Funzioni goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente ed esercizi svolti

Sai che $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$: dall’angolo al valore. Spesso però la domanda è rovesciata: quale angolo ha seno $\frac{1}{2}$? Succede quando risolvi un triangolo, quando cerchi le soluzioni di $\sin x = 0{,}4$, quando vuoi la direzione di un vettore. Rispondono le funzioni goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno e arcotangente, che userai in equazioni, disequazioni, domini, limiti, derivate e integrali. In questa pagina vediamo perché seno, coseno e tangente vanno ristretti prima di invertirli, le definizioni con dominio e immagine, i grafici, i valori notevoli letti al contrario, le identità più utili, l’arcocotangente, le composizioni come $\arcsin(\sin x)$ e $\cos(\arcsin x)$, la calcolatrice e l’angolo di un punto, i domini, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Perché seno, coseno e tangente non si invertono

Per invertire una funzione serve che sia iniettiva: ogni valore deve arrivare da un solo $x$. Sul grafico: ogni retta orizzontale deve tagliarlo al massimo una volta. Il seno fallisce in pieno: la retta $y = \frac{1}{2}$ taglia la sinusoide in infiniti punti, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{\pi}{6} - 2\pi$, $\frac{5\pi}{6} - 2\pi$, e così via a ogni giro.

Lo stesso vale per coseno e tangente: una funzione periodica non è mai iniettiva, perché ripete ogni valore a ogni periodo. Su tutto $\mathbb{R}$ la domanda «quale angolo ha seno $\frac{1}{2}$?» ha infinite risposte, e una funzione deve darne una.

Come si sceglie l’intervallo

La soluzione è quella della funzione inversa: si restringe la funzione a un intervallo, il tratto blu della figura, e si inverte solo quel pezzo. L’intervallo deve soddisfare due requisiti:

1. la funzione vi è strettamente monotona, quindi valori diversi di $x$ danno valori diversi e la restrizione è iniettiva;
2. la funzione vi assume tutti i suoi valori, così l’inversa è definita su tutto $[-1, 1]$ per seno e coseno, su tutto $\mathbb{R}$ per la tangente.

Per convenzione si sceglie un intervallo che contiene gli angoli del primo quadrante, quelli dei triangoli rettangoli.

Seno. Su $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ è strettamente crescente da $-1$ a $1$: il punto $P$ della circonferenza goniometrica sale dal punto più basso al più alto lungo la metà destra. Andrebbe bene anche $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, ma si sceglie l’intervallo centrato in 0.

Coseno. Qui $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ non va: il coseno è pari, $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3}$, e lì assume solo valori tra 0 e 1. Serve un tratto in cui $P$ va da destra a sinistra: $[0, \pi]$, la metà superiore, dove il coseno è strettamente decrescente da 1 a $-1$.

Tangente. Si usa l’intervallo aperto $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, dove è strettamente crescente e assume tutti i valori reali; agli estremi non esiste.

Sulla circonferenza: l’arcoseno sceglie sempre un punto della metà destra, compresi il punto più alto e il più basso; l’arcotangente anche, ma senza quei due; l’arcocoseno un punto della metà superiore.

Le definizioni

Per l’arcoseno, in formule:

$$y = \arcsin x \iff \begin{cases} \sin y = x \\ -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Servono entrambe le condizioni: la prima da sola ha infinite soluzioni, la seconda sceglie quella giusta. L’angolo esiste per il requisito 2 ed è unico per il requisito 1. Per esempio $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$: anche $\frac{5\pi}{6}$ ha seno $\frac{1}{2}$, ma non sta nell’intervallo. Gli angoli sono in radianti.

Dominio e immagine si scambiano: il dominio dell’inversa è l’immagine della funzione ristretta, e viceversa.

Funzione	Dominio	Immagine
$\arcsin x$	$[-1, 1]$	$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$
$\arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

Nota le parentesi tonde nell’ultima riga: $\frac{\pi}{2}$ e $-\frac{\pi}{2}$ non sono valori dell’arcotangente.

I grafici, per simmetria

Il punto $(a, b)$ sta sul grafico di una funzione se e solo se $(b, a)$ sta su quello dell’inversa. Scambiare le coordinate significa riflettere nella bisettrice $y = x$: il grafico dell’inversa è il simmetrico di quello della funzione ristretta, tratteggiata nelle figure.

