Piano inclinato con e senza attrito: formule, spiegazione ed esercizi svolti

Il piano inclinato è probabilmente il problema più classico di tutta la dinamica: compare in quasi ogni compito di Fisica 1, da solo o come parte di problemi più complessi. La buona notizia è che si risolve sempre con lo stesso metodo. Una volta capito come scomporre il peso, il resto viene da sé. In questa pagina vediamo le forze in gioco, la scomposizione del peso, la normale, il moto con e senza attrito, l’angolo limite, il corpo lanciato in salita e quello spinto su, il punto di vista dell’energia, la pendenza delle strade, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Le forze in gioco

Consideriamo un blocco di massa $m$ su un piano inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all’orizzontale. Sul blocco agiscono:

• il peso $m\vec{g}$, verticale verso il basso;
• la reazione normale $\vec{N}$, perpendicolare al piano;
• se il piano è scabro, l’attrito $\vec{f}_a$, parallelo al piano e opposto al moto, o alla tendenza al moto se il blocco è fermo.

La scelta degli assi e la scomposizione del peso

Il trucco è scegliere un asse $x$ parallelo al piano, orientato verso il basso lungo la discesa, e un asse $y$ perpendicolare al piano. Così la normale e l’attrito sono già allineati agli assi, e l’unica forza da scomporre è il peso.

L’angolo tra il peso e l’asse $y$ è proprio l’inclinazione $\theta$ del piano, quindi:

$$\begin{gathered} P_x = m\,g\sin\theta \\ P_y = m\,g\cos\theta \end{gathered}$$

• $P_x = mg\sin\theta$ è la componente parallela: tende a far scendere il blocco lungo il piano.
• $P_y = mg\cos\theta$ è la componente perpendicolare: preme il blocco contro il piano.

Un controllo veloce: se $\theta = 0$ (piano orizzontale) la componente parallela è nulla, se $\theta = 90°$ (parete verticale) tutto il peso è parallelo e il blocco cade liberamente. Il disegno della scomposizione, con l’angolo $\theta$ tra il peso e la perpendicolare, lo trovi nella forza peso.

La reazione normale

Il blocco non si muove in direzione perpendicolare al piano, quindi lungo $y$ la risultante è nulla:

$$\begin{gathered} N - m\,g\cos\theta = 0 \\ N = m\,g\cos\theta \end{gathered}$$

La normale è minore del peso: il piano sostiene solo la componente perpendicolare. Questo vale se le uniche forze perpendicolari al piano sono il peso e la normale. Se spingi il blocco contro il piano, o lo tiri con una corda inclinata verso l’alto, la normale cambia: va sempre ricavata dall’equazione lungo $y$, non scritta a memoria.

Piano inclinato senza attrito

Senza attrito, lungo $x$ agisce solo la componente parallela del peso. Per il secondo principio:

$$\begin{gathered} m\,g\sin\theta = m\,a \\ a = g\sin\theta \end{gathered}$$

L’accelerazione è costante, quindi il moto lungo il piano è uniformemente accelerato, e non dipende dalla massa. Un blocco che parte da fermo e percorre un tratto $L$ arriva in fondo con velocità:

$$v = \sqrt{2\,a\,L} = \sqrt{2\,g\,L\sin\theta} = \sqrt{2\,g\,h}$$

dove $h = L\sin\theta$ è il dislivello. È la stessa velocità che avrebbe cadendo liberamente dalla stessa altezza: l’inclinazione cambia il tempo impiegato, non la velocità finale. Lo ritroveremo con la conservazione dell’energia meccanica.

Il trucco di Galileo: rallentare la caduta

Galileo non aveva cronometri: misurava il tempo pesando l’acqua uscita da un recipiente. Una caduta libera da un’altezza ragionevole dura troppo poco per misurarla così, e allora la “diluì” facendo rotolare delle sfere lungo un piano poco inclinato. Nei Discorsi del 1638 descrisse come lo spazio percorso cresca con il quadrato del tempo, la legge del moto uniformemente accelerato.

Con la stessa altezza $h$, il tempo di discesa è $t = \dfrac{1}{\sin\theta}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$. Ecco i valori per un dislivello di 1 m, senza attrito:

Inclinazione	Accelerazione	Tempo per scendere di 1 m di quota
90° (caduta libera)	9,81 m/s²	0,45 s
60°	8,50 m/s²	0,52 s
30°	4,91 m/s²	0,90 s
10°	1,70 m/s²	2,60 s
5°	0,86 m/s²	5,18 s

In tutti i casi il blocco arriva in fondo a $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1} \approx 4{,}43\ \text{m/s}$; a 5° però ci mette più di undici volte il tempo della caduta libera.

