Crescita e decadimento esponenziale: formula, tempo di dimezzamento ed esempi

«Il virus si diffonde in modo esponenziale»: nel linguaggio comune «esponenziale» vuol dire «molto in fretta». In Matematica ha un significato preciso: una grandezza cresce o cala in modo esponenziale quando, in tempi uguali, viene moltiplicata sempre per lo stesso fattore. È la funzione esponenziale al lavoro nel mondo reale. In questa pagina vediamo la differenza tra crescita lineare ed esponenziale, le percentuali, il modello con il tempo di raddoppio e di dimezzamento, la forma con $e$, gli esempi (batteri, carbonio 14, interesse composto, inflazione, caffè che si raffredda, epidemie), i limiti del modello, perché l’esponenziale batte qualsiasi potenza, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Qui non usiamo ancora i logaritmi: quando l’incognita è un tempo stimiamo la risposta con le tabelle; quella esatta arriva nelle equazioni esponenziali con i logaritmi.

Lineare contro esponenziale

Immagina due modi di far crescere 1000 euro:

• crescita lineare: ogni anno si aggiungono 100 euro;
• crescita esponenziale: ogni anno il capitale aumenta del 10%, cioè viene moltiplicato per 1,1.

Anni	Lineare (+100 €)	Esponenziale (×1,1)
0	1000	1000
1	1100	1100
2	1200	1210
3	1300	1331
10	2000	2594
20	3000	6727
30	4000	17 449

Il primo anno le due crescite coincidono, ma l’esponenziale «guadagna anche sui guadagni»: il 10% si calcola su una cifra sempre più grande, e dopo trent’anni il capitale è più di quattro volte quello lineare.

Ai tempi interi si ottiene, nel primo caso, una progressione aritmetica, nel secondo una progressione geometrica.

Come riconoscere un esponenziale dai dati

Con valori presi a tempi equidistanti:

1. se sono costanti le differenze tra valori consecutivi, la crescita è lineare;
2. se sono costanti i rapporti, è esponenziale, e il rapporto è il fattore;
3. altrimenti non è nessuna delle due.

Con dati reali i rapporti non sono mai identici, ma oscillano intorno allo stesso valore. E differenze sempre più grandi non bastano per dire «esponenziale» (esercizio 2).

Un test visivo è il grafico semilogaritmico. Sull’asse verticale le tacche equidistanti valgono 1000, 2000, 4000, 8000: moltiplicare per lo stesso numero vuol dire salire sempre dello stesso tratto. Una grandezza moltiplicata ogni anno per 1,1 sale quindi ogni anno dello stesso tratto: i suoi punti stanno su una retta. La crescita lineare invece si piega, perché 100 euro pesano sempre meno su cifre sempre più grandi.

Il perché, con i logaritmi, è nelle scale logaritmiche.

Aumenti e diminuzioni in percentuale

Aumentare del $p\%$ vuol dire moltiplicare per $1 + \frac{p}{100}$; diminuire del $p\%$, con $0 < p < 100$, moltiplicare per $1 - \frac{p}{100}$. Quindi $+5\%$ è il fattore $1{,}05$, $-20\%$ il fattore $0{,}8$, $+100\%$ il raddoppio e $-50\%$ il dimezzamento.

Più variazioni di seguito si moltiplicano, non si sommano. Un aumento del 50% seguito da un calo del 50% dà

$$1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75$$

cioè un calo del 25%: 100 euro diventano 150 e poi 75. E il 2% al mese per un anno non fa il 24%, ma $1{,}02^{12} \approx 1{,}268$, circa il 26,8%.

Il modello esponenziale

Se una grandezza vale $N_0$ all’inizio e in ogni unità di tempo viene moltiplicata per $a$, ai tempi $1, 2, 3, \dots$ vale $N_0\, a$, $N_0\, a^2$, $N_0\, a^3$, e così via. Il modello esponenziale estende la formula a tutti i tempi reali.

Il fattore dipende dall’unità di tempo: al 3% annuo $a = 1{,}03$ con $t$ in anni, ma con $t$ in decenni il fattore è $1{,}03^{10} \approx 1{,}344$.

Tempo di raddoppio e tempo di dimezzamento

Il tempo di raddoppio $T$ è il tempo che serve alla grandezza per raddoppiare, e non dipende da dove parti: 100 batteri diventano 200 nello stesso tempo in cui un milione diventa due milioni.

