Pendolo composto (pendolo fisico): periodo, lunghezza ridotta ed esercizi svolti

Un quadro che dondola sul chiodo, un’insegna mossa dal vento, la gamba che oscilla mentre cammini, il pendolo di un vecchio orologio: sono corpi estesi, non punti appesi a un filo. Per descriverli il pendolo semplice non basta: serve il pendolo composto, detto anche pendolo fisico, un classico degli esercizi sul corpo rigido. In questa pagina vediamo l’equazione del moto, il periodo delle piccole oscillazioni, la lunghezza ridotta e il centro di oscillazione, come cambia il periodo spostando l’asse, il pendolo reversibile di Kater, l’energia, il centro di percussione, le gambe e il metronomo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un pendolo composto

Un pendolo composto è un corpo rigido libero di ruotare attorno a un asse orizzontale fisso che non passa per il suo centro di massa.

Nel pendolo semplice la massa è concentrata in un punto; qui è distribuita in tutto il corpo, e ogni pezzetto descrive un arco di circonferenza con il suo raggio. Per questo non basta $F = ma$: serve la dinamica delle rotazioni. Le grandezze in gioco sono:

• $O$, il punto in cui l’asse di sospensione attraversa il piano di oscillazione;
• $m$, la massa del corpo;
• $h$, la distanza tra $O$ e il centro di massa, CM;
• $\theta$, l’angolo tra il segmento $O$-CM e la verticale;
• $I$, il momento d’inerzia rispetto all’asse di sospensione, non rispetto al centro di massa.

Nella figura il corpo è spostato di un angolo $\theta$ dall’equilibrio. Il peso è applicato nel centro di massa e la sua retta d’azione passa a distanza $h\sin\theta$ dalla verticale per $O$: è il braccio del peso.

L’equazione del moto

Il corpo ruota attorno a un asse fisso, quindi vale la legge delle rotazioni attorno a un asse fisso, $M = I\alpha$. Sul corpo agiscono due forze esterne:

• la reazione dell’asse, applicata in $O$: ha braccio nullo, quindi momento nullo;
• il peso $m\vec{g}$, applicato nel centro di massa, con braccio $h\sin\theta$.

Il momento del peso tende sempre a riportare il corpo verso la verticale: se lo sposti a destra, il peso lo fa ruotare verso sinistra. È un momento di richiamo, con segno opposto all’angolo:

$$M = -\,m\,g\,h\sin\theta$$

Con $\alpha = \ddot\theta$ si ottiene l’equazione del moto:

$$I\,\ddot\theta = -\,m\,g\,h\sin\theta$$

Della forma del corpo, per quanto complicata, contano solo tre numeri: $m$, $h$ e $I$. Due corpi diversissimi con gli stessi valori oscillano allo stesso modo. Attenzione però: la reazione dell’asse non è uguale al peso, perché il centro di massa si muove su una circonferenza e ha un’accelerazione, centripeta e tangenziale.

Le piccole oscillazioni

Per angoli piccoli, in radianti, vale $\sin\theta \approx \theta$: a 10° l’errore è circa dello 0,5%, a 20° circa del 2%. L’equazione diventa:

$$\ddot\theta + \frac{m\,g\,h}{I}\,\theta = 0$$

È l’equazione del moto armonico semplice, con l’angolo al posto della posizione. La soluzione è:

$$\begin{gathered} \theta(t) = \theta_0\cos(\Omega\,t + \varphi) \\ \Omega = \sqrt{\frac{m\,g\,h}{I}} \end{gathered}$$

La pulsazione $\Omega$ è una costante: non confonderla con la velocità angolare $\omega = \dot\theta$, che cambia di continuo ed è massima quando il corpo passa per la verticale.

