Rotazioni rigide attorno a un asse fisso: M = Iα, energia, potenza ed esercizi svolti

Una porta che si apre, la ruota di una bicicletta capovolta, le pale di un ventilatore da soffitto, il cestello della lavatrice: sono tutti corpi rigidi che ruotano attorno a un asse fisso. È il moto più semplice dopo la traslazione e il più comune nelle macchine. La buona notizia è che le sue leggi ricalcano quelle del moto rettilineo, con grandezze angolari al posto di quelle lineari. In questa pagina vediamo come si muovono i singoli punti del corpo, la rotazione con accelerazione angolare costante, la seconda legge di Newton per le rotazioni, il momento angolare, l’energia cinetica, il lavoro e la potenza di un momento, la tabella delle analogie con la traslazione, le reazioni dell’asse e lo sbilanciamento, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è una rotazione attorno a un asse fisso

Un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso quando una retta resta ferma e tutti gli altri punti descrivono circonferenze centrate sull’asse, su piani perpendicolari a esso. A tenere fermo l’asse ci pensa un vincolo: i cardini di una porta, il perno di una ruota, i cuscinetti di un albero motore.

Un corpo rigido libero ha sei gradi di libertà; bloccato su un asse fisso ne ha uno solo, l’angolo $\theta$ di cui è ruotato rispetto a una posizione di riferimento. Tutto il problema si riduce a capire come cambia $\theta$ nel tempo, come nel moto rettilineo si studia come cambia $x$.

Angolo, velocità angolare e accelerazione angolare

L’angolo si misura in radianti: un angolo di $\theta$ radianti, su una circonferenza di raggio $r$, corrisponde a un arco lungo $s = \theta\,r$. Un giro completo vale $2\pi$ rad, cioè circa 6,28 rad. La rapidità con cui cambia l’angolo è la velocità angolare, e la rapidità con cui cambia la velocità angolare è l’accelerazione angolare:

$$\begin{gathered} \omega = \frac{d\theta}{dt} \\ \alpha = \frac{d\omega}{dt} \end{gathered}$$

Si misurano in $\text{rad/s}$ e in $\text{rad/s}^2$. Come per il moto rettilineo, si sceglie un verso positivo, di solito quello antiorario: $\omega$ è positiva se il corpo gira in quel verso, negativa se gira al contrario. Se $\alpha$ ha lo stesso segno di $\omega$ il corpo accelera, se ha segno opposto rallenta.

Dai giri al minuto ai radianti al secondo

Nella vita di tutti i giorni si usano i giri al minuto. Ogni giro vale $2\pi$ rad e un minuto ha 60 secondi, quindi:

$$\omega = \frac{2\pi\,n}{60}$$

con $n$ in giri al minuto. Qualche ordine di grandezza (la ruota della bici ha 34 cm di raggio):

Oggetto	giri/min	$\omega$ (rad/s)
Lancetta dei secondi	1	0,105
Disco in vinile	33,3	3,49
Ruota di bici a 20 km/h	156	16,3
Cestello in centrifuga	1200	126
Hard disk	7200	754

Velocità e accelerazione dei singoli punti

In un tempo $dt$ il corpo ruota di un angolo $d\theta$, e un punto a distanza $r$ dall’asse percorre un arco $ds = r\,d\theta$. Dividendo per $dt$ si ottiene la sua velocità; derivando ancora, la sua accelerazione tangenziale. In più, come in ogni moto circolare, il punto ha un’accelerazione centripeta, diretta verso l’asse:

$$\begin{gathered} v = \omega\,r \\ a_t = \alpha\,r \\ a_c = \omega^2\,r = \frac{v^2}{r} \end{gathered}$$

Il punto chiave: $\omega$ e $\alpha$ sono le stesse per tutti i punti, mentre velocità e accelerazioni crescono in proporzione alla distanza dall’asse. Nella figura, tre punti sullo stesso raggio ruotano dello stesso angolo, ma il più lontano percorre l’arco più lungo e va più veloce.

