Moto di un corpo rigido: traslazione, rotazione, asse istantaneo ed esercizi svolti

Un cassetto che si apre, una porta che gira sui cardini, la ruota di una bicicletta che avanza, un bastone lanciato in aria che vola girando: sono tutti esempi di moto di un corpo rigido. Sembrano moti molto diversi, ma si costruiscono con due soli ingredienti, la traslazione e la rotazione, e si descrivono con poche formule che servono in tutto il capitolo sul corpo rigido. In questa pagina vediamo i gradi di libertà, la traslazione e la rotazione, il moto generale come traslazione del centro di massa più rotazione, la velocità di un punto qualsiasi, il centro di istantanea rotazione, le equazioni cardinali e la scelta del polo, l’energia cinetica con il teorema di König, il rotolamento, il bastone lanciato in aria, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un corpo rigido e quanti numeri servono

Un corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui la distanza tra due punti qualsiasi non cambia mai: il corpo si sposta e gira, ma non si deforma. È un modello ideale, che funziona benissimo per ruote, porte e travi, che si deformano pochissimo.

Per sapere dove si trova ogni punto di un corpo rigido bastano sei numeri, i gradi di libertà: tre coordinate per la posizione del centro di massa e tre angoli per l’orientazione. Se il corpo si muove in un piano, come un libro che scivola sul tavolo, ne bastano tre: due coordinate e un angolo. Se ruota attorno a un asse fisso, come una porta, ne basta uno. Vedremo che le equazioni del moto sono proprio tante quanti i gradi di libertà.

La traslazione

Un corpo rigido trasla quando, in ogni istante, tutti i suoi punti hanno la stessa velocità.

Ogni segmento che unisce due punti del corpo resta parallelo a sé stesso: il corpo non cambia orientazione. Le traiettorie non devono per forza essere rette: la cabina di una ruota panoramica, che resta sempre dritta, trasla lungo una circonferenza. Basta conoscere il moto di un solo punto, per esempio del centro di massa:

$$\begin{gathered} \vec{v}_P = \vec{v}_{cm} \\ \vec{a}_P = \vec{a}_{cm} \end{gathered}$$

Il corpo si comporta come un punto materiale di massa $m$, con energia cinetica $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v_{cm}^2$. Un cassetto che si apre e una slitta che scende lungo un pendio traslano.

La rotazione attorno a un asse fisso

Un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso quando i punti dell’asse restano fermi e tutti gli altri descrivono circonferenze centrate sull’asse.

Tutti i punti girano dello stesso angolo nello stesso tempo, quindi hanno la stessa velocità angolare $\omega$ e la stessa accelerazione angolare $\alpha$, ma velocità diverse. Un punto a distanza $r$ dall’asse si muove di moto circolare, con:

$$\begin{gathered} v = \omega\,r \\ a_t = \alpha\,r \qquad a_n = \omega^2\,r \end{gathered}$$

dove $a_t$ è l’accelerazione tangenziale e $a_n$ quella centripeta. La maniglia di una porta, lontana dall’asse, va molto più veloce di un punto vicino ai cardini.

In forma vettoriale, con $\vec{\omega}$ diretto lungo l’asse secondo la regola della mano destra e $\vec{r}$ posizione del punto rispetto a un punto dell’asse, la velocità è $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$.

L’equazione di questo moto, $M = I\alpha$, la studiamo nelle rotazioni rigide attorno a un asse fisso.

Il moto generale: traslazione più rotazione

Nel caso generale, la rototraslazione, il corpo si sposta e intanto gira. Il risultato fondamentale è che qualsiasi moto di un corpo rigido si scompone in due parti:

1. una traslazione, con la velocità del centro di massa;
2. una rotazione attorno a un asse che passa per il centro di massa, con velocità angolare $\vec{\omega}$.

Pensa a una ruota di bicicletta: il mozzo avanza in linea retta, ed è la traslazione; se corri accanto alla bici alla stessa velocità, vedi la ruota girare attorno al mozzo come se fosse ferma sul posto, ed è la rotazione.

Come riferimento si potrebbe usare un punto qualsiasi al posto del centro di massa: cambierebbe la velocità di traslazione, ma non la velocità angolare, perché in un certo tempo il corpo gira di un certo angolo comunque lo guardi. $\vec{\omega}$ è una proprietà del corpo intero, non di un punto.

