Studio di funzione razionale fratta: metodo, asintoti, esempi ed esercizi svolti

Una funzione razionale fratta è una frazione di polinomi, come $\frac{x^2}{x^2 - 1}$ o $\frac{x - 1}{x^2 + 1}$. È la funzione più frequente nello studio di funzione all’esame di Analisi 1: bastano algebra, limiti e derivate, ma ogni passo nasconde una trappola. La buona notizia è che le fratte sono prevedibili: prima di fare un conto puoi già sapere dove saranno gli asintoti. In questa pagina vediamo cosa aspettarsi da una fratta (dominio, buchi, asintoti verticali, orizzontali e obliqui), come derivarla senza perdersi nei conti, le tabelle dei segni, quando il grafico attraversa il suo asintoto, la scaletta con quattro studi completi e i loro grafici, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è una funzione razionale fratta

Chiamiamo $n$ e $d$ i gradi di numeratore e denominatore, $a$ e $b$ i loro coefficienti direttivi (quelli delle potenze più alte). Il primo gesto è sempre scomporre numeratore e denominatore in fattori (raccoglimento, prodotti notevoli, Ruffini): quasi tutto si legge dai fattori.

Cosa aspettarsi prima di fare i conti

Dominio e buchi

Un polinomio si calcola per ogni $x$: il dominio è $\mathbb{R}$ tolti gli zeri di $Q$. Se $Q$ non ha zeri reali, come $x^2 + 1$, il dominio è tutto $\mathbb{R}$ e non ci sono asintoti verticali.

Un punto escluso $x_0$ che annulla anche il numeratore è un caso speciale: numeratore e denominatore hanno il fattore comune $(x - x_0)$, che, scritto il dominio, semplifichi quante volte puoi.

Per esempio $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1}$ vale $x - 2$ per $x \neq 1$: una retta con un buco in $(1, -1)$. Invece $\frac{x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1}$ ha un asintoto in 1, nonostante il fattore comune. Il buco è una discontinuità eliminabile.

Asintoti verticali: conta la molteplicità

Se $x_0$ resta uno zero del denominatore dopo le semplificazioni, il numeratore tende a un numero diverso da zero e il denominatore a zero: il limite è infinito da entrambi i lati. Se i due segni sono uguali o opposti lo decide la molteplicità di $x_0$, l’esponente del fattore $(x - x_0)$ nel denominatore.

Perché è vero. Vicino a $x_0$ il rapporto $\frac{P(x)}{Q_1(x)}$ tende a $\frac{P(x_0)}{Q_1(x_0)} \neq 0$, quindi ha segno fisso. La potenza $(x - x_0)^k$ con $k$ dispari ha il segno di $x - x_0$, negativa a sinistra e positiva a destra; con $k$ pari è positiva da entrambi i lati. Il segno di $f$ è il prodotto dei due.

Così $\frac{x + 3}{(x - 1)^2}$ tende a $+\infty$ da entrambi i lati di 1, mentre $\frac{x + 3}{(x - 1)^3}$ va a $-\infty$ da sinistra e a $+\infty$ da destra. La regola dice cosa aspettarti; i limiti laterali vanno comunque scritti.

All’infinito decidono i gradi

Gradi	Limite a $\pm\infty$	Asintoto
${n < d}$	$0$	${y = 0}$
${n = d}$	$\frac{a}{b}$	${y = \frac{a}{b}}$
${n = d + 1}$	${\pm\infty}$	obliquo
${n \geq d + 2}$	${\pm\infty}$	nessuno

Le prime due righe vengono dal raccoglimento della potenza più alta, come nel calcolo dei limiti. Semplificare un fattore comune abbassa di uno sia $n$ sia $d$, quindi la tabella vale prima e dopo la semplificazione.

