Teorema fondamentale del calcolo integrale: funzione integrale ed esercizi svolti

Il teorema fondamentale del calcolo integrale collega derivate e integrali: l’area sotto un grafico, letta come funzione dell’estremo destro, ha come derivata la funzione stessa. Da qui nasce la formula $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$, che trasforma un’area, definita nell’integrale definito con somme e limiti, in un conto di una riga con una primitiva. All’esame di Analisi 1 lo usi in ogni integrale definito, nella domanda di teoria e negli esercizi sulle funzioni integrali. In questa pagina vediamo la funzione integrale, il teorema di Torricelli-Barrow con la dimostrazione, cosa succede in un salto, la formula fondamentale con esempi e una trappola, la derivata con estremi variabili, i limiti con de l’Hôpital, lo studio di una funzione integrale, il logaritmo come area, il significato fisico, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La funzione integrale

Fissa una funzione $f$ definita su un intervallo $I$ e integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $I$ (per esempio continua), e un punto $a \in I$. Per ogni $x \in I$ l’integrale da $a$ a $x$ è un numero: l’area con segno sotto il grafico tra $a$ e $x$. Facendo variare $x$ ottieni una nuova funzione.

Immagina un sipario verticale che parte da $a$ e scorre verso destra: $F(x)$ misura quanta area hai scoperto finora, con le parti sotto l’asse che contano negative. Se $x < a$, per la convenzione $\int_a^x f = -\int_x^a f$, l’area conta con il segno cambiato.

Tre cose da notare subito.

• Perché $t$ e non $x$. La $x$ è già occupata: è l’estremo, il punto in cui calcoli $F$. Dentro serve una variabile «muta» che scorre da $a$ a $x$: $\int_a^x f(t)\,dt$ e $\int_a^x f(s)\,ds$ sono lo stesso numero.
• $F(a) = 0$. Da $a$ ad $a$ non c’è area. È l’unico valore che conosci sempre senza conti.
• Cambiare il punto base aggiunge una costante. Se scegli un altro punto $b \in I$, per l’additività

$$\begin{gathered} \int_a^x f(t)\,dt \\ {} = \int_a^b f(t)\,dt + \int_b^x f(t)\,dt \end{gathered}$$

e il primo addendo non dipende da $x$. Con $f(t) = 2t$: dal punto base 0 si ottiene $x^2$, dal punto base 1 si ottiene $x^2 - 1$.

F è continua anche quando f non lo è

Perché è vero. Per l’additività $F(x) - F(y) = \int_y^x f(t)\,dt$: l’integrale di una funzione compresa tra $-M$ e $M$ su un intervallo lungo $\lvert x - y \rvert$. Per le stime con minimo e massimo vale al massimo $M\lvert x - y \rvert$ in valore assoluto, e questo tende a 0 quando $y \to x$. Un tale $M$ esiste sempre, perché una funzione integrabile è limitata. È la condizione di Lipschitz: il grafico di $F$ non è mai più ripido di $M$.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale

L’idea è nella figura. Quando $x$ avanza di $h$, l’area aumenta della striscia tra $x$ e $x + h$. Se $h$ è piccolo e $f$ è continua, la striscia è quasi un rettangolo di base $h$ e altezza $f(x)$: l’incremento diviso $h$ è circa $f(x)$.

Dimostrazione

Fissa $x \in I$ e $h \neq 0$ con $x + h \in I$. Per l’additività l’incremento di $F$ è l’integrale sulla striscia:

$$F(x + h) - F(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,dt$$

$f$ è continua sull’intervallo chiuso di estremi $x$ e $x + h$. Per il teorema della media integrale esiste un punto $c_h$ tra $x$ e $x + h$ tale che l’integrale vale $f(c_h) \cdot h$. Se $h > 0$ è proprio l’enunciato del teorema; se $h < 0$ l’intervallo è $[x + h, x]$, lungo $-h$, e lo scambio degli estremi porta un segno meno che si compensa: $-f(c_h) \cdot (-h) = f(c_h) \cdot h$. In entrambi i casi

$$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(c_h)$$

Quando $h \to 0$, il punto $c_h$, chiuso tra $x$ e $x + h$, tende a $x$, e per la continuità $f(c_h) \to f(x)$. Il limite del rapporto incrementale esiste e vale $f(x)$: è proprio $F'(x) = f(x)$.