Perché è vero. Per le proprietà delle potenze $a^{t+h} = a^t \cdot a^h$, quindi

$$\frac{N(t + h)}{N(t)} = \frac{N_0 \cdot a^t \cdot a^h}{N_0 \cdot a^t} = a^h$$

che non dipende da $t$.

Con $a > 1$ il tempo di raddoppio è quindi il numero $T > 0$ per cui $a^T = 2$; esiste ed è unico perché $a^x$ è crescente e assume tutti i valori positivi. Da $a^T = 2$ segue $a = 2^{1/T}$, cioè $a^t = 2^{t/T}$. Con $0 < a < 1$, il tempo di dimezzamento è il $T > 0$ per cui $a^T = \frac{1}{2}$. Il modello diventa:

$$\begin{gathered} N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T} \\ \text{(tempo di raddoppio } T\text{)} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \\ \text{(tempo di dimezzamento } T\text{)} \end{gathered}$$

L’esponente $\frac{t}{T}$ conta quanti raddoppi o dimezzamenti ci sono stati: dopo $3T$ la grandezza è moltiplicata per $2^3 = 8$, dopo $n$ dimezzamenti ne resta $\frac{1}{2^n}$. In generale, se ogni intervallo $h$ la grandezza viene moltiplicata per $b$, si scrive $N(t) = N_0 \cdot b^{t/h}$. Nella figura i gradini sono tutti larghi uguali:

La forma con il numero e e la costante di tempo

In Fisica e in Chimica il modello si scrive quasi sempre con il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$:

$$N(t) = N_0\, e^{kt}$$

È lo stesso modello, perché $e^{kt} = \left(e^k\right)^t$: il fattore è $a = e^k$, con crescita se $k > 0$ e decadimento se $k < 0$. Per $k$ piccolo $e^k \approx 1 + k$: con $k = 0{,}03$ all’anno, $e^{0{,}03} \approx 1{,}0305$, poco più del 3% annuo.

Per il decadimento si scrive $k = -\lambda$, con $\lambda > 0$ costante di decadimento, oppure $k = -\frac{1}{\tau}$, con $\tau > 0$ costante di tempo:

$$N(t) = N_0\, e^{-\lambda t} = N_0\, e^{-t/\tau}$$

Siccome $e^{-(t+\tau)/\tau} = e^{-t/\tau} \cdot e^{-1}$, ogni intervallo $\tau$ la grandezza viene divisa per $e$:

Tempo	Frazione rimasta	In percentuale
$\tau$	$e^{-1}$	36,8%
$2\tau$	$e^{-2}$	13,5%
$3\tau$	$e^{-3}$	5,0%
$5\tau$	$e^{-5}$	0,7%

Per questo si dice che un fenomeno con costante di tempo $\tau$ è praticamente «finito» dopo circa $5\tau$.

Le scritture con $T$ e con $\lambda$ descrivono la stessa legge, e il legame tra le due costanti è $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$, cioè $T = \tau \ln 2 \approx 0{,}693\,\tau$. Lo ricaviamo con i logaritmi nelle potenze con base ed esponente variabili; intanto puoi controllare con la calcolatrice che $e^{-0{,}693} \approx 0{,}500$.

Esempio 1: i batteri

In condizioni ideali di laboratorio, una colonia di batteri come l’Escherichia coli può raddoppiare circa ogni 20 minuti. Partiamo da 100 batteri: con $t$ in minuti, $N(t) = 100 \cdot 2^{t/20}$. Dopo 2 ore ci sono stati $\frac{120}{20} = 6$ raddoppi:

$$N(120) = 100 \cdot 2^6 = 6400$$

Con $t$ in ore il modello diventa $N(t) = 100 \cdot 8^t$, perché in un’ora ci sono 3 raddoppi. Dopo 24 ore i raddoppi sarebbero $\frac{24 \cdot 60}{20} = 72$, e i batteri

$$N = 100 \cdot 2^{72} \approx 4{,}7 \cdot 10^{23}$$

centinaia di migliaia di miliardi di miliardi. Nella realtà il cibo e lo spazio finiscono molto prima.

Esempio 2: il decadimento radioattivo

I nuclei radioattivi decadono in modo esponenziale: in ogni tempo di dimezzamento se ne trasforma la metà.