Arcoseno. È strettamente crescente, come il seno ristretto, e dispari: il grafico è simmetrico rispetto all’origine. Va da $\left(-1, -\frac{\pi}{2}\right)$ a $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$: il minimo è $-\frac{\pi}{2}$, il massimo $\frac{\pi}{2}$. Agli estremi la curva diventa verticale, riflesso del seno che lì è orizzontale: lo ritroverai nella derivata della funzione inversa.

Arcocoseno. È strettamente decrescente, da $(-1, \pi)$ a $(1, 0)$, e passa per $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Non è né pari né dispari, ma il grafico è simmetrico rispetto al punto $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, come vedremo con le identità. E non è mai negativo.

Arcotangente. I due asintoti verticali della tangente ristretta, $x = \pm\frac{\pi}{2}$, riflessi nella bisettrice diventano i due asintoti orizzontali dell’arcotangente, $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

L’arcotangente è definita su tutto $\mathbb{R}$, strettamente crescente e dispari. Quando $x$ cresce si avvicina a $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ senza raggiungerlo mai: $\arctan 10 \approx 1{,}471$, $\arctan 100 \approx 1{,}561$. Con i limiti all’infinito:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} \\[4pt] \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2} \end{gathered}$$

L’immagine è l’intervallo aperto $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$: l’arcotangente è limitata ma non ha né massimo né minimo, e $\frac{\pi}{2}$ e $-\frac{\pi}{2}$ sono il suo estremo superiore e inferiore, non raggiunti.

I valori notevoli letti al contrario

Per calcolare $\arcsin a$ cerchi l’angolo con seno $a$, come in «Leggere la tabella al contrario» nei valori notevoli, con un vincolo in più: l’angolo deve stare nell’intervallo giusto. Tra 0 e $2\pi$ gli angoli con quel seno di solito sono due, ma l’inversa restituisce un solo angolo, quello del suo intervallo, a volte negativo.

• Arcoseno e arcotangente: se $a \geq 0$ l’angolo sta tra 0 e $\frac{\pi}{2}$, se $a < 0$ è negativo, tra $-\frac{\pi}{2}$ e 0.
• Arcocoseno: se $a \geq 0$ l’angolo sta tra 0 e $\frac{\pi}{2}$, se $a < 0$ tra $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$, nel secondo quadrante.

$x$	$\arcsin x$	$\arccos x$
$-1$	$-\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{5\pi}{6}$
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{3\pi}{4}$
$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{2\pi}{3}$
$0$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{6}$
$1$	$\dfrac{\pi}{2}$	$0$

$x$	$\arctan x$	In gradi
$-\sqrt{3}$	$-\dfrac{\pi}{3}$	−60°
$-1$	$-\dfrac{\pi}{4}$	−45°
$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-\dfrac{\pi}{6}$	−30°
$0$	$0$	0°
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\dfrac{\pi}{6}$	30°
$1$	$\dfrac{\pi}{4}$	45°
$\sqrt{3}$	$\dfrac{\pi}{3}$	60°

Le identità da sapere

Le simmetrie

Arcoseno e arcotangente sono dispari:

$$\begin{gathered} \arcsin(-x) = -\arcsin x \\ \arctan(-x) = -\arctan x \end{gathered}$$

Perché è vero. Sia $\alpha = \arcsin x$. Allora $-\alpha$ sta ancora in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $\sin(-\alpha) = -x$: per la definizione, $-\alpha = \arcsin(-x)$. Per l’arcotangente è identico.

L’arcocoseno invece non è dispari, perché $[0, \pi]$ non è simmetrico rispetto a 0. Vale:

$$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$$

Perché è vero. Sia $\alpha = \arccos x \in [0, \pi]$. Anche $\pi - \alpha$ sta in $[0, \pi]$ e, per gli archi associati, $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha = -x$. Quindi $\pi - \alpha = \arccos(-x)$. Sulla circonferenza: i punti di $\alpha$ e di $\pi - \alpha$ sono simmetrici rispetto all’asse verticale, con ascisse opposte. Per esempio $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Scritta come $\arccos(-x) - \frac{\pi}{2} = -\left(\arccos x - \frac{\pi}{2}\right)$, dice che il grafico è simmetrico rispetto a $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Arcoseno più arcocoseno

Perché è vero. Sia $\alpha = \arcsin x$, con $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$. Allora $\frac{\pi}{2} - \alpha$ sta tra 0 e $\pi$, e $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = x$, perché il coseno del complementare è il seno. Per la definizione di arcocoseno, $\frac{\pi}{2} - \alpha = \arccos x$: è la tesi.