Il significato: l’area cresce alla velocità dell’altezza

La rapidità con cui cresce l’area è l’altezza del grafico nel punto in cui sei. Dove $f$ è alta, $F$ sale ripida; dove $f$ è negativa, $F$ scende; dove $f$ si annulla, $F$ ha tangente orizzontale.

Per $F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt$ il teorema prevede $F'(1) = e^{-1} \approx 0{,}368$. Ecco i rapporti incrementali in $x = 1$, calcolati con Python:

$h$	rapporto incrementale
0,1	0,3324
0,01	0,3642
0,001	0,3675

Si avvicinano a 0,368, anche se per $F$ non abbiamo una formula.

Ogni funzione continua ha una primitiva

Ecco la conseguenza che nell’integrale indefinito era stata solo annunciata.

Vale anche quando la primitiva non si scrive con le funzioni elementari, come per $e^{-x^2}$. E la primitiva che in $x_0$ vale $y_0$ si scrive subito: $F(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t)\,dt$.

Il viceversa invece è falso: una funzione integrale si annulla nel suo punto base, mentre $x^2 + 1$, primitiva di $2x$, non si annulla mai. Non tutte le primitive sono funzioni integrali.

Cosa succede dove f ha un salto

Senza continuità il teorema può fallire, ma in un modo preciso. Prendi la funzione segno, che vale $-1$ per $t < 0$, $0$ in $t = 0$ e $1$ per $t > 0$: è limitata con una sola discontinuità, quindi integrabile. Per $F(x) = \int_0^x \operatorname{sgn} t\,dt$:

• se $x > 0$ integri la costante 1 da 0 a $x$: $F(x) = x$;
• se $x < 0$, l’integrale di $-1$ su $[x, 0]$ vale $-(0 - x) = x$, e scambiando gli estremi cambia segno: $F(x) = -x$.

Quindi $F(x) = \lvert x \rvert$: continua, come garantisce la condizione di Lipschitz, ma con un punto angoloso nell’origine. La derivata sinistra è $-1$ e la destra è $1$: proprio i limiti di $f$ da sinistra e da destra.

Perché è vero. Per $h > 0$,

$$\begin{gathered} \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - \ell_+ \\ {} = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0 + h} \big(f(t) - \ell_+\big)\,dt \end{gathered}$$

Fissato $\varepsilon > 0$, per $h$ abbastanza piccolo vale $\lvert f(t) - \ell_+ \rvert < \varepsilon$ su tutta la striscia (il valore nel solo punto $x_0$ non cambia l’integrale), quindi il secondo membro in valore assoluto non supera $\varepsilon$.

È coerente con quanto visto nell’integrale indefinito: la funzione segno non ha primitive su $\mathbb{R}$, e la sua funzione integrale $\lvert x \rvert$ non è derivabile in 0. Se invece la discontinuità di $f$ è eliminabile, i due limiti coincidono e $F$ è derivabile, ma con derivata uguale al limite, non al valore $f(x_0)$.

La formula fondamentale del calcolo integrale

Ora il passo che userai sempre. Sia $f$ continua su $[a, b]$ e sia $G$ una qualsiasi sua primitiva. Anche $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ è una primitiva, e su un intervallo due primitive differiscono per una costante (per il teorema di Lagrange): $F(x) = G(x) + c$. In $x = a$, siccome $F(a) = 0$, trovi $c = -G(a)$. Quindi $F(x) = G(x) - G(a)$ e, per $x = b$:

La costante di integrazione non serve: con $G + c$ al posto di $G$, la $c$ si cancella nella differenza. E la formula vale anche con $a > b$, perché scambiando gli estremi entrambi i membri cambiano segno.

La scaletta.

1. Controlla le ipotesi: $f$ deve essere continua su tutto $[a, b]$, estremi compresi.
2. Trova una primitiva $G$, con la tabella, gli integrali immediati o le tecniche: per sostituzione, per parti, per le funzioni razionali fratte e le goniometriche.
3. Calcola $G(b) - G(a)$: estremo superiore meno estremo inferiore.
4. Controlla il segno (se $f \geq 0$ e $a < b$ il risultato non può essere negativo) e l’ordine di grandezza, con la stima $m(b - a) \leq \int_a^b f \leq M(b - a)$, dove $m$ e $M$ sono minimo e massimo di $f$.