• Lo iodio 131, usato in medicina, ha un tempo di dimezzamento di circa 8 giorni: dopo 24 giorni ne resta $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, cioè il 12,5%.
• Il carbonio 14 ha un tempo di dimezzamento di circa 5730 anni. Gli organismi lo assorbono finché sono vivi; poi la quantità presente comincia a dimezzarsi. Misurando quanto ne resta si stima l’età di un reperto: è la datazione al radiocarbonio.

Con la calcolatrice si usano anche tempi che non sono multipli di $T$. Dopo 1000 anni resta

$$N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1000/5730} \approx 0{,}886\, N_0$$

cioè circa l’88,6% del carbonio 14 iniziale.

Una domanda in sospeso: quando ne resta il 30%? Ora l’incognita è all’esponente: $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}3$. Il 30% sta tra il 50%, che resta dopo $T$, e il 25%, che resta dopo $2T$. Proviamo:

Tempo	Anni	Rimasto
$1{,}5\,T$	8595	35,4%
$1{,}7\,T$	9741	30,8%
$1{,}75\,T$	10 028	29,7%

Il reperto ha tra 9741 e 10 028 anni; la risposta, circa 9950 anni, si trova in un passo solo con i logaritmi.

Esempio 3: l’interesse composto e l’inflazione

Un capitale $C_0$ investito al tasso annuo $r$ (per il 3%, $r = 0{,}03$), con gli interessi reinvestiti ogni anno, dopo $t$ anni diventa

$$C(t) = C_0 \cdot (1 + r)^t$$

È la formula dell’interesse composto. Con 1000 euro al 3%, dopo 10 anni si ha $1000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 1343{,}92$ euro; ritirando ogni anno i 30 euro di interessi si arriverebbe a 1300. Gli accrediti mensili o continui sono nel numero e.

Una domanda in sospeso: quando raddoppia? Serve $1{,}03^t = 2$. La regola del 72 stima il tempo di raddoppio dividendo 72 per il tasso percentuale: $\frac{72}{3} = 24$ anni. Controllo:

$$\begin{gathered} 1{,}03^{23} \approx 1{,}974 \\ 1{,}03^{24} \approx 2{,}033 \end{gathered}$$

Con gli interessi accreditati a fine anno, il doppio si supera alla fine del 24° anno. La soluzione esatta, circa 23,45 anni, e il perché della regola arrivano con i logaritmi; una tabella con altri tassi è nelle progressioni.

L’inflazione. Se i prezzi aumentano del 2% all’anno, dopo 10 anni sono $1{,}02^{10} \approx 1{,}219$ volte quelli di oggi, e 1000 euro comprano quanto oggi

$$\frac{1000}{1{,}02^{10}} \approx 820{,}35 \text{ euro}$$

Il potere d’acquisto decade in modo esponenziale con fattore $\frac{1}{1{,}02} \approx 0{,}980$: cala dell’1,96% all’anno, non del 2%. E il conto al 3% di prima, al netto dell’inflazione, rende solo lo 0,98% circa all’anno, perché $\frac{1{,}03}{1{,}02} \approx 1{,}0098$.

Esempio 4: il caffè che si raffredda

Un caffè si raffredda in fretta all’inizio, poi sempre più piano, e non scende mai sotto la temperatura della stanza. Secondo la legge di raffreddamento di Newton, un modello approssimato ma molto usato, a calare in modo esponenziale è la differenza tra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente:

$$\theta(t) = \theta_a + (\theta_0 - \theta_a)\, e^{-kt}$$

con $\theta_0$ temperatura iniziale, $\theta_a$ dell’ambiente e $k > 0$. Il grafico è un esponenziale decrescente traslato verso l’alto, con asintoto $\theta = \theta_a$, come nei grafici di funzioni esponenziali.

Un caffè a 90 °C in una stanza a 20 °C segue $\theta(t) = 20 + 70\, e^{-kt}$, con $t$ in minuti. Dopo 10 minuti è a 60 °C: la differenza con la stanza è passata da 70 a 40 gradi, cioè è stata moltiplicata per $\frac{4}{7}$. Per la proprietà dei tempi uguali questo succede ogni 10 minuti, e il modello si scrive senza conoscere $k$:

$$\theta(t) = 20 + 70 \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^{t/10}$$

Una domanda in sospeso: quando arriva a 40 °C? Serve $\left(\frac{4}{7}\right)^{t/10} = \frac{2}{7}$. Per tentativi:

Minuti	Temperatura
22	40,4 °C
22,5	39,9 °C
25	37,3 °C

Il caffè arriva a 40 °C tra 22 e 22,5 minuti; con i logaritmi troveremo circa 22,4. Da 60 a 40 °C servono più dei 10 minuti serviti da 90 a 60 °C: con una differenza più piccola il raffreddamento rallenta.

