Integrali immediati e di funzioni composte: tabella, metodo ed esercizi svolti

Gli integrali immediati sono quelli che si risolvono a vista, riconoscendo nella funzione da integrare la derivata di una funzione composta. Sono la prima tecnica che si impara dopo la tabella degli integrali fondamentali e la più usata: compaiono nei primi esercizi d’esame e ritornano alla fine di quasi ogni altro calcolo. In questa pagina vediamo l’idea (la regola della catena letta al contrario) con la dimostrazione, il metodo per riconoscere la funzione interna e la sua derivata, la scrittura con i differenziali, la tabella completa degli integrali immediati, l’argomento lineare, perché si aggiustano le costanti ma non le funzioni, tanti esempi divisi per famiglie, quando l’integrale non è immediato, un integrale definito, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: la regola della catena al contrario

La tabella fondamentale funziona con le funzioni elementari: $x^\alpha$, $e^x$, $\sin x$… Ma come si integra $2x\cos(x^2)$? Nella tabella non c’è. La domanda giusta è: quale funzione, derivata, dà proprio $2x\cos(x^2)$?

Ricordi la regola della catena? Per derivare una funzione composta si deriva la funzione esterna lasciando com’è il suo argomento, poi si moltiplica per la derivata della funzione interna:

$$\Big(F\big(g(x)\big)\Big)' = F'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)$$

Con $F = \sin$ e $g(x) = x^2$, la regola dà $\big(\sin(x^2)\big)' = \cos(x^2) \cdot 2x$. Leggendo l’uguaglianza da destra a sinistra abbiamo trovato una primitiva:

$$\int \cos(x^2) \cdot 2x\,dx = \sin(x^2) + c$$

Ecco il trucco di tutto l’articolo: c’è una funzione $g(x) = x^2$ e accanto c’è la sua derivata $2x$. Allora si integra come se $x^2$ fosse una sola lettera: la primitiva del coseno è il seno, e al posto della lettera si rimette $x^2$.

Il teorema: l’integrale di una funzione composta

Scriviamo l’idea in modo preciso.

Il significato dei simboli:

• $g$ è la funzione interna e $g'$ la sua derivata;
• $f$ è la funzione esterna, quella che si applica a $g(x)$;
• $F$ è una primitiva di $f$, cioè $F' = f$: di solito la prendi dalla tabella degli integrali fondamentali.

Perché è vero. Basta derivare il risultato con la regola della catena, e poi usare $F' = f$:

$$\begin{gathered} \Big(F\big(g(x)\big)\Big)' = F'\big(g(x)\big) \cdot g'(x) \\ {} = f\big(g(x)\big) \cdot g'(x) \end{gathered}$$

La derivata di $F\big(g(x)\big)$ è proprio la funzione da integrare, quindi $F\big(g(x)\big)$ ne è una primitiva. Infine, su un intervallo due primitive della stessa funzione differiscono per una costante: ecco il $+\,c$.

Le ipotesi servono perché la regola della catena funzioni e perché il $+\,c$ descriva tutte le primitive, cosa vera su un intervallo ma non su un’unione di intervalli separati: lo vedremo con la tangente.

Il metodo: trova la funzione interna e la sua derivata

La scaletta:

1. Cerca la funzione interna $g(x)$. Di solito è l’argomento di qualcos’altro: l’esponente di $e$, ciò che sta dentro un seno o una radice, la base di una potenza, un denominatore.
2. Derivala e cerca $g'(x)$ tra i fattori che restano. Può mancare un numero, per esempio un 2 o un segno meno: va bene, si aggiusta.
3. Riconosci la funzione esterna $f$ e trova la sua primitiva $F$ nella tabella.
4. Scrivi $F\big(g(x)\big) + c$, con le costanti aggiustate.
5. Controlla derivando il risultato: deve tornare la funzione di partenza.

Un aiuto per la mente: i differenziali

Per fare il passo 2 a colpo d’occhio c’è una scrittura comoda. Per una funzione derivabile $g$ si scrive

$$d\big(g(x)\big) = g'(x)\,dx$$

e si dice che $g'(x)\,dx$ è il differenziale di $g(x)$: è la notazione di Leibniz $\frac{dg}{dx} = g'(x)$ «moltiplicata» per $dx$ (il significato preciso è in retta tangente e differenziale). Quelli da riconoscere al volo:

Se vedi	Puoi scrivere
${2x\,dx}$	${d(x^2)}$
${\cos x\,dx}$	${d(\sin x)}$
${\sin x\,dx}$	${-d(\cos x)}$
${\frac{1}{x}\,dx}$	${d(\ln\lvert x \rvert)}$
${e^x\,dx}$	${d(e^x)}$
${\frac{1}{\cos^2 x}\,dx}$	${d(\tan x)}$
${\frac{1}{1 + x^2}\,dx}$	${d(\arctan x)}$
${\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx}$	${d(\sqrt{x})}$
${dx}$	${\frac{1}{a}\,d(ax + b)}$