Se $0 < x < 1$ c’è anche un’immagine: in un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e un cateto lungo $x$, l’angolo opposto a quel cateto ha seno $x$, l’altro angolo acuto ha coseno $x$, e i due sommano a $\frac{\pi}{2}$. Una seconda dimostrazione, con le derivate, è nei teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy.

Arcotangente del reciproco

Per $x \neq 0$ la somma dipende dal segno di $x$:

$$\begin{gathered} \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \quad (x > 0) \\[6pt] \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \quad (x < 0) \end{gathered}$$

Perché è vero. Se $x > 0$, l’angolo $\alpha = \arctan x$ sta tra 0 e $\frac{\pi}{2}$, e così anche $\frac{\pi}{2} - \alpha$; inoltre $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha = \frac{1}{x}$. Quindi $\arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Se $x < 0$, applica il primo caso a $-x$ e usa la disparità: la somma cambia segno. Controllo con $x = -\sqrt{3}$: $-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$. Dimenticare il caso negativo è un errore classico.

L’arcocotangente

La cotangente, ristretta a $(0, \pi)$, è strettamente decrescente e assume tutti i valori reali; la sua inversa è l’arcocotangente, $\operatorname{arccot} x$, da $\mathbb{R}$ a $(0, \pi)$. È strettamente decrescente, vale $\frac{\pi}{2}$ in 0 e ha gli asintoti orizzontali $y = \pi$ per $x \to -\infty$ e $y = 0$ per $x \to +\infty$. Le calcolatrici di solito non hanno il suo tasto, e non serve, perché per ogni $x$ reale

$$\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$$

Perché è vero. Se $\alpha = \arctan x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, allora $\frac{\pi}{2} - \alpha \in (0, \pi)$ e $\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan\alpha = x$.

Quindi $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$. La scorciatoia $\operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}$ vale invece solo per $x > 0$: per esempio $\operatorname{arccot}(-1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, mentre $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Per $x < 0$ bisogna aggiungere $\pi$ ad $\arctan\frac{1}{x}$.

Funzione e inversa, nei due versi

Le inverse «disfano» le funzioni dirette, ma solo in un verso.

Prima l’inversa, poi la funzione: funziona sempre.

$$\begin{gathered} \sin(\arcsin x) = x \quad (-1 \leq x \leq 1) \\ \cos(\arccos x) = x \quad (-1 \leq x \leq 1) \\ \tan(\arctan x) = x \quad (x \in \mathbb{R}) \end{gathered}$$

Per definizione $\arcsin x$ è un angolo con seno $x$. Fuori da $[-1, 1]$ l’espressione non ha senso.

Prima la funzione, poi l’inversa: solo nell’intervallo.

$$\begin{gathered} \arcsin(\sin x) = x \iff -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\[4pt] \arccos(\cos x) = x \iff 0 \leq x \leq \pi \\[4pt] \arctan(\tan x) = x \iff -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \end{gathered}$$

L’arcoseno riceve solo il valore $\sin x$ e restituisce l’angolo del suo intervallo con quel seno: se $x$ era fuori, restituisce un altro angolo. Per esempio $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, non $\frac{5\pi}{6}$. È lo stesso fenomeno di $\sqrt{x^2} = |x|$ nel valore assoluto: l’inversa sceglie sempre il rappresentante del suo intervallo.

Il grafico a zig-zag

La funzione $y = \arcsin(\sin x)$ è definita per ogni $x$, ha periodo $2\pi$, è dispari e assume valori tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$. Su $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ vale $x$. Su $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ vale $\pi - x$: infatti $\pi - x$ sta in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $\sin(\pi - x) = \sin x$. Il grafico è uno zig-zag di segmenti con pendenza $1$ e $-1$.

Con $\arccos(\cos x)$ si ottiene uno zig-zag simile, con valori tra 0 e $\pi$.

Il metodo per arcsin(sin a) e arccos(cos a)

Per esempio $\arcsin(\sin 3) = \pi - 3 \approx 0{,}142$, perché 3 sta tra $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ e $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$. Invece 5 supera $\frac{3\pi}{2}$: tolto un giro, $5 - 2\pi \approx -1{,}283$ sta già nell’intervallo, quindi $\arcsin(\sin 5) = 5 - 2\pi$.