La velocità di un punto qualsiasi

Chiamiamo $\vec{r}\,'_P$ la posizione di un punto $P$ rispetto al centro di massa. Il corpo è rigido, quindi questo vettore ha lunghezza costante e può solo girare insieme al corpo: la sua derivata è $\vec{\omega} \times \vec{r}\,'_P$. Aggiungendo il moto del centro di massa:

$$\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'_P$$

È la formula chiave della cinematica del corpo rigido. Nel moto piano il secondo termine ha modulo $\omega\,r'$, è perpendicolare a $\vec{r}\,'_P$ e segue il verso della rotazione. I due termini si sommano come vettori: nel punto più alto di una ruota che rotola i moduli si sommano, nel punto più basso si sottraggono, in un punto di lato serve il teorema di Pitagora. Al posto del centro di massa si può usare un punto $A$ qualsiasi del corpo: $\vec{v}_P = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \overrightarrow{AP}$.

Ne segue un controllo comodo: le velocità di due punti, proiettate sulla retta che li unisce, sono uguali. Se fossero diverse, i due punti si avvicinerebbero o si allontanerebbero, e il corpo non sarebbe rigido.

Il centro di istantanea rotazione

Nel moto piano, se il corpo sta girando, in ogni istante c’è un punto con velocità nulla, che può stare anche fuori dal corpo: il centro di istantanea rotazione, o asse istantaneo di rotazione se pensi alla retta perpendicolare al piano che passa per lui. In quell’istante il corpo si muove come se ruotasse attorno a quel punto, con la stessa $\omega$:

• la velocità di ogni punto è perpendicolare alla retta che lo congiunge al centro di istantanea rotazione;
• il suo modulo è $\omega\,d$, dove $d$ è la distanza da quel centro.

Per trovarlo basta conoscere la direzione della velocità di due punti: le rette perpendicolari alle due velocità, tracciate da quei punti, si incontrano nel centro di istantanea rotazione.

La scala che scivola

Una scala scivola lungo un muro: il piede $A$ scorre sul pavimento, la cima $B$ scende lungo il muro. La velocità di $A$ è orizzontale, quindi la sua perpendicolare è la retta verticale per $A$; quella di $B$ è verticale, quindi la sua perpendicolare è la retta orizzontale per $B$. Le due rette si incontrano in $I$, il quarto vertice del rettangolo con due lati sul muro e sul pavimento.

In quell’istante la scala ruota attorno a $I$. Il centro di massa, nel mezzo della scala, è anche il centro del rettangolo: dista $L/2$ da $I$ e $L/2$ dall’angolo tra muro e pavimento. Per questo, mentre la scala scivola, il suo punto di mezzo descrive un arco di circonferenza. I numeri sono nell’esercizio 2.

Le equazioni cardinali

Il moto è determinato dalle forze esterne tramite le due equazioni cardinali, una per ciascuna parte del moto:

$$\begin{gathered} \vec{R} = m\,\vec{a}_{cm} \\ \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} \end{gathered}$$

• La prima governa la traslazione: il centro di massa si muove come un punto materiale di massa $m$ su cui agisce la risultante $\vec{R}$ delle forze esterne, ovunque siano applicate.
• La seconda governa la rotazione: $\vec{L}$ è il momento angolare e $\vec{M}$ il momento delle forze esterne, rispetto allo stesso polo. Qui il punto di applicazione conta eccome.

Sono sei equazioni per sei gradi di libertà, e bastano a determinare tutto il moto. Se il corpo è fermo diventano $\vec{R} = 0$ e $\vec{M} = 0$, le condizioni dell’equilibrio statico. Nel moto piano bastano tre equazioni scalari:

$$\begin{cases} R_x = m\,a_{cm,x} \\ R_y = m\,a_{cm,y} \\ M_{cm} = I_{cm}\,\alpha \end{cases}$$

dove $M_{cm}$ è il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa e $I_{cm}$ il momento d’inerzia rispetto all’asse perpendicolare al piano che passa per il centro di massa.

La scelta del polo

La forma $d\vec{L}/dt = \vec{M}$ vale con il polo fisso oppure nel centro di massa, anche quando questo accelera; con un altro polo in movimento compare un termine in più, come vediamo nel momento angolare di un sistema di punti. In pratica:

• con un asse fisso, come una porta, conviene il polo sull’asse: le reazioni dei cardini spariscono dall’equazione;
• con un corpo libero, come un bastone in volo, si usa il centro di massa;
• per un corpo rotondo che rotola senza strisciare va bene anche il punto di contatto, con momento d’inerzia $I_{cm} + mR^2$ dal teorema di Huygens-Steiner, perché quel punto avanza insieme al centro di massa.