Il periodo

$$T = \frac{2\pi}{\Omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m\,g\,h}}$$

Il periodo è il tempo di un’oscillazione completa, andata e ritorno. Tre cose da notare:

1. non dipende dall’ampiezza, finché le oscillazioni sono piccole, come nel pendolo semplice;
2. non dipende dalla massa totale, perché $I$ è proporzionale a $m$: un’asta di legno e una d’acciaio lunghe uguali hanno lo stesso periodo. Conta invece come è distribuita la massa;
3. dipende da $g$: sulla Luna lo stesso corpo oscillerebbe più lentamente.

Se tutta la massa è concentrata in un punto a distanza $L$, allora $h = L$ e $I = mL^2$, e si ritrova il pendolo semplice:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m\,L^2}{m\,g\,L}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

La lunghezza ridotta e il centro di oscillazione

Confrontando le due formule, il pendolo composto oscilla come un pendolo semplice lungo:

$$l = \frac{I}{m\,h}$$

detta lunghezza ridotta, o lunghezza equivalente: il periodo diventa $T = 2\pi\sqrt{l/g}$. Il punto $C$ della retta $O$-CM a distanza $l$ da $O$ è il centro di oscillazione: se tutta la massa fosse concentrata lì, il periodo non cambierebbe.

Con il teorema di Huygens-Steiner scriviamo $I = I_{cm} + mh^2$, e poniamo $I_{cm} = m\,k^2$. La lunghezza $k$ è il raggio giratore: la distanza a cui dovresti mettere tutta la massa per avere lo stesso $I_{cm}$. Allora:

$$\begin{gathered} I = m\,(k^2 + h^2) \\ l = \frac{I}{m\,h} = h + \frac{k^2}{h} \end{gathered}$$

La lunghezza ridotta è sempre maggiore di $h$: il centro di oscillazione sta oltre il centro di massa. Il peso agisce come se la massa fosse a distanza $h$, ma l’inerzia è maggiore, perché la massa sparsa attorno al centro di massa aggiunge il termine $mk^2$. D’altra parte $l$ può essere più corta del corpo: un’asta lunga $L$ appesa a un estremo ha $l = 2L/3$, quindi oscilla più in fretta di un pendolo semplice lungo quanto lei.

Ecco la lunghezza ridotta di alcuni corpi omogenei; per anello e disco l’asse è perpendicolare al loro piano.

Corpo	Asse	$l$
Asta lunga $L$	per un estremo	$2L/3$
Lastra alta $a$	lungo il lato superiore	$2a/3$
Anello di raggio $R$	per un punto del bordo	$2R$
Disco di raggio $R$	per un punto del bordo	$3R/2$
Sfera di raggio $R$	tangente alla superficie	$7R/5$

Asse e centro di oscillazione si possono scambiare

Ecco una proprietà sorprendente, dimostrata da Huygens. Capovolgi il corpo e appendilo nel centro di oscillazione $C$. La nuova distanza dal centro di massa è $h' = l - h = k^2/h$, e la nuova lunghezza ridotta:

$$\begin{gathered} l' = h' + \frac{k^2}{h'} \\ {} = \frac{k^2}{h} + h = l \end{gathered}$$

Stessa lunghezza ridotta, stesso periodo: asse di sospensione e centro di oscillazione sono reciproci. L’asta appesa a un estremo ha il centro di oscillazione a $2L/3$ dall’asse, cioè a $L/6$ dal centro di massa: appesa lì, oscilla con lo stesso periodo.

Come cambia il periodo spostando l’asse

Con $I = m(k^2 + h^2)$ il periodo dipende solo dalla distanza $h$:

$$T(h) = 2\pi\sqrt{\frac{k^2 + h^2}{g\,h}}$$

• Se l’asse si avvicina al centro di massa, $h \to 0$, il momento del peso diventa piccolissimo mentre l’inerzia no: il periodo cresce senza limite.
• Se l’asse è molto lontano, $h \gg k$, il termine $k^2$ è trascurabile e $T \approx 2\pi\sqrt{h/g}$: il corpo si comporta quasi come un pendolo semplice.