La stessa legge, con la costante di tempo, descrive il termometro del principio zero della termodinamica: ogni 40 secondi la differenza si riduce di un fattore $e$.

Altri esempi: farmaci, epidemie, scacchiera

• Farmaci. La concentrazione di molti farmaci nel sangue cala in modo circa esponenziale; il tempo di dimezzamento si chiama emivita. Un esempio completo è l’esercizio 8 degli esercizi svolti sulla funzione esponenziale.
• Epidemie. All’inizio di un’epidemia, quando quasi nessuno è immune, ogni malato ne contagia in media un certo numero, il numero di riproduzione di base $R_0$. Se, per fissare le idee, $R_0 = 2$ e tra un contagio e il successivo passa una settimana, i casi raddoppiano ogni settimana: in 10 settimane si moltiplicano per $2^{10} = 1024$. È un modello molto semplificato, ma spiega perché conta intervenire presto.
• Scacchiera. La leggenda dei chicchi di grano raddoppiati su ogni casella è in cosa sono le potenze.

Nessuna crescita esponenziale dura per sempre

Una popolazione cresce in modo esponenziale solo finché ha cibo e spazio in abbondanza; poi la crescita rallenta e il numero si avvicina a un valore massimo, la capacità portante dell’ambiente. Il modello più semplice è la curva logistica: all’inizio è quasi un esponenziale, poi si piega e tende a un asintoto orizzontale, con una forma a S. La ricavi con gli integrali di funzioni razionali fratte. Anche il decadimento ha un limite: con pochissimi nuclei la legge esponenziale descrive solo la media, perché ogni decadimento è casuale.

Perché l’esponenziale batte qualsiasi potenza

Un risultato che ritroverai nei limiti. Confrontiamo $2^x$ con $x^3$:

$x$	$x^3$	$2^x$
5	125	32
10	1000	1024
15	3375	32 768
20	8000	1 048 576

Per $0 \leq x < 1{,}37$ circa è l’esponenziale a stare sopra; poi la potenza lo sorpassa e resta davanti fino a $x \approx 9{,}94$. Da lì l’esponenziale passa in testa per sempre. I due punti d’incontro si trovano solo per via numerica.

Perché è vero, almeno per gli interi. Passando da $n$ a $n + 1$, $2^n$ raddoppia, mentre $n^3$ viene moltiplicato per $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^3$, che per $n \geq 10$ è al massimo $1{,}1^3 = 1{,}331$. Quindi, se $2^n > n^3$ per un $n \geq 10$:

$$\begin{gathered} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2\,n^3 \\ {} > 1{,}331\,n^3 \geq (n + 1)^3 \end{gathered}$$

Siccome $2^{10} > 10^3$, per induzione $2^n > n^3$ per ogni intero $n \geq 10$. Succede con qualsiasi potenza, anche $x^{100}$, e qualsiasi base maggiore di 1, anche se il sorpasso può arrivare molto tardi: è la gerarchia degli infiniti, che dice $\frac{x^b}{c^x} \to 0$ per $x \to +\infty$, con $b > 0$ e $c > 1$.

Un po’ di storia

Nel 1798 Thomas Malthus, nel Saggio sul principio di popolazione, contrappose proprio le due crescite: una popolazione senza freni raddoppia ogni 25 anni, come 1, 2, 4, 8, …, mentre i mezzi di sussistenza crescono come 1, 2, 3, 4, … Nel 1900 Ernest Rutherford notò che la radioattività di un gas emesso dal torio diminuiva «in progressione geometrica con il tempo», dimezzandosi in circa un minuto. Willard Libby propose la datazione con il carbonio 14 nel 1946 e la verificò nel 1949 su reperti di età nota: Nobel per la Chimica nel 1960.