Quando un corpo solo trasla e quando solo ruota

Un corpo che parte senza ruotare continua a traslare se il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa resta nullo. In un’auto che frena l’attrito agisce all’altezza dell’asfalto, sotto il centro di massa, e tenderebbe a ribaltarla in avanti. La carrozzeria però trasla, perché le ruote anteriori vengono premute di più e quelle posteriori di meno, quanto basta ad annullare il momento: per questo in frenata il muso si abbassa (esercizio 5).

Un corpo solo ruota quando un vincolo, come una cerniera, tiene fermo l’asse. Anche allora vale la prima equazione cardinale: il centro di massa gira su una circonferenza, e parte della forza necessaria la fornisce la reazione del vincolo. Così si calcolano le forze sulle cerniere (esercizio 4).

L’energia cinetica e il teorema di König

Per il teorema di König, che porta il nome del matematico settecentesco Johann Samuel König, l’energia cinetica è quella del centro di massa più quella del moto rispetto al centro di massa, che per un corpo rigido è una rotazione:

$$E_k = \frac{1}{2}\,m\,v_{cm}^2 + \frac{1}{2}\,I_{cm}\,\omega^2$$

Il primo termine è l’energia di traslazione, il secondo l’energia di rotazione. Nel moto piano si può anche pensare che il corpo ruoti attorno al centro di istantanea rotazione, a distanza $d$ dal centro di massa: con Huygens-Steiner e $v_{cm} = \omega\,d$ il risultato è lo stesso.

$$\begin{gathered} E_k = \frac{1}{2}\,(I_{cm} + m\,d^2)\,\omega^2 \\ {} = \frac{1}{2}\,I_{cm}\,\omega^2 + \frac{1}{2}\,m\,v_{cm}^2 \end{gathered}$$

Non mescolare le due strade: o usi $I_{cm}$ e aggiungi la traslazione, o usi il momento d’inerzia rispetto al centro di istantanea rotazione senza aggiungerla. In un corpo rigido le forze interne non compiono lavoro, quindi l’energia cinetica cambia solo per il lavoro delle forze esterne.

Il rotolamento senza strisciare

Il caso più frequente negli esercizi è il moto di puro rotolamento: il punto a contatto con il terreno è fermo, cioè è il centro di istantanea rotazione. Per una ruota di raggio $R$ che rotola verso destra, la formula delle velocità dà al punto di contatto $v_{cm} - \omega R$; ponendola uguale a zero:

$$v_{cm} = \omega\,R$$

Punto della ruota	Velocità
punto di contatto	$0$
centro	$v_{cm}$, orizzontale
punto più alto	$2\,v_{cm}$, orizzontale
punto di lato, a metà altezza	$\sqrt{2}\,v_{cm}$, a 45°

Il punto più alto va al doppio del centro e quello in basso è fermo: per questo nelle foto di una bici in corsa i raggi in alto sono mossi e quelli in basso nitidi. Un punto del bordo descrive una cicloide, una curva ad archi che tocca terra con una punta. Per rotolare accelerando, o lungo un pendio, serve l’attrito statico, che però non compie lavoro, perché agisce in un punto fermo.

Un bastone lanciato in aria

Lancia un bastone facendolo girare: ogni punto descrive una curva complicata, ma il centro di massa si muove come un sasso lanciato, lungo una parabola.

Trascurando l’aria, l’unica forza esterna è il peso: $\vec{R} = m\,\vec{g}$ e il centro di massa fa un moto parabolico. Il peso è applicato nel centro di massa, quindi rispetto a lui ha momento nullo e il momento angolare si conserva: per un bastone che gira nel piano del lancio anche $\omega$ è costante, e tra due istanti successivi il bastone gira sempre dello stesso angolo. Vale anche per un tuffatore, che però non è rigido: dopo lo stacco non può cambiare la parabola del suo centro di massa, ma raccogliendosi diminuisce il momento d’inerzia e gira più veloce.

Un po’ di storia

Nel 1763 Giulio Mozzi pubblicò a Napoli il Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, considerato la prima formulazione rigorosa di un risultato generale: in ogni istante il moto di un corpo rigido nello spazio è una rotazione attorno a un asse più uno scivolamento lungo lo stesso asse, come una vite. In Italia quell’asse si chiama ancora asse di Mozzi; molti libri citano invece un lavoro simile di Michel Chasles del 1830. Nel 1765 Eulero pubblicò la Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, uno dei trattati fondamentali sul corpo rigido.

