Teorema di Carnot: enunciato, dimostrazione, rendimento massimo ed esercizi svolti

Nessun motore trasforma in lavoro tutto il calore che riceve: lo dice il secondo principio della termodinamica. Ma quanto lavoro si può ottenere, al massimo? Il teorema di Carnot risponde in modo sorprendente: il limite dipende solo dalle temperature delle due sorgenti, non dal fluido né dall’abilità di chi progetta la macchina. È il tetto al rendimento di centrali, motori e pompe di calore. In questa pagina vediamo l’enunciato, la dimostrazione per assurdo passo passo con i numeri, perché tutte le macchine reversibili hanno lo stesso rendimento, il rendimento massimo, il legame tra calori e temperature e la scala Kelvin, la disuguaglianza di Clausius, cosa significa il teorema in pratica, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Il punto di partenza: macchine termiche e reversibili

Usiamo la notazione del secondo principio. Una macchina termica, ripetendo un ciclo:

• assorbe il calore $Q_2 > 0$ dalla sorgente calda, a temperatura $T_2$;
• cede il calore $Q_1 < 0$ alla sorgente fredda, a temperatura $T_1 < T_2$;
• produce il lavoro $W = Q_2 + Q_1 = Q_2 - |Q_1|$.

Il rendimento è la frazione del calore assorbito che diventa lavoro:

$$\eta = \frac{W}{Q_2} = 1 - \frac{|Q_1|}{Q_2}$$

Una macchina è reversibile se si può far funzionare al contrario invertendo esattamente tutti gli scambi: stessi calori e stesso lavoro, con i versi opposti. Al contrario diventa un frigorifero: assorbe il lavoro $W$, toglie $|Q_1|$ alla sorgente fredda e cede $Q_2$ a quella calda. È un’idealizzazione: niente attriti, trasformazioni lentissime e scambi di calore solo con sorgenti alla stessa temperatura della macchina. L’esempio classico è la macchina di Carnot, con due isoterme e due adiabatiche.

L’enunciato del teorema di Carnot

Teorema di Carnot. Tra tutte le macchine termiche che lavorano tra le stesse due sorgenti, alle temperature $T_2$ e $T_1 < T_2$:

1. nessuna può avere un rendimento maggiore di quello di una macchina reversibile;
2. tutte le macchine reversibili hanno lo stesso rendimento, qualunque sia la sostanza che compie il ciclo.

In formule, chiamando $\eta_R$ il rendimento di una macchina reversibile e $\eta$ quello di una macchina qualsiasi:

$$\eta \le \eta_R$$

L’uguale vale solo per le macchine reversibili; per quelle reali, irreversibili, vale il minore stretto.

Pensa al calore che scende dal caldo al freddo come all’acqua di una cascata che fa girare una ruota. Il teorema dice che da ogni “salto” si ricava al massimo un certo lavoro, e che quel massimo non dipende dalla ruota: vapore, aria o elio, se la macchina è reversibile il rendimento è lo stesso.

La dimostrazione per assurdo

L’idea: supponiamo che esista una macchina X migliore di una macchina reversibile R e mostriamo che, accoppiandole, si otterrebbe qualcosa che il secondo principio vieta.

Passo passo con i numeri

Le sorgenti sono a $T_2 = 600\ \text{K}$ e $T_1 = 300\ \text{K}$. Una macchina reversibile R tra queste temperature ha un rendimento del 50%, come vedremo tra poco. Un inventore sostiene che la sua macchina X arrivi al 60%. Facciamo produrre alle due macchine lo stesso lavoro per ciclo, $W = 300\ \text{J}$.

1. X, con il 60%, assorbe $300/0{,}6 = 500\ \text{J}$ dalla sorgente calda e ne cede 200 alla fredda.
2. R, con il 50%, per produrre 300 J assorbirebbe 600 J e ne cederebbe 300.
3. Facciamo funzionare R al contrario, come frigorifero, con i 300 J prodotti da X: R toglie 300 J alla sorgente fredda e ne cede 600 alla calda.
4. Bilancio di X + R. Il lavoro netto è zero. La sorgente calda dà 500 J a X e ne riceve 600 da R: guadagna 100 J. La sorgente fredda riceve 200 J da X e ne dà 300 a R: perde 100 J.

