Moto di puro rotolamento: condizione, energia, piano inclinato ed esercizi

Una ruota di bicicletta, una palla da bowling, un barattolo che scende lungo un piano inclinato: rotolano. Se il punto a contatto con il terreno non scivola, si parla di moto di puro rotolamento. È un caso particolare di rototraslazione in cui la traslazione e la rotazione non sono indipendenti, ma legate da una condizione semplicissima. In questa pagina trovi la condizione di puro rotolamento, le velocità dei punti, il ruolo dell’attrito, l’energia, la gara sul piano inclinato, la palla che prima striscia e poi rotola, e cinque esercizi svolti.

La condizione di puro rotolamento

Consideriamo un corpo a sezione circolare di raggio $R$, come un disco, un cilindro, una sfera o un anello, che si muove su un piano. La velocità del punto di contatto $C$ è quella del centro più quella dovuta alla rotazione:

$$\vec{v}_C = \vec{v}_{cm} + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'_C$$

Il secondo termine ha modulo $\omega R$ ed è diretto all’indietro. Rotolare senza strisciare significa che il punto di contatto è fermo istante per istante, $\vec{v}_C = 0$:

$$v_{cm} = \omega\,R \qquad a_{cm} = \alpha\,R$$

La seconda si ottiene derivando la prima. Un modo semplice per ricordarla: una ruota che fa un giro completo avanza esattamente di una circonferenza, $2\pi R$, come se si «srotolasse» sul terreno senza perdere un millimetro.

Le velocità dei punti

Ogni punto della ruota ha la velocità del centro più quella di rotazione, perpendicolare al raggio:

• il punto di contatto ha velocità nulla;
• il centro si muove a $v_{cm}$;
• il punto più alto si muove a $v_{cm} + \omega R = 2\,v_{cm}$.

C’è un modo più elegante di vedere la stessa cosa: in ogni istante la ruota ruota attorno al punto di contatto, con velocità angolare $\omega$. Il punto di contatto è l’asse istantaneo di rotazione: ogni punto ha velocità perpendicolare alla congiungente con $C$ e proporzionale alla distanza da $C$. È per questo che, nelle foto di una bicicletta in corsa, i raggi in alto sono mossi e quelli in basso nitidi.

Il ruolo dell’attrito

Perché un corpo rotoli senza strisciare serve l’attrito. Senza attrito, su un piano inclinato una sfera scivolerebbe senza ruotare: nessuna forza avrebbe momento rispetto al centro, e la sfera non comincerebbe mai a girare.

L’attrito che agisce nel puro rotolamento è statico, perché il punto di contatto è fermo rispetto al piano. Due conseguenze importanti:

• il suo modulo non è $\mu_s N$, ma quello che serve per mantenere il rotolamento, purché sia $f \le \mu_s N$;
• non compie lavoro, perché il suo punto di applicazione è fermo.

Trascurando l’attrito volvente, dovuto alla piccola deformazione del corpo e del piano, nel puro rotolamento l’energia meccanica si conserva. È per questo che gli esercizi sul rotolamento si risolvono spesso con l’energia, molto più in fretta che con le forze.

L’energia cinetica

Per il teorema di König, con $\omega = v_{cm}/R$:

$$\begin{gathered} E_k = \frac{1}{2}\,m\,v_{cm}^2 + \frac{1}{2}\,I_{cm}\,\omega^2 \\ E_k = \frac{1}{2}\,m\,v_{cm}^2\left(1 + \frac{I_{cm}}{m\,R^2}\right) \end{gathered}$$

Lo stesso risultato si ottiene vedendo il moto come una rotazione attorno al punto di contatto: per il teorema di Huygens-Steiner $I_C = I_{cm} + mR^2$ ed $E_k = \frac{1}{2}I_C\,\omega^2$.