Gli errori più comuni

• Dare velocità angolari diverse a punti diversi. La velocità angolare è una sola per tutto il corpo: cambiano le velocità dei punti, non $\omega$.
• Sommare le velocità come numeri. $\vec{v}_{cm}$ e $\vec{\omega} \times \vec{r}\,'_P$ si sommano come vettori: in un punto di lato di una ruota serve Pitagora.
• Pensare che traslazione voglia dire moto rettilineo. La cabina della ruota panoramica trasla lungo un cerchio: conta che il corpo non giri.
• Trattare il centro di istantanea rotazione come un punto fisso. Ha velocità nulla, ma in generale non accelerazione nulla.
• Contare due volte l’energia di traslazione. Con il momento d’inerzia rispetto al punto di contatto, $\frac{1}{2}I\omega^2$ è già tutta l’energia.
• Usare un polo qualsiasi nella seconda equazione cardinale. Va bene un polo fisso o il centro di massa; con un polo mobile serve attenzione.
• Credere che un oggetto lanciato giri attorno a un estremo. In volo ogni corpo gira attorno al proprio centro di massa, anche se l’hai lanciato tenendolo per un estremo.

Esercizi svolti

1. Il disco che rotola

Testo. Un disco omogeneo di 2 kg e raggio 20 cm rotola senza strisciare, con il centro che avanza a 3 m/s. Trova la velocità angolare, la velocità del punto più alto e del punto davanti all’altezza del centro, e l’energia cinetica di traslazione e di rotazione.

Dalla condizione di puro rotolamento:

$$\omega = \frac{v_{cm}}{R} = \frac{3\ \text{m/s}}{0{,}2\ \text{m}} = 15\ \text{rad/s}$$

La velocità di rotazione del bordo vale $\omega R = 3\ \text{m/s}$. Nel punto più alto si somma a quella del centro: 6 m/s. Nel punto davanti è diretta verso il basso, perpendicolare a quella del centro:

$$v = \sqrt{3^2 + 3^2}\ \text{m/s} \approx 4{,}24\ \text{m/s}$$

inclinata di 45° verso il basso, perpendicolare alla retta che va al punto di contatto. Con $I_{cm} = \frac{1}{2}mR^2 = 0{,}04\ \text{kg·m}^2$:

$$\begin{gathered} E_{trasl} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2\ \text{J} = 9\ \text{J} \\ E_{rot} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}04 \cdot 15^2\ \text{J} = 4{,}5\ \text{J} \end{gathered}$$

In tutto 13,5 J, un terzo di rotazione. Controllo: rispetto al punto di contatto il momento d’inerzia è $I_{cm} + mR^2 = 0{,}12\ \text{kg·m}^2$, e $\frac{1}{2} \cdot 0{,}12 \cdot 15^2 = 13{,}5\ \text{J}$. Un blocco che scivolasse alla stessa velocità avrebbe solo 9 J.

2. La scala che scivola

Testo. Una scala omogenea lunga 5 m e di 12 kg scivola lungo un muro. Quando il piede è a 3 m dal muro e la cima a 4 m d’altezza, il piede si allontana a 1 m/s. Trova la velocità angolare, la velocità della cima e del centro di massa, e l’energia cinetica.

Il centro di istantanea rotazione $I$ è a 3 m dal muro e a 4 m d’altezza, come nella figura. Il piede dista da $I$ 4 m, la cima 3 m, il centro di massa 2,5 m:

$$\begin{gathered} \omega = \frac{v_A}{4\ \text{m}} = 0{,}25\ \text{rad/s} \\ v_B = \omega \cdot 3\ \text{m} = 0{,}75\ \text{m/s} \\ v_{cm} = \omega \cdot 2{,}5\ \text{m} = 0{,}625\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Controllo con le velocità proiettate: la scala forma con il pavimento un angolo $\theta$ con $\cos\theta = 0{,}6$ e $\sin\theta = 0{,}8$, e lungo la scala $v_A\cos\theta = 0{,}6\ \text{m/s}$ e $v_B\sin\theta = 0{,}6\ \text{m/s}$, uguali. Per l’energia, $I_{cm} = \frac{1}{12}mL^2 = 25\ \text{kg·m}^2$ e, con Huygens-Steiner, rispetto a $I$ il momento d’inerzia vale $25 + 12 \cdot 2{,}5^2 = 100\ \text{kg·m}^2$:

$$E_k = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0{,}25^2\ \text{J} = 3{,}125\ \text{J}$$

Con König si trova lo stesso: circa 2,34 J di traslazione più 0,78 J di rotazione.

