Serie geometrica e serie telescopiche: somma, teorema, esempi ed esercizi svolti

Calcolare la somma esatta di una serie è quasi sempre impossibile. Ci sono però due famiglie fortunate: le serie geometriche, in cui ogni termine è il precedente moltiplicato per lo stesso numero, e le serie telescopiche, in cui quasi tutti i termini si cancellano. Sono le prime da imparare dopo l’introduzione alle serie: compaiono in quasi ogni compito («calcola la somma», «per quali $x$ converge?») e fanno da metro di paragone per i criteri di convergenza. In questa pagina vediamo la somma geometrica finita con la sua dimostrazione, il teorema completo sulla serie geometrica, le serie con un indice di partenza qualsiasi e quelle travestite, la serie geometrica con una variabile, i numeri periodici e perché $0{,}999\ldots = 1$, Achille e la tartaruga, la palla che rimbalza, le serie telescopiche con i fratti semplici, i logaritmi e le radici, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il punto di partenza: la somma geometrica finita

Una progressione geometrica si ottiene moltiplicando ogni volta per lo stesso numero $q$, la ragione: $1, q, q^2, q^3, \dots$ Per la somma dei primi termini c’è una formula esatta.

Perché è vero. Chiama $S$ la somma e moltiplicala per $q$: ogni termine scala di un posto.

$$\begin{aligned} S &= 1 + q + \dots + q^n \\ qS &= q + q^2 + \dots + q^{n + 1} \end{aligned}$$

Sottraendo, tutti i termini in mezzo si cancellano: $S - qS = 1 - q^{n + 1}$, cioè $S\,(1 - q) = 1 - q^{n + 1}$. Siccome $q \neq 1$, si può dividere per $1 - q$. Tieni a mente questa cancellazione: è la stessa idea delle serie telescopiche, alla fine della pagina.

Ci serve poi come si comporta $q^n$ quando $n$ cresce, che abbiamo visto nel limite di una successione: tende a 0 se $\lvert q \rvert < 1$, vale sempre 1 se $q = 1$, tende a $+\infty$ se $q > 1$, non ha limite se $q \leq -1$.

La serie geometrica: il teorema completo

La serie geometrica di ragione $q$ è la somma di tutte le potenze di $q$. La sua somma parziale $s_n$, cioè la somma dei termini da $q^0$ a $q^n$, è proprio la somma finita appena vista: studiare la serie vuol dire solo calcolare un limite.

Dimostrazione

• Ragione tra −1 e 1. $q^{n + 1} \to 0$, quindi $s_n = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \to \dfrac{1}{1 - q}$.
• Ragione uguale a 1. $s_n = 1 + 1 + \dots + 1 = n + 1 \to +\infty$.
• Ragione maggiore di 1. Scriviamo $s_n = \dfrac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}$: il denominatore è un numero positivo fisso e $q^{n + 1} \to +\infty$, quindi $s_n \to +\infty$.
• Ragione uguale a −1. La serie è $1 - 1 + 1 - \dots$ e le somme parziali valgono $s_n = \frac{1 - (-1)^{n + 1}}{2}$, cioè 1 per $n$ pari e 0 per $n$ dispari: saltano per sempre tra 1 e 0, senza limite.
• Ragione minore di −1. Il denominatore $1 - q$ è positivo. Per $n$ dispari $q^{n + 1}$ è positivo e sempre più grande, quindi $s_n \to -\infty$; per $n$ pari $q^{n + 1} \to -\infty$ e $s_n \to +\infty$. Due comportamenti diversi: nessun limite. Con $q = -2$, per esempio, le somme parziali sono $1, -1, 3, -5, 11, \dots$

Che con $\lvert q \rvert \geq 1$ la serie non converga si vede anche dalla condizione necessaria: i termini $q^n$ non tendono a 0. Il teorema però dice esattamente cosa succede in ogni caso.

