Centro di massa: definizione, formula, teorema del moto ed esercizi svolti

Lancia in aria un martello facendolo ruotare: ogni suo punto descrive una traiettoria complicata, ma c’è un punto che segue una perfetta parabola, come una pallina lanciata. È il centro di massa, il punto che rappresenta il moto complessivo di un sistema. In questa pagina vediamo come si calcola, il caso di due masse, le proprietà che fanno risparmiare conti, il baricentro, la velocità del centro di massa, il teorema del moto, il baricentro di Terra e Luna, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La definizione

Il centro di massa di un sistema di $n$ punti materiali, di masse $m_i$ e posizioni $\vec{r}_i$, è il punto di posizione:

$$\begin{gathered} \vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \dots + m_n\vec{r}_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n} \\ \vec{r}_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{r}_i}{M} \end{gathered}$$

dove $M = \sum m_i$ è la massa totale. È una media delle posizioni pesata con le masse: il centro di massa sta più vicino ai punti più pesanti. Per componenti:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,x_i}{M} \\ y_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,y_i}{M} \\ z_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,z_i}{M} \end{gathered}$$

È la stessa idea della media dei voti pesata con i crediti: un esame da 12 crediti conta il doppio di uno da 6. Qui una massa di 2 kg “conta” il doppio di una da 1 kg. Il centro di massa non dipende dal sistema di coordinate: cambiando origine cambiano i numeri, ma il punto trovato è sempre lo stesso.

Due masse e il punto di equilibrio

Per due masse il centro di massa si trova sul segmento che le congiunge e lo divide in parti inversamente proporzionali alle masse. Se le masse distano $d$, le distanze dal centro di massa sono

$$\begin{gathered} d_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,d \\ d_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,d \end{gathered}$$

e quindi $m_1\,d_1 = m_2\,d_2$. È la regola dell’altalena: un bambino leggero seduto lontano dal fulcro bilancia un adulto seduto vicino. Il centro di massa di un’asta leggera con due masse alle estremità è proprio il punto in cui appoggiarla per tenerla in equilibrio.

Proprietà utili

• Se il sistema ha un asse o un piano di simmetria, il centro di massa si trova su di esso. Per una distribuzione con un centro di simmetria, come quattro masse uguali ai vertici di un quadrato, è nel centro.
• Il centro di massa non deve per forza trovarsi dove c’è materia: quello di un anello è al centro del buco, quello di un boomerang fuori dal legno.
• Si può lavorare per sottosistemi: si calcola il centro di massa di ogni parte, si mette in quel punto tutta la massa della parte, e si calcola il centro di massa di questi “punti”. È il metodo che si usa per i corpi composti.
• Si può anche togliere una parte trattandola come una massa negativa: è il trucco per le figure con un buco, che usiamo nel quarto esercizio.

Per un corpo esteso, con la massa distribuita in modo continuo, le somme diventano integrali: lo vediamo nella densità e centro di massa dei corpi rigidi.

Centro di massa e baricentro

Il baricentro è il punto in cui si può pensare applicato il peso totale. Se $g$ è lo stesso in tutti i punti del corpo, come vicino alla superficie terrestre, il baricentro coincide con il centro di massa. Per questo i due termini si usano spesso come sinonimi. Differiscono solo per corpi così grandi che $g$ cambia da una parte all’altra, come una montagna o un satellite molto lungo, e anche lì di pochissimo.

Il baricentro decide se un oggetto appoggiato resta in piedi: finché la verticale che passa per il baricentro cade dentro la base d’appoggio, il peso tende a riportarlo nella posizione di partenza. È il motivo per cui la Torre di Pisa, pur inclinata, sta in piedi, e per cui un camion carico in alto si ribalta più facilmente in curva. Lo studiamo nell’equilibrio statico del corpo rigido.

Velocità e accelerazione del centro di massa

Derivando la posizione rispetto al tempo:

$$\vec{v}_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{v}_i}{M} = \frac{\vec{P}}{M}$$

Il numeratore è la quantità di moto totale $\vec{P}$, quindi:

$$\vec{P} = M\,\vec{v}_{cm}$$

La quantità di moto totale di un sistema è uguale a quella di un unico punto che ha tutta la massa del sistema e si muove con la velocità del centro di massa.

Derivando ancora si ottiene l’accelerazione: $\vec{a}_{cm} = \sum m_i\vec{a}_i / M$.

Il teorema del moto del centro di massa

Dalla prima equazione cardinale, $d\vec{P}/dt = \vec{R}^{(E)}$, e da $\vec{P} = M\vec{v}_{cm}$:

$$M\,\vec{a}_{cm} = \vec{R}^{(E)}$$

Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui fosse concentrata tutta la massa del sistema, soggetto alla risultante delle sole forze esterne.

È il motivo per cui in tanti problemi possiamo trattare un corpo esteso come un punto materiale. Le forze interne possono far ruotare, deformare o persino rompere il sistema, ma non cambiano il moto del centro di massa.

