Macchina e ciclo di Carnot: fasi, rendimento, frigorifero ed esercizi svolti

Nel 1824 un giovane ingegnere francese, Sadi Carnot, si chiese quanto lavoro si potesse ricavare, al massimo, dal calore. Per rispondere immaginò una macchina ideale, senza attriti e senza dispersioni, che lavora con due sole sorgenti di calore. Quella macchina è ancora oggi il riferimento per motori, centrali, frigoriferi e pompe di calore: nessuna macchina tra le stesse due temperature può fare meglio. In questa pagina vediamo cos’è una macchina termica, com’è fatta la macchina di Carnot, le quattro fasi del ciclo con calore, lavoro ed energia interna di ciascuna, la dimostrazione del rendimento, il piano T-S, il ciclo inverso di frigoriferi e pompe di calore, perché le macchine reali rendono molto meno, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Cos’è una macchina termica

Una macchina termica è un dispositivo che, ripetendo sempre lo stesso ciclo, trasforma in lavoro una parte del calore che riceve. Il motore di un’auto e la turbina di una centrale funzionano con tre ingredienti:

• una sorgente calda a temperatura $T_2$, da cui la macchina assorbe il calore $Q_2 > 0$, come la combustione nel cilindro;
• un fluido, come il vapore o l’aria, che si espande e compie il lavoro $W$;
• una sorgente fredda a temperatura $T_1 < T_2$, a cui cede il calore $Q_1 < 0$, come l’aria esterna o l’acqua di un fiume.

La sorgente fredda non è un optional: per il secondo principio, nell’enunciato di Kelvin-Planck, non si può trasformare in lavoro tutto il calore di una sola sorgente. Alla fine di ogni ciclo il fluido torna allo stato iniziale e la sua energia interna non cambia, quindi per il primo principio, $\Delta U = Q - W$, il lavoro è la somma dei calori scambiati. Il rendimento è la frazione del calore assorbito che diventa lavoro:

$$\begin{gathered} W = Q_2 + Q_1 = Q_2 - |Q_1| \\ \eta = \frac{W}{Q_2} = 1 - \frac{|Q_1|}{Q_2} \end{gathered}$$

Il calore è positivo se il gas lo riceve, il lavoro è positivo se il gas lo compie.

La macchina di Carnot

Immaginiamo un gas perfetto chiuso in un cilindro da un pistone. Pareti e pistone sono isolanti; solo il fondo conduce il calore, e si può appoggiare su tre basi: la sorgente calda a $T_2$, la sorgente fredda a $T_1$ e una base isolante. Le sorgenti, dette anche serbatoi o termostati, sono così grandi che la loro temperatura non cambia mai.

Tutte le trasformazioni sono reversibili: quasistatiche, senza attriti, e con il calore scambiato solo tra corpi alla stessa temperatura. Quest’ultima condizione è il punto chiave: quando il calore passa tra corpi a temperature diverse, come dalla fiamma alla pentola, si perde l’occasione di ricavarne lavoro e il processo non si può più invertire.

Con due sole sorgenti, allora, il gas può scambiare calore solo restando a $T_2$ sulla sorgente calda o a $T_1$ su quella fredda: servono due isoterme. Per passare da una temperatura all’altra deve restare isolato: servono due adiabatiche. Non è una scelta arbitraria: è l’unico ciclo reversibile possibile con due sole sorgenti.

La linea tratteggiata indica dov’era il pistone all’inizio di ogni fase.

Le quattro fasi del ciclo

Nel piano di Clapeyron, pressione in funzione del volume, il gas percorre il ciclo in senso orario partendo dallo stato 1. I numeri della figura sono quelli dell’esercizio 2.

1 → 2: espansione isoterma a T₂

Il cilindro è sulla sorgente calda. Il gas si espande lentamente da $V_1$ a $V_2$ e intanto riceve il calore che lo mantiene a $T_2$. L’energia interna di un gas perfetto dipende solo dalla temperatura, quindi non cambia: tutto il calore assorbito diventa lavoro.

$$\begin{gathered} \Delta U = 0 \\ Q_2 = W_{12} = n\,R\,T_2\ln\frac{V_2}{V_1} > 0 \end{gathered}$$

Non viola Kelvin-Planck, perché non è l’unico risultato: alla fine il gas occupa un volume maggiore, e il resto del ciclo serve a riportarlo indietro.