Da che parte ci si avvicina alla somma

Quando la serie converge, quanto si sbaglia fermandosi a $s_n$? La differenza tra la somma e la somma parziale, il resto, si calcola esattamente:

$$\frac{1}{1 - q} - \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q^{n + 1}}{1 - q}$$

Se $0 < q < 1$ il resto è sempre positivo: le somme parziali salgono verso la somma restando sotto. Se $-1 < q < 0$ il segno di $q^{n + 1}$ cambia a ogni passo: le somme parziali saltano una volta sopra e una volta sotto la somma, sempre più vicine (è il comportamento tipico delle serie a segni alterni). La figura lo mostra per $q = \frac{1}{2}$, con somma 2, e per $q = -\frac{1}{2}$, con somma $\frac{1}{1 + 1/2} = \frac{2}{3}$.

Il resto serve anche in pratica. Con $q = \frac{1}{2}$ vale $\left(\frac{1}{2}\right)^n$: per sbagliare di meno di un milionesimo basta fermarsi a $s_{20}$, perché $2^{20} = 1\,048\,576$.

Il caso più famoso

Con $q = \frac{1}{2}$ la somma è 2, e togliendo il primo termine si ottiene la serie più famosa di tutte:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = 1$$

Nella figura un quadrato di lato 1 si riempie con una metà, un quarto, un ottavo, e così via: ogni pezzo è metà di quello che resta.

Serie geometriche con un primo termine qualsiasi

Spesso la serie parte da $n = k$ invece che da 0, e ogni termine è moltiplicato per una costante $a \neq 0$. Si torna al caso base raccogliendo il primo termine:

$$\begin{gathered} \sum_{n=k}^{+\infty} a\,q^n = a\,q^k + a\,q^{k + 1} + \dots \\ {} = a\,q^k\,(1 + q + q^2 + \dots) \\ {} = \frac{a\,q^k}{1 - q} \quad \text{se } \lvert q \rvert < 1 \end{gathered}$$

Raccogliere un fattore comune da una serie convergente è lecito per la linearità vista nell’introduzione. Se invece $\lvert q \rvert \geq 1$, la serie non converge. Siccome $a\,q^k$ è proprio il primo termine, la regola da ricordare è:

Esempio 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$ Primo termine $\frac{1}{3}$, ragione $\frac{1}{3}$: la somma è $\dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{1}{2}$.

Esempio 2. $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{3}{4^n}$. Primo termine $\frac{3}{16}$, ragione $\frac{1}{4}$: la somma è $\dfrac{3/16}{3/4} = \dfrac{1}{4}$.

Esempio 3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{5^n}{4^n}$: la ragione è $\frac{5}{4} > 1$, quindi la serie diverge. La formula applicata alla cieca darebbe $\frac{1}{1 - 5/4} = -4$, un numero negativo come somma di numeri positivi: è l’errore classico.

Serie geometriche travestite

Molte serie d’esame sono geometriche anche se non sembrano. Il trucco è usare le proprietà delle potenze per scrivere il termine nella forma $a\,q^n$.

Esempio 4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n + 1}}{5^{2n}}$. Siccome $5^{2n} = 25^n$ e $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^n$,

$$\frac{3^{n + 1}}{5^{2n}} = 3 \cdot \left(\frac{3}{25}\right)^n$$

La ragione è $\frac{3}{25}$, non $\frac{3}{5}$, e il primo termine (con $n = 1$) è $\frac{9}{25}$:

$$\begin{gathered} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n + 1}}{5^{2n}} = \frac{9/25}{1 - 3/25} \\ {} = \frac{9/25}{22/25} = \frac{9}{22} \end{gathered}$$

Esempio 5. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$. Spezzando la frazione, il termine è $\left(\frac{1}{3}\right)^n + \left(\frac{1}{2}\right)^n$: due serie geometriche convergenti. Per la linearità la somma è la somma delle due:

$$\begin{gathered} \frac{1}{1 - 1/3} + \frac{1}{1 - 1/2} \\ {} = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} \end{gathered}$$