Per l’arcocoseno riporta l’angolo in $[-\pi, \pi]$ con multipli di $2\pi$ e prendi il valore assoluto, perché il coseno è pari: $\arccos(\cos(-2)) = 2$ e, siccome $4 - 2\pi \approx -2{,}283$, $\arccos(\cos 4) = 2\pi - 4$. Per l’arcotangente togli multipli di $\pi$ fino a cadere in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$: $\arctan(\tan 3) = 3 - \pi \approx -0{,}142$.

Composizioni miste: cos(arcsin x) e le altre

Quanto vale $\cos(\arcsin x)$? Il trucco è dare un nome all’angolo. Sia $\alpha = \arcsin x$: sai che $\sin\alpha = x$ e che $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, dove il coseno non è mai negativo. Dalla relazione fondamentale, $\cos\alpha = +\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$:

$$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$$

Il segno $+$ non è una scelta: lo impone l’intervallo dell’arcoseno. Per esempio $\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.

L’immagine del triangolo. Se $0 < x < 1$, disegna un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e un cateto lungo $x$: l’angolo $\alpha$ opposto a quel cateto ha seno $x$, quindi $\alpha = \arcsin x$. Per Pitagora l’altro cateto è $\sqrt{1 - x^2}$, e dal triangolo leggi coseno e tangente. È lo stesso ragionamento delle sostituzioni negli integrali di funzioni irrazionali. Per $\beta = \arctan x$ servono i cateti 1 e $x$, con ipotenusa $\sqrt{1 + x^2}$.

Il triangolo funziona per $x > 0$, dove l’angolo è acuto. Per gli altri $x$ decide il segno: il coseno di $\arcsin x$ e di $\arctan x$ non è mai negativo, il seno e la tangente hanno il segno di $x$. Così le formule del triangolo valgono per tutti gli $x$ ammessi:

$$\begin{gathered} \tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1) \\[4pt] \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} \\[4pt] \sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \\[4pt] \cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \end{gathered}$$

Nota $\sin(\arccos x)$: non è negativo nemmeno per $x$ negativo, perché l’arcocoseno sta in $[0, \pi]$. Per l’arcotangente, al posto del triangolo, puoi usare $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha}$.

Con le formule di duplicazione. Per $\sin(2\arctan x)$, con $\alpha = \arctan x$:

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \\ {} = 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\ {} = \frac{2x}{1 + x^2} \end{gathered}$$

È la formula $\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}$, con $t = \tan\frac{\theta}{2}$, delle formule parametriche, con $\theta = 2\arctan x$. E $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$, senza problemi di segno, perché compare solo $\sin^2\alpha$.

La calcolatrice e l’angolo di un punto

La notazione $\sin^{-1}$. Sulla calcolatrice l’arcoseno è il tasto $\sin^{-1}$, di solito con SHIFT o 2nd. Qui l’esponente $-1$ indica la funzione inversa, non il reciproco: $\sin^{-1} x$ è $\arcsin x$, mentre $\frac{1}{\sin x}$ è la cosecante. È un’eccezione alla regola $\sin^2 x = (\sin x)^2$, e per questo in Analisi si scrive $\arcsin$. Secondo lo storico Florian Cajori, l’esponente $-1$ lo introdusse John Herschel nel 1813.

Gradi o radianti. $\sin^{-1} 0{,}5$ dà 30 in modalità DEG e $0{,}5236$, cioè $\frac{\pi}{6}$, in RAD: in Analisi si lavora in radianti. Il risultato è sempre quello dell’intervallo: arcoseno tra $-90^\circ$ e $90^\circ$, arcocoseno tra $0^\circ$ e $180^\circ$, arcotangente tra $-90^\circ$ e $90^\circ$ esclusi. Nei triangoli rettangoli gli angoli sono acuti e non c’è ambiguità. Con il teorema dei seni la calcolatrice dà solo l’angolo acuto, e il candidato ottuso lo scrivi tu; con il teorema del coseno l’arcocoseno distingue da solo acuto e ottuso. Nel moto parabolico, oltre a $\theta = \frac{1}{2}\arcsin\frac{gR}{v_0^2}$, va bene il complementare $90^\circ - \theta$.

