Teorema di Huygens-Steiner: enunciato, dimostrazione ed esempi svolti

Nella tabella dei momenti d’inerzia gli assi passano quasi sempre per il centro di massa. Ma negli esercizi i corpi ruotano spesso attorno ad altri assi: una porta gira sui cardini, un pendolo attorno al punto di sospensione, una ruota che rotola attorno al punto di contatto. Per non dover rifare ogni volta un integrale si usa il teorema di Huygens-Steiner, detto anche teorema degli assi paralleli: con una moltiplicazione e una somma passi dal centro di massa a qualsiasi asse parallelo. In questa pagina trovi l’enunciato, la dimostrazione, una tabella dei casi più usati, i corpi composti e sei esempi svolti.

Il momento d’inerzia in due righe

Il momento d’inerzia misura quanto è difficile mettere in rotazione un corpo attorno a un asse. Non dipende solo dalla massa, ma da come è distribuita rispetto all’asse: ogni pezzetto di massa $m_i$ conta per il quadrato della sua distanza $r_i$ dall’asse.

$$I = \sum_i m_i\,r_i^2$$

Per questo lo stesso corpo ha momenti d’inerzia diversi rispetto ad assi diversi: una porta è facile da girare sui cardini, ma lo sarebbe ancora di più attorno a un asse verticale passante per il suo centro. Il teorema di Huygens-Steiner dice esattamente quanto cambia il momento d’inerzia spostando l’asse.

L’enunciato

Il momento d’inerzia di un corpo rispetto a un asse $a$ è uguale al momento d’inerzia rispetto all’asse parallelo ad $a$ passante per il centro di massa, più la massa del corpo per il quadrato della distanza tra i due assi:

$$I_a = I_{cm} + m\,d^2$$

Tre condizioni da ricordare: i due assi devono essere paralleli, uno dei due deve passare per il centro di massa, e $d$ è la distanza tra gli assi, misurata perpendicolarmente a essi.

Il significato fisico

I due termini della formula hanno un significato preciso. Quando il corpo ruota attorno all’asse $a$, fa due cose insieme: il suo centro di massa gira attorno all’asse $a$ su una circonferenza di raggio $d$, e il corpo ruota attorno al proprio centro di massa.

• $m\,d^2$ è il momento d’inerzia che avrebbe tutta la massa concentrata nel centro di massa, come un punto materiale a distanza $d$;
• $I_{cm}$ è il contributo della rotazione attorno al centro di massa.

È la stessa divisione del teorema di König per l’energia cinetica. Moltiplicando la formula per $\frac{1}{2}\omega^2$, infatti, si ottiene $\frac{1}{2}I_a\omega^2 = \frac{1}{2}m\,(\omega d)^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\,\omega^2$: l’energia del centro di massa, che si muove a velocità $\omega d$, più quella di rotazione attorno al centro di massa.

La dimostrazione

Scegliamo un sistema di riferimento con l’origine nel centro di massa e l’asse $z$ lungo l’asse per il centro di massa. L’asse $a$ è parallelo a $z$ e lo mettiamo, senza perdere generalità, nel punto $(d, 0)$ del piano $xy$.

La distanza al quadrato di un punto $(x_i, y_i)$ dall’asse $z$ è $x_i^2 + y_i^2$; dall’asse $a$ è $(x_i - d)^2 + y_i^2$. Sviluppando il quadrato:

$$\begin{gathered} I_a = \sum_i m_i\left[(x_i - d)^2 + y_i^2\right] \\ I_a = \sum_i m_i\left(x_i^2 + y_i^2\right) - 2d\sum_i m_i\,x_i \\ \quad + \; d^2\sum_i m_i \end{gathered}$$

I tre termini sono:

• il primo è il momento d’inerzia rispetto all’asse per il centro di massa, $I_{cm}$;
• il secondo contiene $\sum m_i x_i = m\,x_{cm}$, che è zero perché il centro di massa è nell’origine;
• il terzo è $m\,d^2$, perché la somma delle masse è la massa totale.

Resta proprio $I_a = I_{cm} + m\,d^2$. La dimostrazione vale identica per un corpo continuo, con gli integrali al posto delle somme. Il passaggio chiave è il secondo termine: si annulla solo perché l’origine è nel centro di massa. Ecco perché il teorema non vale tra due assi qualsiasi.

Le conseguenze

Il momento minimo è quello per il centro di massa

Il termine $m\,d^2$ è sempre positivo: tra tutti gli assi paralleli a una data direzione, quello per il centro di massa ha il momento d’inerzia più piccolo, e più ti allontani più il momento cresce, con il quadrato della distanza. Lo vedi nel grafico, per un’asta di 2 kg lunga 1,2 m: è una parabola con il minimo nel centro.