La serie geometrica con una variabile

Se al posto di $q$ c’è una variabile $x$, la serie diventa una funzione di $x$:

$$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1 - x} \quad \text{per } -1 < x < 1$$

L’insieme degli $x$ per cui la serie converge, l’insieme di convergenza, è l’intervallo $(-1, 1)$. Attenzione: la funzione $\frac{1}{1 - x}$ esiste per ogni $x \neq 1$, ma l’uguaglianza vale solo dentro l’intervallo. Per $x = 2$ la serie $1 + 2 + 4 + \dots$ diverge, mentre $\frac{1}{1 - 2} = -1$. Questa è la prima e più importante serie di potenze: da lei si ricavano, per esempio, le serie del logaritmo e dell’arcotangente.

Quando la ragione dipende da x

Negli esercizi la ragione è spesso un’espressione $q(x)$. La scaletta:

1. Scrivi il termine nella forma $a\,q(x)^n$ e trova il dominio di $q(x)$.
2. Risolvi la disequazione $-1 < q(x) < 1$ e intersecala con il dominio: ottieni l’insieme di convergenza.
3. Lì la somma è primo termine fratto $1 - q(x)$.
4. Se richiesto, fuori dall’insieme: con $q(x) \geq 1$ la serie diverge, con $q(x) \leq -1$ è irregolare.

Esempio 6. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (\ln x)^n$. Il dominio è $x > 0$ e la ragione è $\ln x$. Siccome il logaritmo è crescente,

$$-1 < \ln x < 1 \iff \frac{1}{e} < x < e$$

e lì la somma è $\dfrac{1}{1 - \ln x}$. Per $x \geq e$ la ragione è $\geq 1$ e la serie diverge a $+\infty$; per $0 < x \leq \frac{1}{e}$ è irregolare.

Esempio 7. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x - 1)^n}{2^n}$. La ragione è $\frac{x - 1}{2}$, e $\left\lvert \frac{x - 1}{2} \right\rvert < 1$ vuol dire $\lvert x - 1 \rvert < 2$, cioè $-1 < x < 3$. Lì la somma è

$$\begin{gathered} \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{2}} = \frac{2}{2 - (x - 1)} \\ {} = \frac{2}{3 - x} \end{gathered}$$

Controllo: con $x = 1$ la ragione è 0 e la serie vale 1, proprio come $\frac{2}{3 - 1}$.

I numeri periodici sono serie geometriche

Un numero decimale con infinite cifre è, per definizione, la somma di una serie: $0{,}333\ldots$ vuol dire $\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots$, cioè il limite di $0{,}3$, $0{,}33$, $0{,}333$, e così via. Il numero $0{,}333\ldots$ si scrive anche $0{,}\overline{3}$ oppure $0{,}(3)$, «zero virgola tre periodico».

Il periodo subito dopo la virgola. Primo termine $\frac{3}{10}$, ragione $\frac{1}{10}$:

$$0{,}\overline{3} = \frac{3/10}{1 - 1/10} = \frac{3/10}{9/10} = \frac{1}{3}$$

Con un antiperiodo. In $0{,}1\overline{6} = 0{,}1666\ldots$ la prima cifra non si ripete. La si tiene da parte e si somma la serie che parte dal 6:

$$\begin{gathered} 0{,}1\overline{6} = \frac{1}{10} + \frac{6/100}{1 - 1/10} \\ {} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6} \end{gathered}$$

Con un periodo di due cifre la ragione è $\frac{1}{100}$: $0{,}\overline{27} = \frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$. È da qui che viene la regola delle medie, il periodo fratto tanti 9 quante sono le sue cifre. Negli insiemi numerici la stessa frazione si trova con il trucco «moltiplica per 100 e sottrai»: è lo stesso conto della dimostrazione della somma finita.