Lo vedi su una giostra: chi siede sui cavalli esterni va molto più veloce di chi sta vicino al centro. L’accelerazione totale è $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$, e la parte centripeta c’è anche a velocità costante: di solito è molto più grande di quella tangenziale, come vedi negli esercizi 1 e 2. E ricorda: queste formule valgono solo con gli angoli in radianti.

Rotazione con accelerazione angolare costante

Se $\alpha = 0$ la rotazione è uniforme: il corpo gira con velocità angolare costante, l’angolo cresce come $\theta = \theta_0 + \omega\,t$ e il periodo, il tempo di un giro, è $T = 2\pi/\omega$. È il caso delle lancette di un orologio o di un ventilatore a regime, in cui il momento del motore bilancia quello della resistenza dell’aria.

Se invece $\alpha$ è costante ma diversa da zero, il moto è rotatorio uniformemente accelerato e valgono le stesse leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato, con $\theta$ al posto di $x$, $\omega$ al posto di $v$ e $\alpha$ al posto di $a$:

$$\begin{gathered} \omega = \omega_0 + \alpha\,t \\ \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2 \\ \omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta \end{gathered}$$

La terza è la formula “senza tempo”, utile quando ti chiedono in quanti giri si ferma una ruota. Con $\alpha$ costante vale anche $\Delta\theta = \tfrac{1}{2}(\omega_0 + \omega)\,t$: l’angolo è la velocità angolare media per il tempo. Per avere i giri si divide l’angolo per $2\pi$.

La seconda legge di Newton per le rotazioni

Da F = ma a M = Iα

Guardiamo un punto qualsiasi del corpo, di massa $m_i$ e a distanza $r_i$ dall’asse. Per il secondo principio della dinamica, la componente tangenziale della forza su di lui è $F_{t,i} = m_i\,a_{t,i} = m_i\,r_i\,\alpha$. Moltiplicando per $r_i$ si ottiene il suo momento rispetto all’asse, $m_i\,r_i^2\,\alpha$. Sommando su tutti i punti, i momenti delle forze interne si annullano a coppie, perché ogni coppia è fatta di forze uguali e opposte sulla stessa retta. Restano solo le forze esterne:

$$\begin{gathered} M_z = \Big(\sum_i m_i\,r_i^2\Big)\,\alpha \\ M_z = I\,\alpha \end{gathered}$$

Il momento delle forze esterne rispetto all’asse è uguale al momento d’inerzia per l’accelerazione angolare.

La somma tra parentesi è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione. Allo stesso risultato si arriva proiettando sull’asse la seconda equazione cardinale $\vec{M} = d\vec{L}/dt$, con il polo su un punto dell’asse.

Il momento d’inerzia fa per le rotazioni quello che la massa fa per le traslazioni: più è grande, più è difficile mettere in rotazione il corpo o fermarlo. Ma dipende da dove sta la massa rispetto all’asse: le distanze contano al quadrato, quindi un chilo sul bordo di una ruota conta molto più di un chilo vicino al mozzo. Con questa stessa legge si studia anche il pendolo composto.

Il momento delle forze rispetto all’asse

Non tutte le forze fanno girare un corpo. Per una forza perpendicolare all’asse, il momento è la forza per il suo braccio $b$, la distanza tra l’asse e la retta d’azione della forza: $M = F\,b$. Quindi:

• una forza parallela all’asse non fa ruotare il corpo: spingendo una porta verso l’alto non la apri;
• nemmeno una forza che passa per l’asse: spingendo la porta nel suo piano, verso i cardini, non si apre;
• a parità di forza, più il braccio è lungo, più il momento è grande: per questo la maniglia sta lontano dai cardini.

Come si calcola il momento, con il braccio o con le componenti, lo trovi nel momento angolare e momento della forza. Nei problemi si sceglie un verso positivo di rotazione: i momenti che fanno girare il corpo in quel verso sono positivi, gli altri negativi.