Un corpo è quindi più facile da far ruotare attorno al suo centro di massa che attorno a qualsiasi altro asse parallelo. Un’asta che ruota attorno a un estremo ha un momento d’inerzia quattro volte più grande di quella che ruota attorno al centro.

Si passa sempre dal centro di massa

Il teorema lega un asse qualsiasi con quello per il centro di massa, non due assi qualsiasi.

Il teorema si può usare anche al contrario, per trovare $I_{cm}$ conoscendo il momento d’inerzia rispetto a un altro asse: è quello che si fa in laboratorio, misurando il periodo di un pendolo composto.

Tabella: i casi più usati

Ecco i momenti d’inerzia rispetto ad assi che non passano per il centro di massa che capitano più spesso negli esercizi. In ogni riga basta sommare a $I_{cm}$ il termine $m\,d^2$, con la distanza $d$ indicata tra parentesi:

Corpo e asse	$I_{cm}$	$I$
asta, asse per un estremo ($d = L/2$)	$\frac{1}{12}mL^2$	$\frac{1}{3}mL^2$
disco o cilindro pieno, asse sul bordo parallelo all’asse di simmetria ($d = R$)	$\frac{1}{2}mR^2$	$\frac{3}{2}mR^2$
anello, asse perpendicolare per un punto dell’anello ($d = R$)	$mR^2$	$2\,mR^2$
disco, asse nel suo piano tangente al bordo ($d = R$)	$\frac{1}{4}mR^2$	$\frac{5}{4}mR^2$
sfera piena, asse tangente ($d = R$)	$\frac{2}{5}mR^2$	$\frac{7}{5}mR^2$
guscio sferico, asse tangente ($d = R$)	$\frac{2}{3}mR^2$	$\frac{5}{3}mR^2$
lastra rettangolare larga $a$, asse lungo un lato ($d = a/2$)	$\frac{1}{12}ma^2$	$\frac{1}{3}ma^2$

L’ultimo caso è la porta sui cardini: ha lo stesso momento d’inerzia di un’asta lunga quanto la sua larghezza, perché tutta la massa si distribuisce allo stesso modo rispetto all’asse.

I corpi composti

Il teorema dà il meglio di sé con i corpi fatti di più pezzi, come un pendolo formato da un’asta e un disco. Il metodo è sempre lo stesso:

1. dividi il corpo in pezzi di cui conosci $I_{cm}$, cioè il momento d’inerzia rispetto al proprio centro di massa;
2. per ogni pezzo, sposta il momento sull’asse di rotazione con Huygens-Steiner, usando la distanza tra il centro di massa di quel pezzo e l’asse;
3. somma i risultati: i momenti d’inerzia rispetto allo stesso asse si sommano, perché la formula $\sum m_i r_i^2$ è una somma.

Lo vedi applicato nel quinto esempio.

Gli errori più comuni

• Applicarlo tra due assi che non passano per il centro di massa. Si passa sempre dal centro di massa.
• Usare assi non paralleli. Il teorema vale solo per assi paralleli; per assi perpendicolari tra loro servono altri strumenti, come il teorema degli assi perpendicolari per le figure piane.
• Sbagliare la distanza. $d$ è la distanza tra gli assi, non la distanza di un punto qualsiasi del corpo dall’asse: per un disco che ruota attorno a un asse sul bordo è $R$, non $2R$.
• Usare la distanza dell’estremo invece di quella del centro di massa nei corpi composti: per ogni pezzo conta la posizione del suo centro di massa.
• Sottrarre al posto di sommare. Allontanandosi dal centro di massa il momento d’inerzia aumenta sempre: se il risultato diminuisce, c’è un errore.

Esempi svolti

1. L’asta rispetto a un estremo

Un’asta di massa $m$ e lunghezza $L$ ha $I_{cm} = \frac{1}{12}mL^2$. L’estremo dista $L/2$ dal centro:

$$\begin{gathered} I_{estremo} = \frac{1}{12}\,m\,L^2 + m\left(\frac{L}{2}\right)^2 \\ I_{estremo} = \frac{1}{12}\,m\,L^2 + \frac{3}{12}\,m\,L^2 = \frac{1}{3}\,m\,L^2 \end{gathered}$$

È lo stesso risultato che si ottiene con l’integrale da $0$ a $L$, ma senza fare l’integrale.

2. Il disco rispetto a un punto del bordo

Un disco di massa $m$ e raggio $R$ ruota attorno a un asse perpendicolare al disco passante per un punto del bordo, come una moneta appesa per il bordo. La distanza tra gli assi è $R$:

$$I = \frac{1}{2}\,m\,R^2 + m\,R^2 = \frac{3}{2}\,m\,R^2$$

3. La sfera rispetto al punto di contatto

Una sfera piena che rotola su un piano ruota, istante per istante, attorno all’asse passante per il punto di contatto, tangente alla sfera:

$$I = \frac{2}{5}\,m\,R^2 + m\,R^2 = \frac{7}{5}\,m\,R^2$$

Questo risultato è utile nel moto di puro rotolamento: l’energia cinetica della sfera che rotola è $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{5}mR^2\,\omega^2$.