Alcuni esempi.

• Un fuoco d’artificio esplode in volo: i frammenti volano in tutte le direzioni, ma il loro centro di massa continua a seguire la parabola che avrebbe seguito il razzo intero, finché nessun frammento tocca terra e trascurando l’aria.
• Un tuffatore che fa capriole ruota attorno al suo centro di massa, che descrive comunque una parabola: nessun movimento in volo può cambiarla.
• Un’auto non può accelerare grazie alle sole forze interne del motore: serve una forza esterna, l’attrito delle ruote con l’asfalto. Sul ghiaccio liscio il motore gira, ma il centro di massa dell’auto non si muove.

Se le forze esterne sono nulle, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta fermo: è la conservazione della quantità di moto, con l’esempio della persona che cammina su una barca. Il sistema di riferimento che si muove con il centro di massa è utilissimo per gli urti e per dividere l’energia cinetica: lo vediamo nel teorema di König.

Il baricentro di Terra e Luna

Si dice che la Luna gira attorno alla Terra, ma è più preciso dire che entrambe girano attorno al loro centro di massa comune. La Terra ha una massa di circa 81 volte quella della Luna, quindi il centro di massa è molto vicino al centro della Terra, ma non coincide: si trova a circa 4700 km dal centro, cioè dentro la Terra, circa 1700 km sotto la superficie. Lo calcoliamo nel terzo esercizio. Mentre la Luna gira, il centro della Terra descrive ogni mese un piccolo cerchio attorno a quel punto.

Per il Sole e Giove le proporzioni sono diverse: Giove è lontano e ha circa un millesimo della massa del Sole, e il loro centro di massa si trova poco fuori dalla superficie del Sole. Il “dondolio” che i pianeti imprimono alla loro stella è uno dei metodi con cui gli astronomi scoprono i pianeti attorno ad altre stelle.

Gli errori più comuni

• Dimenticare di dividere per la massa totale. $\sum m_i x_i$ non è una posizione: va diviso per $M$.
• Usare le distanze invece delle coordinate. Nella formula vanno le coordinate, con il loro segno rispetto a un’origine scelta: un punto a sinistra dell’origine ha $x$ negativa.
• Cambiare origine a metà del calcolo. Tutte le posizioni vanno misurate dallo stesso punto e con gli stessi assi.
• Pensare che il centro di massa debba stare dentro il corpo. Per un anello, una L o un boomerang può stare fuori.
• Confondere centro di massa e centro geometrico. Coincidono solo se la massa è distribuita in modo uniforme e simmetrico.
• Credere che le forze interne spostino il centro di massa. Un razzo che esplode, una persona che salta, una pattinatrice che si spinge: il centro di massa risponde solo alle forze esterne.
• Dimenticare che è un vettore. Nel piano si calcolano separatamente $x_{cm}$ e $y_{cm}$.

Esercizi svolti

1. Due masse su una retta

Testo. Una massa di 2 kg è in $x = 0$ e una di 3 kg in $x = 5\ \text{m}$. Dove si trova il centro di massa? Dove si troverebbe mettendo l’origine nella massa di 3 kg?

$$x_{cm} = \frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 5}{2 + 3}\ \text{m} = 3\ \text{m}$$

Il centro di massa è a 3 m dalla massa più leggera e a 2 m da quella più pesante: le distanze sono in rapporto inverso alle masse. Con l’origine nella massa di 3 kg, la massa di 2 kg si trova in $x = -5\ \text{m}$:

$$x_{cm} = \frac{2 \cdot (-5) + 3 \cdot 0}{5}\ \text{m} = -2\ \text{m}$$

cioè 2 m a sinistra della massa di 3 kg: lo stesso punto di prima, descritto con un’altra origine.

2. Tre masse nel piano

Testo. Tre masse sono ai vertici di un triangolo rettangolo: 1 kg in $(0, 0)$, 2 kg in $(4, 0)$ e 3 kg in $(0, 3)$, con le coordinate in metri. Trova il centro di massa.

La massa totale è 6 kg:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{6}\ \text{m} \approx 1{,}33\ \text{m} \\ y_{cm} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3}{6}\ \text{m} = 1{,}5\ \text{m} \end{gathered}$$

Il centro di massa è in $(1{,}33;\ 1{,}5)$ m, spostato verso la massa di 3 kg rispetto al baricentro geometrico del triangolo, che sarebbe in $(1{,}33;\ 1)$ m.

3. Il centro di massa di Terra e Luna

Testo. La Terra ha massa $5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg, la Luna $7{,}35 \cdot 10^{22}$ kg, e i loro centri distano in media 384 400 km. Dove si trova il centro di massa del sistema? È dentro o fuori la Terra, che ha raggio 6371 km?