Così un integrale immediato diventa un integrale della tabella, con una «lettera» diversa dalla $x$. Siccome $\cos x\,dx = d(\sin x)$:

$$\begin{gathered} \int \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}\,dx = \int \frac{d(\sin x)}{1 + \sin^2 x} \\ {} = \arctan(\sin x) + c \end{gathered}$$

È come se $\sin x$ fosse la lettera $t$: $\int \frac{dt}{1 + t^2} = \arctan t + c$. Il differenziale serve a vedere la struttura; a garantire che il risultato sia giusto è il teorema, insieme al controllo derivando.

Integrali immediati e sostituzione

Chiamare $t$ la funzione interna è proprio l’idea dell’integrazione per sostituzione. Ponendo $t = g(x)$ si ha $dt = g'(x)\,dx$, e l’integrale diventa $\int f(t)\,dt = F(t) + c$; tornando alla $x$ si ritrova $F\big(g(x)\big) + c$. Nel primo esempio, con $t = x^2$ e $dt = 2x\,dx$, resta $\int \cos t\,dt = \sin t + c = \sin(x^2) + c$. Gli integrali immediati sono il caso particolare in cui la sostituzione si fa a mente. Quella vera e propria serve quando la struttura è nascosta, per esempio quando dopo aver posto $t = g(x)$ resta qualche $x$ da esprimere in funzione di $t$.

La tabella degli integrali immediati con le funzioni composte

Ogni riga della tabella fondamentale, unita al teorema, ha la sua versione composta. Scriviamo $g$ al posto di $g(x)$; ogni formula vale su un intervallo in cui $g$ è derivabile e valgono le condizioni della terza colonna.

Integrale	Primitiva	Condizioni
${\int g^\alpha\,g'\,dx}$	${\frac{g^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c}$	${\alpha \neq -1}$
${\int \frac{g'}{g}\,dx}$	${\ln\lvert g \rvert + c}$	${g \neq 0}$
${\int e^g\,g'\,dx}$	${e^g + c}$	nessuna
${\int a^g\,g'\,dx}$	${\frac{a^g}{\ln a} + c}$	${a > 0}$, ${a \neq 1}$
${\int \sin g \cdot g'\,dx}$	${-\cos g + c}$	nessuna
${\int \cos g \cdot g'\,dx}$	${\sin g + c}$	nessuna
${\int \frac{g'}{\cos^2 g}\,dx}$	${\tan g + c}$	${\cos g \neq 0}$
${\int \frac{g'}{\sin^2 g}\,dx}$	${-\cot g + c}$	${\sin g \neq 0}$
${\int \frac{g'}{1 + g^2}\,dx}$	${\arctan g + c}$	nessuna
${\int \frac{g'}{\sqrt{1 - g^2}}\,dx}$	${\arcsin g + c}$	${-1 < g < 1}$

Ogni riga si dimostra come il teorema: derivando la colonna centrale con la regola della catena e le derivate delle funzioni elementari si ritrova l’integranda. Tre osservazioni.

• La prima riga copre anche radici e reciproci: $\sqrt{g} = g^{1/2}$, $\frac{1}{g^2} = g^{-2}$. Se $\alpha < 0$ serve $g \neq 0$; se $\alpha$ non è intero si lavora dove $g > 0$.
• La seconda riga è la più usata, e conviene ricordarla a parole: se al numeratore c’è la derivata del denominatore, l’integrale è il logaritmo del valore assoluto del denominatore. È il caso $\alpha = -1$ escluso dalla prima riga, dove la formula delle potenze darebbe una divisione per zero.
• Il valore assoluto funziona come per $\ln\lvert x \rvert$: la derivata di $\ln\lvert g \rvert$ è $\frac{g'}{g}$ sia dove $g > 0$ sia dove $g < 0$. Se $g$ è sempre positiva, come $x^2 + 1$, si può togliere.

L’argomento lineare: si divide per a

Il caso più frequente è la funzione interna lineare, $g(x) = ax + b$ con $a \neq 0$. La sua derivata è il numero $a$, che di solito manca: basta dividere per $a$.

Perché è vero. Derivando con la regola della catena, $\left(\frac{1}{a}F(ax + b)\right)' = \frac{1}{a}\,f(ax + b) \cdot a = f(ax + b)$.