Perché 0,999… è proprio uguale a 1

Con primo termine $\frac{9}{10}$ e ragione $\frac{1}{10}$:

$$0{,}\overline{9} = \frac{9/10}{1 - 1/10} = 1$$

Molti non ci credono: «manca sempre un pezzettino». È vero, ma per le somme parziali: $0{,}9$, $0{,}99$, $0{,}999$ distano da 1 rispettivamente $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$. Il numero $0{,}999\ldots$ non è nessuna di loro: è, per definizione, il loro limite, e siccome la distanza $10^{-n}$ tende a 0, il limite è esattamente 1.

Lo stesso, senza formule: nessuna somma parziale supera 1, quindi $0{,}999\ldots \leq 1$. D’altra parte, ogni numero $d < 1$ è superato da una somma parziale con abbastanza 9, e quindi anche da $0{,}999\ldots$, che è maggiore di tutte le sue somme parziali. Non resta spazio per un numero diverso da 1: lo stesso numero ha due scritture decimali, come ogni decimale finito diverso da 0 ($0{,}5 = 0{,}4\overline{9}$).

Achille e la tartaruga

Il filosofo greco Zenone di Elea, vissuto nel V secolo a.C., propose alcuni paradossi sul moto che conosciamo soprattutto attraverso la Fisica di Aristotele. Nel più famoso il velocissimo Achille insegue una tartaruga partita in vantaggio: quando Achille arriva dove era la tartaruga, lei si è spostata un po’ più avanti; quando arriva lì, si è spostata ancora; e così via, infinite volte. Quindi, sembra, non la raggiunge mai.

Mettiamo dei numeri: Achille corre a 10 m/s, la tartaruga a 1 m/s e parte con 100 m di vantaggio. Achille impiega 10 s per arrivare dove era la tartaruga, che nel frattempo ha fatto 10 m; poi 1 s per coprire quei 10 m, mentre lei avanza di 1 m; poi $0{,}1$ s, e così via. Il tempo totale è una serie geometrica di ragione $\frac{1}{10}$:

$$\begin{gathered} 10 + 1 + 0{,}1 + \dots = \frac{10}{1 - 1/10} \\ {} = \frac{100}{9} \approx 11{,}1 \text{ s} \end{gathered}$$

e in quel tempo Achille percorre $100 + 10 + 1 + \dots = \frac{1000}{9} \approx 111{,}1$ m. È lo stesso risultato del moto rettilineo uniforme: Achille raggiunge la tartaruga quando $10\,t = 100 + t$, cioè $t = \frac{100}{9}$ s.

Infiniti passaggi, ma un tempo finito. La serie risponde alla parte matematica del paradosso: una somma di infiniti numeri positivi non è per forza infinita. I filosofi discutono ancora se questo chiuda davvero la questione (che cosa vuol dire completare infinite azioni?), ma il conto è tutto qui.

La palla che rimbalza

Una palla cade da 1 m e a ogni rimbalzo risale al 64% dell’altezza precedente: $0{,}64$ m, poi $0{,}64^2 \approx 0{,}41$ m, e così via (in Fisica $0{,}64$ è il quadrato del coefficiente di restituzione, qui $0{,}8$). Quanta strada fa in tutto? La prima caduta è 1 m, poi ogni rimbalzo conta due volte, in salita e in discesa:

$$\begin{gathered} 1 + 2\,(0{,}64 + 0{,}64^2 + \dots) \\ {} = 1 + 2 \cdot \frac{0{,}64}{1 - 0{,}64} \\ {} = 1 + \frac{32}{9} = \frac{41}{9} \approx 4{,}56 \text{ m} \end{gathered}$$