L’angolo di un punto. Un punto $P = (x, y)$ diverso dall’origine forma con il semiasse positivo delle $x$ un angolo $\theta$ e, se $x \neq 0$, $\tan\theta = \frac{y}{x}$. Ma $\arctan\frac{y}{x}$ è l’angolo di un punto della metà destra, e $(x, y)$ e $(-x, -y)$ danno lo stesso rapporto. La regola:

• se $x > 0$: $\theta = \arctan\frac{y}{x}$;
• se $x < 0$: $\theta = \arctan\frac{y}{x} + \pi$;
• se $x = 0$: $\theta = \frac{\pi}{2}$ per $y > 0$, $\theta = -\frac{\pi}{2}$ per $y < 0$.

Per $P = (-1, \sqrt{3})$, nel secondo quadrante, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ indicherebbe un punto del quarto: l’angolo giusto è $-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$. Controllo: $2\left(\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3}\right) = (-1, \sqrt{3})$. Molti linguaggi di programmazione, e alcune calcolatrici, hanno una funzione a due argomenti che sceglie da sola il quadrante: in Python math.atan2(y, x), con la $y$ per prima. Lo stesso problema compare con la direzione dei vettori e con la fase delle sinusoidi.

Le equazioni: l’arcoseno dà una sola soluzione

Se $-1 \leq a \leq 1$, l’equazione $\sin x = a$ ha infinite soluzioni, e $\arcsin a$ ne dà una sola, quella in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. L’altra dello stesso giro è il supplementare $\pi - \arcsin a$. Per esempio, in RAD, $\sin x = 0{,}4$ dà $\arcsin 0{,}4 \approx 0{,}412$ e $\pi - 0{,}412 \approx 2{,}730$, più i multipli di $2\pi$. Per il coseno le soluzioni sono $\pm\arccos a + 2k\pi$, per la tangente $\arctan a + k\pi$, con $k$ intero. Il metodo completo è nelle equazioni goniometriche.

I domini di funzioni con le inverse

Le regole per il dominio di una funzione:

• $\arcsin A(x)$ e $\arccos A(x)$ richiedono $-1 \leq A(x) \leq 1$, più le condizioni perché esista $A(x)$;
• $\arctan A(x)$ richiede solo che esista $A(x)$;
• se un’inversa sta sotto radice, in un logaritmo o a denominatore, la disequazione si risolve con la monotonia: una funzione strettamente crescente conserva il verso delle disuguaglianze, una strettamente decrescente lo inverte.

Esempio 1: una frazione. $f(x) = \arcsin\frac{x + 1}{x - 2}$. Serve $x \neq 2$ e

$$-1 \leq \frac{x + 1}{x - 2} \leq 1$$

Risolvi le due disequazioni separatamente, portando tutto a primo membro:

$$\begin{gathered} \frac{x + 1}{x - 2} - 1 = \frac{3}{x - 2} \leq 0 \\[4pt] \frac{x + 1}{x - 2} + 1 = \frac{2x - 1}{x - 2} \geq 0 \end{gathered}$$

La prima vale per $x < 2$, la seconda per $x \leq \frac{1}{2}$ oppure $x > 2$. Insieme: $D = \left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$. Controllo: in $x = \frac{1}{2}$ l’argomento vale $\frac{3/2}{-3/2} = -1$, e $\arcsin(-1)$ esiste.

Esempio 2: un logaritmo. $g(x) = \ln\left(\frac{\pi}{3} - \arccos x\right)$. Servono $-1 \leq x \leq 1$ e $\arccos x < \frac{\pi}{3} = \arccos\frac{1}{2}$. L’arcocoseno è strettamente decrescente, quindi passando agli argomenti la disuguaglianza si inverte: $x > \frac{1}{2}$. Il dominio è $\left(\frac{1}{2}, 1\right]$.

Esempio 3. $h(x) = \arctan\frac{1}{x - 1}$ richiede solo $x \neq 1$. Altri esempi, con le funzioni goniometriche dentro le inverse, sono nei sistemi di disequazioni goniometriche e domini.