L’asintoto con la divisione. Con $n = d + 1$ non servono le formule di $m$ e $q$: dividendo $P$ per $Q$ si ottiene un quoziente $mx + q$ e un resto $R(x)$ di grado minore di $d$:

$$\begin{gathered} P(x) = Q(x)\,(mx + q) + R(x) \\ f(x) = mx + q + \frac{R(x)}{Q(x)} \end{gathered}$$

L’ultima frazione ha il numeratore di grado più basso, quindi tende a 0 per $x \to \pm\infty$: $y = mx + q$ è l’asintoto obliquo, lo stesso a destra e a sinistra. Con gradi uguali il quoziente è la costante $\frac{a}{b}$; con $n < d$ è 0 e il resto è $P$. Le formule di $m$ e $q$, con la dimostrazione, sono nell’articolo sugli asintoti.

Il grafico può attraversare l’asintoto

L’asintoto verticale no: $x_0$ è fuori dal dominio. Quello orizzontale o obliquo sì, perché descrive solo cosa succede per $x \to \pm\infty$. I punti di incontro sono le soluzioni di $f(x) = mx + q$ (con $m = 0$ per l’orizzontale), e con la divisione si leggono subito, perché $f(x) - (mx + q) = \frac{R(x)}{Q(x)}$:

• il grafico incontra l’asintoto nei punti del dominio in cui $R(x) = 0$;
• sta sopra l’asintoto dove $\frac{R(x)}{Q(x)} > 0$ e sotto dove è negativa.

Se $R$ non è il polinomio nullo ha al massimo $d - 1$ radici: una fratta attraversa il suo asintoto orizzontale od obliquo al massimo $d - 1$ volte. Con il denominatore di primo grado, come in $\frac{2x + 1}{x - 3}$, mai.

Derivate: la regola del quoziente senza perdersi nei conti

La derivata si calcola con la regola del quoziente, dove $Q(x) \neq 0$:

$$\left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'\,Q - P\,Q'}{Q^2}$$

Il dominio di $f'$ è quello di $f$. Tre consigli che accorciano i conti:

1. Non sviluppare il denominatore. $Q^2$ è positivo nel dominio: il segno di $f'$ è quello del numeratore.
2. Se $Q$ è una potenza, semplifica. Con $Q = (x - 1)^2$ si ha $Q' = 2(x - 1)$, e il numeratore ha un fattore $(x - 1)$ in comune con $(x - 1)^4$: resta $(x - 1)^3$, una potenza dispari, che cambia segno e va messa in tabella.
3. Se hai fatto la divisione, deriva la forma divisa: $f'(x) = m + \left(\frac{R}{Q}\right)'$, e in $f''$ la retta sparisce.

Per $f''$ lo schema si ripete: se $f' = \frac{N}{Q^2}$, numeratore e denominatore di $f''$ hanno in comune un fattore $Q$, e semplificandolo resta $Q^3$.

Le tabelle dei segni

Per il segno di $f$, $f'$ e $f''$ scomponi in fattori, metti in ordine tutti i punti in cui un fattore si annulla, compresi i punti esclusi dal dominio, e applica la regola dei segni in ogni intervallo (il metodo è in dominio, simmetrie e segno). Due scorciatoie:

• i fattori sempre positivi (un quadrato fuori dal suo zero, un trinomio senza radici reali e con primo coefficiente positivo, come $x^2 + 1$) si possono ignorare;
• $(x - x_0)^k$ cambia segno in $x_0$ solo se $k$ è dispari.

Nelle tabelle qui sotto scriviamo direttamente il segno finale, dopo aver detto quali fattori contano.

La scaletta per una fratta

1. Scomponi numeratore e denominatore.
2. Dominio: togli gli zeri del denominatore; solo dopo semplifica e annota i buchi.
3. Simmetrie, se il dominio è simmetrico.
4. Intersezioni e segno: $f(0)$; gli zeri del numeratore che stanno nel dominio; la tabella dei segni.
5. Asintoti: limiti laterali, limiti nei buchi, gradi, divisione; dal resto, posizione e incroci.
6. Derivata prima: crescenza, massimi e minimi con la loro $y$.
7. Derivata seconda: concavità e flessi.
8. Grafico e controllo di coerenza.