Qualche esempio da fare a occhio:

Integrale	${a}$	Primitiva
${\int e^{3x}\,dx}$	${3}$	${\frac{1}{3}\,e^{3x} + c}$
${\int e^{-x}\,dx}$	${-1}$	${-e^{-x} + c}$
${\int \sin(5x)\,dx}$	${5}$	${-\frac{1}{5}\cos(5x) + c}$
${\int \cos\frac{x}{2}\,dx}$	${\frac{1}{2}}$	${2\sin\frac{x}{2} + c}$
${\int (2x + 1)^5\,dx}$	${2}$	${\frac{(2x + 1)^6}{12} + c}$
${\int \frac{dx}{3x - 2}}$	${3}$	${\frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2 \rvert + c}$
${\int \sqrt{4x + 1}\,dx}$	${4}$	${\frac{1}{6}\sqrt{(4x + 1)^3} + c}$
${\int \frac{dx}{(1 - x)^2}}$	${-1}$	${\frac{1}{1 - x} + c}$

Le righe meno ovvie:

• $\sqrt{4x + 1} = (4x + 1)^{1/2}$: la potenza dà $\frac{2}{3}(4x + 1)^{3/2}$, e diviso 4 fa $\frac{1}{6}(4x + 1)^{3/2}$.
• $\frac{1}{(1 - x)^2} = (1 - x)^{-2}$: la potenza dà $\frac{(1 - x)^{-1}}{-1}$, e dividendo per $a = -1$ i due segni meno si cancellano.
• $\frac{1}{3x - 2}$ è il caso più semplice delle funzioni razionali fratte: $\int \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a}\ln\lvert ax + b \rvert + c$.

Aggiustare le costanti sì, le funzioni no

Spesso la derivata della funzione interna c’è, ma con un numero sbagliato davanti. Allora si moltiplica dentro e si divide fuori per lo stesso numero:

$$\begin{gathered} \int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int 2x\,e^{x^2}\,dx \\ {} = \frac{1}{2}\,e^{x^2} + c \end{gathered}$$

Si può fare per la linearità: una costante esce dall’integrale, $\int k\,h(x)\,dx = k\int h(x)\,dx$. Moltiplicare per 2 dentro e per $\frac{1}{2}$ fuori vuol dire moltiplicare per 1. Lo stesso vale per un segno meno, che è la costante $-1$.

Con le funzioni, invece, non si può. Davanti a $\int e^{x^2}\,dx$ viene la tentazione di ripetere il trucco con $2x$:

$$\int e^{x^2}\,dx \overset{?}{=} \frac{1}{2x}\int 2x\,e^{x^2}\,dx$$

Ma $\frac{1}{2x}$ non è una costante e non può uscire dall’integrale: la linearità vale solo per i numeri. Il risultato «$\frac{e^{x^2}}{2x} + c$» è sbagliato, e lo si vede derivandolo con la regola del quoziente:

$$\begin{gathered} \left(\frac{e^{x^2}}{2x}\right)' = \frac{2x\,e^{x^2} \cdot 2x - e^{x^2} \cdot 2}{4x^2} \\ {} = e^{x^2} - \frac{e^{x^2}}{2x^2} \end{gathered}$$

C’è un termine di troppo. Attenzione però: $e^{x^2}$ le primitive le ha, perché è continua (lo garantisce il teorema fondamentale, che vediamo nel prossimo articolo). Solo che nessuna si scrive con le funzioni elementari, cioè combinando potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche e loro inverse. Che esistano primitive non elementari lo dimostrò in modo rigoroso Joseph Liouville, con una serie di lavori degli anni Trenta dell’Ottocento; la dimostrazione è avanzata e non fa parte del corso.

Esempi svolti, famiglia per famiglia

La ricetta è sempre la stessa: trova la funzione interna, cerca la sua derivata, aggiusta le costanti.

Potenze di una funzione

Esempio 1. $\displaystyle\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx$. La funzione interna è $x^2 + 1$, con derivata $2x$: la $x$ c’è, manca il 2. La radice è la potenza $\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int (x^2 + 1)^{1/2} \cdot 2x\,dx \\ {} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3/2} + c \\ {} = \frac{1}{3}\sqrt{(x^2 + 1)^3} + c \end{gathered}$$

Esempio 2. $\displaystyle\int \sin^3 x\cos x\,dx$. Con $\cos x\,dx = d(\sin x)$ è la potenza $\alpha = 3$ della funzione $\sin x$: il risultato è $\dfrac{\sin^4 x}{4} + c$.