Piano inclinato con attrito

Il blocco scende

Se il blocco scivola verso il basso, l’attrito dinamico è diretto verso l’alto lungo il piano e vale $\mu_d N = \mu_d\,mg\cos\theta$:

$$\begin{gathered} m\,g\sin\theta - \mu_d\,m\,g\cos\theta = m\,a \\ a = g\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta) \end{gathered}$$

Anche con l’attrito l’accelerazione non dipende dalla massa. Se $\tan\theta > \mu_d$ il blocco accelera; se $\tan\theta < \mu_d$ la formula dà un’accelerazione negativa: un blocco che sta già scendendo rallenta e si ferma, e da lì resta fermo.

Il blocco viene lanciato verso l’alto

Se il blocco sale lungo il piano, sia la componente del peso sia l’attrito sono diretti verso il basso. La decelerazione è più grande:

$$a = -g\,(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$$

dove il segno meno indica che, con l’asse orientato verso l’alto, l’accelerazione è opposta alla velocità. Attenzione: quando il blocco si ferma in cima, l’attrito cambia verso. Se il peso riesce a vincere l’attrito statico il blocco riscende, con l’accelerazione del caso precedente, più piccola; altrimenti resta fermo. Per questo la salita dura meno della discesa, come vediamo nel quarto esercizio.

Quando il blocco resta fermo: l’angolo limite

Un blocco fermo sul piano resta fermo se l’attrito statico riesce a bilanciare la componente parallela del peso, cioè se $mg\sin\theta \le \mu_s\,mg\cos\theta$:

$$\tan\theta \le \mu_s$$

L’angolo per cui $\tan\theta = \mu_s$ si chiama angolo limite: è l’inclinazione massima per cui il blocco non scivola, e non dipende dalla massa. Inclinando lentamente un piano finché un oggetto inizia a scivolare si può misurare $\mu_s$.

Coefficiente di attrito statico	Angolo limite
0,2	11,3°
0,4	21,8°
0,6	31,0°
1,0	45,0°

Attenzione: se il blocco è fermo, l’attrito statico non vale $\mu_s N$. Vale esattamente quanto serve, cioè $mg\sin\theta$; $\mu_s N$ è solo il massimo che può raggiungere.

Spingere un corpo su per il piano

Per far salire un blocco a velocità costante con una forza $F$ parallela al piano, la forza deve bilanciare sia la componente del peso sia l’attrito, rivolto verso il basso:

$$F = m\,g\,(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$$

Senza attrito basta $mg\sin\theta$, una frazione del peso: è il motivo per cui si usano le rampe per caricare un furgone. Si risparmia forza, ma non lavoro: la strada è più lunga in proporzione, come mostra la cassa dell’esercizio nella forza peso.

Se invece la forza serve a tenere fermo il blocco, con l’attrito statico c’è un intervallo di valori possibili:

$$\begin{gathered} m\,g\,(\sin\theta - \mu_s\cos\theta) \le F \\ F \le m\,g\,(\sin\theta + \mu_s\cos\theta) \end{gathered}$$

Sotto il primo valore il blocco scivola giù, sopra il secondo comincia a salire. Se il primo valore è negativo, il blocco sta fermo anche da solo.

Il punto di vista dell’energia

Con il teorema dell’energia cinetica il piano inclinato diventa ancora più semplice. Il peso compie un lavoro $mgh$, che dipende solo dal dislivello; la normale non compie lavoro; l’attrito compie un lavoro negativo

$$W_a = -\mu_d\,m\,g\cos\theta \cdot L = -\mu_d\,m\,g\,d$$

dove $d = L\cos\theta$ è la proiezione orizzontale del percorso. Curioso: il lavoro dell’attrito su un piano inclinato è lo stesso che si avrebbe su un piano orizzontale lungo quanto la proiezione. Con l’energia non serve calcolare l’accelerazione per trovare la velocità in fondo, e il metodo funziona anche per piste di forma qualsiasi.

La pendenza delle strade

I cartelli stradali indicano la pendenza in percentuale: un 10% vuol dire che la strada sale di 10 m ogni 100 m in orizzontale. La pendenza è quindi la tangente dell’angolo per cento:

$$\text{pendenza} = 100 \cdot \tan\theta$$

Il 10% corrisponde a $\arctan 0{,}1 \approx 5{,}7°$, un angolo che sembra piccolissimo ma che in salita si sente eccome. Una salita del 20%, già durissima in bicicletta, corrisponde a circa 11°. Per angoli piccoli $\sin\theta \approx \tan\theta$, quindi su una strada al 10% la componente del peso lungo la strada è circa il 10% del peso: per un’auto di 1200 kg, circa 1200 N.