I momenti d’inerzia più usati

Negli esercizi i corpi sono quasi sempre questi. $R$ è il raggio, $L$ la lunghezza dell’asta o la larghezza della lastra; per le aste l’asse è perpendicolare all’asta.

L’ultima riga è quella di una porta: rispetto ai cardini, si comporta come un’asta che ruota attorno a un estremo.

Il momento angolare attorno all’asse

Ogni punto ha un momento angolare rispetto all’asse pari a $m_i\,r_i\,v_i = m_i\,r_i^2\,\omega$. Sommando su tutti i punti:

$$L_z = \Big(\sum_i m_i\,r_i^2\Big)\,\omega = I\,\omega$$

e la legge del moto si può scrivere anche come $M_z = dL_z/dt$. Se il momento delle forze esterne rispetto all’asse è nullo, $L_z$ si conserva: con $I$ costante, il corpo continua a girare con la stessa $\omega$, come una ruota di bicicletta capovolta che gira a lungo dopo una spinta. Se invece il corpo cambia forma, come una pattinatrice che chiude le braccia, cambiano sia $I$ sia $\omega$.

Energia cinetica, lavoro e potenza

Ogni punto ha energia cinetica $\tfrac{1}{2}m_i v_i^2 = \tfrac{1}{2}m_i\,r_i^2\,\omega^2$. Sommando su tutto il corpo si ottiene l’energia cinetica di rotazione:

$$E_k = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2$$

È il principio del volano, un disco pesante con un grande momento d’inerzia: immagazzina energia girando e cambia velocità lentamente, così nei motori a scoppio rende regolare la rotazione dell’albero tra uno scoppio e l’altro.

Quando il corpo ruota di un angolo $d\theta$, una forza tangenziale $F_t$ applicata a distanza $r$ percorre l’arco $r\,d\theta$ e compie il lavoro $F_t\,r\,d\theta = M\,d\theta$. Il lavoro di un momento e la sua potenza sono quindi:

$$\begin{gathered} W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M\,d\theta \\ P = \frac{dW}{dt} = M\,\omega \end{gathered}$$

Se il momento è costante, $W = M\,\Delta\theta$, con l’angolo in radianti. Il teorema dell’energia cinetica vale anche qui: $W = \tfrac{1}{2}I\omega_f^2 - \tfrac{1}{2}I\omega_i^2$. Se agiscono solo il peso e vincoli senza attrito, si conserva l’energia meccanica $\tfrac{1}{2}I\omega^2 + m\,g\,h_{cm}$, con $h_{cm}$ altezza del centro di massa: spesso è la strada più rapida, come nella conservazione dell’energia meccanica.

La coppia di un motore

Nelle schede tecniche delle auto il momento prodotto dal motore si chiama coppia e si misura in N·m. Un motore che dà 300 N·m a 3000 giri al minuto, cioè a circa 314 rad/s, sviluppa:

$$P = 300 \cdot 314{,}16\ \text{W} \approx 94\,200\ \text{W}$$

circa 94 kW, cioè circa 128 CV. La stessa potenza si ottiene con molta coppia a pochi giri o con poca coppia a molti giri: il cambio, a parte le perdite, scambia velocità angolare con coppia e lascia la potenza uguale.

L’analogia con la traslazione

Ogni formula della rotazione attorno a un asse fisso ha una gemella nel moto rettilineo:

Qui $M$ è il momento della forza e $L$ il momento angolare. Chi sa risolvere un problema di moto rettilineo sa già risolvere una rotazione attorno a un asse fisso: basta sostituire le grandezze. L’unica vera novità è il momento d’inerzia, che dipende dall’asse.

Le reazioni dell’asse

L’asse resta fermo perché i supporti (cardini, perni, cuscinetti) esercitano sul corpo una reazione vincolare $\vec{R}$. È applicata sull’asse, quindi ha momento nullo rispetto all’asse e in $M_z = I\,\alpha$ non compare: per questo la legge è così comoda. Se i supporti hanno attrito, aggiungono un momento d’attrito che si oppone alla rotazione.