In mezzo c’è un minimo, dove è minima $l(h) = h + k^2/h$. Ponendo la derivata uguale a zero:

$$\begin{gathered} \frac{dl}{dh} = 1 - \frac{k^2}{h^2} = 0 \\ h = k \end{gathered}$$

Il periodo è minimo quando la distanza tra asse e centro di massa è uguale al raggio giratore. In quel caso $l = 2k$ e:

$$T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{2k}{g}}$$

La figura mostra il periodo di un’asta omogenea lunga 1 m, che ha $k = L/\sqrt{12} \approx 0{,}289\ \text{m}$. Il minimo, circa 1,52 s, si ha con l’asse a circa 21 cm da un estremo. La curva grigia è il pendolo semplice lungo $h$: l’asta è sempre più lenta, perché $l > h$.

La linea verde mostra la reciprocità: ogni periodo più lungo del minimo si ottiene con due distanze, $h_1$ e $h_2$, con $h_1\,h_2 = k^2$ e $h_1 + h_2 = l$. Vicino al minimo, invece, la curva è piatta: spostare un po’ l’asse cambia pochissimo il periodo.

Il pendolo reversibile di Kater

Per secoli il pendolo è stato lo strumento migliore per misurare $g$: misuri lunghezza e periodo e usi $g = 4\pi^2 L/T^2$. Ma nessun pendolo vero è semplice, e per un pendolo composto servirebbero $I$ e $h$, difficili da misurare con precisione.

Nel 1817 il britannico Henry Kater aggirò il problema con la reciprocità. Il suo pendolo reversibile è una barra con due perni a coltello, uno vicino a ciascuna estremità, rivolti l’uno verso l’altro, e una massa che si può spostare. Si fa oscillare la barra appesa a un coltello, poi la si capovolge sull’altro, e si sposta la massa finché i due periodi sono uguali. A quel punto ogni coltello è nel centro di oscillazione dell’altro: la distanza tra i coltelli è la lunghezza ridotta, facile da misurare con precisione. Se, per esempio, i periodi coincidono a 2,000 s con i coltelli a 0,994 m:

$$\begin{gathered} g = \frac{4\pi^2\,l}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}994}{2{,}000^2}\ \text{m/s}^2 \\ g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

senza sapere né dove sia il centro di massa né quanto valga $I$. Kater misurò così la lunghezza del pendolo che batte il secondo a Londra, e pubblicò i risultati nel 1818. L’idea era già venuta a Gaspard de Prony nel 1800, in un lavoro pubblicato solo nel 1889, e a Friedrich Bohnenberger nel 1811. I pendoli reversibili sono rimasti lo strumento di riferimento per le misure assolute di $g$ fino agli anni Cinquanta del Novecento, quando li hanno sostituiti i gravimetri a caduta libera.

L’energia del pendolo composto

Se l’asse è senza attrito, l’unica forza che compie lavoro è il peso, conservativo: l’energia meccanica si conserva. L’energia cinetica è quella di rotazione; l’energia potenziale è quella del centro di massa, che rispetto alla posizione più bassa sta più in alto di $h(1 - \cos\theta)$:

$$E = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2 + m\,g\,h\,(1 - \cos\theta)$$

Lasciato da fermo con angolo $\theta_0$, il corpo passa per la verticale con la velocità angolare massima:

$$\omega_{max} = \sqrt{\frac{2\,m\,g\,h\,(1 - \cos\theta_0)}{I}}$$

Questa formula vale per qualsiasi ampiezza, perché non usa $\sin\theta \approx \theta$; un punto a distanza $r$ dall’asse ha velocità $v = \omega r$. Derivando $E$ rispetto al tempo e ponendo la derivata uguale a zero si ritrova anche l’equazione del moto.