Come si divide l’energia

Il rapporto $k = I_{cm}/(mR^2)$ dipende solo dalla forma del corpo, non dalla massa né dal raggio. Da lui dipende quanta energia va nella rotazione e quanta nella traslazione:

Corpo	$k = I_{cm}/(mR^2)$	Energia di rotazione
sfera piena	$2/5$	$2/7 \approx 29\%$
cilindro pieno, disco	$1/2$	$1/3 \approx 33\%$
guscio sferico	$2/3$	$2/5 = 40\%$
anello, cilindro cavo	$1$	$1/2 = 50\%$

La frazione di energia di rotazione è $k/(1 + k)$. Un anello che rotola ha tanta energia nella rotazione quanta nella traslazione; una sfera piena ne mette nella rotazione meno di un terzo.

Il rotolamento sul piano inclinato

Un corpo rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di angolo $\theta$. Le forze sono il peso, la normale e l’attrito statico $f$, diretto verso l’alto lungo il piano. Lungo il piano, per il centro di massa, e per la rotazione attorno al centro:

$$\begin{gathered} m\,g\sin\theta - f = m\,a_{cm} \\ f\,R = I_{cm}\,\alpha = I_{cm}\,\frac{a_{cm}}{R} \end{gathered}$$

Dalla seconda $f = I_{cm}\,a_{cm}/R^2$; sostituendo nella prima:

$$a_{cm} = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I_{cm}}{m\,R^2}}$$

Partendo da fermo da un’altezza $h$, la conservazione dell’energia dà la velocità in fondo:

$$\begin{gathered} m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2\left(1 + \frac{I_{cm}}{m\,R^2}\right) \\ v = \sqrt{\frac{2\,g\,h}{1 + \dfrac{I_{cm}}{m\,R^2}}} \end{gathered}$$

La gara di rotolamento

Su un piano inclinato di $30°$, partendo da un’altezza di 1 m, cioè percorrendo 2 m lungo il piano:

Corpo	$a_{cm}$	$v$ in fondo
blocco senza attrito	$4{,}91\ \text{m/s}^2$	$4{,}43\ \text{m/s}$
sfera piena	$3{,}50\ \text{m/s}^2$	$3{,}74\ \text{m/s}$
cilindro pieno	$3{,}27\ \text{m/s}^2$	$3{,}62\ \text{m/s}$
anello	$2{,}45\ \text{m/s}^2$	$3{,}13\ \text{m/s}$

Il risultato non dipende né dalla massa né dal raggio, ma solo dalla forma. Tra i corpi che rotolano vince sempre la sfera piena e perde sempre l’anello: più massa c’è lontano dall’asse, più energia finisce nella rotazione e meno ne resta per la traslazione. Un tubo e un cilindro pieno con la stessa massa e lo stesso raggio, per esempio, arrivano in fondo in tempi diversi, e il cilindro pieno vince. E una sfera grande e pesante arriva insieme a una biglia, se partono dalla stessa altezza.

Il coefficiente d’attrito minimo

L’attrito necessario è $f = I_{cm}\,a_{cm}/R^2$, e non può superare $\mu_s\,N = \mu_s\,m\,g\cos\theta$. Mettendo insieme le formule si trova la condizione per rotolare senza strisciare:

$$\mu_s \ge \frac{k}{1 + k}\,\tan\theta$$

Per una sfera piena serve $\mu_s \ge \frac{2}{7}\tan\theta$, per un cilindro pieno $\mu_s \ge \frac{1}{3}\tan\theta$, per un anello $\mu_s \ge \frac{1}{2}\tan\theta$. Con $\theta = 30°$ servono rispettivamente 0,165, 0,192 e 0,289. Se l’attrito è minore, il corpo rotola e striscia insieme, e l’attrito diventa dinamico. Più il piano è ripido, più attrito serve: su una discesa molto ripida e ghiacciata anche una palla scivola.

Prima striscia, poi rotola: la palla da bowling

Una palla da bowling lanciata sulla pista all’inizio non rotola: parte strisciando, con una velocità $v_0$ e quasi senza ruotare. È un caso che capita spesso agli esami, perché mette insieme attrito dinamico, dinamica del centro di massa e rotazione.