3. La clava del giocoliere

Testo. Un giocoliere lancia in alto una clava: il centro di massa sale di 1,2 m e la clava, ripresa alla stessa altezza, ha fatto esattamente un giro. Quanto resta in aria e con che velocità angolare gira? Quanto va veloce, nel punto più alto, il pomello, a 25 cm dal centro di massa? Quanto in alto andrebbe lanciata per fare due giri alla stessa velocità angolare?

Il centro di massa si muove come un sasso lanciato in verticale:

$$\begin{gathered} v_0 = \sqrt{2\,g\,h} \\ {} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}2}\ \text{m/s} \approx 4{,}85\ \text{m/s} \\ t = \frac{2\,v_0}{g} \approx 0{,}989\ \text{s} \end{gathered}$$

Il peso non ha momento rispetto al centro di massa, quindi la clava gira a velocità angolare costante, un giro in 0,989 s:

$$\omega = \frac{2\pi}{t} = \frac{2\pi}{0{,}989}\ \text{rad/s} \approx 6{,}35\ \text{rad/s}$$

circa un giro al secondo. Nel punto più alto il centro di massa è fermo e la clava ruota soltanto: il pomello va a $\omega \cdot 0{,}25\ \text{m} \approx 1{,}6\ \text{m/s}$. Per due giri serve un tempo doppio. Dato che $v_0 = g\,t/2$, l’altezza è $h = v_0^2/(2g) = g\,t^2/8$: raddoppiando il tempo quadruplica, 4,8 m. Un doppio giro chiede un lancio molto più alto, o una clava che gira più in fretta.

4. La botola che si apre

Testo. La botola della soffitta è una lastra omogenea di 12 kg, lunga 0,9 m dalla cerniera al bordo opposto, con momento d’inerzia $\frac{1}{3}mL^2$ rispetto alla cerniera. È chiusa in orizzontale e a un certo punto si sgancia. Trova l’accelerazione angolare e la forza della cerniera appena si sgancia, e la forza della cerniera quando la botola passa per la verticale.

All’inizio la botola è ferma e il peso ha momento $mgL/2$. Con il polo nella cerniera:

$$\begin{gathered} \alpha = \frac{m\,g\,L/2}{\frac{1}{3}\,m\,L^2} = \frac{3\,g}{2\,L} \\ {} = \frac{3 \cdot 9{,}81}{2 \cdot 0{,}9}\ \text{rad/s}^2 \approx 16{,}4\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}$$

Il centro di massa parte verso il basso con $a_{cm} = \alpha\,L/2 = \frac{3}{4}g \approx 7{,}36\ \text{m/s}^2$. La prima equazione cardinale, con il verso positivo in basso, dà la forza $N$ della cerniera:

$$\begin{gathered} m\,g - N = m\,a_{cm} \\ N = m\,(g - a_{cm}) = \frac{m\,g}{4} \approx 29{,}4\ \text{N} \end{gathered}$$

Nel primo istante la cerniera regge solo un quarto del peso, che è 117,7 N.

Alla verticale il peso passa per la cerniera e $\alpha = 0$. La velocità angolare viene dall’energia, perché il centro di massa è sceso di $L/2$:

$$\begin{gathered} m\,g\,\frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\,m\,L^2\,\omega^2 \\ \omega = \sqrt{\frac{3\,g}{L}} \approx 5{,}72\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Il centro di massa ha un’accelerazione centripeta $\omega^2 L/2 = \frac{3}{2}g$, verso la cerniera, cioè verso l’alto:

$$\begin{gathered} N - m\,g = m\,\omega^2\,\frac{L}{2} = \frac{3}{2}\,m\,g \\ N = \frac{5}{2}\,m\,g \approx 294\ \text{N} \end{gathered}$$

Da un quarto a due volte e mezzo il peso: la cerniera va dimensionata per il valore massimo.