Ma la reazione non è nulla: si trova con la prima equazione cardinale, quella del centro di massa. Se $\vec{F}$ è la risultante delle altre forze esterne, come il peso:

$$\vec{F} + \vec{R} = m\,\vec{a}_{cm}$$

• Se il centro di massa sta sull’asse, resta fermo e $\vec{R} = -\vec{F}$: in totale i supporti reggono solo il peso, a qualunque velocità giri il corpo, come per una ruota ben equilibrata.
• Se il centro di massa è fuori dall’asse, a distanza $d$, gira con accelerazione tangenziale $\alpha\,d$ e centripeta $\omega^2 d$. La reazione deve fornire anche la forza per queste accelerazioni, quindi non è uguale al peso.

Un esempio classico è un’asta incernierata a un estremo e lasciata cadere da orizzontale. All’inizio il centro di massa accelera verso il basso e la cerniera spinge meno del peso, un quarto. Alla verticale il centro di massa ha un’accelerazione centripeta verso l’alto e la cerniera spinge più del peso, due volte e mezzo. I conti sono nell’esercizio 6.

Lo sbilanciamento: lavatrici e ruote

Se il centro di massa è fuori dall’asse e il corpo gira veloce, la forza centripeta $m\,\omega^2 d$ diventa enorme e soprattutto gira insieme al corpo: i supporti sono tirati ora da una parte ora dall’altra, e tutto vibra. Pensa a mezzo chilo di panni bagnati appiccicati alla parete del cestello di una lavatrice, a 0,25 m dall’asse, in una centrifuga a 1200 giri al minuto ($\omega \approx 126\ \text{rad/s}$):

$$\begin{gathered} F = m\,\omega^2\,r = 0{,}5 \cdot 125{,}66^2 \cdot 0{,}25\ \text{N} \\ F \approx 1974\ \text{N} \end{gathered}$$

circa il peso di 200 kg, che cambia direzione 20 volte al secondo. Per questo le lavatrici, se il carico è sbilanciato, provano a ridistribuire i panni o abbassano i giri della centrifuga. Per lo stesso motivo il gommista equilibra le ruote dell’auto con piccoli pesi sul cerchione: il centro di massa torna sull’asse e l’asse diventa un asse principale, così i supporti non devono dare forze o momenti che girano con la ruota.

Un po’ di storia

Le leggi della rotazione dei corpi rigidi furono messe in ordine da Leonhard Euler nella Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, il suo trattato del 1765. Lì definisce in modo sistematico il momento d’inerzia, con il nome latino momentum inertiae, e mostra come trovare gli assi principali di un corpo. Che ogni corpo ne abbia tre, perpendicolari tra loro, lo aveva già mostrato poco prima Johann Andreas Segner, i cui studi sulle trottole furono uno degli spunti di Euler. Sono proprio gli assi per cui il momento angolare è parallelo alla velocità angolare.

Gli errori più comuni

• Usare i gradi o i giri al minuto al posto dei radianti. $v = \omega r$, $a_t = \alpha r$ e $W = M\Delta\theta$ valgono solo in radianti: 3000 giri al minuto sono circa 314 rad/s, e i giri si ottengono dividendo l’angolo per $2\pi$.
• Pensare che tutti i punti abbiano la stessa velocità. Hanno la stessa $\omega$, ma la velocità $v = \omega r$ cresce con la distanza dall’asse.
• Dimenticare l’accelerazione centripeta. Anche se $\omega$ è costante, ogni punto ha $a_c = \omega^2 r$; l’accelerazione totale non è solo $\alpha r$.
• Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse sbagliato. Per un’asta o una porta che ruota attorno a un estremo serve $\tfrac{1}{3}mL^2$, non $\tfrac{1}{12}mL^2$.
• Mettere nella somma dei momenti forze che non fanno girare il corpo. Le reazioni dell’asse e le forze che passano per l’asse hanno momento nullo.
• Supporre che la reazione dell’asse sia uguale al peso. Vale solo se il centro di massa è fermo; se gira, la reazione deve dargli anche la sua accelerazione.
• Dimenticare l’energia di rotazione nei bilanci. Se un secchio fa girare un cilindro, l’energia potenziale persa diventa $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$, non solo $\tfrac{1}{2}mv^2$.