Esempi svolti

Esempio 1: una radice. Su $[1, 4]$ la funzione $\sqrt{x} = x^{1/2}$ è continua e una primitiva è $\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$:

$$\begin{gathered} \int_1^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right]_1^4 \\ {} = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} \approx 4{,}67 \end{gathered}$$

Stima: tra 1 e 4 la radice va da 1 a 2, quindi l’integrale sta tra $1 \cdot 3 = 3$ e $2 \cdot 3 = 6$.

Esempio 2: un integrale negativo.

$$\begin{gathered} \int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^2 \\ {} = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Il segno torna: $x^2 - 2x = x(x - 2)$ è negativa tra 0 e 2. Torna anche la stima: il minimo è $-1$, in $x = 1$, quindi il risultato sta tra $-2$ e $0$. L’area geometrica è $\frac{4}{3}$, come vedrai nel calcolo delle aree.

Esempio 3: l’iperbole. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \big[\ln x\big]_1^e = 1 - 0 = 1$. Su $[1, e]$ la funzione sta tra $\frac{1}{e}$ e 1, su un intervallo lungo $e - 1 \approx 1{,}72$: la stima dà un valore tra $0{,}63$ e $1{,}72$.

Esempio 4: π senza cerchi. $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \big[\arctan x\big]_0^1 = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$, tra $\frac{1}{2}$ e 1 come prevede la stima.

La trappola: la continuità serve davvero

Calcola $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx$ «alla cieca» con la primitiva $-\frac{1}{x}$:

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Derivare una funzione integrale

Il teorema dà la regola di base: per derivare $\int_a^x f(t)\,dt$, con $f$ continua, si sostituisce $x$ al posto di $t$ nell’integranda. Il punto base non conta. Se la $x$ sta nell’estremo inferiore compare un segno meno, perché $\int_x^b f = -\int_b^x f$:

$$\frac{d}{dx}\int_x^b f(t)\,dt = -f(x)$$

Quando l’estremo è una funzione di $x$ entra in gioco la regola della catena.

Perché è vero. Sia $F(u) = \int_a^u f(t)\,dt$, con $a \in I$. Allora $\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = F\big(g(x)\big)$ è una funzione composta, con derivata $F'\big(g(x)\big)\,g'(x) = f\big(g(x)\big)\,g'(x)$. Con due estremi variabili l’integrale è $F\big(g(x)\big) - F\big(h(x)\big)$, e si derivano i due pezzi.

Esempio 1. Con $f(t) = e^{-t^2}$ e $g(x) = x^2$:

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt = 2x\,e^{-x^4}$$

perché $f(x^2) = e^{-(x^2)^2} = e^{-x^4}$, non $e^{-x^2}$. Non serve calcolare l’integrale (e con le funzioni elementari non si potrebbe).

Esempio 2. $G(x) = \int_x^{2x} \frac{\sin t}{t}\,dt$. Prolungando l’integranda con il valore 1 in $t = 0$, il limite notevole di $\frac{\sin t}{t}$, diventa continua su $\mathbb{R}$. Per $x \neq 0$:

$$\begin{gathered} G'(x) = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 - \frac{\sin x}{x} \\ {} = \frac{\sin 2x - \sin x}{x} \end{gathered}$$

In $x = 0$ la formula generale dà $G'(0) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 1$, che è anche il limite dell’espressione trovata.

Limiti con le funzioni integrali

Se sostituendo esce $\frac{0}{0}$, lo strumento naturale è il teorema di de l’Hôpital: la derivata della funzione integrale la dà il teorema fondamentale. Calcoliamo

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3}\int_0^x \sin(t^2)\,dt$$

Numeratore e denominatore tendono a 0 e sono derivabili; la derivata del denominatore, $3x^2$, non si annulla per $x \neq 0$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2)\,dt}{x^3} \\ {} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{3x^2} = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

usando $\frac{\sin u}{u} \to 1$ con $u = x^2$. Controllo intuitivo: vicino a 0, $\sin(t^2) \approx t^2$, e $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Studiare una funzione integrale

Il teorema permette di studiare una funzione integrale senza calcolare l’integrale. È un classico esercizio d’esame. La scaletta, come nello studio di funzione:

1. Dominio: negli esercizi tipici, l’intervallo più grande che contiene il punto base e su cui $f$ è continua (se $f$ ha un salto, o un integrale improprio converge, il dominio può essere più ampio).
2. Un valore e il segno: $F(a) = 0$; se $f > 0$, $F(x)$ è positiva per $x > a$ e negativa per $x < a$.
3. Simmetrie: se $f$ è pari e il punto base è 0, $F$ è dispari.
4. Monotonia dal segno di $F' = f$, concavità dal segno di $F'' = f'$.
5. Limiti agli estremi: con confronti e stime, perché di solito l’integrale non si calcola.