Esempio 3. $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$, per $-1 < x < 1$. La derivata di $1 - x^2$ è $-2x$: aggiustiamo il $-2$.

$$\begin{gathered} -\frac{1}{2}\int (1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x)\,dx \\ {} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 - x^2)^{1/2}}{1/2} + c \\ {} = -\sqrt{1 - x^2} + c \end{gathered}$$

Esempio 4. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$, per $x > 0$. La derivata di $\ln x$ è $\frac{1}{x}$, che c’è: $\frac{1}{x}\,dx = d(\ln x)$, quindi

$$\int \ln x\,d(\ln x) = \frac{\ln^2 x}{2} + c$$

Esempio 5. $\displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx$. Sembra il precedente, ma qui $\ln x$ sta al denominatore: è la potenza $\alpha = -1$, cioè il caso del logaritmo.

$$\int \frac{1/x}{\ln x}\,dx = \ln\lvert \ln x \rvert + c$$

Il valore assoluto serve: per $0 < x < 1$ si ha $\ln x < 0$. Il dominio è fatto di due intervalli, $(0, 1)$ e $(1, +\infty)$, e la formula vale su ciascuno, con costanti che possono essere diverse.

Il numeratore è la derivata del denominatore

Esempio 6. $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx$. La derivata del denominatore è $2x$: manca il 2.

$$\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + c$$

Il valore assoluto non serve, perché $x^2 + 1 > 0$.

Esempio 7: la tangente. Scriviamo $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. La derivata di $\cos x$ è $-\sin x$: aggiustiamo il segno.

$$\begin{gathered} \int \tan x\,dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx \\ {} = -\ln\lvert \cos x \rvert + c \end{gathered}$$

Attenzione al dominio: la tangente è definita su infiniti intervalli separati, $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ con $k$ intero. La formula vale su ciascuno, con una costante che può cambiare da un intervallo all’altro. Il grafico offre anche un controllo a vista: dove $\tan x > 0$ la primitiva cresce, dove $\tan x < 0$ decresce, e ha un minimo dove $\tan x = 0$.

Esempio 8. $\displaystyle\int \cot x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln\lvert \sin x \rvert + c$, su ogni intervallo in cui $\sin x \neq 0$: qui non ci sono segni da aggiustare.

Esempio 9. $\displaystyle\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 5}\,dx$. La derivata del denominatore è esattamente $2x + 3$:

$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 5}\,dx = \ln(x^2 + 3x + 5) + c$$

Niente valore assoluto: il discriminante è $9 - 20 = -11 < 0$ e il primo coefficiente è positivo, quindi $x^2 + 3x + 5 > 0$ per ogni $x$.

Esempio 10. $\displaystyle\int \frac{e^x}{e^x + 1}\,dx = \ln(e^x + 1) + c$: la derivata di $e^x + 1$ è $e^x$, e $e^x + 1$ è sempre positivo.

Esponenziali

Il primo l’abbiamo già incontrato: $\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\,e^{x^2} + c$.

Esempio 11. $\displaystyle\int e^{\cos x}\sin x\,dx$. Con $\sin x\,dx = -d(\cos x)$ diventa $-\int e^{\cos x}\,d(\cos x) = -e^{\cos x} + c$.

Esempio 12. $\displaystyle\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$, per $x > 0$. La derivata di $\sqrt{x}$ è $\frac{1}{2\sqrt{x}}$: moltiplichiamo dentro per $\frac{1}{2}$ e fuori per 2.

$$\begin{gathered} 2\int e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \\ {} = 2\,e^{\sqrt{x}} + c \end{gathered}$$

Esempio 13. $\displaystyle\int x^2\,2^{x^3}\,dx$. Con $g = x^3$ e $g' = 3x^2$ manca il 3, e la primitiva di $2^u$ è $\frac{2^u}{\ln 2}$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}\int 2^{x^3} \cdot 3x^2\,dx \\ {} = \frac{2^{x^3}}{3\ln 2} + c \end{gathered}$$

Funzioni goniometriche

Esempio 14. $\displaystyle\int \sin(3x + 1)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x + 1) + c$: argomento lineare con $a = 3$.

Esempio 15. $\displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx$. Non confonderlo con $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + c$: qui al numeratore c’è $\cos x$, che è la derivata di $\sin x$. È una potenza con $\alpha = -2$:

$$\begin{gathered} \int (\sin x)^{-2}\,d(\sin x) \\ {} = \frac{(\sin x)^{-1}}{-1} + c \\ {} = -\frac{1}{\sin x} + c \end{gathered}$$

su ogni intervallo in cui $\sin x \neq 0$.

Arcotangente e arcoseno

Queste righe vogliono esattamente $1 + g^2$ e $\sqrt{1 - g^2}$. Se al posto dell’1 c’è un altro numero, lo si raccoglie.