Per ampiezze grandi, dividendo per $I$ l’equazione diventa $\ddot\theta = -\Omega^2\sin\theta$, identica a quella del pendolo semplice. Valgono quindi le stesse correzioni: con un’ampiezza di 90° il periodo è circa il 18% più lungo di quello delle piccole oscillazioni.

Il centro di percussione

Il centro di oscillazione si chiama anche centro di percussione. Prendi un corpo appeso in $O$, fermo, e dagli un colpo orizzontale, un impulso $J$, sulla retta $O$-CM a distanza $b$ dall’asse. In genere anche l’asse riceve un colpo, $J_O$: lo senti bene se l’asse è la tua mano. Con il momento dell’impulso rispetto a $O$ e il teorema dell’impulso per il centro di massa, che parte con velocità $\omega h$:

$$\begin{cases} J\,b = I\,\omega \\ J + J_O = m\,\omega\,h \end{cases}$$

Ricavando $\omega$ dalla prima e sostituendo:

$$J_O = J\left(\frac{m\,h\,b}{I} - 1\right)$$

L’asse non riceve nessun colpo quando $b = I/(mh) = l$, cioè colpendo nel centro di oscillazione. Per un bastone tenuto per un’estremità è a due terzi della lunghezza. Molti libri lo collegano al «punto dolce» delle mazze da baseball, ma chi studia le mazze fa notare che nelle mani contano di più le vibrazioni: prendi il paragone con le pinze.

Esempi di tutti i giorni

Le gambe quando cammini

Mentre cammini, la gamba sollevata si porta in avanti oscillando attorno all’anca, e gran parte del lavoro lo fa la gravità. Un’asta lunga come una gamba, 0,9 m, appesa a un estremo, ha periodo $2\pi\sqrt{2L/(3g)} \approx 1{,}55\ \text{s}$: per andare da dietro ad avanti le serve mezza oscillazione, circa 0,78 s. È lo stesso ordine di grandezza di un passo: camminando con calma ne facciamo circa 100 al minuto, uno ogni 0,6 s. La gamba vera è un po’ più veloce, perché il ginocchio si piega e la massa è concentrata nella coscia, vicino all’anca.

Il metronomo

Il metronomo meccanico è un pendolo rovesciato con due masse: una fissa sotto il perno, nascosta nella cassa, e un pesetto che scorre sull’asta sopra il perno. Il centro di massa complessivo resta sotto il perno, altrimenti l’asta cadrebbe da una parte. Se fai salire il pesetto, il momento d’inerzia aumenta e il centro di massa si avvicina al perno, quindi $h$ diminuisce: entrambe le cose rallentano le oscillazioni. Pesetto in alto, tempo lento; pesetto in basso, tempo veloce. Questo metronomo fu inventato da Dietrich Nikolaus Winkel ad Amsterdam nel 1814 e brevettato nel 1815 da Johann Maelzel, che ne riprese le idee.

Un po’ di storia

Il problema era stato posto dal frate francese Marin Mersenne: come calcolare il periodo di un corpo esteso di forma qualsiasi? Lo risolse Christiaan Huygens, l’inventore dell’orologio a pendolo, nell’Horologium oscillatorium, pubblicato a Parigi nel 1673. La quarta parte dell’opera contiene la prima teoria riuscita del centro di oscillazione, il suo calcolo per molte figure piane e solide e la reciprocità con l’asse.

Huygens non aveva l’equazione $M = I\alpha$. Partì da un principio che risaliva a Torricelli: il centro di gravità di un sistema di pesi che si muovono per effetto della gravità non può salire più in alto della quota da cui è partito. Oggi lo leggiamo come conservazione dell’energia meccanica. Studiando i pendoli composti, Huygens contribuì anche alla nascita del concetto di momento d’inerzia.