E il tempo? Una caduta da un’altezza $h$ dura $\sqrt{2h/g}$ (vedi la caduta libera). Siccome ogni altezza è $0{,}64$ volte la precedente, ogni durata è $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ volte la precedente: un’altra serie geometrica, di ragione $0{,}8$. Con $t_0 = \sqrt{2 \cdot 1/9{,}81} \approx 0{,}45$ s la durata della prima caduta,

$$\begin{gathered} t_0 + 2t_0\,(0{,}8 + 0{,}8^2 + \dots) \\ {} = t_0 \left(1 + 2 \cdot \frac{0{,}8}{0{,}2}\right) \\ {} = 9\,t_0 \approx 4{,}1 \text{ s} \end{gathered}$$

La palla fa infiniti rimbalzi in circa 4 secondi, poi resta ferma. Per rimbalzi minuscoli il modello smette di valere, ma è proprio quello che si osserva: la pallina rimbalza sempre più in fretta e si ferma dopo pochi secondi.

Le serie telescopiche

La seconda famiglia di serie che si sanno sommare nasce da un trucco diverso: invece di una formula, una cancellazione.

La serie di Mengoli

L’esempio classico porta il nome del bolognese Pietro Mengoli, che nel 1650 pubblicò a Bologna il libro Novae quadraturae arithmeticae. Lì sommava serie come questa, dimostrava che la serie armonica diverge e si chiedeva quanto valesse la somma dei reciproci dei quadrati, un problema che sarebbe stato risolto da Eulero più di ottant’anni dopo.

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots$$

Il trucco è scomporre il termine in fratti semplici:

$$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$$

(per controllare basta fare il denominatore comune: $\frac{(n + 1) - n}{n(n + 1)}$). Ora scriviamo la somma parziale, cioè la somma dei primi $n$ termini:

$$\begin{gathered} s_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \\ {} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots \\ {} + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) \end{gathered}$$

Ogni frazione negativa si cancella con la positiva del termine successivo, come mostra la figura per $n = 4$. Restano solo il primo pezzo e l’ultimo:

$$s_n = 1 - \frac{1}{n + 1} \longrightarrow 1$$

La serie converge e la sua somma è 1. Il nome viene da qui: la somma si richiude come un cannocchiale (un telescopio), e degli infiniti termini restano solo le estremità.

Definizione e teorema

Perché è vero. In $(b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + \dots + (b_n - b_{n + 1})$ ogni $b_k$ con $2 \leq k \leq n$ compare una volta con il più e una volta con il meno. Resta $b_1 - b_{n + 1}$. E $b_{n + 1}$ ha lo stesso comportamento di $b_n$ (è la stessa successione, spostata di un posto), quindi il limite di $s_n$ è $b_1$ meno il limite di $b_n$. Se il termine è scritto al contrario, $a_n = b_{n + 1} - b_n$, la somma parziale è $b_{n + 1} - b_1$; se l’indice parte da 2, al posto di $b_1$ c’è $b_2$.

Come trovare la forma telescopica: i fratti semplici

Quando il termine è una frazione con il denominatore che si scompone in fattori, si usano i fratti semplici, come negli integrali. La scaletta:

1. Scomponi il denominatore e scrivi il termine come somma di fratti semplici.
2. Scrivi per esteso i primi tre o quattro termini e gli ultimi due, senza semplificare.
3. Guarda cosa si cancella: se i denominatori che si compensano distano $p$ posti, restano $p$ termini all’inizio e $p$ alla fine.
4. Calcola il limite di $s_n$: i termini finali di solito tendono a 0.

Esempio 8: un salto di due. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 2)}$. Cerchiamo $A$ e $B$ con $\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 2}$, cioè $1 = A(n + 2) + Bn$. Con $n = 0$ si trova $A = \frac{1}{2}$, con $n = -2$ si trova $B = -\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}\right)$$

Scriviamo il doppio della somma parziale:

$$\begin{gathered} 2s_n = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) \\ {} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots \\ {} + \left(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}\right) \\ {} + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}\right) \end{gathered}$$

Ogni frazione negativa si cancella con quella positiva di due posti dopo. Restano i primi due termini positivi e gli ultimi due negativi:

$$\begin{gathered} s_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}\right) \\ {} \longrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \end{gathered}$$

La serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2 - 1}$ è la stessa con l’indice spostato: ponendo $n = m + 1$ si ha $n^2 - 1 = m(m + 2)$. Anche lei vale $\frac{3}{4}$.