Gli errori più comuni

• Leggere $\sin^{-1} x$ come $\frac{1}{\sin x}$. Il tasto $\sin^{-1}$ è l’arcoseno: $\sin^{-1} 0{,}5 = \frac{\pi}{6}$, mentre $\frac{1}{\sin 0{,}5} \approx 2{,}086$.
• Scegliere l’angolo fuori dall’intervallo. $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ vale $\frac{2\pi}{3}$, non $-\frac{\pi}{3}$: l’arcocoseno non è mai negativo. E $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$, non $\frac{5\pi}{4}$.
• Scrivere sempre $\arcsin(\sin x) = x$. Vale solo per $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$: $\arcsin(\sin\pi) = \arcsin 0 = 0$, non $\pi$.
• Pensare che l’arcotangente arrivi a $\frac{\pi}{2}$. L’immagine è aperta: $\arctan x < \frac{\pi}{2}$ per ogni $x$, e $\frac{\pi}{2}$ è solo il limite per $x \to +\infty$.
• Calcolare $\arcsin 2$. Non esiste: nessun angolo ha seno 2, e la calcolatrice dà errore. Arcoseno e arcocoseno accettano solo numeri tra $-1$ e $1$.
• Dimenticare la seconda soluzione. $\arcsin a$ è una sola soluzione di $\sin x = a$: nello stesso giro c’è anche $\pi - \arcsin a$.
• Confondere DEG e RAD. In DEG $\sin^{-1} 0{,}5$ dà 30, in RAD $0{,}5236$. Nelle formule di Analisi servono i radianti.
• Usare $\arctan\frac{y}{x}$ per l’angolo di un punto con $x < 0$. Il risultato è sbagliato di $\pi$, che va aggiunto.

Esercizi svolti

1. Valori notevoli e trappole

Testo. Calcola, se esistono, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ e $\arcsin\frac{\pi}{3}$. Poi calcola

$$\begin{gathered} E = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ {} - \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \end{gathered}$$

• Argomento negativo, quindi un angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e 0: per la disparità, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
• Argomento negativo, quindi un angolo del secondo quadrante: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
• Per la disparità, $\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\arctan\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{6}$.
• $\arcsin\frac{\pi}{3}$ non esiste: $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}047$ supera 1. La trappola è confonderlo con $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$: lì $\frac{\pi}{3}$ è il risultato, qui sarebbe l’argomento.

Sostituendo, con denominatore comune 12:

$$\begin{gathered} E = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \\[4pt] {} = \frac{-4\pi + 9\pi + 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \end{gathered}$$

Il risultato è $E = \frac{7\pi}{12}$, cioè 105°. Nota il segno del terzo termine: si sottrae un numero negativo.

2. Funzione e inversa con angoli grandi

Testo. Calcola $\arcsin\left(\sin\frac{9\pi}{7}\right)$, $\arccos\left(\cos\left(-\frac{11\pi}{5}\right)\right)$, $\arctan\left(\tan\frac{19\pi}{8}\right)$ e $\arcsin(\sin 10)$.

Primo. $\frac{9\pi}{7}$ sta già in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, perché $\frac{9}{7}$ è minore di $\frac{3}{2}$, ma supera $\frac{\pi}{2}$: si prende il supplementare.

$$\arcsin\left(\sin\frac{9\pi}{7}\right) = \pi - \frac{9\pi}{7} = -\frac{2\pi}{7}$$

Controllo: $-\frac{2\pi}{7} \approx -0{,}898$ sta in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Secondo. Aggiungendo un giro, $-\frac{11\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = -\frac{\pi}{5}$, che sta in $[-\pi, \pi]$. Il coseno è pari, quindi si prende il valore assoluto: il risultato è $\frac{\pi}{5}$.

Terzo. La tangente ha periodo $\pi$: togliendo $2\pi = \frac{16\pi}{8}$ si ottiene $\frac{3\pi}{8}$, che sta in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ perché $3 < 4$. Il risultato è $\frac{3\pi}{8}$.

Quarto. Senza $\pi$ si lavora con i decimali. Togliendo un giro, $10 - 2\pi \approx 3{,}717$, che sta tra $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ e $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$: si prende il supplementare.

$$\begin{gathered} \arcsin(\sin 10) = \pi - (10 - 2\pi) \\ {} = 3\pi - 10 \approx -0{,}575 \end{gathered}$$

I risultati sono $-\frac{2\pi}{7}$, $\frac{\pi}{5}$, $\frac{3\pi}{8}$ e $3\pi - 10$: nessuno è l’angolo di partenza.