Mentre la palla striscia, l’attrito dinamico, $\mu_d\,m\,g$, fa due cose insieme: rallenta il centro di massa, e con il suo momento rispetto al centro fa girare la palla sempre più veloce. Per una sfera piena, con $I_{cm} = \frac{2}{5}mR^2$:

$$\begin{gathered} v_{cm}(t) = v_0 - \mu_d\,g\,t \\ \omega R\,(t) = \frac{5}{2}\,\mu_d\,g\,t \end{gathered}$$

Lo strisciamento finisce quando le due velocità diventano uguali, $v_{cm} = \omega R$. Da lì in poi la palla rotola senza strisciare, e l’attrito dinamico smette di agire. Uguagliando le due espressioni:

$$t^* = \frac{2\,v_0}{7\,\mu_d\,g} \qquad v_f = \frac{5}{7}\,v_0$$

La velocità finale, $\frac{5}{7}v_0$, non dipende dall’attrito: un attrito più forte accorcia solo il tratto in cui la palla striscia. Durante lo strisciamento si perde $\frac{2}{7}$ dell’energia cinetica iniziale, circa il 29%, dissipata in calore dall’attrito dinamico. Lo stesso succede, al contrario, a una ruota che gira in folle e viene appoggiata a terra.

Gli errori più comuni

• Usare $\mu_s N$ come valore dell’attrito statico. Nel puro rotolamento l’attrito statico vale quello che serve, $I_{cm}\,a_{cm}/R^2$ sul piano inclinato; $\mu_s N$ è solo il valore massimo.
• Dimenticare l’energia di rotazione. Un corpo che rotola ha energia cinetica $\frac{1}{2}mv^2(1 + k)$, non solo $\frac{1}{2}mv^2$.
• Contare il lavoro dell’attrito statico. Nel puro rotolamento è nullo; lavora solo l’attrito dinamico, quando il corpo striscia.
• Sbagliare il verso dell’attrito. Non è sempre all’indietro: dipende da dove sono applicate le forze, come nell’esercizio del cilindro tirato.
• Usare $v = \omega R$ quando il corpo striscia. La condizione vale solo nel puro rotolamento.
• Prendere il momento d’inerzia sbagliato. Rispetto al centro si usa $I_{cm}$; rispetto al punto di contatto $I_{cm} + mR^2$. Non mescolare i due punti di vista nella stessa equazione.

Esercizi svolti

1. La sfera sul piano inclinato

Testo. Una sfera piena di 0,5 kg parte da ferma e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 30°, scendendo di 1 m di quota. Con che velocità arriva in fondo? Quanto vale l’attrito statico? Quale coefficiente d’attrito minimo serve?

Con l’energia, e $k = 2/5$:

$$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1}{1{,}4}}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 3{,}74\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

L’accelerazione è $a_{cm} = g\sin 30°/1{,}4 \approx 3{,}50\ \text{m/s}^2$, e l’attrito:

$$\begin{gathered} f = \frac{2}{5}\,m\,a_{cm} = \frac{2}{7}\,m\,g\sin\theta \\ f = \frac{2}{7} \cdot 0{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5\ \text{N} \approx 0{,}70\ \text{N} \end{gathered}$$

Il coefficiente minimo è $\frac{2}{7}\tan 30° \approx 0{,}165$: basta un piano poco scivoloso. Nota che massa e raggio non servono per la velocità: servono solo per il valore dell’attrito.

2. Il cilindro tirato da una forza

Testo. Un cilindro pieno di 4 kg è appoggiato su un piano orizzontale scabro. Una forza orizzontale $F = 12\ \text{N}$ è applicata al suo asse, cioè nel centro di massa. Se rotola senza strisciare, quanto vale l’accelerazione, e quanto l’attrito?

Chiamiamo $f$ l’attrito, positivo se diretto come $F$. Per il centro di massa e per la rotazione attorno al centro, scegliendo come positivo il verso di rotazione del rotolamento in avanti:

$$\begin{gathered} F + f = m\,a_{cm} \\ -\,f\,R = I_{cm}\,\alpha = \frac{1}{2}\,m\,R^2\,\frac{a_{cm}}{R} \end{gathered}$$

Dalla seconda $f = -\frac{1}{2}m\,a_{cm}$; sostituendo nella prima:

$$\begin{gathered} F = \frac{3}{2}\,m\,a_{cm} \\ a_{cm} = \frac{2F}{3m} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 4}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ f = -\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\ \text{N} = -4\ \text{N} \end{gathered}$$

L’attrito vale 4 N ed è diretto all’indietro: la forza applicata al centro non ha momento, e serve l’attrito per far girare il cilindro nel verso giusto. Il cilindro accelera meno di un blocco che scivola senza attrito, che avrebbe $a = F/m = 3\ \text{m/s}^2$.