2 → 3: espansione adiabatica

Il cilindro viene spostato sulla base isolante. Il gas continua a espandersi senza scambiare calore: compie lavoro a spese della propria energia interna e si raffredda, finché la temperatura non scende da $T_2$ a $T_1$. Lungo l’adiabatica reversibile vale l’equazione di Poisson, $TV^{\gamma - 1}$ costante:

$$\begin{gathered} Q = 0 \\ W_{23} = -\Delta U = n\,c_V\,(T_2 - T_1) \\ T_2\,V_2^{\gamma - 1} = T_1\,V_3^{\gamma - 1} \end{gathered}$$

3 → 4: compressione isoterma a T₁

Il cilindro viene appoggiato sulla sorgente fredda e il gas viene compresso lentamente da $V_3$ a $V_4$. La temperatura resta $T_1$, quindi l’energia interna non cambia: il lavoro fatto sul gas esce tutto come calore verso la sorgente fredda. Il logaritmo è negativo perché $V_4 < V_3$, e così anche calore e lavoro:

$$\begin{gathered} \Delta U = 0 \\ Q_1 = W_{34} = n\,R\,T_1\ln\frac{V_4}{V_3} < 0 \end{gathered}$$

La compressione si ferma proprio nello stato 4, scelto in modo che l’adiabatica successiva riporti il gas esattamente allo stato 1.

4 → 1: compressione adiabatica

Il cilindro torna sulla base isolante e il gas viene compresso fino allo stato iniziale. Senza scambi di calore, il lavoro fatto sul gas ne aumenta l’energia interna e la temperatura risale da $T_1$ a $T_2$:

$$\begin{gathered} Q = 0 \\ W_{41} = -\Delta U = -n\,c_V\,(T_2 - T_1) \\ T_1\,V_4^{\gamma - 1} = T_2\,V_1^{\gamma - 1} \end{gathered}$$

Il bilancio del ciclo

Mettiamo tutto insieme:

Fase	$Q$	$W$
1 → 2 isoterma	$Q_2 > 0$	$Q_2$
2 → 3 adiabatica	$0$	$n\,c_V\,(T_2 - T_1)$
3 → 4 isoterma	$Q_1 < 0$	$Q_1$
4 → 1 adiabatica	$0$	$-n\,c_V\,(T_2 - T_1)$
ciclo	$Q_2 + Q_1$	$Q_2 + Q_1$

I lavori delle due adiabatiche sono uguali e opposti, perché dipendono solo dal salto di temperatura, $T_2 - T_1$, lo stesso nei due versi. Resta $W = Q_2 + Q_1$. Nel piano di Clapeyron il lavoro è l’area sotto la curva, positiva nelle espansioni e negativa nelle compressioni: sul ciclo resta l’area racchiusa dal ciclo, quella colorata della figura, positiva perché il ciclo è percorso in senso orario.

Perché i due rapporti tra i volumi sono uguali

Le due adiabatiche legano tra loro i quattro volumi. Scriviamole una sotto l’altra:

$$\begin{gathered} T_2\,V_2^{\gamma - 1} = T_1\,V_3^{\gamma - 1} \\ T_2\,V_1^{\gamma - 1} = T_1\,V_4^{\gamma - 1} \end{gathered}$$

Dividendo membro a membro, le temperature si semplificano:

$$\begin{gathered} \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1} = \left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma - 1} \\ \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} \end{gathered}$$

Il gas si comprime nell’isoterma fredda nello stesso rapporto in cui si è espanso in quella calda. Dalle stesse equazioni si ricava anche di quanto si espande nelle adiabatiche:

$$\frac{V_3}{V_2} = \frac{V_4}{V_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$$