La prima fratta del capitolo, l’esempio guida $\frac{x^2 - 3}{x - 2}$, è completa in concavità, convessità e flessi. Qui ne vediamo altre quattro, ognuna con una novità.

Esempio 1: una funzione pari con due asintoti verticali

$$f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2}{(x - 1)(x + 1)}$$

Dominio e simmetrie. $x \neq \pm 1$. Il dominio è simmetrico e $f(-x) = f(x)$: la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$.

Intersezioni e segno. $f(0) = 0$, unico zero. $x^2$ è positivo fuori da 0, quindi conta $x^2 - 1$: positiva per $\lvert x \rvert > 1$, negativa per $-1 < x < 1$ con $x \neq 0$.

Asintoti. $\pm 1$ sono radici semplici (molteplicità dispari): limiti laterali di segno opposto. In 1 il numeratore tende a 1:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty \end{gathered}$$

Per simmetria, in $-1$: $+\infty$ da sinistra, $-\infty$ da destra. Gradi uguali: asintoto orizzontale $y = 1$. Dividendo, $x^2 = (x^2 - 1) \cdot 1 + 1$:

$$f(x) = 1 + \frac{1}{x^2 - 1}$$

Il resto 1 non si annulla mai: nessun incrocio, e per $\lvert x \rvert > 1$ il grafico sta sopra l’asintoto.

Derivata prima.

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} \\ {} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \end{gathered}$$

Il denominatore è un quadrato: il segno è quello di $-2x$.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -1)}$	$+$	$\nearrow$
${(-1, 0)}$	$+$	$\nearrow$
${(0, 1)}$	$-$	$\searrow$
${(1, +\infty)}$	$-$	$\searrow$

In $x = 0$ c’è un massimo relativo, $f(0) = 0$. Non è assoluto: vicino agli asintoti, dalla parte esterna, la funzione arriva a $+\infty$.

Derivata seconda. Deriviamo $f'$ senza sviluppare il quadrato e semplifichiamo un fattore $(x^2 - 1)$:

$$\begin{gathered} f''(x) \\ {} = \frac{-2(x^2 - 1)^2 + 2x \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4} \\ {} = \frac{-2(x^2 - 1) + 8x^2}{(x^2 - 1)^3} \\ {} = \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3} \end{gathered}$$

Il numeratore è positivo e il cubo ha il segno di $x^2 - 1$: convessa per $\lvert x \rvert > 1$, concava per $-1 < x < 1$. Nessun flesso: la concavità cambia solo in $\pm 1$, fuori dal dominio.

Grafico. Al centro un «cappello» concavo con la cima nell’origine, che precipita lungo i due asintoti verticali; ai lati due rami convessi che scendono da $+\infty$ e si appoggiano dall’alto a $y = 1$.

Esempio 2: l’asintoto obliquo attraversato e un flesso orizzontale

$$f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)^2}$$

Dominio e simmetrie. $x \neq 1$. Il dominio non è simmetrico: nessuna simmetria.

Intersezioni e segno. $f(0) = 0$, unico zero. Il denominatore è un quadrato: $f$ ha il segno di $x^3$, cioè di $x$.

Asintoti. $x = 1$ è radice doppia: i due limiti hanno lo stesso segno. Il numeratore tende a 1, il quadrato a $0^+$:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$

Un grado in più al numeratore: dividiamo $x^3$ per $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$:

$$\begin{gathered} x^3 = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) + 3x - 2 \\ f(x) = x + 2 + \frac{3x - 2}{(x - 1)^2} \end{gathered}$$

Asintoto obliquo $y = x + 2$. Il resto $3x - 2$ si annulla in $x = \frac{2}{3}$: lì il grafico attraversa l’asintoto, nel punto $\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right)$; sta sotto per $x < \frac{2}{3}$, sopra per $x > \frac{2}{3}$. Con $d = 2$ è l’unico incrocio possibile.