Gli errori più comuni

• Usare il momento d’inerzia rispetto al centro di massa. Serve $I$ rispetto all’asse di sospensione: per un’asta appesa a un estremo è $\tfrac{1}{3}mL^2$, non $\tfrac{1}{12}mL^2$.
• Mettere la lunghezza del corpo al posto di $h$. $h$ è la distanza tra asse e centro di massa: per l’asta appesa a un estremo è $L/2$, non $L$.
• Confondere la lunghezza ridotta con $h$. $l = h + k^2/h$ è sempre maggiore di $h$.
• Pensare che un corpo più pesante oscilli più lentamente. La massa totale si semplifica: conta solo come è distribuita.
• Confondere la pulsazione con la velocità angolare. $\Omega = \sqrt{mgh/I}$ è costante; $\omega = \dot\theta$ cambia di continuo.
• Usare le piccole oscillazioni per angoli grandi, o con l’angolo in gradi. Per angoli grandi usa l’energia, che vale sempre.
• Credere che avvicinare l’asse al centro di massa renda il pendolo più veloce. Sotto $h = k$ il periodo cresce, e con l’asse nel centro di massa il corpo non oscilla.

Esercizi svolti

1. L’asta appesa a un estremo

Testo. Un’asta omogenea lunga 1 m oscilla attorno a un asse orizzontale passante per un estremo. Trova il periodo delle piccole oscillazioni e la lunghezza ridotta, e confronta con un pendolo semplice lungo 1 m.

Il centro di massa è a metà, $h = L/2$, e $I = \tfrac{1}{3}mL^2$. La massa si semplifica:

$$\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{3}m\,L^2}{m\,g\,\frac{L}{2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}} \\ T = 2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 9{,}81}}\ \text{s} \approx 1{,}64\ \text{s} \end{gathered}$$

La lunghezza ridotta è $l = 2L/3 \approx 0{,}667\ \text{m}$: circa 37 oscillazioni al minuto. Un pendolo semplice lungo 1 m avrebbe periodo $2\pi\sqrt{1/9{,}81}\ \text{s} \approx 2{,}01\ \text{s}$. L’asta è più veloce perché buona parte della sua massa è vicina all’asse.

2. L’anello e il disco appesi a un chiodo

Testo. Un anello sottile e un disco pieno, entrambi di raggio $R = 25\ \text{cm}$, sono appesi a un chiodo per un punto del bordo e oscillano nel proprio piano. Calcola i due periodi. Quale oscilla più in fretta?

In entrambi i casi $h = R$. Per Huygens-Steiner:

$$\begin{gathered} I_{anello} = m\,R^2 + m\,R^2 = 2\,m\,R^2 \\ I_{disco} = \tfrac{1}{2}\,m\,R^2 + m\,R^2 = \tfrac{3}{2}\,m\,R^2 \end{gathered}$$

Sostituendo, la massa si semplifica:

$$\begin{gathered} T_{anello} = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}} \\ {} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 1{,}42\ \text{s} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} T_{disco} = 2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}} \\ {} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}375}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 1{,}23\ \text{s} \end{gathered}$$

L’anello oscilla come un pendolo semplice lungo quanto il suo diametro, 50 cm; il disco come uno di 37,5 cm. Il disco è più veloce perché la sua massa è in media più vicina al centro. Il rapporto tra i periodi è $\sqrt{3/4} \approx 0{,}87$, qualunque siano raggio e massa.

3. L’insegna che dondola

Testo. Un’insegna è una lastra omogenea di 3 kg, larga 80 cm e alta 60 cm, appesa per il lato superiore a una sbarra orizzontale attorno a cui ruota liberamente. Quanto vale il periodo delle piccole oscillazioni? Se il vento la sposta di 20° e la lascia andare, con che velocità passa per la verticale il bordo inferiore?