3. Composizioni

Testo. Calcola $\sin\left(\arccos\left(-\frac{11}{61}\right)\right)$, $\tan\left(\arcsin\left(-\frac{28}{53}\right)\right)$, $\sin\left(\arctan\left(-\sqrt{15}\right)\right)$ e $\tan\left(2\arcsin\frac{1}{3}\right)$.

Primo. Sia $\alpha = \arccos\left(-\frac{11}{61}\right) \in [0, \pi]$: lì il seno non è negativo.

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{121}{3721}} = \sqrt{\frac{3600}{3721}} = \frac{60}{61}$$

Positivo, anche se l’argomento era negativo.

Secondo. Sia $\alpha = \arcsin\left(-\frac{28}{53}\right)$, un angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e 0, dove il coseno è positivo. Siccome $53^2 - 28^2 = 2025 = 45^2$:

$$\begin{gathered} \cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{784}{2809}} = \frac{45}{53} \\[4pt] \tan\alpha = \frac{-28/53}{45/53} = -\frac{28}{45} \end{gathered}$$

Terzo. Sia $\alpha = \arctan\left(-\sqrt{15}\right)$, tra $-\frac{\pi}{2}$ e 0: coseno positivo, seno negativo. Da $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1}{16}$ segue $\cos\alpha = \frac{1}{4}$, e quindi

$$\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Quarto. Sia $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$, nel primo quadrante: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Con le formule di duplicazione:

$$\begin{gathered} \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \\[4pt] \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9} \\[4pt] \tan 2\alpha = \frac{4\sqrt{2}/9}{7/9} = \frac{4\sqrt{2}}{7} \end{gathered}$$

I risultati sono $\frac{60}{61}$, $-\frac{28}{45}$, $-\frac{\sqrt{15}}{4}$ e $\frac{4\sqrt{2}}{7} \approx 0{,}808$. In ogni caso il segno l’ha deciso l’intervallo dell’inversa, non un $\pm$ scelto a caso.

4. Un dominio

Testo. Trova il dominio di

$$f(x) = \arcsin\left(x^2 - 3\right) + \sqrt{\frac{\pi}{4} - \arctan x}$$

L’arcoseno. Serve $-1 \leq x^2 - 3 \leq 1$, cioè $2 \leq x^2 \leq 4$. Estraendo la radice, $\sqrt{2} \leq |x| \leq 2$:

$$-2 \leq x \leq -\sqrt{2} \quad \text{oppure} \quad \sqrt{2} \leq x \leq 2$$

La radice. Serve $\arctan x \leq \frac{\pi}{4} = \arctan 1$. L’arcotangente è strettamente crescente, quindi la disuguaglianza passa agli argomenti con lo stesso verso: $x \leq 1$.

L’intersezione. Il tratto $\left[\sqrt{2}, 2\right]$ è escluso, perché $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ supera 1. Resta

$$D = \left[-2, -\sqrt{2}\right]$$

Controllo: con $x = 1{,}5$ l’arcoseno esiste, ma $\arctan 1{,}5 \approx 0{,}983$ supera $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$; con $x = -1{,}5$ esistono entrambi i termini.

5. Un’identità con la bisezione

Testo. Dimostra che per $-1 < x \leq 1$

$$\arccos x = 2\arctan\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$$

Controllala con $x = -\frac{1}{2}$ e spiega perché si esclude $x = -1$.

La dimostrazione. Sia $\alpha = \arccos x$. Siccome $x \neq -1$, $\alpha$ sta in $[0, \pi)$, quindi $\frac{\alpha}{2}$ sta in $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$, dove la tangente esiste e non è negativa. Per la bisezione della tangente:

$$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - x}{1 + x}$$

Siccome $\tan\frac{\alpha}{2} \geq 0$, si prende la radice positiva: $\tan\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$. E $\frac{\alpha}{2}$ sta in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, quindi per la definizione di arcotangente

$$\frac{\alpha}{2} = \arctan\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$$

Moltiplicando per 2 si ottiene la tesi. L’intervallo è servito due volte: per il segno della radice e per riconoscere l’arcotangente.

Il controllo. Con $x = -\frac{1}{2}$ il primo membro vale $\frac{2\pi}{3}$; nel secondo $\frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = 3$, e $2\arctan\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Perché si esclude $x = -1$. Lì il denominatore $1 + x$ si annulla e il secondo membro non esiste, anche se $\arccos(-1) = \pi$ sì. Per $x$ che tende a $-1$ da destra il secondo membro tende a $2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$, ma lo raggiunge solo come limite.