Esempio 16. $\displaystyle\int \frac{1}{4 + x^2}\,dx$. Raccogliamo il 4 per far comparire $1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \\ {} = \frac{1}{4} \cdot 2\arctan\frac{x}{2} + c \\ {} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + c \end{gathered}$$

Il 2 viene dall’argomento lineare $\frac{x}{2}$: si divide per $a = \frac{1}{2}$. Con un numero $k > 0$ qualsiasi al posto di 2 si ottengono due formule da ricordare:

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{k^2 + x^2} = \frac{1}{k}\arctan\frac{x}{k} + c \\ \int \frac{dx}{\sqrt{k^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{k} + c \end{gathered}$$

la seconda per $-k < x < k$.

Esempio 17. $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$, per $-3 < x < 3$. Raccogliendo 9 sotto radice, $\sqrt{9 - x^2} = 3\sqrt{1 - \left(\frac{x}{3}\right)^2}$: è la seconda formula con $k = 3$, e il risultato è $\arcsin\dfrac{x}{3} + c$.

Esempio 18. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 4x + 13}\,dx$. Il denominatore non ha radici reali, perché $\Delta = 16 - 52 < 0$. Completiamo il quadrato: $x^2 - 4x + 13 = (x - 2)^2 + 9$. Ora è la prima formula con $k = 3$ e la funzione interna $x - 2$, che ha derivata 1:

$$\int \frac{dx}{(x - 2)^2 + 9} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x - 2}{3} + c$$

Il caso generale, con la $x$ anche al numeratore, lo trovi negli integrali delle funzioni razionali fratte.

Esempio 19. $\displaystyle\int \frac{x}{1 + x^4}\,dx$. Sembra lontano dall’arcotangente, ma $x^4 = (x^2)^2$. Con $g = x^2$ e $g' = 2x$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1 + (x^2)^2}\,dx \\ {} = \frac{1}{2}\arctan(x^2) + c \end{gathered}$$

Quando non è immediato, e cosa fare

Se la derivata della funzione interna non c’è, nemmeno a meno di una costante, l’integrale non è immediato. Non vuol dire che sia impossibile: serve un’altra tecnica.

• $\int x\,e^x\,dx$: il fattore $x$ non è la derivata dell’esponente. È un prodotto di funzioni di tipo diverso, e si fa per parti: $(x - 1)\,e^x + c$.
• $\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx$: al numeratore manca la $x$ della derivata $2x$, e per il segno meno non è un’arcotangente. Si scompone in fratti semplici, come nelle funzioni razionali fratte: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert \frac{x - 1}{x + 1} \right\rvert + c$.
• $\int e^{x^2}\,dx$: non ha primitive elementari, e nessuna tecnica può dare una formula chiusa.

Un confronto istruttivo: stesso denominatore, tre strade diverse.

Integrale	Primitiva	Come
${\int \frac{x}{1 + x^2}\,dx}$	${\frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + c}$	logaritmo
${\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx}$	${\arctan x + c}$	tabella
${\int \frac{x^2}{1 + x^2}\,dx}$	${x - \arctan x + c}$	divisione

Il terzo l’hai già visto nell’integrale indefinito: si scrive $\frac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2}$ e si integra termine per termine. Per le potenze pari di seno e coseno, come $\int \sin^2 x\,dx$, servono le formule di linearizzazione degli integrali di funzioni goniometriche e irrazionali.

Regola pratica. Se alla derivata della funzione interna manca un fattore con la $x$, l’integrale non è immediato: cambia tecnica.

Il controllo: derivare il risultato

Ogni integrale indefinito si controlla derivando: deve tornare la funzione di partenza. Per l’esempio 19:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\arctan(x^2)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^4} \cdot 2x \\ {} = \frac{x}{1 + x^4} \end{gathered}$$

Due risultati diversi possono essere entrambi giusti? Sì, se differiscono per una costante. Per $\int \sin x\cos x\,dx$, con la funzione interna $\sin x$ viene $\frac{\sin^2 x}{2} + c$; con $\cos x$, aggiustando il segno, $-\frac{\cos^2 x}{2} + c$; con la formula di duplicazione $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, $-\frac{\cos 2x}{4} + c$. Sono tutti giusti. Che le prime due differiscano per $\frac{1}{2}$ l’hai visto nell’integrale indefinito; per la terza basta usare $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$-\frac{\cos 2x}{4} = \frac{\sin^2 x}{2} - \frac{1}{4}$$

Le tre primitive differiscono per delle costanti, che finiscono nel $+\,c$.

Un integrale definito con una primitiva immediata

Con il teorema fondamentale del calcolo integrale, se $f$ è continua su $[a, b]$ e $F$ è una sua primitiva, $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Una primitiva trovata a vista si usa così com’è, con gli estremi originali: non c’è nessuna variabile da cambiare.