Il rendimento del ciclo di Carnot

Dato che i due rapporti tra i volumi sono uguali, anche i logaritmi nei due calori sono uguali e si semplificano:

$$\begin{gathered} \frac{|Q_1|}{Q_2} = \frac{n\,R\,T_1\ln(V_3/V_4)}{n\,R\,T_2\ln(V_2/V_1)} \\ \frac{|Q_1|}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2} \end{gathered}$$

Il rapporto tra i calori scambiati è uguale al rapporto tra le temperature. Sostituendo in $\eta = 1 - |Q_1|/Q_2$:

$$\eta_C = 1 - \frac{T_1}{T_2}$$

Il rendimento dipende solo dalle temperature delle sorgenti, non dalla quantità di gas, dai volumi o dalle dimensioni della macchina. Ecco come cresce con $T_2$, se la sorgente fredda è a 300 K, circa la temperatura ambiente:

$T_2$ (K)	$\eta_C$
400	25%
600	50%
900	67%
1500	80%

Tre conseguenze:

• il rendimento è sempre minore di 1: servirebbe una sorgente fredda allo zero assoluto, che per il terzo principio è irraggiungibile;
• per aumentarlo bisogna allargare il salto di temperatura: per questo le centrali usano vapore e gas sempre più caldi, fin dove resistono i materiali;
• le temperature vanno sempre in kelvin.

Il teorema di Carnot va oltre il gas perfetto: ogni macchina reversibile tra le stesse due sorgenti ha questo rendimento, e nessuna macchina può superarlo. Da qui si definisce anche la temperatura assoluta, indipendente da qualsiasi termometro.

Il ciclo nel piano T-S

Dal rapporto $|Q_1|/Q_2 = T_1/T_2$ segue, con i segni, una relazione molto importante:

$$\frac{Q_2}{T_2} + \frac{Q_1}{T_1} = 0$$

È il primo passo verso l’entropia: nell’isoterma calda l’entropia del gas aumenta di $\Delta S = Q_2/T_2$, in quella fredda diminuisce della stessa quantità, e nelle adiabatiche reversibili non cambia. Per questo, con l’entropia in ascissa e la temperatura in ordinata, il ciclo diventa un rettangolo: le isoterme sono i lati orizzontali, le adiabatiche quelli verticali. Il calore assorbito è l’area sotto il lato superiore, $Q_2 = T_2\,\Delta S$, quello ceduto l’area sotto il lato inferiore, $|Q_1| = T_1\,\Delta S$, e il lavoro è l’area del rettangolo.

Il ciclo di Carnot inverso: frigorifero e pompa di calore

Essendo reversibile, il ciclo si può percorrere al contrario, $1 \to 4 \to 3 \to 2 \to 1$, in senso antiorario. Il gas si espande a $T_1$ assorbendo il calore $|Q_1|$ dalla sorgente fredda, e viene compresso a $T_2$ cedendo $|Q_2|$ alla sorgente calda. Ora la macchina assorbe lavoro dall’esterno e, per il primo principio, $|Q_2| = |Q_1| + |W|$.

È una macchina frigorifera ideale: porta calore dal freddo al caldo a spese di lavoro, e il rapporto tra i calori resta $|Q_1|/|Q_2| = T_1/T_2$. L’efficienza si misura con il coefficiente di prestazione, che dipende dallo scopo: un frigorifero serve a togliere calore dal freddo, l’interno del frigo; una pompa di calore serve a portare calore al caldo, per esempio dentro casa d’inverno, prendendolo dall’aria esterna. Per il ciclo di Carnot:

$$\begin{gathered} \text{COP}_f = \frac{|Q_1|}{|W|} = \frac{T_1}{T_2 - T_1} \\ \text{COP}_p = \frac{|Q_2|}{|W|} = \frac{T_2}{T_2 - T_1} \end{gathered}$$

Dato che $|Q_2| = |Q_1| + |W|$, vale sempre $\text{COP}_p = \text{COP}_f + 1$.

A differenza del rendimento, i coefficienti di prestazione sono quasi sempre maggiori di 1, senza violare la conservazione dell’energia: la macchina non crea calore, lo sposta. Una pompa di calore tra 0 °C fuori e 20 °C in casa ha un COP ideale di quasi 15; quelle reali per il riscaldamento domestico arrivano di solito a 3 o 4.