Derivata prima. Con la regola del quoziente, semplificando un fattore $(x - 1)$:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{3x^2(x - 1)^2 - x^3 \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} \\ {} = \frac{3x^2(x - 1) - 2x^3}{(x - 1)^3} \\ {} = \frac{x^2(x - 3)}{(x - 1)^3} \end{gathered}$$

Si annulla in 0 e in 3. $x^2$ non cambia segno; contano $x - 3$ e il cubo $(x - 1)^3$, che ha il segno di $x - 1$: prima di 1 sono negativi entrambi, tra 1 e 3 solo $x - 3$, dopo 3 nessuno.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 0)}$	$+$	$\nearrow$
${(0, 1)}$	$+$	$\nearrow$
${(1, 3)}$	$-$	$\searrow$
${(3, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

In $x = 0$ la derivata si annulla senza cambiare segno: né massimo né minimo. In $x = 3$ c’è un minimo relativo, $f(3) = \frac{27}{4} = 6{,}75$.

Derivata seconda. Scriviamo $f'(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{(x - 1)^3}$ e, nella regola del quoziente, semplifichiamo $(x - 1)^2$:

$$\begin{gathered} f''(x) \\ {} = \frac{(3x^2 - 6x)(x - 1) - 3(x^3 - 3x^2)}{(x - 1)^4} \\ {} = \frac{6x}{(x - 1)^4} \end{gathered}$$

Denominatore positivo: concava per $x < 0$, convessa per $0 < x < 1$ e per $x > 1$. In $(0, 0)$ la concavità cambia e la tangente è orizzontale: flesso a tangente orizzontale.

Grafico. Il ramo sinistro sale da $-\infty$ sotto l’asintoto obliquo, si appiattisce nell’origine, lo attraversa in $x = \frac{2}{3}$ e sale lungo l’asintoto verticale. Il destro scende da $+\infty$ al minimo $\left(3, \frac{27}{4}\right)$, che sta sopra l’asintoto (in 3 vale 5), e risale.

Esempio 3: un buco e un asintoto obliquo

$$f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$$

Scomposizione e dominio. Sopra c’è una differenza di cubi, sotto una differenza di quadrati:

$$f(x) = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}$$

Il dominio è $x \neq \pm 2$. Ora possiamo semplificare: per $x \neq \pm 2$

$$f(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$$

In $x = 2$ il denominatore semplificato non si annulla: è un buco, con $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{12}{4} = 3$, cioè un pallino vuoto in $(2, 3)$. In $x = -2$ resta un asintoto.

Simmetrie. Il dominio è simmetrico, ma $f(1) = \frac{7}{3}$ e $f(-1) = 3$: né pari né dispari.

Intersezioni e segno. $f(0) = \frac{-8}{-4} = 2$. Il numeratore si annulla solo in 2, fuori dal dominio: nessuno zero. Poiché $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3 > 0$, $f$ ha il segno di $x + 2$: negativa per $x < -2$, positiva per $x > -2$ (con $x \neq 2$).

Asintoti. In $-2$, radice semplice, il numeratore semplificato tende a 4:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty \\ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty \end{gathered}$$

Un grado in più al numeratore: asintoto obliquo. Dividendo, $x^2 + 2x + 4 = (x + 2) \cdot x + 4$:

$$f(x) = x + \frac{4}{x + 2}$$

Asintoto $y = x$. Il resto è la costante 4: nessun incrocio; il grafico sta sotto per $x < -2$, sopra per $x > -2$.

Derivata prima. Deriviamo la forma divisa:

$$\begin{gathered} f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2} \\ {} = \frac{(x + 2)^2 - 4}{(x + 2)^2} = \frac{x(x + 4)}{(x + 2)^2} \end{gathered}$$

Denominatore positivo; $x(x + 4)$ è negativo solo tra $-4$ e 0. In tabella mettiamo anche i punti esclusi:

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -4)}$	$+$	$\nearrow$
${(-4, -2)}$	$-$	$\searrow$
${(-2, 0)}$	$-$	$\searrow$
${(0, 2)}$	$+$	$\nearrow$
${(2, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Massimo relativo $(-4, -6)$, perché $f(-4) = -4 + \frac{4}{-2} = -6$; minimo relativo $(0, 2)$. Il massimo sta sotto il minimo: sono su rami diversi, e «relativo» vuol dire più alto dei punti vicini, non di tutti.