Esempio 9. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$. Il denominatore è $(2n - 1)(2n + 1)$ e i fratti semplici danno

$$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right)$$

I denominatori sono dispari consecutivi: il $-\frac{1}{3}$ del primo termine si cancella con il $+\frac{1}{3}$ del secondo, e così via. Quindi $s_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right) \to \frac{1}{2}$: in altre parole $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \dots = \frac{1}{2}$.

Telescopiche con logaritmi e radici

Esempio 10: i logaritmi. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$. Per le proprietà dei logaritmi, $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \ln\frac{n + 1}{n} = \ln(n + 1) - \ln n$: è la forma $b_{n + 1} - b_n$ con $b_n = \ln n$. Quindi

$$\begin{gathered} s_n = \ln(n + 1) - \ln 1 \\ {} = \ln(n + 1) \longrightarrow +\infty \end{gathered}$$

La serie diverge, anche se i suoi termini tendono a 0.

Esempio 11: le radici. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$. Anche qui la somma si richiude: $s_n = \sqrt{n + 1} - 1 \to +\infty$, e la serie diverge. Eppure i termini tendono a 0, come si vede razionalizzando:

$$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$$

La lezione dei due esempi: che i termini tendano a 0 non basta perché una serie converga.

Perché le serie che si sanno sommare sono poche

Geometriche e telescopiche sono eccezioni fortunate. Quasi tutte le altre serie non hanno una formula per la somma: il valore $\frac{\pi^2}{6}$ di $\sum \frac{1}{n^2}$ lo trovò Eulero con metodi molto più difficili, e per $\sum \frac{1}{n^3}$ non si conosce ancora oggi nessuna formula semplice. Per questo i prossimi articoli costruiscono i criteri di convergenza, che dicono se una serie converge senza calcolarne la somma.

Lì le due famiglie di questa pagina diventano serie campione. La serie geometrica è alla base del criterio del rapporto e della radice. La serie di Mengoli, con il criterio del confronto, dimostra che $\sum \frac{1}{n^2}$ converge: per $n \geq 2$ si ha $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n - 1)}$, e a destra c’è la serie di Mengoli con l’indice spostato.

Gli errori più comuni

• Usare la formula senza controllare la ragione. $\frac{1}{1 - q}$ vale solo per $-1 < q < 1$: applicata a $\sum 2^n$ darebbe $-1$.
• Mettere 1 al numeratore quando la serie non parte da 0. Al numeratore va il primo termine: $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ vale 1, non 2.
• Sbagliare la ragione nelle serie travestite. In $\frac{3^{n + 1}}{5^{2n}}$ la ragione è $\frac{3}{25}$, non $\frac{3}{5}$: riscrivi prima il termine come $a\,q^n$.
• Includere gli estremi. Con $q = \pm 1$ la serie non converge mai: la disuguaglianza $\lvert q \rvert < 1$ è stretta.
• Dimenticare il dominio della ragione. In $\sum (\ln x)^n$ serve $x > 0$; in una frazione il denominatore non deve annullarsi.
• Spezzare una serie in due serie che non convergono. La linearità vale solo se convergono entrambe.
• Cancellare troppo o troppo poco nelle telescopiche. Con un salto di $p$ posti restano $p$ termini all’inizio e $p$ alla fine: scrivi per esteso i primi e gli ultimi.
• Pensare che bastino termini che tendono a 0. Le serie di $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ e di $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ hanno termini che tendono a 0, ma divergono.