Esercizi svolti

1. Il ventilatore da soffitto

Testo. Le pale di un ventilatore da soffitto sono lunghe 0,65 m, misurate dall’asse, e a velocità media girano a 180 giri al minuto. Spento il motore, il ventilatore si ferma in 25 s, rallentando in modo uniforme. Trova l’accelerazione angolare e quanti giri fa prima di fermarsi. Quanto valevano la velocità e l’accelerazione centripeta della punta di una pala prima dello spegnimento?

Prima di tutto la velocità angolare in radianti al secondo:

$$\begin{gathered} \omega_0 = \frac{2\pi \cdot 180}{60}\ \text{rad/s} \\ \omega_0 = 6\pi\ \text{rad/s} \approx 18{,}85\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Il ventilatore passa da $\omega_0$ a zero in 25 s:

$$\begin{gathered} \alpha = \frac{0 - \omega_0}{t} = -\frac{18{,}85}{25}\ \text{rad/s}^2 \\ \alpha \approx -0{,}754\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}$$

Il segno meno indica che rallenta. L’angolo percorso è la velocità angolare media per il tempo:

$$\begin{gathered} \Delta\theta = \frac{\omega_0 + 0}{2}\,t = \frac{18{,}85}{2} \cdot 25\ \text{rad} \\ \Delta\theta \approx 235{,}6\ \text{rad} \end{gathered}$$

cioè $235{,}6 / (2\pi) = 37{,}5$ giri. Per la punta della pala, a $r = 0{,}65\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} v = \omega_0\,r = 18{,}85 \cdot 0{,}65\ \text{m/s} \\ v \approx 12{,}3\ \text{m/s} \\ a_c = \omega_0^2\,r = 18{,}85^2 \cdot 0{,}65\ \text{m/s}^2 \\ a_c \approx 231\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

La punta va a circa 44 km/h e ha un’accelerazione centripeta di circa 23,5 volte quella di gravità: ogni pezzetto della punta deve essere tirato verso l’asse con una forza di oltre venti volte il suo peso. In frenata, invece, l’accelerazione tangenziale della punta è solo $|\alpha|\,r \approx 0{,}49\ \text{m/s}^2$.

2. Il volano messo in moto da un motore

Testo. Un volano a forma di disco omogeneo, di 10 kg e raggio 0,3 m, parte da fermo spinto da un motore che gli applica un momento costante di 9 N·m, senza attriti. Dopo 3 s, quanto valgono la velocità angolare e i giri compiuti? Controlla con l’energia e trova la potenza del motore. Che velocità e accelerazioni ha allora un punto del bordo?

Il momento d’inerzia del disco rispetto al suo asse e l’accelerazione angolare sono:

$$\begin{gathered} I = \frac{1}{2}\,m\,R^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}3^2\ \text{kg·m}^2 \\ I = 0{,}45\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$ $$\alpha = \frac{M}{I} = \frac{9\ \text{N·m}}{0{,}45\ \text{kg·m}^2} = 20\ \text{rad/s}^2$$