Mettendo l’origine nel centro della Terra, la distanza del centro di massa è

$$\begin{gathered} d_T = \frac{m_L}{m_T + m_L}\,d \\ {} = \frac{7{,}35 \cdot 10^{22}}{6{,}04 \cdot 10^{24}} \cdot 384\,400\ \text{km} \approx 4680\ \text{km} \end{gathered}$$

Il centro di massa è a circa 4700 km dal centro della Terra, quindi dentro la Terra, a circa $6371 - 4680 \approx 1700\ \text{km}$ di profondità. Terra e Luna girano entrambe attorno a questo punto.

4. Quattro masse e una che manca

Testo. Quattro masse di 1 kg sono ai vertici di un quadrato di lato 2 m, in $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 2)$ e $(0, 2)$. Si toglie la massa in $(2, 2)$. Dove si trova il centro di massa delle tre rimaste?

Calcolo diretto, con le tre masse rimaste e $M = 3\ \text{kg}$:

$$\begin{gathered} x_{cm} = \frac{0 + 2 + 0}{3}\ \text{m} \approx 0{,}67\ \text{m} \\ y_{cm} = \frac{0 + 0 + 2}{3}\ \text{m} \approx 0{,}67\ \text{m} \end{gathered}$$

Con il trucco della massa negativa: le quattro masse insieme hanno il centro di massa nel centro del quadrato, $(1, 1)$, con 4 kg. Togliere la massa in $(2, 2)$ equivale ad aggiungere $-1$ kg in quel punto:

$$x_{cm} = \frac{4 \cdot 1 + (-1) \cdot 2}{4 - 1}\ \text{m} = \frac{2}{3}\ \text{m}$$

e lo stesso per $y$. Il centro di massa si sposta lungo la diagonale, dalla parte opposta alla massa tolta. Lo stesso trucco serve per una lastra con un foro.

5. Il proiettile che esplode in volo

Testo. Un proiettile di 3 kg, nel punto più alto della sua traiettoria, a 20 m di altezza, viaggia in orizzontale a 20 m/s. Lì si spezza in due frammenti: uno di 1 kg resta fermo subito dopo l’esplosione. Con che velocità parte l’altro? Dove toccano terra i due frammenti e il loro centro di massa?

Le forze dell’esplosione sono interne, quindi la quantità di moto orizzontale, e con essa la velocità del centro di massa, non cambia:

$$\begin{gathered} 3 \cdot 20 = 1 \cdot 0 + 2 \cdot v \\ v = 30\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Entrambi i frammenti partono con velocità verticale nulla dalla stessa altezza, quindi cadono nello stesso tempo:

$$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 2{,}02\ \text{s}$$

Il frammento da 1 kg cade in verticale, proprio sotto il punto dell’esplosione. Quello da 2 kg tocca terra $30 \cdot 2{,}02 \approx 60{,}6\ \text{m}$ più avanti. Il loro centro di massa tocca terra a

$$x_{cm} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 60{,}6}{3}\ \text{m} \approx 40{,}4\ \text{m}$$

dal punto sotto l’esplosione: esattamente dove sarebbe arrivato il proiettile intero, $20 \cdot 2{,}02 \approx 40{,}4\ \text{m}$.

6. Due blocchi uniti da una molla

Testo. Due blocchi di 1 kg e 3 kg, uniti da una molla, sono fermi su un tavolo senza attrito. Si tira il blocco da 3 kg con una forza orizzontale costante di 12 N. Mentre la molla si allunga e si accorcia, i blocchi accelerano in modo complicato. Quanto vale l’accelerazione del centro di massa? Dove si trova il centro di massa dopo 2 s?

La molla esercita forze interne, che non contano per il centro di massa. L’unica forza esterna orizzontale è quella di 12 N:

$$a_{cm} = \frac{R^{(E)}}{M} = \frac{12}{1 + 3}\ \text{m/s}^2 = 3\ \text{m/s}^2$$

Il centro di massa parte da fermo e si muove di moto uniformemente accelerato: dopo 2 s ha velocità $3 \cdot 2 = 6\ \text{m/s}$ e si è spostato di $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^2 = 6\ \text{m}$. I due blocchi oscillano uno rispetto all’altro, ma il loro centro di massa avanza come un unico punto di 4 kg tirato con 12 N.

Altri problemi con centro di massa, urti ed esplosioni li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti.

In sintesi

• Il centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse: $\vec{r}_{cm} = \sum m_i\vec{r}_i / M$.
• Per due masse sta sul segmento che le unisce, con $m_1 d_1 = m_2 d_2$: è il punto di equilibrio.
• Si trova sugli assi di simmetria, può stare dove non c’è materia e si può calcolare per sottosistemi; con $g$ uniforme coincide con il baricentro.
• La quantità di moto totale è $\vec{P} = M\vec{v}_{cm}$.
• Teorema del moto del centro di massa: $M\vec{a}_{cm} = \vec{R}^{(E)}$; le forze interne non ne cambiano il moto.
• Terra e Luna girano attorno al loro centro di massa, che si trova dentro la Terra.

Quando le forze esterne sono nulle, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme e la quantità di moto si conserva: è la conservazione della quantità di moto.