Il disegno riassume i quattro passaggi: a sinistra le due macchine, a destra quello che resta guardandole insieme.

L’effetto netto è che 100 J passano dalla sorgente fredda a quella calda senza nessun altro effetto: è esattamente ciò che l’enunciato di Clausius dichiara impossibile. Quindi X non può esistere, e lo stesso vale per qualunque rendimento superiore al 50%.

Il caso generale

Con le lettere: X assorbe $Q_2$, R assorbe $Q_2'$, e producono lo stesso lavoro $W$. Se per assurdo $\eta_X > \eta_R$:

$$\begin{gathered} \frac{W}{Q_2} > \frac{W}{Q_2'} \\ Q_2 < Q_2' \end{gathered}$$

Con R al contrario, la sorgente calda guadagna $Q_2' - Q_2 > 0$ e, dato che il lavoro netto è zero, per il primo principio la fredda perde la stessa quantità. È di nuovo contro Clausius, quindi $\eta_X \le \eta_R$.

Si può arrivare all’assurdo anche con l’enunciato di Kelvin-Planck: basta regolare R in modo che restituisca alla sorgente calda tutto il calore preso da X. Lo vediamo con i numeri nell’esercizio 3.

Perché tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento

Se anche X è reversibile, possiamo scambiare i ruoli: X gira al contrario e R in avanti, e si ottiene $\eta_R \le \eta_X$. Le due disuguaglianze insieme danno $\eta_X = \eta_R$, qualunque sostanza usino le due macchine.

Per una macchina irreversibile il segno è invece stretto: se avesse $\eta_X = \eta_R$, la coppia X + R riporterebbe tutto allo stato iniziale senza lasciare traccia, e allora X sarebbe reversibile.

Il rendimento massimo

Se tutte le macchine reversibili hanno lo stesso rendimento, basta calcolarlo per una sola, la più comoda: la macchina di Carnot con un gas perfetto. Il conto è nell’articolo sulla macchina e il ciclo di Carnot, e dà:

$$\eta_{max} = \eta_R = 1 - \frac{T_1}{T_2}$$

con le temperature in kelvin. Tra 600 K e 300 K vale $1 - 300/600 = 50\%$, il valore usato nella dimostrazione. Tre cose da notare:

• dipende solo dalle temperature: nessun progettista può superarlo;
• è sempre minore di 1: servirebbe una sorgente fredda allo zero assoluto, che per il terzo principio non si raggiunge;
• le macchine reali restano sempre sotto.

A parità di calore assorbito, quindi, la macchina reversibile dà il lavoro massimo, $W_{max} = Q_2\,(1 - T_1/T_2)$; a parità di lavoro assorbe il calore minimo, $Q_{2,min} = W/\eta_{max}$.

Calori, temperature e scala Kelvin

Per una macchina reversibile $1 - |Q_1|/Q_2 = 1 - T_1/T_2$, quindi il rapporto tra i calori è uguale a quello tra le temperature. Con i segni algebrici, ricordando che $Q_1 < 0$:

$$\begin{gathered} \frac{|Q_1|}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2} \\ \frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0 \end{gathered}$$

La temperatura termodinamica assoluta

Leggi ora il risultato al contrario. Il rapporto $|Q_1|/Q_2$ di una macchina reversibile non dipende dalla sostanza: è una proprietà delle due sorgenti. Allora lo si può usare per definire il rapporto tra due temperature, $T_1/T_2 = |Q_1|/Q_2$.

È l’idea di William Thomson, il futuro Lord Kelvin. Ogni termometro assegna i numeri a modo suo, con il mercurio, l’alcol o un gas; questa scala invece non dipende da nessuna sostanza, ma solo dal secondo principio. È la temperatura termodinamica assoluta. Per fissare i valori basta un punto di riferimento: dal 1954 al 2019 il punto triplo dell’acqua valeva per definizione 273,16 K, e dal 2019 il kelvin è definito fissando il valore della costante di Boltzmann. Questa temperatura coincide con quella del termometro a gas perfetto: è la scala che usiamo in tutte le formule.