Più le due temperature sono vicine, più il COP è alto: una pompa di calore rende meglio quando fuori non fa troppo freddo e con impianti a bassa temperatura, come i pannelli radianti a pavimento.

Perché le macchine reali rendono molto meno

Il rendimento di Carnot è un limite, e le macchine reali ci restano ben sotto. Un buon motore a benzina, nel suo punto di funzionamento migliore, trasforma in lavoro circa il 35% dell’energia del carburante, e i più efficienti di serie hanno raggiunto il 40%. Una centrale a vapore arriva intorno al 40%; quelle a ciclo combinato, in cui i gas di scarico di una turbina a gas producono il vapore per una seconda turbina, superano il 60%. I motivi sono tre.

Le irreversibilità. Attriti, turbolenze nel fluido, dispersioni di calore attraverso le pareti: ognuno di questi processi spreca una parte del lavoro possibile.

Il tempo finito. A temperature uguali il calore passa con lentezza infinita, quindi la macchina di Carnot ideale ha una potenza nulla. Una macchina vera deve scambiare calore in fretta, e come spiega la trasmissione del calore servono salti di temperatura: il fluido lavora più freddo della sorgente calda e più caldo di quella fredda. Nel 1975 i fisici Curzon e Ahlborn mostrarono, con un modello semplice, che una macchina regolata per la massima potenza ha un rendimento di circa $1 - \sqrt{T_1/T_2}$, vicino a quello di molte centrali reali (esercizio 5).

Il ciclo è poco pratico. Le isoterme sono lentissime, e nel piano p-V il ciclo è molto “sottile”: nella figura il lavoro netto è meno di un decimo del rettangolo che contiene il ciclo. Servono grandi variazioni di pressione e volume per poco lavoro, e gli attriti pesano moltissimo. Per questo i motori veri usano altri cicli: Otto nei motori a benzina, Diesel, Rankine nelle centrali a vapore, dove i calori si calcolano con l’entalpia. Il ciclo di Carnot resta il metro di paragone: dice quanto una macchina sfrutta del massimo possibile.

Un po’ di storia

Sadi Carnot, nato a Parigi nel 1796, era un ingegnere militare. Nel 1824, a 28 anni, pubblicò le Réflexions sur la puissance motrice du feu, «Riflessioni sulla potenza motrice del fuoco». Usò un’analogia con l’acqua: la potenza di una cascata dipende dalla quantità d’acqua e dall’altezza da cui cade; quella del calore, dalla quantità di calore e dalla differenza di temperatura tra i corpi tra cui passa.

Carnot ragionava con la teoria del calorico, che vedeva il calore come un fluido che si conserva: un’idea sbagliata. Eppure le sue conclusioni principali, che servono due sorgenti a temperature diverse e che la macchina reversibile è la migliore, erano giuste. Il libro passò quasi inosservato, e Carnot morì di colera nel 1832, a 36 anni.

Lo fece conoscere Émile Clapeyron, che nel 1834 riformulò i ragionamenti di Carnot in forma matematica e disegnò il ciclo come una curva chiusa nel piano pressione-volume, che da lui prende il nome. Su queste basi lavorarono William Thomson, il futuro Lord Kelvin, che nel 1848 propose una scala assoluta di temperatura fondata sulla teoria di Carnot, e Rudolf Clausius, che conciliò il ragionamento di Carnot con la conservazione dell’energia: nacquero così il secondo principio e l’entropia.