6. Da esame: una funzione con l’arcocoseno

Testo. Sia $f(x) = \arccos\left(1 - x^2\right)$.

• a) Trova il dominio, studia la parità e trova l’immagine.
• b) Risolvi l’equazione $f(x) = \frac{2\pi}{3}$.
• c) Dimostra che $f(x) = 2\arcsin\frac{|x|}{\sqrt{2}}$ e disegna il grafico.

a) Dominio, parità, immagine. Serve $-1 \leq 1 - x^2 \leq 1$. La disuguaglianza di destra equivale a $x^2 \geq 0$, sempre vera; quella di sinistra a $x^2 \leq 2$. Il dominio è $\left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$ e $f(-x) = f(x)$: la funzione è pari. Per $x$ da 0 a $\sqrt{2}$, $1 - x^2$ scende strettamente da 1 a $-1$ e l’arcocoseno è strettamente decrescente, quindi $f$ sale strettamente da $\arccos 1 = 0$ ad $\arccos(-1) = \pi$, passando per $f(1) = \frac{\pi}{2}$. L’immagine è $[0, \pi]$.

b) L’equazione. Siccome $\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$, $\arccos t = \frac{2\pi}{3}$ equivale a $t = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} 1 - x^2 = -\frac{1}{2} \ \Rightarrow\ x^2 = \frac{3}{2} \\[4pt] x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} \approx \pm 1{,}225 \end{gathered}$$

Entrambe stanno nel dominio, perché $\frac{\sqrt{6}}{2}$ è minore di $\sqrt{2}$.

c) La formula e il grafico. Sia $t = f(x) \in [0, \pi]$, con $\cos t = 1 - x^2$. Allora $\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, dove il seno non è negativo, e per la bisezione del seno

$$\sin^2\frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{x^2}{2}$$

Quindi $\sin\frac{t}{2} = \sqrt{\frac{x^2}{2}} = \frac{|x|}{\sqrt{2}}$, perché $\sqrt{x^2} = |x|$. Siccome $\frac{t}{2}$ sta in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, è proprio $\arcsin\frac{|x|}{\sqrt{2}}$: moltiplicando per 2 si ottiene la formula.

Per $x \geq 0$ il grafico è quello dell’arcoseno allargato di un fattore $\sqrt{2}$ in orizzontale e 2 in verticale; per $x \leq 0$ si ottiene per simmetria rispetto all’asse $y$. Passa per $(0, 0)$, $\left(\pm 1, \frac{\pi}{2}\right)$ e $\left(\pm\sqrt{2}, \pi\right)$. Vicino all’origine l’arcoseno quasi coincide con la bisettrice, quindi $f(x)$ è circa $\sqrt{2}\,|x|$: i due rami si incontrano formando un angolo, come nel grafico di $|x|$.

Altri esercizi su tutto il capitolo sono negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• Seno, coseno e tangente si invertono restringendoli dove sono strettamente monotoni e assumono tutti i valori: $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, $[0, \pi]$, $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$; la cotangente su $(0, \pi)$.
• $\arcsin$ e $\arccos$: dominio $[-1, 1]$, immagini $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $[0, \pi]$. $\arctan$: dominio $\mathbb{R}$, immagine aperta $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, asintoti $y = \pm\frac{\pi}{2}$.
• Grafici simmetrici rispetto a $y = x$: arcoseno e arcotangente strettamente crescenti e dispari, arcocoseno strettamente decrescente, con $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
• $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$; $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \pm\frac{\pi}{2}$ con il segno di $x$; $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$.
• $\sin(\arcsin x) = x$ per ogni $x \in [-1, 1]$, $\arcsin(\sin x) = x$ solo per $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$: altrimenti si riduce l’angolo.
• Composizioni: dai un nome all’angolo e guarda il segno, $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$, $\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
• $\sin^{-1}$ è l’arcoseno, da usare in RAD; $\arcsin a$ è una sola soluzione di $\sin x = a$, l’altra è $\pi - \arcsin a$.

Ultimo passo del capitolo: le sinusoidi «modificate», come $3\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$, che descrivono oscillazioni e onde in Fisica: sinusoidi: ampiezza, periodo e fase.