Esercizi svolti

1. Indice che parte da 2 e segni alterni

Testo. Calcola $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n + 1}}$.

Riscriviamo il termine nella forma $a\,q^n$, staccando un 3 dal denominatore:

$$\frac{(-2)^n}{3^{n + 1}} = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^n$$

La ragione è $-\frac{2}{3}$, compresa tra $-1$ e 1: la serie converge. Il primo termine, con $n = 2$, è $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{27}$. Quindi

$$\begin{gathered} \frac{4/27}{1 + 2/3} = \frac{4/27}{5/3} \\ {} = \frac{4}{27} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{45} \end{gathered}$$

La somma è $\frac{4}{45}$.

2. Somma di due serie geometriche

Testo. Calcola $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n + (-1)^n}{5^n}$.

Spezzando la frazione, il termine è $\left(\frac{2}{5}\right)^n + \left(-\frac{1}{5}\right)^n$. Le due ragioni, $\frac{2}{5}$ e $-\frac{1}{5}$, sono tra $-1$ e 1: le due serie convergono, quindi si può spezzare. Entrambe partono da $n = 1$, quindi il primo termine è la ragione stessa:

$$\begin{gathered} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3} \\ \sum_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{1}{5}\right)^n = \frac{-1/5}{6/5} = -\frac{1}{6} \end{gathered}$$

La somma è $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Un numero periodico con antiperiodo

Testo. Scrivi $2{,}1\overline{45} = 2{,}1454545\ldots$ come frazione, usando una serie geometrica.

Teniamo da parte $2{,}1 = \frac{21}{10}$. Il resto è $0{,}045 + 0{,}00045 + \dots$, una serie geometrica con primo termine $\frac{45}{1000}$ e ragione $\frac{1}{100}$ (il periodo ha due cifre):

$$\begin{gathered} \frac{45/1000}{1 - 1/100} = \frac{45/1000}{99/100} \\ {} = \frac{45}{990} = \frac{1}{22} \end{gathered}$$

Quindi, con denominatore comune 110,

$$\begin{gathered} 2{,}1\overline{45} = \frac{21}{10} + \frac{1}{22} = \frac{231 + 5}{110} \\ {} = \frac{236}{110} = \frac{118}{55} \end{gathered}$$

Controllo con la divisione: $118 : 55 = 2{,}14545\ldots$ Il numero è $\frac{118}{55}$.

4. Una serie con il parametro x

Testo. Per quali $x$ converge $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{2x}{x + 1}\right)^n$? Calcola la somma dove converge, e di’ cosa fa la serie negli altri punti.

La ragione è $q(x) = \frac{2x}{x + 1}$, definita per $x \neq -1$. Risolviamo le due disequazioni portando tutto a sinistra:

$$\begin{gathered} \frac{2x}{x + 1} < 1 \iff \frac{x - 1}{x + 1} < 0 \\ {} \iff -1 < x < 1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \frac{2x}{x + 1} > -1 \iff \frac{3x + 1}{x + 1} > 0 \\ {} \iff x < -1 \ \text{ oppure } \ x > -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Intersecando, la serie converge per $-\frac{1}{3} < x < 1$. La serie parte da $n = 1$, quindi il primo termine è $q(x)$. Siccome $1 - q(x) = \frac{x + 1 - 2x}{x + 1} = \frac{1 - x}{x + 1}$, la somma è

$$\frac{q(x)}{1 - q(x)} = \frac{2x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{1 - x} = \frac{2x}{1 - x}$$

Controllo con $x = \frac{1}{2}$: la ragione è $\frac{2}{3}$, la serie vale $\frac{2/3}{1/3} = 2$, e infatti $\frac{2 \cdot 1/2}{1/2} = 2$.