Studiamo

$$F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt$$

• Dominio: $\mathbb{R}$, perché $e^{-t^2}$ è continua ovunque. Un valore: $F(0) = 0$.
• Simmetria: l’integranda è pari, quindi $F$ è dispari. Con la sostituzione $t = -s$:

$$\begin{gathered} F(-x) = \int_0^{-x} e^{-t^2}\,dt \\ {} = -\int_0^{x} e^{-s^2}\,ds = -F(x) \end{gathered}$$

• Segno: per $x > 0$ integri una funzione positiva da 0 a $x$, quindi $F(x) > 0$; per disparità $F(x) < 0$ se $x < 0$.
• Monotonia: $F'(x) = e^{-x^2} > 0$: $F$ è strettamente crescente, con pendenza massima $F'(0) = 1$.
• Concavità: $F''(x) = -2x\,e^{-x^2}$ è positiva per $x < 0$ e negativa per $x > 0$: flesso nell’origine, con tangente $y = x$.
• Limiti: $F$ è crescente, quindi per $x \to +\infty$ ha limite, finito o $+\infty$. È finito perché $F$ è limitata: per $t \geq 1$ vale $t^2 \geq t$, quindi $e^{-t^2} \leq e^{-t}$, mentre su $[0, 1]$ l’integranda è al massimo 1. Per $x > 1$:

$$\begin{gathered} F(x) \leq \int_0^1 1\,dt + \int_1^x e^{-t}\,dt \\ {} = 1 + \frac{1}{e} - e^{-x} < 1{,}37 \end{gathered}$$

Il valore esatto è l’area sotto mezza campana di Gauss, un risultato celebre che trovi negli integrali impropri: $\frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}886$. Per disparità, a $-\infty$ il limite è $-\frac{\sqrt{\pi}}{2}$: due asintoti orizzontali.

La crescita è rapidissima: $F(1) \approx 0{,}747$ e $F(2) \approx 0{,}882$, già a meno di 0,005 dal limite.

Moltiplicata per $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$, questa funzione si chiama funzione degli errori ed è usatissima in statistica, per le aree sotto la campana di Gauss. Un altro studio completo, con due asintoti obliqui, è negli esercizi svolti sugli integrali.

Il logaritmo come funzione integrale

In alcuni corsi il logaritmo si definisce con un integrale:

$$L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}, \quad x > 0$$

Le sue proprietà escono dal teorema fondamentale, senza sapere nulla degli esponenziali.

• $L(1) = 0$, $L'(x) = \frac{1}{x} > 0$ e $L''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$: $L$ è crescente e concava.
• $L(ab) = L(a) + L(b)$ per $a, b > 0$. Spezza l’integrale in $a$ e nel secondo pezzo fai la sostituzione $t = as$, con $dt = a\,ds$: quando $t$ va da $a$ ad $ab$, $s$ va da 1 a $b$.

$$\begin{gathered} L(ab) = \int_1^a \frac{dt}{t} + \int_a^{ab} \frac{dt}{t} \\ {} = L(a) + \int_1^b \frac{a\,ds}{a\,s} = L(a) + L(b) \end{gathered}$$

• Da qui $L(2^n) = n\,L(2)$, con $L(2) > 0$: $L$ non è limitata e, essendo crescente, tende a $+\infty$. Continua e crescente, assume ogni valore positivo una sola volta: il numero $e$ è il punto in cui $L(e) = 1$, come nell’esempio 3.

Così $L$ coincide con il logaritmo naturale: per esempio $L(2) = \ln 2 \approx 0{,}693$.