Calcoliamo l’area sotto la tangente tra $0$ e $\frac{\pi}{3}$. Su $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ la tangente è continua e $\cos x > 0$, quindi il valore assoluto si può togliere:

$$\begin{gathered} \int_0^{\pi/3} \tan x\,dx = \big[-\ln\cos x\big]_0^{\pi/3} \\ {} = -\ln\frac{1}{2} + \ln 1 = \ln 2 \end{gathered}$$

cioè circa $0{,}693$. È plausibile? Su un intervallo lungo $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}05$ la tangente cresce da 0 a $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, con la concavità verso l’alto: sta sotto la corda, quindi l’area è minore di quella del triangolo sotto la corda, $\frac{1}{2} \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}73 \approx 0{,}91$. La stima torna.

Gli errori più comuni

• Dimenticare la derivata interna. $\int \cos(x^2)\,dx$ non è $\sin(x^2) + c$: derivando compare un $2x$ che nell’integrale non c’è.
• Dividere per una derivata che contiene la $x$. $\int e^{x^2}\,dx$ non è $\frac{e^{x^2}}{2x} + c$: si possono aggiustare solo le costanti.
• Usare la formula delle potenze con $\alpha = -1$. $\int \frac{g'}{g}\,dx$ è $\ln\lvert g \rvert + c$: la formula delle potenze darebbe una divisione per zero.
• Dimenticare il valore assoluto nel logaritmo. $\int \tan x\,dx = -\ln\lvert \cos x \rvert + c$. Il valore assoluto si toglie solo se l’argomento è sempre positivo, come $x^2 + 1$ o $e^x + 1$.
• Sbagliare il segno. La derivata di $\cos x$ è $-\sin x$: per questo $\int \tan x\,dx$ ha un meno davanti, e $\int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + c$.
• Non dividere per $a$ con l’argomento lineare. $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + c$, non $e^{-x} + c$.
• Riscalare male l’arcotangente. $\int \frac{dx}{4 + x^2}$ non è $\arctan\frac{x}{2} + c$: manca il fattore $\frac{1}{2}$. Raccogli e controlla derivando.
• Credere sbagliato un risultato diverso da quello del libro. Due primitive che differiscono per una costante sono giuste entrambe: deriva e verifica.

Esercizi svolti

Altri integrali quasi immediati, mescolati con le altre tecniche, li trovi negli esercizi svolti sugli integrali.

1. Argomento lineare

Testo. Calcola:

1. $\displaystyle\int e^{1 - 2x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{1}{4x + 3}\,dx$
3. $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}\,dx$

In tutti e tre la funzione interna è lineare: si prende la primitiva dalla tabella e si divide per $a$.

1. Qui $a = -2$, e la primitiva di $e^u$ è $e^u$:

$$\int e^{1 - 2x}\,dx = -\frac{1}{2}\,e^{1 - 2x} + c$$

Controllo: $\left(-\frac{1}{2}\,e^{1 - 2x}\right)' = -\frac{1}{2}\,e^{1 - 2x} \cdot (-2) = e^{1 - 2x}$.

2. Qui $a = 4$, e la primitiva di $\frac{1}{u}$ è $\ln\lvert u \rvert$:

$$\int \frac{dx}{4x + 3} = \frac{1}{4}\ln\lvert 4x + 3 \rvert + c$$

La formula vale su ciascuno dei due intervalli $x < -\frac{3}{4}$ e $x > -\frac{3}{4}$.

3. Scriviamo la funzione come potenza, $\frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = (2x + 1)^{-1/2}$, con $a = 2$:

$$\begin{gathered} \int (2x + 1)^{-1/2}\,dx \\ {} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 1)^{1/2}}{1/2} + c \\ {} = \sqrt{2x + 1} + c \end{gathered}$$

per $x > -\frac{1}{2}$. Con l’argomento lineare basta ricordarsi di dividere per $a$, segno compreso.