La larghezza non conta: l’insegna si comporta come un’asta lunga $a = 0{,}6\ \text{m}$ appesa a un estremo, con $I = \tfrac{1}{3}m\,a^2$ e $h = a/2 = 0{,}3\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} I = \tfrac{1}{3}\,m\,a^2 = 0{,}36\ \text{kg·m}^2 \\ m\,g\,h = 3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}3 \approx 8{,}83\ \text{N·m} \end{gathered}$$ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}36}{8{,}83}}\ \text{s} \approx 1{,}27\ \text{s}$$

circa 47 oscillazioni al minuto. Per la velocità usiamo l’energia, con $1 - \cos 20^\circ \approx 0{,}0603$:

$$\begin{gathered} \omega_{max} = \sqrt{\frac{2\,m\,g\,h\,(1 - \cos 20^\circ)}{I}} \\ {} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8{,}83 \cdot 0{,}0603}{0{,}36}}\ \text{rad/s} \\ {} \approx 1{,}72\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Il bordo inferiore, a 0,6 m dall’asse, va a $v = \omega_{max}\,a \approx 1{,}72 \cdot 0{,}6\ \text{m/s} \approx 1{,}03\ \text{m/s}$. Con l’approssimazione armonica, $\Omega\,\theta_0 \approx 4{,}95 \cdot 0{,}349 \approx 1{,}73\ \text{rad/s}$: a 20° la differenza è minima.

4. Dove forare l’asta

Testo. Vuoi appendere a un chiodo un’asta omogenea lunga 1 m attraverso un foro. Con il foro a un estremo il periodo è quello dell’esercizio 1. Dove potresti fare il foro per avere lo stesso periodo? E dove per avere il periodo più breve, e quanto vale?

Il raggio giratore è $k = L/\sqrt{12}$, quindi $k^2 \approx 0{,}0833\ \text{m}^2$ e $k \approx 0{,}289\ \text{m}$. Con il foro all’estremo $h = 0{,}5\ \text{m}$; per la reciprocità lo stesso periodo si ha con:

$$h' = \frac{k^2}{h} = \frac{0{,}0833}{0{,}5}\ \text{m} \approx 0{,}167\ \text{m}$$

cioè con un foro a 16,7 cm dal centro, a 33,3 cm da un estremo (oltre, ovviamente, al foro all’altro estremo, che ha la stessa $h$). Verifichiamo:

$$\begin{gathered} l' = h' + \frac{k^2}{h'} \approx 0{,}167 + 0{,}5 \\ l' \approx 0{,}667\ \text{m} = \tfrac{2}{3}L \end{gathered}$$

Stessa lunghezza ridotta, stesso periodo, 1,64 s. Il periodo minimo si ha per $h = k$, con il foro a circa $50 - 28{,}9 \approx 21{,}1\ \text{cm}$ da un estremo:

$$\begin{gathered} T_{min} = 2\pi\sqrt{\frac{2k}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}577}{9{,}81}}\ \text{s} \\ T_{min} \approx 1{,}52\ \text{s} \end{gathered}$$

Solo il 7% in meno che con il foro all’estremo: vicino al minimo la curva è molto piatta.

5. Il pendolo dell’orologio

Testo. Il pendolo di un orologio è un’asta omogenea di 0,5 kg, lunga 1 m, appesa a un estremo, con all’altro estremo il centro di un disco di 2 kg e raggio 10 cm, nel piano di oscillazione. Trova il periodo. Quanto sbaglieresti trattandolo come un pendolo semplice lungo 1 m?

Sommiamo i momenti d’inerzia; per il disco usiamo Huygens-Steiner, con il centro a 1 m dall’asse:

$$\begin{gathered} I_{asta} = \tfrac{1}{3} \cdot 0{,}5 \cdot 1^2 \approx 0{,}167\ \text{kg·m}^2 \\ I_{disco} = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}1^2 + 2 \cdot 1^2 \\ I_{disco} = 2{,}01\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

quindi $I \approx 2{,}177\ \text{kg·m}^2$. Con massa totale $m = 2{,}5\ \text{kg}$, il centro di massa è a:

$$h = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 1}{2{,}5}\ \text{m} = 0{,}9\ \text{m}$$ $$\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m\,g\,h}} \\ {} = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}177}{2{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}9}}\ \text{s} \\ {} \approx 1{,}973\ \text{s} \end{gathered}$$