Gli errori più comuni

• Sommare le percentuali invece di moltiplicare i fattori. $+50\%$ e poi $-50\%$ danno $-25\%$, non zero.
• Sbagliare il fattore. Una crescita del 5% ha fattore 1,05, non 0,05; un calo del 20% ha fattore 0,8, non 0,2.
• Dimenticare di dividere per il tempo di dimezzamento. Con $T = 5730$ anni si scrive $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$; $\left(\frac{1}{2}\right)^t$ dimezzerebbe ogni anno.
• Pensare che dopo due tempi di dimezzamento non resti niente. Resta il 25%, e la quantità non arriva mai a zero.
• Dire «esponenziale» solo perché le differenze crescono. $t^2 + 1$ accelera sempre, ma i suoi rapporti non sono costanti.
• Applicare l’esponenziale alla temperatura invece che alla differenza. Con $\theta = 90\, e^{-kt}$ il caffè tenderebbe a 0 °C.
• Usare il modello oltre la sua validità. Una popolazione cresce in modo esponenziale solo finché le risorse bastano.

Esercizi svolti

1. Aumenti e sconti in sequenza

Testo. (a) Un paio di scarpe costa 80 euro. Il prezzo aumenta del 25%, poi viene scontato del 20%. Quanto costa alla fine? (b) Un’azione perde il 40% e poi guadagna il 40%. Di quanto è cambiata? Che guadagno servirebbe per tornare al valore iniziale?

(a) I fattori si moltiplicano:

$$80 \cdot 1{,}25 \cdot 0{,}8 = 80 \cdot 1 = 80 \text{ euro}$$

Le scarpe tornano al prezzo iniziale; con $+20\%$ e $-20\%$ invece no, perché $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$.

(b) Il fattore complessivo è $0{,}6 \cdot 1{,}4 = 0{,}84$: l’azione ha perso il 16%. Per tornare indietro serve un fattore $x$ con $0{,}6 \cdot x = 1$, cioè $x = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$: un guadagno di circa il 66,7%.

2. Lineare o esponenziale?

Testo. Tre grandezze sono misurate per $t = 0, 1, 2, 3, 4$. Stabilisci se ognuna cresce in modo lineare, esponenziale o nessuno dei due, scrivi una formula e prevedi il valore per $t = 5$.

• A: 12; 18; 27; 40,5; 60,75.
• B: 5; 8; 11; 14; 17.
• C: 1; 2; 5; 10; 17.

A. Le differenze, 6; 9; 13,5; 20,25, non sono costanti; i rapporti valgono tutti 1,5. È esponenziale: $A(t) = 12 \cdot 1{,}5^t$, e $A(5) = 60{,}75 \cdot 1{,}5 = 91{,}125$.

B. Le differenze valgono sempre 3: è lineare, $B(t) = 5 + 3t$, e $B(5) = 20$.

C. Le differenze sono 1, 3, 5, 7 e i rapporti 2; 2,5; 2; 1,7: nessuno dei due è costante. Le differenze aumentano di 2 alla volta, e infatti $C(t) = t^2 + 1$, con $C(5) = 26$: accelera, ma non è un esponenziale.

3. Un isotopo misterioso

Testo. Un campione radioattivo passa da 640 mg a 40 mg in 12 giorni. Trova il tempo di dimezzamento. Quanto ne restava dopo 6 giorni? Quanto ne resterà al giorno 21?

Il campione si è ridotto di un fattore $\frac{640}{40} = 16 = 2^4$: ci sono stati 4 dimezzamenti, $640 \to 320 \to 160 \to 80 \to 40$. Quindi $T = \frac{12}{4} = 3$ giorni e

$$N(t) = 640 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$$

Dopo 6 giorni, cioè $2T$, restavano $\frac{640}{4} = 160$ mg. Il giorno 21 corrisponde a $7T$:

$$N(21) = \frac{640}{2^7} = \frac{640}{128} = 5 \text{ mg}$$

4. Il valore di un’auto

Testo. Il valore di un’auto cala in modo esponenziale: dopo 2 anni vale 15 360 euro, dopo 5 anni 7864,32 euro. Trova il calo percentuale annuo e il prezzo da nuova. Dopo quanti anni interi vale meno di un quarto del prezzo iniziale?

