcotangente compare se e solo se $a > 1$; per $a = 1$ la primitiva è una funzione razionale, senza logaritmi né arcotangenti.

6. Un esercizio d’esame completo

Testo. Sia $f(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + x + 4}{x^3 + x^2 + x + 1}$.

1. Scomponi il denominatore e scrivi $f$ come somma di un polinomio e di fratti semplici.
2. Calcola $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$.
3. Controlla che il risultato sia plausibile.

1. Raccogliendo a coppie: $x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$, con $x^2 + 1$ irriducibile. I gradi sono uguali: dividendo, il quoziente è 1 e il resto è la differenza $(x^3 + 2x^2 + x + 4) - (x^3 + x^2 + x + 1) = x^2 + 3$. Quindi

$$f(x) = 1 + \frac{x^2 + 3}{(x + 1)(x^2 + 1)}$$

Cerchiamo $x^2 + 3 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)$. Con $x = -1$: $\ 4 = 2A$, quindi $A = 2$. Confrontando i coefficienti di $x^2$, $1 = A + B$, quindi $B = -1$; i termini noti danno $3 = A + C$, quindi $C = 1$. Controllo sui termini in $x$: $B + C = 0$, come a sinistra.

$$f(x) = 1 + \frac{2}{x + 1} + \frac{1 - x}{x^2 + 1}$$

2. Su $[0, 1]$ il denominatore è positivo, quindi $f$ è continua. Una primitiva è

$$\begin{gathered} F(x) = x + 2\ln\lvert x + 1 \rvert \\ {} + \arctan x - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) \end{gathered}$$

con $F(0) = 0$ e $F(1) = 1 + 2\ln 2 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2$. Quindi

$$\int_0^1 f(x)\,dx = 1 + \frac{3}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{4} \approx 2{,}825$$

3. Si ha $f(0) = 4$ e $f(1) = \frac{8}{4} = 2$. Su $[0, 1]$ entrambi i fratti decrescono (il secondo ha derivata $\frac{x^2 - 2x - 1}{(x^2 + 1)^2}$, negativa per $0 \leq x \leq 1$), quindi $f$ decresce, e l’integrale su un intervallo lungo 1 deve stare tra 2 e 4. Il valore $2{,}825$ è plausibile. Divisione, fattore irriducibile, logaritmi e arcotangente: in un solo esercizio c’è tutto il metodo.

In sintesi

• Frazione impropria (grado di $P$ maggiore o uguale a quello di $Q$): prima la divisione, $\frac{P}{Q} = S + \frac{R}{Q}$ con il grado di $R$ minore di quello di $Q$.
• Primo grado: $\int \frac{A}{ax + b}\,dx = \frac{A}{a}\ln\lvert ax + b \rvert + c$.
• $\Delta > 0$: $\frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}$, due logaritmi. I coefficienti si trovano con il principio di identità o sostituendo le radici.
• $\Delta = 0$: $\frac{A}{x - x_0} + \frac{B}{(x - x_0)^2}$, un logaritmo e $-\frac{B}{x - x_0}$.
• $\Delta < 0$: derivata del denominatore più una costante, poi $\int \frac{dx}{(x - h)^2 + k^2} = \frac{1}{k}\arctan\frac{x - h}{k} + c$.
• Grado più alto: ogni fattore $(x - \alpha)^r$ dà $r$ fratti, ogni fattore irriducibile $(x^2 + px + q)^s$ dà $s$ fratti con il numeratore di primo grado. Le incognite sono tante quanto il grado di $Q$.
• Integrali definiti: il denominatore non deve annullarsi in $[a, b]$; altrimenti l’integrale è improprio.

Restano le funzioni con seno, coseno e radici, che spesso con una sostituzione diventano proprio frazioni di polinomi: gli integrali di funzioni goniometriche e irrazionali.