Partendo da fermo, dopo 3 s:

$$\begin{gathered} \omega = \alpha\,t = 60\ \text{rad/s} \\ \Delta\theta = \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2 = 90\ \text{rad} \end{gathered}$$

cioè $90/(2\pi) \approx 14{,}3$ giri. Il lavoro del motore è $W = M\,\Delta\theta = 9 \cdot 90 = 810\ \text{J}$, e l’energia cinetica finale è:

$$E_k = \frac{1}{2} \cdot 0{,}45 \cdot 60^2\ \text{J} = 810\ \text{J}$$

Coincidono, come deve essere. La potenza finale del motore è $P = M\,\omega = 9 \cdot 60 = 540\ \text{W}$; quella media, $810\ \text{J} / 3\ \text{s} = 270\ \text{W}$, è la metà, perché la potenza cresce con $\omega$. Per un punto del bordo:

$$\begin{gathered} v = \omega\,R = 18\ \text{m/s} \\ a_t = \alpha\,R = 6\ \text{m/s}^2 \\ a_c = \omega^2 R = 1080\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Dopo soli 3 s, l’accelerazione centripeta del bordo è già 180 volte quella tangenziale.

3. Spingere una porta

Testo. Una porta è una lastra omogenea di 24 kg larga 0,80 m, con cardini senza attrito. La spingi sulla maniglia, a 0,75 m dai cardini, con una forza di 15 N perpendicolare alla porta. Con che accelerazione angolare si apre, e di che angolo ruota in 0,5 s partendo da ferma? Cosa cambia se spingi con la stessa forza a 20 cm dai cardini, e quanta forza servirebbe lì per la stessa accelerazione?

Rispetto ai cardini la porta è una lastra che ruota attorno a un lato:

$$\begin{gathered} I = \frac{1}{3}\,m\,L^2 = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 0{,}8^2\ \text{kg·m}^2 \\ I = 5{,}12\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

La forza è perpendicolare alla porta, quindi il braccio è la distanza dai cardini; la reazione dei cardini ha momento nullo e non conta:

$$\begin{gathered} M = F\,b = 15 \cdot 0{,}75\ \text{N·m} = 11{,}25\ \text{N·m} \\ \alpha = \frac{M}{I} = \frac{11{,}25}{5{,}12}\ \text{rad/s}^2 \approx 2{,}20\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}$$

In 0,5 s, partendo da ferma:

$$\begin{gathered} \Delta\theta = \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 2{,}20 \cdot 0{,}5^2\ \text{rad} \\ \Delta\theta \approx 0{,}275\ \text{rad} \end{gathered}$$

cioè circa 15,7°. Spingendo a 20 cm dai cardini il momento scende a $15 \cdot 0{,}2 = 3\ \text{N·m}$, l’accelerazione angolare a $3/5{,}12 \approx 0{,}586\ \text{rad/s}^2$ e in mezzo secondo la porta ruota di soli 0,073 rad, circa 4,2°. Per avere di nuovo 11,25 N·m servirebbe:

$$F = \frac{M}{b} = \frac{11{,}25\ \text{N·m}}{0{,}2\ \text{m}} \approx 56\ \text{N}$$

quasi quattro volte di più. È il motivo per cui la maniglia sta sul lato opposto ai cardini.

4. La mola che si ferma

Testo. La mola di una smerigliatrice da banco è un disco omogeneo di 2 kg e raggio 10 cm che gira a 3000 giri al minuto. Spento il motore, per fermarla prima premi contro il bordo un pezzo di legno con una forza normale di 20 N, con coefficiente di attrito dinamico 0,5. Trascurando l’attrito dei cuscinetti, trova il momento frenante, il tempo e i giri necessari per fermarla e la potenza dissipata all’inizio.

L’attrito dinamico vale $\mu_d N = 0{,}5 \cdot 20 = 10\ \text{N}$ ed è tangente al bordo, quindi il suo braccio è il raggio:

$$M = \mu_d\,N\,R = 10 \cdot 0{,}1\ \text{N·m} = 1\ \text{N·m}$$

Il momento d’inerzia è $I = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}01\ \text{kg·m}^2$ e la velocità angolare iniziale $\omega_0 = 3000 \cdot 2\pi / 60 = 100\pi \approx 314{,}16\ \text{rad/s}$. La mola rallenta con:

$$\begin{gathered} \alpha = -\frac{M}{I} = -\frac{1}{0{,}01}\ \text{rad/s}^2 \\ \alpha = -100\ \text{rad/s}^2 \\ t = \frac{\omega_0}{|\alpha|} = \frac{314{,}16}{100}\ \text{s} \approx 3{,}14\ \text{s} \end{gathered}$$