Per esempio, una macchina reversibile assorbe 1000 J da acqua bollente, a 373,15 K, e ne cede 786 a una vasca. La vasca è a $T_1 = 373{,}15 \cdot 0{,}786 \approx 293\ \text{K}$, circa 20 °C, misurati senza termometro, solo con due calori.

La disuguaglianza di Clausius

Per una macchina qualsiasi, con $\eta = (Q_2 + Q_1)/Q_2$, la condizione $\eta \le \eta_R$ diventa:

$$\begin{gathered} 1 + \frac{Q_1}{Q_2} \le 1 - \frac{T_1}{T_2} \\ \frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} \le 0 \end{gathered}$$

Clausius mostrò che lo stesso vale per un ciclo con un numero qualsiasi di sorgenti, $\sum Q_i/T_i \le 0$, con l’uguale solo per i cicli reversibili. È la disuguaglianza di Clausius, la porta d’ingresso all’entropia.

Una conseguenza pratica: anche con più sorgenti, nessuna macchina supera il rendimento di Carnot calcolato tra la temperatura più alta e la più bassa a cui scambia calore.

Cosa significa in pratica

Ecco qualche impianto reale, con valori indicativi:

Impianto ($T_2$, $T_1$)	$\eta_{max}$ (%)	$\eta$ reale (%)
OTEC (25 °C, 5 °C)	6,7	3
Geotermia (180 °C, 25 °C)	34	10-13
Vapore (600 °C, 30 °C)	65	45
Ciclo combinato (1600 °C, 30 °C)	84	64

• OTEC, energia dagli oceani: nei mari tropicali si sfrutta la differenza tra l’acqua di superficie e quella pescata a circa 1000 m. Serve un salto di almeno 20 °C, e gli impianti reali raramente superano il 3%.
• Geotermia: gli impianti a ciclo binario usano fluidi sotto i 180 °C circa e arrivano al 10-13%.
• Centrali a vapore: le migliori centrali a carbone, con vapore a 600 °C, arrivano al 45%, molte restano sotto il 40%. Il resto del calore finisce soprattutto nel condensatore, e da lì in un fiume, nel mare o nelle torri di raffreddamento.
• Ciclo combinato: una turbina a gas, con gas a circa 1600 °C all’ingresso, è seguita da una turbina a vapore alimentata dai gas di scarico. Il record, verificato nel 2024 per la centrale di Keadby 2 nel Regno Unito, è del 64,18%: non viola nulla, perché la sua sorgente calda è molto più calda.

Il grafico mostra il limite di Carnot in funzione della temperatura della sorgente calda, con la fredda a 300 K, e il rendimento di tre impianti reali.

Il limite vale anche per i motori delle auto, dove i gas di combustione sono caldissimi solo per un istante: i migliori motori a benzina di serie, come quelli presentati da Toyota nel 2018, dichiarano un rendimento termico massimo di circa il 40%, e nella guida di tutti i giorni si sta molto sotto. Il teorema invece non riguarda motori elettrici, batterie e celle a combustibile: non prendono calore da una sorgente calda, quindi non sono macchine termiche.

Meglio scaldare di più o raffreddare di più?

Il rendimento massimo cresce se si alza $T_2$ o si abbassa $T_1$. Alzare $T_2$ però rende sempre meno, perché la curva si appiattisce: da 800 K a 1600 K il limite sale solo dal 62,5% all’81%. E le pale delle turbine non resistono a temperature qualsiasi.

Grado per grado conviene di più abbassare $T_1$: dalla formula si ricava che un kelvin in meno sulla sorgente fredda vale quanto $T_2/T_1$ kelvin in più su quella calda, quasi tre in una centrale a 873 K e 303 K. Ma la sorgente fredda è l’ambiente, aria, fiume o mare, e raffreddarla con un frigorifero costerebbe più lavoro di quello guadagnato.

Il limite per frigoriferi e pompe di calore

Lo stesso teorema vale per le macchine al contrario: nessun frigorifero o pompa di calore può fare meglio di uno reversibile. Da $|Q_1|/Q_2 = T_1/T_2$ si ricavano i coefficienti di prestazione massimi:

$$\begin{gathered} \text{COP}_{f,max} = \frac{T_1}{T_2 - T_1} \\ \text{COP}_{p,max} = \frac{T_2}{T_2 - T_1} \end{gathered}$$

il primo per un frigorifero, il secondo per una pompa di calore. Entrambi crescono quando le temperature si avvicinano: il dettaglio è nel ciclo di Carnot inverso. Per questo una pompa di calore rende di più con un riscaldamento a pavimento, a 30-35 °C, che con i termosifoni tradizionali, a 50 °C o più (esercizio 6).