Negli altri punti: $q(x) \geq 1$ quando $\frac{x - 1}{x + 1} \geq 0$, cioè per $x < -1$ oppure $x \geq 1$, e lì la serie diverge a $+\infty$; $q(x) \leq -1$ quando $\frac{3x + 1}{x + 1} \leq 0$, cioè per $-1 < x \leq -\frac{1}{3}$, e lì la serie è irregolare.

5. Fratti semplici con un salto di tre

Testo. Calcola $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{n^2 + 3n}$.

Il denominatore è $n(n + 3)$. Cerchiamo $A$ e $B$ con $3 = A(n + 3) + Bn$: con $n = 0$ si trova $A = 1$, con $n = -3$ si trova $B = -1$. Quindi

$$\frac{3}{n(n + 3)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3}$$

Scriviamo i primi termini:

$$\begin{gathered} \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) \\ {} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \dots \end{gathered}$$

Il $-\frac{1}{4}$ del primo termine si cancella con il $+\frac{1}{4}$ del quarto: il salto è di tre posti. Restano i primi tre termini positivi e gli ultimi tre negativi:

$$\begin{gathered} s_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\ {} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \end{gathered}$$

Le ultime tre frazioni tendono a 0, quindi la somma è $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$.

6. Una telescopica con i logaritmi

Testo. Studia la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$ e, se converge, calcolane la somma.

Scomponiamo l’argomento del logaritmo:

$$1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{n \cdot n}$$

Raggruppiamo i fattori a coppie e usiamo le proprietà dei logaritmi:

$$\begin{gathered} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \ln\frac{n - 1}{n} + \ln\frac{n + 1}{n} \\ {} = \ln\frac{n - 1}{n} - \ln\frac{n}{n + 1} \end{gathered}$$

Ponendo $b_n = \ln\frac{n - 1}{n}$, il secondo pezzo è proprio $b_{n + 1} = \ln\frac{n}{n + 1}$: il termine è $b_n - b_{n + 1}$, e la serie è telescopica. L’indice parte da 2, quindi la somma parziale fino a $N$ è

$$\begin{gathered} s_N = b_2 - b_{N + 1} \\ {} = \ln\frac{1}{2} - \ln\frac{N}{N + 1} \end{gathered}$$

Per $N \to +\infty$, $\frac{N}{N + 1} \to 1$ e il suo logaritmo tende a 0. La serie converge e

$$\sum_{n=2}^{+\infty} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2$$

cioè circa $-0{,}693$. Il segno torna: ogni termine è il logaritmo di un numero minore di 1, quindi negativo. Altre serie da sommare, insieme a tutti i criteri del capitolo, le trovi negli esercizi svolti sulle serie.

In sintesi

• Somma geometrica finita: $1 + q + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ per $q \neq 1$.
• La serie $\sum q^n$ converge se e solo se $\lvert q \rvert < 1$, con somma $\frac{1}{1 - q}$; diverge a $+\infty$ se $q \geq 1$; è irregolare se $q \leq -1$.
• In generale la somma è primo termine fratto $1 -$ ragione. Le serie travestite si riscrivono come $a\,q^n$; si spezzano in due solo se entrambe convergono.
• Con una variabile: $\sum x^n = \frac{1}{1 - x}$ per $-1 < x < 1$; se la ragione è $q(x)$, si risolve $-1 < q(x) < 1$ nel dominio.
• I numeri periodici sono serie geometriche, e $0{,}\overline{9} = 1$ esattamente.
• Serie telescopica: se $a_n = b_n - b_{n + 1}$, allora $s_n = b_1 - b_{n + 1}$; la serie converge se e solo se $b_n$ ha limite finito $L$, e la somma è $b_1 - L$.
• La serie di Mengoli $\sum \frac{1}{n(n + 1)}$ vale 1; per trovare la forma telescopica si usano i fratti semplici.

Gli esempi con i logaritmi e le radici mostrano che i termini possono tendere a 0 anche se la serie diverge: il ruolo esatto di questa condizione è il tema della condizione necessaria e la serie armonica.