Con $V(t) = V_0 \cdot a^t$, dividendo i due dati $V_0$ si semplifica:

$$\begin{gathered} \frac{V(5)}{V(2)} = \frac{V_0\, a^5}{V_0\, a^2} = a^3 \\ a^3 = \frac{7864{,}32}{15\,360} = 0{,}512 \end{gathered}$$

Siccome $0{,}8^3 = 0{,}512$, $a = 0{,}8$: l’auto perde il 20% all’anno. Dal primo dato:

$$V_0 = \frac{V(2)}{a^2} = \frac{15\,360}{0{,}64} = 24\,000 \text{ euro}$$

Un quarto del prezzo è 6000 euro. Con $V(t) = 24\,000 \cdot 0{,}8^t$:

Anni	Valore
6	6291,46 €
7	5033,16 €

Il valore scende sotto un quarto durante il settimo anno: servono 7 anni interi.

5. La regola del 72 alla prova

Testo. Investi 5000 euro al 9% annuo, con gli interessi accreditati e reinvestiti a fine anno. Stima con la regola del 72 dopo quanti anni arrivi a 20 000 euro, poi controlla con la calcolatrice.

20 000 euro sono 4 volte 5000, cioè due raddoppi. Un raddoppio richiede circa $\frac{72}{9} = 8$ anni, quindi ne servono circa 16. Controllo con $C(t) = 5000 \cdot 1{,}09^t$:

Anni	Capitale
8	9962,81 €
16	19 851,53 €
17	21 638,17 €

Dopo 8 anni il capitale è appena sotto il doppio, dopo 16 appena sotto i 20 000 euro: il raddoppio vero richiede poco più di 8 anni. Con gli accrediti a fine anno, i 20 000 euro si superano alla fine del 17° anno: la stima era ottima, ma andava controllata.

6. Il sorpasso

Testo. Il paese A ha 40 000 abitanti e cresce dell’1% all’anno; il paese B ne ha 20 000 e cresce del 4% all’anno. Dopo quanti anni interi B supera A? E se invece A crescesse di 400 abitanti all’anno?

Dopo $n$ anni $A(n) = 40\,000 \cdot 1{,}01^n$ e $B(n) = 20\,000 \cdot 1{,}04^n$. Dividendo per $20\,000 \cdot 1{,}01^n$, che è positivo:

$$\begin{gathered} 20\,000 \cdot 1{,}04^n > 40\,000 \cdot 1{,}01^n \\ \left(\frac{1{,}04}{1{,}01}\right)^n > 2 \end{gathered}$$

Il rapporto $\frac{B}{A}$ cresce in modo esponenziale con fattore $q = \frac{1{,}04}{1{,}01} \approx 1{,}0297$, e deve raddoppiare. La regola del 72 dà circa $\frac{72}{2{,}97} \approx 24$ anni. Controllo: $q^{23} \approx 1{,}961$ e $q^{24} \approx 2{,}019$. Infatti, arrotondando:

Anni	A	B
23	50 287	49 294
24	50 789	51 266

B supera A dopo 24 anni.

Con $A(n) = 40\,000 + 400\,n$ il rapporto non è più esponenziale, e si tabula direttamente:

Anni	A	B
22	48 800	47 398
23	49 200	49 294

B supera A dopo 23 anni, uno prima: il primo anno A cresce di 400 abitanti in entrambi i casi, ma poi non guadagna più sui guadagni.

In sintesi

• Crescita lineare: in tempi uguali si aggiunge la stessa quantità. Esponenziale: si moltiplica per lo stesso fattore (rapporti costanti; in scala semilogaritmica è una retta).
• Un aumento del $p\%$ ha fattore $1 + \frac{p}{100}$; più variazioni di seguito si moltiplicano.
• Modello: $N(t) = N_0 \cdot a^t$, crescita se $a > 1$, decadimento se $0 < a < 1$. In un intervallo $h$ si moltiplica per $a^h$, da qualunque istante.
• Con il tempo di raddoppio $N_0 \cdot 2^{t/T}$, con quello di dimezzamento $N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
• Forma con $e$: $N_0\, e^{kt}$; nel decadimento $N_0\, e^{-t/\tau}$, divisa per $e$ ogni $\tau$.
• Interesse composto: $C_0 (1 + r)^t$, raddoppio in circa 72 diviso il tasso. Raffreddamento: decade la differenza con l’ambiente.
• Nessuna crescita reale resta esponenziale per sempre. Se l’incognita è il tempo servono i logaritmi.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulla funzione esponenziale.