3. La palla da bowling

Testo. Una palla da bowling viene lanciata sulla pista a 8 m/s senza ruotare. Il coefficiente di attrito dinamico tra palla e pista è 0,20. Dopo quanto tempo comincia a rotolare senza strisciare? Con che velocità? Quanta strada fa strisciando?

$$\begin{gathered} t^* = \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 0{,}20 \cdot 9{,}81}\ \text{s} \approx 1{,}16\ \text{s} \\ v_f = \frac{5}{7} \cdot 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 5{,}71\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{gathered}$$

La strada percorsa strisciando è quella di un moto uniformemente accelerato con decelerazione $\mu_d\,g$:

$$\begin{gathered} s = v_0\,t^* - \frac{1}{2}\,\mu_d\,g\,t^{*2} \\ s \approx 9{,}32 - 1{,}33\ \text{m} \approx 8{,}0\ \text{m} \end{gathered}$$

Dopo circa 8 m la palla rotola senza strisciare, con il 71% della velocità iniziale e il 71% dell’energia.

4. La palla che sale su una rampa

Testo. Una palla piena rotola senza strisciare a 3 m/s e incontra una rampa. Fino a che altezza sale? E un blocco che scivola senza attrito alla stessa velocità?

La palla ha energia di traslazione e di rotazione, e sale finché le perde tutte e due, rotolando sempre senza strisciare:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\,m\,v^2\,(1 + k) = m\,g\,h \\ h = \frac{v^2\,(1 + k)}{2g} = \frac{9 \cdot 1{,}4}{2 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 0{,}64\ \text{m} \end{gathered}$$

Il blocco sale solo fino a $v^2/(2g) \approx 0{,}46\ \text{m}$. La palla sale di più perché, oltre all’energia di traslazione, ha una «riserva» di energia di rotazione, che l’attrito statico trasforma in salita.

5. Il cilindro cavo contro il cilindro pieno

Testo. Un tubo e un cilindro pieno, con la stessa massa e lo stesso raggio, partono da fermi dalla stessa altezza di un piano inclinato di 30° lungo 2 m. Quanto vantaggio ha il cilindro pieno all’arrivo?

Con le accelerazioni della tabella, $3{,}27\ \text{m/s}^2$ per il cilindro pieno e $2{,}45\ \text{m/s}^2$ per il tubo:

$$\begin{gathered} t_{pieno} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{3{,}27}}\ \text{s} \approx 1{,}11\ \text{s} \\ t_{tubo} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2{,}45}}\ \text{s} \approx 1{,}28\ \text{s} \end{gathered}$$

Il cilindro pieno arriva circa 0,17 s prima. Quando taglia il traguardo, il tubo ha percorso solo $\frac{1}{2} \cdot 2{,}45 \cdot 1{,}11^2 \approx 1{,}5\ \text{m}$: è indietro di circa mezzo metro. È un modo per distinguere un cilindro pieno da uno cavo senza aprirli.

Altri esercizi sul rotolamento li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• Nel puro rotolamento il punto di contatto è fermo: $v_{cm} = \omega R$ e $a_{cm} = \alpha R$.
• Il punto più alto si muove a $2v_{cm}$; il moto è una rotazione istantanea attorno al punto di contatto.
• L’attrito è statico e non compie lavoro: l’energia meccanica si conserva.
• L’energia cinetica è $\frac{1}{2}mv_{cm}^2\,(1 + k)$, con $k = I_{cm}/(mR^2)$ che dipende solo dalla forma.
• Sul piano inclinato $a_{cm} = g\sin\theta/(1 + k)$: vince la sfera, poi il cilindro, poi l’anello.
• Una sfera lanciata strisciando arriva al puro rotolamento con velocità $\frac{5}{7}v_0$.

Un altro sistema in cui rotazione e traslazione sono legate da un filo che non scivola è la carrucola reale.