2. Aggiustare le costanti

Testo. Calcola:

1. $\displaystyle\int x\,(x^2 - 3)^5\,dx$
2. $\displaystyle\int x^2\,e^{-x^3}\,dx$
3. $\displaystyle\int \sin x\,\sqrt{\cos x}\,dx$

1. La funzione interna è $x^2 - 3$, con derivata $2x$: manca il 2.

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int (x^2 - 3)^5 \cdot 2x\,dx \\ {} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 - 3)^6}{6} + c \\ {} = \frac{(x^2 - 3)^6}{12} + c \end{gathered}$$

2. La funzione interna è $-x^3$, con derivata $-3x^2$: c’è $x^2$, manca il $-3$.

$$\begin{gathered} -\frac{1}{3}\int e^{-x^3} \cdot (-3x^2)\,dx \\ {} = -\frac{1}{3}\,e^{-x^3} + c \end{gathered}$$

3. La funzione interna è $\cos x$, con derivata $-\sin x$: manca il segno meno. La radice è la potenza $\frac{1}{2}$, e lavoriamo dove $\cos x > 0$.

$$\begin{gathered} -\int (\cos x)^{1/2} \cdot (-\sin x)\,dx \\ {} = -\frac{(\cos x)^{3/2}}{3/2} + c \\ {} = -\frac{2}{3}\sqrt{\cos^3 x} + c \end{gathered}$$

Controllo: $\left(-\frac{2}{3}(\cos x)^{3/2}\right)' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(\cos x)^{1/2} \cdot (-\sin x) = \sin x\sqrt{\cos x}$. In tutti e tre i casi mancava un numero (2, $-3$, $-1$): per questo si poteva aggiustare.

3. Riconosci la funzione interna

Testo. Calcola:

1. $\displaystyle\int \frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{(\arctan x)^2}{1 + x^2}\,dx$
3. $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\,dx$

1. La derivata di $\tan x$ è $\frac{1}{\cos^2 x}$, quindi $\frac{dx}{\cos^2 x} = d(\tan x)$. È la riga dell’esponenziale con $g = \tan x$:

$$\int e^{\tan x}\,d(\tan x) = e^{\tan x} + c$$

su ogni intervallo in cui $\cos x \neq 0$.

2. La derivata di $\arctan x$ è $\frac{1}{1 + x^2}$, quindi $\frac{dx}{1 + x^2} = d(\arctan x)$. È una potenza con $\alpha = 2$:

$$\begin{gathered} \int (\arctan x)^2\,d(\arctan x) \\ {} = \frac{(\arctan x)^3}{3} + c \end{gathered}$$

3. Per $x > 0$ si ha $1 + x = 1 + (\sqrt{x})^2$, e la derivata di $\sqrt{x}$ è $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, che c’è a meno del 2. Con $g = \sqrt{x}$ è la riga dell’arcotangente:

$$\begin{gathered} 2\int \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \\ {} = 2\arctan\sqrt{x} + c \end{gathered}$$

Controllo: $\left(2\arctan\sqrt{x}\right)' = 2 \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$, la funzione di partenza. In tutti e tre la derivata interna era nascosta nel denominatore.

4. Derivate nascoste

Testo. Calcola:

1. $\displaystyle\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{1}{e^x + 1}\,dx$

1. Deriviamo il denominatore e usiamo la formula di duplicazione:

$$(1 + \sin^2 x)' = 2\sin x\cos x = \sin 2x$$

Il numeratore è proprio la derivata del denominatore, che è sempre positivo (vale almeno 1):

$$\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\,dx = \ln(1 + \sin^2 x) + c$$

2. Così com’è non è immediato: al numeratore manca $e^x$, la derivata del denominatore. Moltiplichiamo sopra e sotto per $e^{-x}$, che non cambia la frazione:

$$\frac{1}{e^x + 1} = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}$$

Ora la derivata del denominatore è $-e^{-x}$, e basta aggiustare il segno:

$$\begin{gathered} \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}\,dx = -\int \frac{-e^{-x}}{1 + e^{-x}}\,dx \\ {} = -\ln(1 + e^{-x}) + c \end{gathered}$$

Si può anche scrivere $x - \ln(e^x + 1) + c$, perché $1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$. Nota la differenza con il divieto di prima: moltiplicare sopra e sotto per una funzione è lecito, portarla fuori dall’integrale no.

5. Arcotangente e arcoseno

Testo. Calcola:

1. $\displaystyle\int \frac{1}{2x^2 + 2x + 1}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4x - x^2}}\,dx$

1. Il discriminante è $4 - 8 = -4 < 0$: puntiamo all’arcotangente. Per completare il quadrato moltiplichiamo il denominatore per 2: $2(2x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 4x + 2 = (2x + 1)^2 + 1$. Quindi

$$\int \frac{dx}{2x^2 + 2x + 1} = \int \frac{2}{1 + (2x + 1)^2}\,dx$$

La funzione interna è $2x + 1$, la sua derivata è 2, e il 2 al numeratore c’è già:

$$\int \frac{2}{1 + (2x + 1)^2}\,dx = \arctan(2x + 1) + c$$

Controllo: $\big(\arctan(2x + 1)\big)' = \frac{2}{1 + (2x + 1)^2} = \frac{2}{4x^2 + 4x + 2}$, che semplificato dà $\frac{1}{2x^2 + 2x + 1}$.