Un po’ di storia

Nel 1824 Sadi Carnot, un ingegnere francese di 28 anni, pubblicò le Réflexions sur la puissance motrice du feu, “Riflessioni sulla potenza motrice del fuoco”. Ragionava con la teoria del calorico: il calore era un fluido che si conserva e che, “cadendo” dal caldo al freddo, produce lavoro, come l’acqua su una ruota. La teoria era sbagliata, ma le idee di ciclo, di macchina reversibile e di un limite che dipende solo dalle temperature erano giuste.

Il libro passò quasi inosservato e Carnot morì di colera nel 1832, a 36 anni; dai suoi appunti, pubblicati nel 1878, si scopre che aveva poi abbandonato il calorico. Le sue idee arrivarono ai fisici grazie a Émile Clapeyron, che nel 1834 le riscrisse con i grafici nel piano pressione-volume.

Dopo gli esperimenti di Joule, che mostrarono l’equivalenza tra calore e lavoro, Rudolf Clausius nel 1850 e William Thomson nel 1851 riconciliarono il principio di Carnot con la conservazione dell’energia: la sorgente fredda riceve meno calore di quello preso dalla calda, e la differenza è il lavoro. Per salvare il risultato di Carnot serviva un principio nuovo, il secondo. Thomson, che nel 1848 aveva proposto una scala assoluta basata sulle idee di Carnot, la ridefinì poi con il rapporto tra i calori; nel 1892 divenne Lord Kelvin.

Gli errori più comuni

• Usare i gradi Celsius. Tra 227 °C e 27 °C, con i Celsius, verrebbe l’88% invece del 40% corretto.
• Pensare che $1 - T_1/T_2$ sia il rendimento di ogni macchina. È il massimo; il rendimento vero si calcola con $W/Q_2$ ed è minore.
• Scambiare le temperature. Qui $T_2$ è la calda e $T_1$ la fredda; con gli indici invertiti il rendimento verrebbe negativo.
• Credere che il teorema valga solo per il gas perfetto. Il gas perfetto serve solo a calcolare il valore; il teorema vale per qualunque sostanza.
• Sbagliare i segni dei calori. $Q_1$ è negativo: in $|Q_1|/Q_2 = T_1/T_2$ si usano i moduli, in $Q_1/T_1 + Q_2/T_2 = 0$ i segni.
• Applicare Carnot a motori elettrici o batterie. Non sono macchine termiche.
• Pensare che un COP maggiore di 1 violi qualcosa. Una pompa di calore sposta più calore del lavoro che consuma, senza crearlo dal nulla.

Esercizi svolti

1. Il limite di un motore e la trappola dei Celsius

Testo. Una macchina termica lavora tra una sorgente a 227 °C e una a 27 °C e in ogni ciclo assorbe 5000 J. Qual è il lavoro massimo per ciclo? Quanto calore deve cedere, come minimo, alla sorgente fredda? Che risultato darebbero i gradi Celsius?

In kelvin $T_2 = 500{,}15\ \text{K}$ e $T_1 = 300{,}15\ \text{K}$:

$$\eta_{max} = 1 - \frac{300{,}15}{500{,}15} \approx 0{,}400 = 40{,}0\%$$ $$\begin{gathered} W_{max} = 0{,}400 \cdot 5000\ \text{J} \approx 2000\ \text{J} \\ |Q_1|_{min} = 5000 - 2000 = 3000\ \text{J} \end{gathered}$$

Con i Celsius verrebbe $1 - 27/227 \approx 0{,}881$, l’88%: più del doppio del vero. Anche nel caso migliore, tre quinti del calore vanno ceduti alla sorgente fredda.