Gli errori più comuni

• Usare i gradi Celsius nella formula del rendimento. Tra 327 °C e 27 °C il rendimento non è $1 - 27/327 \approx 92\%$, ma $1 - 300/600 = 50\%$: le temperature vanno in kelvin.
• Confondere i numeri degli stati con gli indici delle temperature. Lo stato 1 è alla temperatura $T_2$: gli indici di $T$ e $Q$ indicano le sorgenti.
• Sbagliare il segno di $Q_1$. Si scrive $W = Q_2 + Q_1$ con $Q_1 < 0$, oppure $W = Q_2 - |Q_1|$, senza mescolare le due forme.
• Pensare che nell’isoterma non si scambi calore. Temperatura costante non vuol dire calore nullo: nell’isoterma $\Delta U = 0$ e $Q = W$. È nell’adiabatica che $Q = 0$.
• Applicare $\eta = 1 - T_1/T_2$ a qualsiasi macchina. Vale per una macchina reversibile con due sorgenti; per una reale è solo il massimo.
• Confondere il COP del frigorifero con quello della pompa di calore. Il primo conta il calore tolto al freddo, il secondo quello portato al caldo: differiscono di 1.
• Pensare che la macchina di Carnot sia anche la più potente. Ha il rendimento massimo, ma essendo reversibile è infinitamente lenta: la sua potenza è nulla.

Esercizi svolti

1. Rendimento, lavoro e calore ceduto

Testo. Una macchina di Carnot lavora tra una sorgente calda a 500 K e una fredda a 250 K, e in ogni ciclo assorbe 800 J dalla sorgente calda. Trova il rendimento, il lavoro prodotto e il calore ceduto in un ciclo. Quanto calore dovrebbe assorbire per produrre 1000 J di lavoro?

Il rendimento dipende solo dalle temperature:

$$\eta_C = 1 - \frac{250}{500} = 0{,}5 = 50\%$$

Metà del calore assorbito diventa lavoro, l’altra metà va alla sorgente fredda:

$$\begin{gathered} W = \eta_C\,Q_2 = 0{,}5 \cdot 800\ \text{J} = 400\ \text{J} \\ Q_1 = W - Q_2 = -400\ \text{J} \end{gathered}$$

Controllo: $Q_2/T_2 + Q_1/T_1 = 1{,}6 - 1{,}6 = 0$, come per ogni macchina reversibile. Per produrre 1000 J di lavoro servono $Q_2 = W/\eta_C = 2000\ \text{J}$, e 1000 J finiscono alla sorgente fredda.

2. Il ciclo della figura

Testo. Una mole di gas perfetto monoatomico percorre il ciclo di Carnot della figura tra $T_2 = 500\ \text{K}$ e $T_1 = 300\ \text{K}$, con $V_1 = 10\ \text{L}$ e $V_2 = 25\ \text{L}$. Trova i volumi $V_3$ e $V_4$, il calore assorbito, il calore ceduto, il lavoro del ciclo e il rendimento.

Per un gas monoatomico $\gamma = 5/3$, quindi $1/(\gamma - 1) = 3/2$. Le adiabatiche danno:

$$\begin{gathered} \frac{V_3}{V_2} = \frac{V_4}{V_1} = \left(\frac{500}{300}\right)^{3/2} \\ {} \approx 2{,}152 \end{gathered}$$

quindi $V_3 \approx 25 \cdot 2{,}152 \approx 53{,}8\ \text{L}$ e $V_4 \approx 10 \cdot 2{,}152 \approx 21{,}5\ \text{L}$. Controllo: $V_3/V_4 = 2{,}5 = V_2/V_1$. Il calore assorbito nell’isoterma calda è:

$$\begin{gathered} Q_2 = n\,R\,T_2\ln\frac{V_2}{V_1} \\ {} = 1 \cdot 8{,}314 \cdot 500 \cdot \ln 2{,}5\ \text{J} \\ {} \approx 3809\ \text{J} \end{gathered}$$

Quello ceduto nell’isoterma fredda, con $V_4/V_3 = 1/2{,}5 = 0{,}4$, è:

$$\begin{gathered} Q_1 = n\,R\,T_1\ln\frac{V_4}{V_3} \\ {} = 1 \cdot 8{,}314 \cdot 300 \cdot \ln 0{,}4\ \text{J} \\ {} \approx -2285\ \text{J} \end{gathered}$$

Il lavoro del ciclo e il rendimento:

$$\begin{gathered} W = Q_2 + Q_1 \approx 3809 - 2285 = 1524\ \text{J} \\ \eta = \frac{W}{Q_2} = \frac{1524}{3809} \approx 0{,}40 \end{gathered}$$

Proprio $1 - 300/500 = 40\%$, come previsto. I lavori delle adiabatiche, $\pm n\,c_V\,(T_2 - T_1) = \pm 1{,}5 \cdot 8{,}314 \cdot 200\ \text{J} \approx \pm 2494\ \text{J}$, superano il lavoro netto del ciclo, ma si cancellano.