2. Prima il dominio: $4x - x^2 > 0$, cioè $x(4 - x) > 0$, cioè $0 < x < 4$. Completiamo il quadrato sotto la radice:

$$\begin{gathered} 4x - x^2 = 4 - (x^2 - 4x + 4) \\ {} = 4 - (x - 2)^2 \end{gathered}$$

È la formula dell’arcoseno con $k = 2$ e funzione interna $x - 2$, di derivata 1:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x - 2)^2}} = \arcsin\frac{x - 2}{2} + c$$

La condizione $-2 < x - 2 < 2$ è esattamente $0 < x < 4$: la formula vale su tutto il dominio.

6. Un esercizio d’esame: primitiva, integrale e area

Testo. Sia $f(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

1. Trova la primitiva $F$ di $f$ tale che $F(0) = 0$.
2. Calcola $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\,dx$ e l’area della regione compresa tra il grafico di $f$ e l’asse $x$ per $0 \leq x \leq 2\pi$.
3. In quale punto di $[0, 2\pi]$ la primitiva $F$ ha il massimo, e quanto vale?

1. Il denominatore vale almeno $2 - 1 = 1$, quindi $f$ è definita e continua su tutto $\mathbb{R}$. La derivata del denominatore è $-\sin x$: aggiustiamo il segno.

$$\begin{gathered} \int \frac{\sin x}{2 + \cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{2 + \cos x}\,dx \\ {} = -\ln(2 + \cos x) + c \end{gathered}$$

Niente valore assoluto, perché $2 + \cos x > 0$. Imponiamo $F(0) = 0$: $-\ln(2 + 1) + c = 0$, quindi $c = \ln 3$ e

$$\begin{gathered} F(x) = \ln 3 - \ln(2 + \cos x) \\ {} = \ln\frac{3}{2 + \cos x} \end{gathered}$$

2. Con la formula fondamentale, $\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = F(2\pi) - F(0) = \ln\frac{3}{3} - 0 = 0$. L’integrale è zero, ma l’area no: il denominatore è positivo, quindi $f$ ha il segno di $\sin x$, positiva per $0 < x < \pi$ e negativa per $\pi < x < 2\pi$. Le due parti:

$$\begin{gathered} \int_0^{\pi} f(x)\,dx = F(\pi) - F(0) = \ln 3 \\ \int_\pi^{2\pi} f(x)\,dx = F(2\pi) - F(\pi) = -\ln 3 \end{gathered}$$

Come si fa nel calcolo delle aree, la parte sotto l’asse si conta con il segno cambiato: l’area è $\ln 3 + \ln 3 = 2\ln 3 \approx 2{,}20$.

3. Siccome $F' = f$, la primitiva cresce dove $f > 0$, cioè su $[0, \pi]$, e decresce su $[\pi, 2\pi]$. Il massimo è quindi in $x = \pi$:

$$F(\pi) = \ln\frac{3}{2 + \cos\pi} = \ln\frac{3}{1} = \ln 3 \approx 1{,}10$$

mentre agli estremi $F(0) = F(2\pi) = 0$. Su un periodo l’integrale è zero perché le due gobbe si compensano, mentre l’area è $2\ln 3$; e il massimo di $F$ è proprio l’area della prima gobba.

In sintesi

• Regola della catena al contrario: $\int f\big(g(x)\big) \cdot g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + c$, con $F$ primitiva di $f$; si dimostra derivando.
• Il metodo: trova la funzione interna $g$, cerca accanto la sua derivata, usa la tabella come se $g$ fosse una sola lettera. Con i differenziali, $g'(x)\,dx = d\big(g(x)\big)$.
• Argomento lineare: $\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax + b) + c$, con $a \neq 0$.
• Logaritmo: se il numeratore è la derivata del denominatore, $\int \frac{g'}{g}\,dx = \ln\lvert g \rvert + c$.
• Costanti sì, funzioni no: un numero mancante si aggiusta moltiplicando dentro e dividendo fuori; un fattore con la $x$ no, e $e^{x^2}$ non ha primitive elementari.
• Arcotangente e arcoseno: $\int \frac{dx}{k^2 + x^2} = \frac{1}{k}\arctan\frac{x}{k} + c$ e $\int \frac{dx}{\sqrt{k^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{k} + c$; completa il quadrato quando serve.
• Controllo: derivando deve tornare l’integranda; due primitive possono differire per una costante. Se la derivata interna non c’è, serve un’altra tecnica.

Prima delle tecniche di integrazione, vediamo perché le primitive calcolano davvero le aree: il teorema fondamentale del calcolo integrale.