Il significato fisico

Se $v(t)$ è la velocità di un punto che si muove su una retta, la posizione all’istante $t$ è la posizione iniziale più lo spostamento accumulato:

$$s(t) = s(t_0) + \int_{t_0}^{t} v(u)\,du$$

Il teorema fondamentale dice che $s'(t) = v(t)$: la velocità è la rapidità con cui si accumula lo spostamento. È la formula della dimostrazione con gli integrali nel moto rettilineo uniforme. Con $v(t) = 6t - t^2$ m/s, positiva tra 0 e 6 s, in quei sei secondi il punto percorre

$$\begin{gathered} \int_0^6 (6t - t^2)\,dt = \left[3t^2 - \frac{t^3}{3}\right]_0^6 \\ {} = 108 - 72 = 36\ \text{m} \end{gathered}$$

Allo stesso modo il lavoro di una forza variabile lungo una retta è l’integrale della forza, e la sua derivata rispetto alla posizione è la forza.

Una storia a più mani

Evangelista Torricelli, assistente di Galileo negli ultimi mesi di vita del maestro, studiando il moto intuì che il problema delle tangenti e quello delle aree sono uno l’inverso dell’altro, anche se non lo enunciò in modo esplicito. Isaac Barrow, primo professore lucasiano di matematica a Cambridge, ne diede una versione geometrica, con dimostrazione, nelle Lectiones geometricae pubblicate nel 1670 (lezione X, proposizione 11). Nel 1669 aveva lasciato la cattedra, che passò al giovane Isaac Newton.

Furono però Newton, in un trattato sulle flussioni dell’ottobre 1666, e Gottfried Wilhelm Leibniz, a metà degli anni Settanta e in modo indipendente, a farne il cuore di un metodo generale: integrare diventò cercare una primitiva. La notazione $\int$ e $dx$ è di Leibniz. La dimostrazione rigorosa per le funzioni continue, con il teorema della media come in questa pagina, arrivò nel 1823 con Augustin-Louis Cauchy, nel Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal.

Gli errori più comuni

• Usare la stessa lettera per estremo e variabile. $\int_0^x f(x)\,dx$ non ha senso: si scrive $\int_0^x f(t)\,dt$.
• Dimenticare la regola della catena. La derivata di $\int_0^{x^2} f(t)\,dt$ è $f(x^2) \cdot 2x$, non $f(x^2)$ (esercizio 2).
• Dimenticare il segno meno con l’estremo inferiore variabile. $\frac{d}{dx}\int_x^b f(t)\,dt = -f(x)$ (esercizio 2).
• Usare la formula fondamentale senza controllare la continuità. Se $f$ va all’infinito nell’intervallo il «risultato» non ha senso (esercizio 6).
• Pensare che $F$ sia derivabile ovunque. Dove $f$ ha un salto, $F$ ha un punto angoloso.
• Credere che ogni primitiva sia una funzione integrale. Una funzione integrale si annulla nel punto base (esercizio 5).
• Cercare a tutti i costi l’integrale per studiare $F$. Monotonia e concavità vengono da $F' = f$ e $F'' = f'$ (esercizio 4).

Esercizi svolti

1. La formula fondamentale con il controllo

Testo. Calcola $\displaystyle\int_1^2 \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 dx$, controlla il risultato con una stima e deduci quanto vale lo stesso integrale da 2 a 1.

La funzione è continua su $[1, 2]$, perché lì $x \neq 0$. Il quadrato va sviluppato:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

Una primitiva è $\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}$, perché $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ ha primitiva $-x^{-1}$:

$$\begin{gathered} \left[\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}\right]_1^2 \\ {} = \left(\frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{3} + 2 - 1\right) \\ {} = \frac{37}{6} - \frac{8}{6} = \frac{29}{6} \approx 4{,}83 \end{gathered}$$

Stima: per $x \geq 1$ la funzione $x + \frac{1}{x}$ è crescente (la sua derivata $1 - \frac{1}{x^2}$ non è negativa), quindi il quadrato va da $2^2 = 4$ a $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = 6{,}25$. Su un intervallo lungo 1 l’integrale sta tra 4 e 6,25, e 4,83 ci sta. Scambiando gli estremi cambia il segno: da 2 a 1 l’integrale vale $-\frac{29}{6}$.