2. Il motore dell’inventore

Testo. Un inventore propone un motore che lavora tra 400 K e 300 K e che, in ogni ciclo, assorbe 1000 J e produce 300 J di lavoro. È possibile? E un secondo modello che, con gli stessi 1000 J, produce 200 J?

$$\begin{gathered} \eta = \frac{300}{1000} = 30\% \\ \eta_{max} = 1 - \frac{300}{400} = 25\% \end{gathered}$$

Il primo motore supererebbe il limite: impossibile. Lo conferma Clausius: il calore ceduto sarebbe $Q_1 = W - Q_2 = -700\ \text{J}$ e

$$\begin{gathered} \frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = -\frac{700}{300} + \frac{1000}{400} \\ {} \approx -2{,}33 + 2{,}50 \approx +0{,}17\ \text{J/K} \end{gathered}$$

una somma positiva, vietata. Il secondo modello ha $\eta = 20\%$ e cede 800 J: la somma vale $-2{,}67 + 2{,}50 \approx -0{,}17\ \text{J/K}$, negativa come per ogni macchina reale. È possibile. Nota che il primo motore conservava l’energia, 1000 = 300 + 700: viola il secondo principio, non il primo.

3. La dimostrazione con Kelvin-Planck

Testo. Tra due sorgenti a 600 K e 300 K una macchina X avrebbe un rendimento del 60%; in ogni ciclo assorbe 1000 J dalla sorgente calda. La accoppiamo a una macchina reversibile R che funziona al contrario e restituisce alla sorgente calda esattamente 1000 J. Fai il bilancio e mostra quale enunciato del secondo principio verrebbe violato.

X produce $W_X = 0{,}6 \cdot 1000 = 600\ \text{J}$ e cede 400 J alla sorgente fredda. R ha rendimento $1 - 300/600 = 50\%$: al contrario, per cedere 1000 J alla sorgente calda riceve un lavoro pari al 50% di quel calore e prende il resto dalla fredda:

$$\begin{gathered} W_R = 0{,}5 \cdot 1000\ \text{J} = 500\ \text{J} \\ |Q_1'| = 1000 - 500 = 500\ \text{J} \end{gathered}$$

Il bilancio in un ciclo:

• sorgente calda: cede 1000 J a X e ne riceve 1000 da R, quindi non cambia;
• sorgente fredda: riceve 400 J da X e ne cede 500 a R, quindi perde 100 J;
• lavoro: X produce 600 J, R ne usa 500, quindi restano 100 J.

L’unico risultato è che 100 J presi da una sola sorgente sono diventati tutti lavoro: è ciò che vieta l’enunciato di Kelvin-Planck.

4. Due macchine di Carnot in serie

Testo. Una macchina di Carnot A lavora tra 900 K e una sorgente intermedia a temperatura $T_m$. Una seconda macchina di Carnot B usa tutto il calore ceduto da A e lavora tra $T_m$ e 300 K. Mostra che il rendimento complessivo è quello di una sola macchina di Carnot tra 900 K e 300 K. Quanto deve valere $T_m$ perché le due macchine producano lo stesso lavoro? E perché abbiano lo stesso rendimento?

Se A assorbe $Q_2$, per una macchina reversibile i calori stanno nel rapporto delle temperature. A cede $|Q_{1A}|$, che B assorbe e trasforma:

$$\begin{gathered} |Q_{1A}| = Q_2\,\frac{T_m}{900} \\ |Q_{1B}| = |Q_{1A}|\,\frac{300}{T_m} = Q_2\,\frac{300}{900} \end{gathered}$$ $$\eta = 1 - \frac{|Q_{1B}|}{Q_2} = 1 - \frac{300}{900} \approx 66{,}7\%$$

$T_m$ è sparita: la sorgente intermedia riceve e cede lo stesso calore, come se non ci fosse. I due lavori sono:

$$\begin{gathered} W_A = Q_2 - |Q_{1A}| = Q_2\,\frac{900 - T_m}{900} \\ W_B = |Q_{1A}| - |Q_{1B}| = Q_2\,\frac{T_m - 300}{900} \end{gathered}$$

Sono uguali se $900 - T_m = T_m - 300$, cioè per $T_m = 600\ \text{K}$: con $Q_2 = 1000\ \text{J}$ ognuna produce circa 333 J. Per lo stesso rendimento serve $1 - T_m/900 = 1 - 300/T_m$:

$$T_m = \sqrt{900 \cdot 300}\ \text{K} \approx 520\ \text{K}$$

Ognuna ha allora il 42,3%. I rendimenti non si sommano: B lavora su un calore più piccolo di quello assorbito da A.