Derivata seconda. Da $f'(x) = 1 - 4(x + 2)^{-2}$ viene

$$f''(x) = \frac{8}{(x + 2)^3}$$

Concava per $x < -2$, convessa per $x > -2$; nessun flesso.

Grafico. A sinistra la curva sale sotto l’asintoto obliquo fino al massimo e precipita lungo $x = -2$; a destra scende da $+\infty$ al minimo $(0, 2)$ e risale sopra $y = x$, con il buco in $(2, 3)$.

Esempio 4: nessun asintoto verticale e un asintoto attraversato

$$f(x) = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$$

Dominio, simmetrie, segno. $x^2 + 1$ non si annulla mai: dominio $\mathbb{R}$, nessun asintoto verticale. Nessuna simmetria: $f(1) = 0$ e $f(-1) = -1$. Intersezioni $(0, -1)$ e $(1, 0)$; il segno è quello di $x - 1$.

Asintoti. $n = 1 < d = 2$: asintoto orizzontale $y = 0$ da entrambe le parti. Il «resto» è il numeratore $x - 1$: il grafico attraversa l’asintoto in $(1, 0)$, sta sotto per $x < 1$ e sopra per $x > 1$.

Derivata prima.

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - (x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \\ {} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} \end{gathered}$$

Il numeratore si annulla per $x^2 - 2x - 1 = 0$, cioè $x = 1 \pm \sqrt{2}$, ed è positivo tra le due radici (è una parabola rivolta verso il basso). Quindi:

• in $(-\infty, 1 - \sqrt{2})$ la funzione decresce;
• in $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ cresce;
• in $(1 + \sqrt{2}, +\infty)$ decresce.

C’è un minimo in $x = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41$ e un massimo in $x = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41$. Calcoliamo il massimo, razionalizzando alla fine:

$$\begin{gathered} f(1 + \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2} + 2} \\ {} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \approx 0{,}21 \end{gathered}$$

Allo stesso modo $f(1 - \sqrt{2}) = -\frac{1 + \sqrt{2}}{2} \approx -1{,}21$. Sono assoluti: per $x \to -\infty$ la funzione tende a 0, poi scende al minimo, sale al massimo e torna a tendere a 0. L’immagine è l’intervallo tra questi due valori.

Derivata seconda. Con lo stesso metodo, semplificando un fattore $x^2 + 1$, si trova

$$f''(x) = \frac{2(x + 1)(x^2 - 4x + 1)}{(x^2 + 1)^3}$$

Si annulla in $x = -1$ e in $x = 2 \pm \sqrt{3}$, e cambia segno in tutti e tre: tre flessi, in $(-1, -1)$, in $x = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27$ e in $x = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73$. La funzione è concava per $x < -1$, convessa fino a $2 - \sqrt{3}$, concava fino a $2 + \sqrt{3}$ e poi convessa.

Gli errori più comuni

• Semplificare prima di scrivere il dominio. Il punto del fattore semplificato resta escluso: nell’esempio 3, $x = 2$ non è nel dominio anche se la formula semplificata lì si calcola.
• Contare come zero un punto escluso. Il numeratore di $\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ si annulla in 2, ma il grafico non passa per $(2, 0)$: lì c’è un buco a quota 3.
• Credere che ogni zero del denominatore dia un asintoto. Se annulla anche il numeratore decide la semplificazione: buco se il fattore sparisce dal denominatore, asintoto se resta.
• Sbagliare il segno di un denominatore. Un quadrato è positivo da entrambi i lati, un cubo no: vale vicino agli asintoti e nelle tabelle di $f'$ e $f''$, dove dopo una semplificazione la potenza può diventare dispari.
• Sviluppare i denominatori delle derivate. Si perde il fattore da semplificare e il segno non si legge più.
• Sbagliare $q$ nell’asintoto obliquo. L’asintoto è tutto il quoziente: nell’esempio 2 è $y = x + 2$, non $y = x$. Il resto serve solo per la posizione.
• Dire che il grafico non tocca mai l’asintoto. Vale per quello verticale; orizzontali e obliqui si attraversano dove $f(x) = mx + q$, come negli esempi 2 e 4.
• Fermarsi a $f'(x_0) = 0$. Serve il cambio di segno: nell’esempio 2, in $x = 0$ c’è un flesso, non un massimo.