Per i giri usiamo l’energia: il lavoro del momento frenante, $-M\,\Delta\theta$, deve annullare tutta l’energia cinetica iniziale.

$$\begin{gathered} E_k = \frac{1}{2}\,I\,\omega_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}01 \cdot 314{,}16^2\ \text{J} \\ E_k \approx 493\ \text{J} \end{gathered}$$ $$\Delta\theta = \frac{E_k}{M} = \frac{493\ \text{J}}{1\ \text{N·m}} = 493\ \text{rad}$$

cioè $493/(2\pi) \approx 78{,}5$ giri. Controllo con la cinematica: $\Delta\theta = \tfrac{1}{2}\,\omega_0\,t = \tfrac{1}{2} \cdot 314{,}16 \cdot 3{,}14 \approx 493\ \text{rad}$. All’inizio la potenza dissipata è $P = M\,\omega_0 \approx 314\ \text{W}$, poi cala insieme a $\omega$: tutta l’energia diventa calore, nel legno e nella mola.

5. Il secchio nel pozzo

Testo. Un secchio d’acqua di 6 kg è appeso a una corda avvolta su un verricello, un cilindro pieno omogeneo di 10 kg e raggio 10 cm che ruota senza attrito attorno al suo asse orizzontale. La manovella sfugge di mano e il secchio comincia a scendere da fermo. Trova l’accelerazione del secchio, la tensione della corda e la velocità del secchio dopo 8 m. Trascura la massa della corda e della manovella.

Scriviamo un’equazione per ciascun corpo. Sul secchio agiscono il peso e la tensione; sul cilindro, la tensione applicata sul bordo, con braccio $R$. La corda non scivola, quindi $a = \alpha\,R$:

$$\begin{cases} m\,g - T = m\,a \\ T\,R = I\,\dfrac{a}{R} \end{cases}$$

Con $I = \tfrac{1}{2}M R^2$, la seconda dà $T = \tfrac{1}{2}M\,a$. Sostituendo nella prima:

$$\begin{gathered} a = \frac{m\,g}{m + M/2} = \frac{6 \cdot 9{,}81}{6 + 5}\ \text{m/s}^2 \\ a \approx 5{,}35\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$ $$T = \tfrac{1}{2}\,M\,a = 5 \cdot 5{,}35\ \text{N} \approx 26{,}8\ \text{N}$$

La tensione è meno della metà del peso del secchio, che vale 58,9 N. Dopo 8 m, con il moto uniformemente accelerato:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2\,a\,h} = \sqrt{2 \cdot 5{,}35 \cdot 8}\ \text{m/s} \\ v \approx 9{,}25\ \text{m/s} \end{gathered}$$

e il cilindro gira a $\omega = v/R \approx 92{,}5\ \text{rad/s}$. Controllo con l’energia. Il secchio perde $m\,g\,h = 6 \cdot 9{,}81 \cdot 8 \approx 471\ \text{J}$ di energia potenziale. Con $I = 0{,}05\ \text{kg·m}^2$:

$$\begin{gathered} \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9{,}25^2\ \text{J} \approx 257\ \text{J} \\ \tfrac{1}{2}\,I\,\omega^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}05 \cdot 92{,}5^2\ \text{J} \approx 214\ \text{J} \end{gathered}$$

La somma è 471 J, come deve essere. Quasi metà dell’energia va nella rotazione del cilindro: in caduta libera, dopo 8 m, il secchio andrebbe a 12,5 m/s. È lo stesso modello della carrucola reale.