Gli errori più comuni

• Scambiare seno e coseno. La componente lungo il piano è $mg\sin\theta$, quella perpendicolare $mg\cos\theta$. Controlla con $\theta = 0$: sul piano orizzontale la componente lungo il piano deve sparire.
• Scrivere $N = mg$. Sul piano inclinato $N = mg\cos\theta$, e anche questo vale solo se non ci sono altre forze perpendicolari al piano.
• Sbagliare il verso dell’attrito. L’attrito è opposto al moto, o alla tendenza al moto: in discesa punta verso l’alto, in salita verso il basso. Quando il blocco si ferma può cambiare verso.
• Usare $\mu_s N$ per un blocco fermo. È il valore massimo dell’attrito statico, non quello effettivo.
• Usare la stessa accelerazione in salita e in discesa. In salita peso e attrito si sommano, in discesa si sottraggono.
• Confondere pendenza in percentuale e angolo. Una pendenza del 30% non è un angolo di 30°: è $\arctan 0{,}3 \approx 16{,}7°$.
• Lasciare la calcolatrice in radianti. Con gli angoli in gradi, la calcolatrice deve essere in modalità DEG: $\sin 30$ in radianti dà $-0{,}988$.
• Pensare che la massa conti. Con o senza attrito, l’accelerazione lungo il piano non dipende dalla massa.

Esercizi svolti

1. Senza attrito

Testo. Un blocco parte da fermo dalla cima di un piano liscio lungo $L = 5\ \text{m}$ e inclinato di $30°$. Calcola accelerazione, velocità in fondo e tempo di discesa.

$$\begin{gathered} a = g\sin 30° = 9{,}81 \cdot 0{,}5\ \text{m/s}^2 \\ a \approx 4{,}91\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} v = \sqrt{2\,a\,L} = \sqrt{2 \cdot 4{,}91 \cdot 5}\ \text{m/s} \\ v \approx 7{,}0\ \text{m/s} \\ t = \sqrt{\frac{2L}{a}} \\ t \approx 1{,}43\ \text{s} \end{gathered}$$

Controllo con l’energia: con il dislivello $h = 5 \sin 30° = 2{,}5\ \text{m}$ si ottiene di nuovo $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}5} \approx 7{,}0\ \text{m/s}$, come deve essere.

2. Con attrito

Testo. Lo stesso blocco, sullo stesso piano, ma con $\mu_d = 0{,}2$. Calcola di nuovo accelerazione, velocità in fondo e tempo.

$$\begin{gathered} a = 9{,}81 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866)\ \text{m/s}^2 \\ a \approx 3{,}21\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} v = \sqrt{2 \cdot 3{,}21 \cdot 5}\ \text{m/s} \approx 5{,}66\ \text{m/s} \\ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{3{,}21}}\ \text{s} \approx 1{,}77\ \text{s} \end{gathered}$$

L’attrito ha tolto circa il 35% dell’energia: la velocità in fondo scende da 7,0 a 5,66 m/s.

3. Angolo limite

Testo. Il coefficiente di attrito statico tra blocco e piano è $\mu_s = 0{,}4$. Fino a che inclinazione il blocco resta fermo? E se una moneta su un libro inizia a scivolare quando il libro è inclinato di 25°, quanto vale il suo coefficiente di attrito statico?

Il blocco resta fermo finché:

$$\theta \le \arctan(0{,}4) \approx 21{,}8°$$

Sul piano a $30°$ degli esempi precedenti, quindi, il blocco non può restare fermo e scivola. Per la moneta, all’angolo limite vale $\mu_s = \tan\theta$:

$$\mu_s = \tan 25° \approx 0{,}47$$

4. Il blocco lanciato verso l’alto

Testo. Un blocco viene lanciato verso l’alto lungo un piano inclinato di 30°, con velocità iniziale 6 m/s. I coefficienti di attrito sono $\mu_d = 0{,}2$ e $\mu_s = 0{,}4$. Quanta strada fa prima di fermarsi? Riscende? Con che velocità torna al punto di partenza?