Esercizi svolti

1. Dominio, buco e asintoti

Testo. Trova dominio, buchi e asintoti di $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^3 - 3x^2}$.

Scomponiamo: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ e $x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$. Il dominio è $x \neq 0$ e $x \neq 3$. Nel dominio possiamo semplificare:

$$f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2(x - 3)} = \frac{x + 3}{x^2}$$

In $x = 3$ il denominatore semplificato vale 9: buco, con $f(x) \to \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, nel punto $\left(3, \frac{2}{3}\right)$.

In $x = 0$ resta $x^2$, molteplicità pari: stesso segno dai due lati. Il numeratore tende a 3:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty \end{gathered}$$

All’infinito $n = 2 < d = 3$: asintoto $y = 0$, che il grafico attraversa dove $x + 3 = 0$, nel punto $(-3, 0)$. In tutto: asintoto verticale $x = 0$ (verso l’alto da entrambi i lati), asintoto orizzontale $y = 0$ e un buco in $\left(3, \frac{2}{3}\right)$.

2. Segno e intersezioni, anche con l’asintoto

Testo. Per $f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4}$ studia il segno e le intersezioni con gli assi e con l’asintoto orizzontale, e di’ cosa fa il grafico vicino all’asintoto verticale.

Scomponendo, $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 2)^2}$: dominio $x \neq 2$, nessun fattore comune.

Intersezioni. $f(0) = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$, quindi $\left(0, -\frac{3}{2}\right)$; gli zeri sono $-2$ e 3.

Segno. Il denominatore è un quadrato: conta $(x - 3)(x + 2)$. Positiva per $x < -2$ e per $x > 3$, negativa per $-2 < x < 3$ con $x \neq 2$.

Asintoto verticale. In 2, radice doppia, il numeratore tende a $(-1) \cdot 4 = -4$: $f(x) \to -\infty$ da entrambe le parti, coerente con il segno negativo vicino a 2.

Asintoto orizzontale. Gradi uguali: $y = 1$. Il resto della divisione è

$$\begin{gathered} (x^2 - x - 6) - (x^2 - 4x + 4) = 3x - 10 \\ f(x) - 1 = \frac{3x - 10}{(x - 2)^2} \end{gathered}$$

Il grafico incontra l’asintoto in $\left(\frac{10}{3}, 1\right)$, sta sotto per $x < \frac{10}{3}$ (con $x \neq 2$) e sopra per $x > \frac{10}{3}$: a destra si avvicina a $y = 1$ dall’alto, a sinistra dal basso.

3. Derivata e monotonia

Testo. Trova gli intervalli di crescenza e decrescenza e i massimi e minimi relativi di $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 2}$.

Il dominio è $x \neq 2$. Con la regola del quoziente:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 5)}{(x - 2)^2} \\ {} = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 2)^2} \end{gathered}$$

Il denominatore è positivo; il numeratore è negativo solo tra $-1$ e 5.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -1)}$	$+$	$\nearrow$
${(-1, 2)}$	$-$	$\searrow$
${(2, 5)}$	$-$	$\searrow$
${(5, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Massimo relativo in $x = -1$: $f(-1) = \frac{6}{-3} = -2$. Minimo relativo in $x = 5$: $f(5) = \frac{30}{3} = 10$. Controllo con la divisione: $f(x) = x + 2 + \frac{9}{x - 2}$, quindi $f'(x) = 1 - \frac{9}{(x - 2)^2}$, che si annulla per $(x - 2)^2 = 9$, cioè proprio in $x = 5$ e $x = -1$. La funzione cresce in $(-\infty, -1)$ e in $(5, +\infty)$ e decresce in $(-1, 2)$ e in $(2, 5)$; il massimo $(-1, -2)$ sta sotto il minimo $(5, 10)$, perché sono su rami diversi.