3. Congelare l’acqua con un congelatore ideale

Testo. Un congelatore mantiene l’interno a −18 °C in una cucina a 22 °C. Dentro metti 3,0 kg d’acqua già a 0 °C, che deve congelare (trascura il raffreddamento successivo del ghiaccio); il calore latente di fusione del ghiaccio è 334 kJ/kg. Qual è il coefficiente di prestazione massimo? Quanta energia elettrica serve, come minimo, e quanto calore finisce nella cucina?

Le temperature in kelvin sono $T_1 = 255{,}15\ \text{K}$ e $T_2 = 295{,}15\ \text{K}$, con una differenza di 40 K:

$$\text{COP}_f = \frac{T_1}{T_2 - T_1} = \frac{255{,}15}{40} \approx 6{,}38$$

Per congelare l’acqua bisogna toglierle il calore latente, $3{,}0 \cdot 334 = 1002\ \text{kJ}$: è il calore $|Q_1| = m\,L$ sottratto alla sorgente fredda. Il lavoro minimo è:

$$\begin{gathered} |W|_{min} = \frac{|Q_1|}{\text{COP}_f} = \frac{1002}{6{,}38}\ \text{kJ} \\ |W|_{min} \approx 157\ \text{kJ} \end{gathered}$$

Nella cucina finisce $|Q_2| = |Q_1| + |W| \approx 1159\ \text{kJ}$, più di quanto sia stato tolto all’acqua. Il minimo teorico è circa 0,044 kWh; un congelatore reale, con le sue irreversibilità, consuma parecchio di più.

4. La pompa di calore di una casa

Testo. Una pompa di calore deve fornire 8,0 kW di calore a una casa a 20 °C, mentre fuori ci sono 0 °C. Qual è il coefficiente di prestazione massimo, e qual è la minima potenza elettrica necessaria? Quanta ne assorbe una pompa reale con COP pari a 3, e quanta una stufetta elettrica? Cosa cambia se fuori ci sono −10 °C?

Con $T_2 = 293{,}15\ \text{K}$ e $T_1 = 273{,}15\ \text{K}$:

$$\begin{gathered} \text{COP}_p = \frac{T_2}{T_2 - T_1} = \frac{293{,}15}{20} \approx 14{,}7 \\ P_{min} = \frac{8{,}0\ \text{kW}}{14{,}7} \approx 0{,}55\ \text{kW} \end{gathered}$$

Una pompa reale con COP 3 assorbe $8{,}0/3 \approx 2{,}7\ \text{kW}$ di elettricità e prende gli altri 5,3 kW dall’aria esterna. Una stufetta elettrica trasforma l’elettricità in calore uno a uno: assorbe 8,0 kW, tre volte tanto. Con −10 °C fuori, $T_1 = 263{,}15\ \text{K}$ e il salto sale a 30 K:

$$\begin{gathered} \text{COP}_p = \frac{293{,}15}{30} \approx 9{,}8 \\ P_{min} = \frac{8{,}0\ \text{kW}}{9{,}8} \approx 0{,}82\ \text{kW} \end{gathered}$$

Più fa freddo fuori, più lavoro serve per “pompare” in casa lo stesso calore.

5. Il rendimento di una centrale termoelettrica

Testo. In una centrale termoelettrica il vapore arriva in turbina a 550 °C e il condensatore è a 30 °C. La centrale produce 600 MW di potenza elettrica con un rendimento del 40%. Calcola il rendimento di Carnot tra queste temperature, la potenza termica assorbita e quella ceduta al condensatore, e confronta il rendimento reale con la formula di Curzon e Ahlborn.