2. Derivate con estremi variabili

Testo. Calcola la derivata di (a) $G(x) = \displaystyle\int_{x^3}^{1} \sqrt{1 + t^4}\,dt$ e (b) $H(x) = \displaystyle\int_{-x}^{x} \cos(t^2)\,dt$. Scrivi poi la retta tangente al grafico di $H$ nell’origine.

(a) L’integranda è continua su $\mathbb{R}$. L’estremo variabile è quello inferiore, quindi $G(x) = -\int_1^{x^3} \sqrt{1 + t^4}\,dt$. Con la regola della catena, $f(x^3) = \sqrt{1 + (x^3)^4} = \sqrt{1 + x^{12}}$ e $(x^3)' = 3x^2$:

$$G'(x) = -3x^2\sqrt{1 + x^{12}}$$

(b) Usiamo la formula con $g(x) = x$ e $h(x) = -x$, quindi $g'(x) = 1$ e $h'(x) = -1$:

$$\begin{gathered} H'(x) = \cos(x^2) \cdot 1 - \cos\big((-x)^2\big) \cdot (-1) \\ {} = 2\cos(x^2) \end{gathered}$$

Nell’origine $H(0) = \int_0^0 \cos(t^2)\,dt = 0$ e $H'(0) = 2\cos 0 = 2$: la tangente è $y = 2x$. Ha senso: vicino a 0 l’integranda vale circa 1, e l’integrale di 1 su un intervallo lungo $2x$ è $2x$.

3. Un limite con de l’Hôpital

Testo. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4}\int_0^{x^2} \ln(1 + t)\,dt$.

$\ln(1 + t)$ è continua per $t > -1$, quindi anche su $[0, x^2]$. Per $x \to 0$ il numeratore tende a $\int_0^0 \ln(1 + t)\,dt = 0$ e il denominatore a 0: forma $\frac{0}{0}$. La derivata del numeratore, con la regola della catena, è $\ln(1 + x^2) \cdot 2x$; quella del denominatore, $4x^3$, non si annulla per $x \neq 0$. Con de l’Hôpital:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0} \frac{2x\ln(1 + x^2)}{4x^3} \\ {} = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

per il limite notevole $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$, con $u = x^2$. Controllo: per $t$ vicino a 0, $\ln(1 + t) \approx t$, e $\int_0^{x^2} t\,dt = \frac{x^4}{2}$. Il limite vale $\frac{1}{2}$.

4. Studio di una funzione integrale

Testo. Studia $F(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{e^t}{t}\,dt$: dominio, segno, monotonia, concavità, limiti e asintoti.

Dominio. L’integranda è continua per $t \neq 0$ e il punto base è 1: il dominio è $(0, +\infty)$. Per $x \leq 0$ tra 1 e $x$ ci sarebbe lo 0, dove $\frac{e^t}{t}$ va all’infinito, e l’integrale improprio diverge, perché $\frac{e^t}{t} \geq \frac{1}{t}$ per $t > 0$.

Segno. $F(1) = 0$. Per $x > 1$ integri una funzione positiva da sinistra a destra: $F(x) > 0$. Per $0 < x < 1$, $F(x) = -\int_x^1 \frac{e^t}{t}\,dt < 0$.

Monotonia. $F'(x) = \frac{e^x}{x} > 0$ per $x > 0$: $F$ è strettamente crescente, senza massimi né minimi.

Concavità. Con la regola del quoziente:

$$F''(x) = \frac{e^x\,x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

È negativa per $0 < x < 1$ e positiva per $x > 1$: $F$ è concava e poi convessa, con un flesso in $(1, 0)$, dove la tangente ha pendenza $F'(1) = e$.

Limiti. Per $0 < t \leq 1$ vale $\frac{e^t}{t} \geq \frac{1}{t}$, perché $e^t \geq 1$. Quindi, per $0 < x < 1$,

$$\begin{gathered} F(x) = -\int_x^1 \frac{e^t}{t}\,dt \\ {} \leq -\int_x^1 \frac{dt}{t} = \ln x \end{gathered}$$

e $\ln x \to -\infty$ per $x \to 0^+$: anche $F(x) \to -\infty$, e la retta $x = 0$ è un asintoto verticale. Per $t > 1$, invece, $\frac{e^t}{t}$ è crescente (la sua derivata è $F''$, positiva lì), quindi vale almeno $e$, e $F(x) \geq e\,(x - 1) \to +\infty$. Con de l’Hôpital, $\frac{F(x)}{x}$ ha lo stesso limite di $\frac{e^x}{x}$, cioè $+\infty$: nessun asintoto obliquo.