4. Uno studio completo

Testo. Studia $f(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 1}$ e descrivi il grafico.

Dominio e simmetrie. $x \neq \pm 1$; $f(-x) = -f(x)$: la funzione è dispari.

Intersezioni e segno. $f(x) = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}$: zeri $-2$, 0 e 2. I cinque fattori sono semplici, quindi il segno cambia in ognuno dei punti $-2, -1, 0, 1, 2$, e per $x > 2$ è positivo. Così $f > 0$ in $(-2, -1)$, $(0, 1)$, $(2, +\infty)$ e $f < 0$ negli altri intervalli.

Asintoti. In 1 il numeratore tende a $-3$, il denominatore a $0^-$ da sinistra e a $0^+$ da destra:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{-3}{0^-} = +\infty \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{-3}{0^+} = -\infty \end{gathered}$$

Per la disparità, in $-1$: $+\infty$ da sinistra, $-\infty$ da destra. Dividendo, $x^3 - 4x = (x^2 - 1) \cdot x - 3x$:

$$f(x) = x - \frac{3x}{x^2 - 1}$$

Asintoto obliquo $y = x$, attraversato dove $-3x = 0$: nell’origine.

Derivata prima. Numeratore della regola del quoziente:

$$\begin{gathered} (3x^2 - 4)(x^2 - 1) - (x^3 - 4x) \cdot 2x \\ {} = 3x^4 - 7x^2 + 4 - 2x^4 + 8x^2 \\ {} = x^4 + x^2 + 4 \end{gathered}$$

È sempre positivo, quindi $f'(x) = \frac{x^4 + x^2 + 4}{(x^2 - 1)^2} > 0$: $f$ cresce in ciascuno dei tre intervalli, senza massimi né minimi. Ma non è crescente su tutto il dominio: $0{,}5 < 1{,}5$, eppure $f(0{,}5) = 2{,}5$ e $f(1{,}5) = -2{,}1$.

Derivata seconda. Derivando due volte la forma divisa:

$$\begin{gathered} f'(x) = 1 + \frac{3(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2} \\ f''(x) = -\frac{6x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3} \end{gathered}$$

$x^2 + 3 > 0$ e il cubo ha il segno di $x^2 - 1$: convessa in $(-\infty, -1)$ e $(0, 1)$, concava in $(-1, 0)$ e $(1, +\infty)$. Flesso nell’origine, con tangente $y = 4x$ perché $f'(0) = 4$.

Il grafico ha tre rami crescenti: il primo sale sopra $y = x$, passa per $(-2, 0)$ e va a $+\infty$ lungo $x = -1$; il secondo va da $-\infty$ a $+\infty$ tra gli asintoti verticali, passando per l’origine; il terzo, simmetrico al primo, parte da $-\infty$ vicino a $x = 1$, passa per $(2, 0)$ e si avvicina a $y = x$ da sotto.

5. Un parametro che cambia gli asintoti

Testo. Al variare del parametro reale $a$, trova gli asintoti di $f(x) = \frac{a x^3 + x^2}{x^2 - 1}$.

Il numeratore è $x^2(ax + 1)$, il denominatore $(x - 1)(x + 1)$: il dominio è $x \neq \pm 1$ per ogni $a$.

Verticali. Il numeratore vale $a + 1$ in $x = 1$ e $1 - a$ in $x = -1$.