Con $T_2 = 823{,}15\ \text{K}$ e $T_1 = 303{,}15\ \text{K}$:

$$\eta_C = 1 - \frac{303{,}15}{823{,}15} \approx 0{,}632 = 63{,}2\%$$

Con un rendimento del 40%, la potenza termica assorbita e quella ceduta sono:

$$\begin{gathered} P_2 = \frac{600\ \text{MW}}{0{,}40} = 1500\ \text{MW} \\ P_1 = 1500 - 600 = 900\ \text{MW} \end{gathered}$$

La centrale sfrutta $0{,}40/0{,}632 \approx 63\%$ del massimo teorico, e deve smaltire 900 MW di calore nel fiume o nelle torri di raffreddamento: più della potenza elettrica che produce. La formula della massima potenza dà:

$$\begin{gathered} \eta = 1 - \sqrt{\frac{303{,}15}{823{,}15}} \\ {} \approx 1 - 0{,}607 \approx 0{,}39 \end{gathered}$$

circa il 39%, molto vicino al rendimento reale: un buon esempio di quanto pesi il dover produrre potenza in un tempo finito.

6. Trovare le temperature delle sorgenti

Testo. Una macchina di Carnot ha un rendimento del 25%. Se si abbassa di 50 K la temperatura della sorgente fredda, lasciando invariata quella calda, il rendimento sale al 35%. Trova le due temperature. Sarebbe stato più utile alzare di 50 K la temperatura della sorgente calda?

Dalle due condizioni, $T_1/T_2 = 0{,}75$ e $(T_1 - 50)/T_2 = 0{,}65$:

$$\begin{cases} T_1 = 0{,}75\,T_2 \\ T_1 - 50 = 0{,}65\,T_2 \end{cases}$$

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, $50 = 0{,}10\,T_2$, quindi $T_2 = 500\ \text{K}$ e $T_1 = 0{,}75 \cdot 500 = 375\ \text{K}$. Controllo: $1 - 325/500 = 0{,}35$. Alzando invece di 50 K la sorgente calda:

$$\eta = 1 - \frac{375}{550} \approx 0{,}318 = 31{,}8\%$$

meno del 35%. A parità di gradi conviene abbassare la sorgente fredda: spostare $T_1$ di 50 K cambia il rapporto $T_1/T_2$ di $50/T_2$, spostare $T_2$ lo cambia di meno. Nella pratica, però, la sorgente fredda è quasi sempre l’ambiente, che non si può raffreddare a piacere: per questo si cerca soprattutto di alzare $T_2$.

Altri problemi su cicli, frigoriferi ed entropia li trovi negli esercizi svolti di termodinamica.

In sintesi

• Macchina termica: in un ciclo $W = Q_2 + Q_1 = Q_2 - |Q_1|$ e $\eta = W/Q_2$.
• Ciclo di Carnot: due isoterme, in cui $Q_2 = nRT_2\ln(V_2/V_1)$ e $Q_1 = nRT_1\ln(V_4/V_3)$, e due adiabatiche, con $Q = 0$ e lavori $\pm n\,c_V\,(T_2 - T_1)$ che si cancellano.
• I volumi soddisfano $V_2/V_1 = V_3/V_4$ e $V_3/V_2 = (T_2/T_1)^{1/(\gamma - 1)}$.
• Rendimento: $\eta_C = 1 - T_1/T_2$, in kelvin. Dipende solo dalle temperature ed è sempre minore di 1.
• Per il ciclo reversibile $Q_2/T_2 + Q_1/T_1 = 0$; nel piano T-S il ciclo è un rettangolo.
• Ciclo inverso: $\text{COP}_f = T_1/(T_2 - T_1)$, $\text{COP}_p = T_2/(T_2 - T_1) = \text{COP}_f + 1$.
• Le macchine reali rendono meno per irreversibilità e tempo finito; a massima potenza il rendimento è circa $1 - \sqrt{T_1/T_2}$.

Perché proprio la macchina di Carnot è la migliore possibile, e perché il suo rendimento vale per ogni macchina reversibile? Lo dimostra il teorema di Carnot.