5. L’auto che frena

Testo. Un’auto di 1200 kg ha il centro di massa a metà tra i due assi, che distano 2,5 m, e a 0,55 m d’altezza. Frena con una decelerazione di 6 m/s². Trattandola come un corpo rigido che trasla, trova la forza normale sulle ruote anteriori e posteriori.

La forza frenante è l’attrito dell’asfalto: $F = m\,a = 7200\ \text{N}$, all’indietro. In verticale le normali reggono il peso:

$$N_{ant} + N_{post} = m\,g = 11\,772\ \text{N}$$

L’auto non ruota, quindi il momento rispetto al centro di massa è nullo. L’attrito, 0,55 m sotto il centro di massa, tende a far ruotare l’auto in avanti, come la normale posteriore; la normale anteriore tende a farla ruotare all’indietro. Le normali hanno lo stesso braccio, 1,25 m:

$$\begin{gathered} N_{ant} \cdot 1{,}25 = N_{post} \cdot 1{,}25 + F \cdot 0{,}55 \\ N_{ant} - N_{post} = 3168\ \text{N} \end{gathered}$$

Mettendo insieme le due equazioni:

$$\begin{gathered} N_{ant} = \frac{11\,772 + 3168}{2}\ \text{N} = 7470\ \text{N} \\ N_{post} = \frac{11\,772 - 3168}{2}\ \text{N} = 4302\ \text{N} \end{gathered}$$

Da ferma ogni coppia di ruote regge 5886 N; in frenata quelle anteriori reggono circa il 63% del peso. È il trasferimento di carico che fa abbassare il muso.

6. Dove colpire una palla da biliardo

Testo. Una palla da biliardo ha massa 0,17 kg e diametro 57,15 mm, la misura delle palle da pool. A che altezza dal panno va colpita, con un colpo orizzontale, perché parta subito rotolando senza strisciare? Con un impulso di 0,34 N·s, con che velocità e velocità angolare parte?

Il colpo è brevissimo, quindi conta solo l’impulso $J$ della stecca. Se la stecca colpisce a una distanza $d$ sopra il centro, le due equazioni cardinali scritte per gli impulsi danno:

$$\begin{gathered} J = m\,v_{cm} \\ J\,d = I_{cm}\,\omega = \frac{2}{5}\,m\,R^2\,\omega \end{gathered}$$

con $\frac{2}{5}mR^2$ momento d’inerzia di una sfera piena. Per partire già in puro rotolamento serve $\omega = v_{cm}/R$; dividendo la seconda equazione per la prima:

$$d = \frac{2}{5}\,R \qquad h = R + d = \frac{7}{5}\,R$$

Con $R = 28{,}6\ \text{mm}$ si colpisce circa 11,4 mm sopra il centro, cioè a circa 40 mm dal panno, al 70% dell’altezza della palla. La palla parte con:

$$\begin{gathered} v_{cm} = \frac{J}{m} = \frac{0{,}34}{0{,}17}\ \text{m/s} = 2\ \text{m/s} \\ \omega = \frac{v_{cm}}{R} = \frac{2}{0{,}0286}\ \text{rad/s} \approx 70\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

Colpita al centro, invece, partirebbe strisciando senza ruotare, e l’attrito del panno la porterebbe a rotolare a $\frac{5}{7}$ della velocità iniziale, circa 1,43 m/s.

Altri problemi su rotazioni, rotolamento ed equilibrio li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• Un corpo rigido libero ha 6 gradi di libertà; nel piano 3, attorno a un asse fisso 1.
• Traslazione: tutti i punti hanno la stessa velocità, come un punto materiale. Rotazione attorno a un asse fisso: stessa $\omega$ per tutti, $v = \omega r$.
• Moto generale: traslazione del centro di massa più rotazione attorno a lui, $\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'_P$.
• Centro di istantanea rotazione: il punto fermo attorno a cui il corpo sta ruotando; ogni velocità vale $\omega d$ ed è perpendicolare alla congiungente.
• Equazioni cardinali: $\vec{R} = m\,\vec{a}_{cm}$ e $d\vec{L}/dt = \vec{M}$, con polo fisso o nel centro di massa; nel piano $M_{cm} = I_{cm}\alpha$.
• Energia cinetica (König): $E_k = \frac{1}{2}mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$.
• Puro rotolamento: $v_{cm} = \omega R$, punto di contatto fermo, punto più alto a $2v_{cm}$.

Il caso più comune nei problemi è il corpo che ruota attorno a un asse fermo: le rotazioni rigide attorno a un asse fisso.