• Se $a = 1$, si annulla in $-1$: $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$, con un buco in $\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$ e l’unico asintoto verticale $x = 1$.
• Se $a = -1$, si annulla in 1: $f(x) = -\frac{x^2}{x + 1}$, con un buco in $\left(1, -\frac{1}{2}\right)$ e l’unico asintoto verticale $x = -1$.
• Per ogni altro $a$ gli asintoti verticali sono due, $x = 1$ e $x = -1$.

All’infinito. Se $a = 0$, $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$ ha gradi uguali e l’asintoto orizzontale $y = 1$: è l’esempio 1. Se $a \neq 0$ il numeratore ha un grado in più, e la divisione dà

$$\begin{gathered} a x^3 + x^2 = (x^2 - 1)(ax + 1) + ax + 1 \\ f(x) = ax + 1 + \frac{ax + 1}{x^2 - 1} \end{gathered}$$

L’asintoto obliquo è $y = ax + 1$, anche per $a = \pm 1$. Un solo parametro decide quanti asintoti verticali ci sono e se all’infinito l’asintoto è orizzontale od obliquo.

6. Dal grafico alla funzione

Testo. Il grafico di una funzione del tipo $f(x) = \frac{a x^2 + b x + c}{x + d}$ ha l’asintoto verticale $x = 1$, l’asintoto obliquo $y = 2x + 1$ e taglia l’asse $y$ nel punto $(0, 3)$. Trova $a$, $b$, $c$, $d$ e di’ da che parte sta il grafico rispetto all’asintoto obliquo.

Asintoto verticale. Il denominatore deve annullarsi in 1: $d = -1$ (alla fine controlliamo che il numeratore lì non si annulli).

Asintoto obliquo. È il quoziente della divisione per $x - 1$, quindi il numeratore è $(x - 1)(2x + 1) + r$, con $r$ costante:

$$a x^2 + b x + c = 2x^2 - x - 1 + r$$

Allora $a = 2$, $b = -1$ e $c = r - 1$.

Passaggio per $(0, 3)$. $f(0) = \frac{c}{-1} = -c = 3$, quindi $c = -3$ e $r = -2$:

$$\begin{gathered} f(x) = \frac{2x^2 - x - 3}{x - 1} \\ {} = 2x + 1 - \frac{2}{x - 1} \end{gathered}$$

In $x = 1$ il numeratore vale $2 - 1 - 3 = -2 \neq 0$: l’asintoto verticale c’è davvero. Lo scarto $-\frac{2}{x - 1}$ è positivo per $x < 1$ e negativo per $x > 1$: il grafico sta sopra l’asintoto obliquo a sinistra e sotto a destra, senza mai toccarlo. La funzione è $f(x) = \frac{2x^2 - x - 3}{x - 1}$, con $a = 2$, $b = -1$, $c = -3$, $d = -1$.

In sintesi

• Dominio: $\mathbb{R}$ tolti gli zeri del denominatore. Prima scomponi, poi semplifica: se il fattore comune sparisce dal denominatore c’è un buco, altrimenti un asintoto verticale.
• Asintoti verticali: molteplicità dispari, limiti laterali di segno opposto; pari, stesso segno.
• All’infinito: $n < d$ asintoto $y = 0$; $n = d$ asintoto $y = \frac{a}{b}$; $n = d + 1$ obliquo, il quoziente della divisione; $n \geq d + 2$ nessuno.
• Posizione: da $f(x) = mx + q + \frac{R(x)}{Q(x)}$, il segno di $\frac{R}{Q}$ dice sopra o sotto, gli zeri di $R$ gli incroci (al massimo $d - 1$).
• Derivate: $\left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'Q - PQ'}{Q^2}$, con il denominatore lasciato come potenza; attenzione alle potenze dispari.
• Tabelle dei segni: ignora i fattori sempre positivi, metti anche i punti esclusi.

Per allenarti su studi completi di ogni tipo ci sono gli esercizi svolti sullo studio di funzione. Nel prossimo articolo cambiamo famiglia: lo studio di funzione esponenziale.