Un pendolo semplice lungo 1 m avrebbe $T_0 \approx 2{,}006\ \text{s}$: l’errore è circa dell’1,7%. Sembra poco, ma un orologio costruito pensando che ogni oscillazione duri 2,006 s andrebbe avanti, in un giorno, di:

$$\begin{gathered} 86\,400 \cdot \left(\frac{2{,}006}{1{,}973} - 1\right)\ \text{s} \\ {} \approx 1445\ \text{s} \approx 24\ \text{min} \end{gathered}$$

Per questo negli orologi a pendolo la lente si alza o si abbassa con una vite: è così che si regola il periodo.

6. L’asta che cade dall’orizzontale

Testo. Un’asta omogenea lunga 1,2 m, incernierata senza attrito a un estremo, è tenuta orizzontale e lasciata andare da ferma. Con che velocità angolare passa per la verticale? Con che velocità si muove l’estremo libero, rispetto a un sasso lasciato cadere dalla stessa altezza?

L’ampiezza di 90° è troppo grande per le piccole oscillazioni: usiamo l’energia. Il centro di massa scende di $L/2$ e $I = \tfrac{1}{3}mL^2$:

$$\begin{gathered} \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{3}\,m\,L^2\,\omega^2 = m\,g\,\frac{L}{2} \\ \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 9{,}81}{1{,}2}}\ \text{rad/s} \\ \omega \approx 4{,}95\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

L’estremo libero è a distanza $L$ dall’asse:

$$v = \omega\,L = 4{,}95 \cdot 1{,}2\ \text{m/s} \approx 5{,}94\ \text{m/s}$$

Un sasso che cade da 1,2 m arriverebbe a $\sqrt{2gL} \approx 4{,}85\ \text{m/s}$: l’estremo dell’asta è più veloce della caduta libera! L’energia si conserva lo stesso, perché il centro di massa va a $\omega L/2 \approx 2{,}97\ \text{m/s}$, meno dei $\sqrt{gL} \approx 3{,}43\ \text{m/s}$ di un sasso che cade da $L/2$. In generale, un punto a distanza $r$ dal cardine arriva con $\omega r$ invece di $\sqrt{2gr}$: le due velocità coincidono per $r = 2g/\omega^2 = 2L/3$, proprio il centro di oscillazione. I punti oltre sono più veloci della caduta libera, perché l’asta rigida li trascina.

Altri problemi su pendoli e oscillazioni li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni e in quelli sul corpo rigido.

In sintesi

• Il pendolo composto è un corpo rigido che oscilla attorno a un asse orizzontale fisso che non passa per il centro di massa.
• Equazione del moto: $I\ddot\theta = -mgh\sin\theta$, con $I$ rispetto all’asse e $h$ distanza tra asse e centro di massa.
• Piccole oscillazioni: $T = 2\pi\sqrt{I/(mgh)}$, che non dipende né dall’ampiezza né dalla massa totale.
• Lunghezza ridotta: $l = I/(mh) = h + k^2/h$, sempre maggiore di $h$. Asta appesa a un estremo: $l = 2L/3$ e $T = 2\pi\sqrt{2L/(3g)}$.
• Asse e centro di oscillazione sono reciproci: è il principio del pendolo di Kater, con $g = 4\pi^2 l/T^2$.
• Il periodo è minimo quando $h = k$, il raggio giratore: $T_{min} = 2\pi\sqrt{2k/g}$.
• Energia: $E = \tfrac{1}{2}I\omega^2 + mgh(1 - \cos\theta)$, valida per qualsiasi ampiezza.
• Colpendo nel centro di oscillazione, o centro di percussione, l’asse non riceve alcun impulso.

Un altro moto in cui rotazione e traslazione sono legate tra loro è il moto di puro rotolamento.