In salita peso e attrito sono entrambi rivolti verso il basso:

$$\begin{gathered} a_{su} = -9{,}81 \cdot (0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}866)\ \text{m/s}^2 \\ {} \approx -6{,}60\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} d = \frac{v_0^2}{2\,|a_{su}|} = \frac{6^2}{2 \cdot 6{,}60}\ \text{m} \approx 2{,}73\ \text{m} \\ t_{su} = \frac{6}{6{,}60}\ \text{s} \approx 0{,}91\ \text{s} \end{gathered}$$

In cima il blocco è fermo. Dato che $\tan 30° \approx 0{,}58$ è maggiore di $\mu_s = 0{,}4$, l’attrito statico non basta a tenerlo e il blocco riscende, ora con l’accelerazione del secondo esercizio, $3{,}21\ \text{m/s}^2$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2 \cdot 3{,}21 \cdot 2{,}73}\ \text{m/s} \approx 4{,}18\ \text{m/s} \\ t_{giu} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2{,}73}{3{,}21}}\ \text{s} \approx 1{,}30\ \text{s} \end{gathered}$$

Torna a 4,18 m/s invece che a 6 m/s, e la discesa dura più della salita: l’attrito ha lavorato sia all’andata sia al ritorno.

5. Spingere una cassa su per una rampa

Testo. Una cassa di 40 kg è su una rampa inclinata di 20°, con $\mu_s = 0{,}5$ e $\mu_d = 0{,}3$. Serve una forza per tenerla ferma? Che forza parallela alla rampa serve per farla partire verso l’alto, e quale per farla salire a velocità costante?

Il peso è $40 \cdot 9{,}81\ \text{N} = 392{,}4\ \text{N}$, con $\sin 20° \approx 0{,}342$ e $\cos 20° \approx 0{,}940$. Dato che $\tan 20° \approx 0{,}36$ è minore di $\mu_s = 0{,}5$, la cassa sta ferma da sola.

Per farla partire, la forza deve superare la componente del peso più il massimo attrito statico:

$$\begin{gathered} F_{partenza} = 392{,}4 \cdot (0{,}342 + 0{,}5 \cdot 0{,}940)\ \text{N} \\ {} \approx 319\ \text{N} \end{gathered}$$

Una volta in moto, l’attrito diventa dinamico e basta meno forza:

$$\begin{gathered} F = 392{,}4 \cdot (0{,}342 + 0{,}3 \cdot 0{,}940)\ \text{N} \\ {} \approx 245\ \text{N} \end{gathered}$$

È l’esperienza di tutti: spostare un mobile è faticoso all’inizio, poi diventa più facile.

6. L’auto su una strada in pendenza

Testo. Un’auto di 1200 kg è parcheggiata su una strada con pendenza del 12%. Quanto vale l’attrito che la tiene ferma, e qual è il coefficiente di attrito statico minimo? Se invece l’auto scende a 20 m/s e frena bloccando le ruote, con $\mu_d = 0{,}7$, quanto spazio le serve per fermarsi?

La pendenza del 12% corrisponde a $\theta = \arctan 0{,}12 \approx 6{,}84°$, con $\sin\theta \approx 0{,}119$ e $\cos\theta \approx 0{,}993$. Il peso è $1200 \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 11\,770\ \text{N}$:

$$\begin{gathered} f_s = m\,g\sin\theta \approx 11\,770 \cdot 0{,}119\ \text{N} \\ {} \approx 1400\ \text{N} \\ \mu_{s,min} = \tan\theta = 0{,}12 \end{gathered}$$

In frenata, l’attrito dinamico punta verso l’alto e la componente del peso verso il basso:

$$\begin{gathered} a = g\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta) \\ {} = 9{,}81 \cdot (0{,}119 - 0{,}7 \cdot 0{,}993)\ \text{m/s}^2 \\ {} \approx -5{,}65\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$ $$d = \frac{v_0^2}{2\,|a|} = \frac{20^2}{2 \cdot 5{,}65}\ \text{m} \approx 35{,}4\ \text{m}$$

In piano, con gli stessi dati, ne bastavano circa 29,1 m, come nel primo esercizio del teorema dell’energia cinetica: in discesa servono 6 m in più.

Altri problemi su piani inclinati, funi e carrucole li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• Con l’asse $x$ lungo il piano, il peso si scompone in $mg\sin\theta$ (parallela) e $mg\cos\theta$ (perpendicolare).
• La normale vale $N = mg\cos\theta$, minore del peso, se non ci sono altre forze perpendicolari al piano.
• Senza attrito: $a = g\sin\theta$, indipendente dalla massa; la velocità in fondo è $\sqrt{2gh}$ e dipende solo dal dislivello, il tempo dall’inclinazione.
• Con attrito, in discesa $a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$; in salita la decelerazione è $g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$.
• Il blocco resta fermo se $\tan\theta \le \mu_s$: l’angolo limite è $\arctan\mu_s$.
• Per spingerlo su a velocità costante serve $F = mg(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$. La pendenza stradale è $100\tan\theta$.

Nei problemi con più corpi, spesso il blocco sul piano è collegato con un filo a un’altra massa: lo vediamo nella tensione dei fili.