6. Quanto spinge la cerniera

Testo. Un’asta omogenea di 3 kg, lunga 1,2 m, è incernierata a un estremo a un perno orizzontale senza attrito. La tieni orizzontale e la lasci andare da ferma. Trova l’accelerazione angolare iniziale e la reazione della cerniera in quell’istante. Trova poi la velocità angolare e la reazione della cerniera quando l’asta passa per la verticale.

Rispetto alla cerniera $I = \tfrac{1}{3}mL^2 = \tfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 1{,}2^2 = 1{,}44\ \text{kg·m}^2$. All’inizio il peso, applicato nel centro di massa, ha braccio $L/2$:

$$\begin{gathered} \alpha = \frac{m\,g\,L/2}{I} = \frac{3\,g}{2\,L} \\ \alpha = \frac{3 \cdot 9{,}81}{2{,}4}\ \text{rad/s}^2 \approx 12{,}3\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}$$

Il centro di massa, a $L/2$ dalla cerniera, parte con accelerazione $\alpha\,L/2 = \tfrac{3}{4}g \approx 7{,}36\ \text{m/s}^2$ verso il basso; essendo $\omega = 0$, non c’è accelerazione centripeta. Con la prima equazione cardinale, prendendo positivo il verso verso il basso:

$$\begin{gathered} m\,g - R = m \cdot \tfrac{3}{4}\,g \\ R = \tfrac{1}{4}\,m\,g \approx 7{,}36\ \text{N} \end{gathered}$$

Alla verticale il centro di massa è sceso di $L/2$. Per la conservazione dell’energia:

$$\begin{gathered} m\,g\,\frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\,m\,L^2\,\omega^2 \\ \omega = \sqrt{\frac{3\,g}{L}} \approx 4{,}95\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

In questa posizione il peso passa per la cerniera, quindi il suo momento è nullo e $\alpha = 0$. Il centro di massa ha solo l’accelerazione centripeta, diretta verso l’alto, verso la cerniera:

$$a_{cm} = \omega^2\,\frac{L}{2} = \frac{3}{2}\,g \approx 14{,}7\ \text{m/s}^2$$

Prendendo ora positivo il verso verso l’alto:

$$\begin{gathered} R - m\,g = m \cdot \tfrac{3}{2}\,g \\ R = \tfrac{5}{2}\,m\,g \approx 73{,}6\ \text{N} \end{gathered}$$

Il peso dell’asta è 29,4 N: la cerniera ne regge un quarto all’inizio e due volte e mezzo alla verticale, come nella figura delle reazioni dell’asse. I due risultati, $mg/4$ e $5mg/2$, non dipendono dalla lunghezza dell’asta.

Altri problemi su rotazioni, rotolamento ed equilibrio li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• Tutti i punti hanno la stessa $\omega$ e la stessa $\alpha$; a distanza $r$ dall’asse $v = \omega r$, $a_t = \alpha r$, $a_c = \omega^2 r$, con gli angoli in radianti ($\omega = 2\pi n/60$ da $n$ giri al minuto).
• Con $\alpha$ costante: $\omega = \omega_0 + \alpha t$, $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2$, $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\,\Delta\theta$.
• Legge del moto: $M_z = I\alpha$, con $I = \sum m_i r_i^2$ calcolato rispetto all’asse di rotazione; il momento di una forza è $M = F\,b$.
• Momento angolare assiale: $L_z = I\omega$, costante se $M_z = 0$; il vettore $\vec{L}$ è parallelo all’asse solo per gli assi principali.
• Energia cinetica $\tfrac{1}{2}I\omega^2$, lavoro $W = \int M\,d\theta$ ($M\,\Delta\theta$ se il momento è costante), potenza $P = M\omega$.
• Le reazioni dell’asse non compaiono in $M_z = I\alpha$, ma si trovano da $\vec{F} + \vec{R} = m\,\vec{a}_{cm}$; se il centro di massa è fuori dall’asse servono forze che girano con il corpo, e il corpo vibra.

In tutte queste formule compare il momento d’inerzia: è il momento di vedere come si calcola, nell’articolo sul momento d’inerzia.