In sintesi: $F$ sale da $-\infty$ a $+\infty$ passando per il flesso $(1, 0)$; numericamente $F\left(\frac{1}{2}\right) \approx -1{,}44$ e $F(2) \approx 3{,}06$.

5. Trovare f da un’identità

Testo. (a) Trova la funzione continua $f$ tale che $\int_0^x f(t)\,dt = x^2\cos x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, e calcola $\int_0^\pi f(t)\,dt$. (b) Esistono una funzione continua $f$ e una costante $a$ tali che $\int_a^x f(t)\,dt = x^2 - 4$ per ogni $x$?

(a) Il primo membro è una funzione integrale di una $f$ continua: per il teorema fondamentale la sua derivata è $f(x)$. Derivando i due membri, con la regola del prodotto:

$$f(x) = 2x\cos x - x^2\sin x$$

Controllo: $t^2\cos t$ è una primitiva di $f$ che vale 0 in $t = 0$, quindi per la formula fondamentale $\int_0^x f(t)\,dt = x^2\cos x$. Per l’integrale richiesto basta l’identità con $x = \pi$: vale $\pi^2\cos\pi = -\pi^2$.

(b) Derivando, $f(x) = 2x$. Ma il primo membro si annulla nel punto base: con $x = a$ si ottiene $0 = a^2 - 4$, cioè $a = 2$ oppure $a = -2$. Controllo con $a = 2$: $\int_2^x 2t\,dt = x^2 - 4$. Con $x^2 + 4$ a destra, invece, non ci sarebbe nessun $a$, perché $a^2 + 4 = 0$ è impossibile: $x^2 + 4$ è una primitiva di $2x$, ma non una sua funzione integrale.

6. Una trappola: l’integranda non è continua

Testo. Uno studente scrive $\int_0^\pi \frac{dx}{\cos^2 x} = \big[\tan x\big]_0^\pi = 0$. Dove sbaglia? Calcola invece $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

L’integranda è positiva, quindi 0 è sospetto. L’errore è nelle ipotesi: $\cos x = 0$ in $x = \frac{\pi}{2}$, che sta in $[0, \pi]$. Lì l’integranda va all’infinito, e $\tan x$ non è una primitiva su $[0, \pi]$, perché in $\frac{\pi}{2}$ non esiste. L’integrale è improprio e diverge: $\int_0^b \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan b$ tende a $+\infty$ per $b \to \frac{\pi}{2}^-$.

Su $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$, invece, $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ e l’integranda è continua:

$$\begin{gathered} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} = \big[\tan x\big]_{-\pi/4}^{\pi/4} \\ {} = 1 - (-1) = 2 \end{gathered}$$

Stima: lì $\frac{1}{\cos^2 x}$ va da 1 a 2, su un intervallo lungo $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, quindi l’integrale sta tra 1,57 e 3,14. Stessa funzione, ma è l’intervallo a decidere se la formula si può usare.

In sintesi

• Funzione integrale: $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, con $F(a) = 0$; cambiare il punto base aggiunge una costante. Se $\lvert f \rvert \leq M$, $F$ è continua, anzi lipschitziana.
• Torricelli-Barrow: se $f$ è continua su un intervallo, $F'(x) = f(x)$. Ogni funzione continua su un intervallo ha una primitiva.
• Dove $f$ ha un salto, $F$ ha un punto angoloso, con derivate laterali uguali ai limiti laterali di $f$.
• Formula fondamentale: $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$, con $G$ primitiva qualsiasi e $f$ continua su tutto $[a, b]$.
• Estremi variabili: la derivata di $\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt$ è $f\big(g(x)\big)\,g'(x) - f\big(h(x)\big)\,h'(x)$.
• Studio di una funzione integrale: monotonia da $F' = f$, concavità da $F'' = f'$, limiti con stime; nei limiti $\frac{0}{0}$ si usa de l’Hôpital.
• $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$, e in Fisica la posizione è l’integrale della velocità.

Ora il problema è trovare le primitive. Si comincia dalla tecnica più versatile: l’integrazione per sostituzione.