5. Una centrale termoelettrica

Testo. Una centrale a vapore produce 500 MW di potenza elettrica con un rendimento del 40%. Il vapore entra in turbina a 600 °C e il condensatore è a 30 °C. Calcola il rendimento massimo, il calore scaricato ogni secondo nel condensatore e quello che scaricherebbe una macchina ideale con la stessa potenza.

Con $T_2 = 873{,}15\ \text{K}$ e $T_1 = 303{,}15\ \text{K}$:

$$\eta_{max} = 1 - \frac{303{,}15}{873{,}15} \approx 0{,}653 = 65{,}3\%$$

La centrale sfrutta $0{,}40/0{,}653 \approx 61\%$ del massimo. In un secondo produce $W = 500\ \text{MJ}$, quindi:

$$\begin{gathered} Q_2 = \frac{500}{0{,}40}\ \text{MJ} = 1250\ \text{MJ} \\ |Q_1| = 1250 - 500 = 750\ \text{MJ} \end{gathered}$$

Una macchina reversibile assorbirebbe $500/0{,}653 \approx 766\ \text{MJ}$ e ne cederebbe solo circa 266: la centrale reale scarica nell’ambiente quasi il triplo del minimo. Per smaltire 750 MJ al secondo servono fiumi, mare o grandi torri di raffreddamento.

6. Pompa di calore: pavimento o termosifoni?

Testo. Una pompa di calore prende calore dall’aria esterna a 0 °C. Calcola il coefficiente di prestazione massimo se l’acqua dell’impianto è a 35 °C, come in un riscaldamento a pavimento, e se è a 55 °C, come in molti termosifoni. Una pompa reale con COP = 3,5 fornisce alla casa 10 kWh di calore: quanta energia elettrica consuma? Quanta ne basterebbe, al minimo, con l’impianto a 35 °C?

Con $T_1 = 273{,}15\ \text{K}$ e il massimo $T_2/(T_2 - T_1)$:

$$\begin{gathered} \text{COP}_{35} = \frac{308{,}15}{35} \approx 8{,}8 \\ \text{COP}_{55} = \frac{328{,}15}{55} \approx 6{,}0 \end{gathered}$$

Con l’acqua più calda il limite scende di circa un terzo. La pompa reale consuma:

$$E = \frac{10\ \text{kWh}}{3{,}5} \approx 2{,}86\ \text{kWh}$$

mentre una macchina ideale a 35 °C si accontenterebbe di $10/8{,}8 \approx 1{,}14\ \text{kWh}$. Una stufetta elettrica, per gli stessi 10 kWh, ne consumerebbe 10: anche la pompa reale fa tre volte e mezzo meglio.

Altri problemi su macchine termiche, frigoriferi ed entropia li trovi negli esercizi svolti di termodinamica.

In sintesi

• Teorema di Carnot: tra le stesse due sorgenti nessuna macchina supera una macchina reversibile, $\eta \le \eta_R$, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento, qualunque sostanza usino.
• Dimostrazione per assurdo: accoppiando una macchina più efficiente con una reversibile al contrario si violerebbe l’enunciato di Clausius, o quello di Kelvin-Planck.
• Rendimento massimo: $\eta_{max} = 1 - T_1/T_2$, con le temperature in kelvin.
• Macchina reversibile: $|Q_1|/Q_2 = T_1/T_2$, cioè $Q_1/T_1 + Q_2/T_2 = 0$; questo rapporto definisce la temperatura termodinamica assoluta.
• Disuguaglianza di Clausius: $\sum Q_i/T_i \le 0$, con l’uguale solo per i cicli reversibili.
• Un kelvin in meno sulla sorgente fredda vale $T_2/T_1$ kelvin in più su quella calda.
• Frigoriferi e pompe di calore: $\text{COP}_{f,max} = T_1/(T_2 - T_1)$, $\text{COP}_{p,max} = T_2/(T_2 - T_1)$.

La somma $Q/T$ che si annulla nei cicli reversibili nasconde una nuova funzione di stato, che misura l’irreversibilità dei processi: l’entropia.