4. Un esempio numerico, e l’errore da evitare

Un’asta di 2 kg lunga 1,2 m ha:

$$I_{cm} = \frac{1}{12} \cdot 2 \cdot 1{,}2^2\ \text{kg·m}^2 = 0{,}24\ \text{kg·m}^2$$

Rispetto a un asse parallelo a 0,3 m dal centro, cioè a metà strada tra il centro e un estremo:

$$\begin{gathered} I_1 = 0{,}24 + 2 \cdot 0{,}3^2\ \text{kg·m}^2 \\ I_1 = 0{,}24 + 0{,}18 = 0{,}42\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

Ora supponiamo di conoscere solo $I_1 = 0{,}42\ \text{kg·m}^2$ e di volere il momento rispetto all’estremo, a 0,6 m dal centro. Passando dal centro di massa:

$$\begin{gathered} I_{cm} = 0{,}42 - 2 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}24\ \text{kg·m}^2 \\ I_2 = 0{,}24 + 2 \cdot 0{,}6^2 = 0{,}96\ \text{kg·m}^2 \end{gathered}$$

cioè $\frac{1}{3}mL^2$, come previsto. Con la formula sbagliata, $I_1 + m\,(0{,}6 - 0{,}3)^2$, avresti ottenuto $0{,}60\ \text{kg·m}^2$: un errore del 37%.

5. Un pendolo fatto di asta e disco

Testo. Un pendolo è formato da un’asta di 1 kg lunga 1 m, incernierata a un estremo, e da un disco di 2 kg e raggio 10 cm saldato con il suo centro all’altro estremo dell’asta. Il pendolo oscilla nel piano del disco. Quanto vale il momento d’inerzia rispetto alla cerniera?

Dividiamo il pendolo in due pezzi e spostiamo ciascuno sulla cerniera:

• asta, rispetto all’estremo: $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1^2 \approx 0{,}333\ \text{kg·m}^2$;
• disco, il cui centro dista 1 m dalla cerniera: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}1^2 + 2 \cdot 1^2 = 0{,}01 + 2 = 2{,}01\ \text{kg·m}^2$.

Sommando:

$$I = 0{,}333 + 2{,}01 \approx 2{,}34\ \text{kg·m}^2$$

Il contributo della rotazione del disco attorno al proprio centro, 0,01, è piccolissimo rispetto al termine $m\,d^2$: trattare il disco come un punto materiale darebbe 2,33, un errore di meno dello 0,5%. È il motivo per cui, nel pendolo semplice, la massa appesa si può considerare puntiforme.

6. La porta sui cardini

Testo. Una porta di 20 kg larga 90 cm ruota sui cardini. Quanto vale il suo momento d’inerzia? Di quanto sarebbe più piccolo se ruotasse attorno a un asse verticale passante per il centro?

Rispetto ai cardini, come una lastra attorno a un lato:

$$I_{cardini} = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 0{,}9^2\ \text{kg·m}^2 = 5{,}4\ \text{kg·m}^2$$

Rispetto all’asse per il centro, $\frac{1}{12} \cdot 20 \cdot 0{,}9^2 = 1{,}35\ \text{kg·m}^2$: quattro volte di meno. Ecco perché la maniglia si mette lontano dai cardini: per far girare un momento d’inerzia così grande serve un momento della forza grande, e conviene spingere con il braccio più lungo possibile.

Altri esercizi sul corpo rigido li trovi negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• Teorema di Huygens-Steiner: $I_a = I_{cm} + m\,d^2$, con $d$ distanza tra l’asse $a$ e l’asse parallelo per il centro di massa.
• $m\,d^2$ è il contributo del centro di massa che gira attorno all’asse; $I_{cm}$ quello della rotazione attorno al centro di massa, come nel teorema di König.
• La dimostrazione si basa sul fatto che, con l’origine nel centro di massa, $\sum m_i x_i = 0$.
• L’asse per il centro di massa dà il momento d’inerzia minimo tra gli assi paralleli; tra due assi che non passano per il centro di massa bisogna passare dal centro di massa.
• Asta all’estremo $\frac{1}{3}mL^2$, disco sul bordo $\frac{3}{2}mR^2$, sfera sul punto di contatto $\frac{7}{5}mR^2$; nei corpi composti si sposta ogni pezzo e si somma.

Una prima applicazione è il corpo rigido che oscilla attorno a un asse che non passa per il centro di massa: il pendolo composto.