Disequazioni logaritmiche: condizioni di esistenza, verso, metodo ed esercizi svolti

Le disequazioni logaritmiche sono disequazioni in cui l’incognita sta nell’argomento di un logaritmo, come $\log_2 x < 3$ oppure $\ln\left(x^2 - 3\right) > \ln(2x)$. Le incontri nel dominio di una funzione, nello studio del segno e nei problemi con un parametro. Mettono insieme due cose già viste: le condizioni di esistenza delle equazioni logaritmiche e la regola del verso delle disequazioni esponenziali. Niente di nuovo, ma bisogna tenere d’occhio due dettagli insieme. In questa pagina vediamo i tipi di disequazione, perché le condizioni di esistenza vanno messe a sistema, la regola del verso con la dimostrazione, un logaritmo confrontato con un numero e due logaritmi con la stessa base, la base che contiene la $x$, i casi sempre veri e impossibili, un parametro, la lettura grafica, il metodo in cinque passi, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è una disequazione logaritmica

Non basta che ci sia un logaritmo: in $x \ln 2 > 1$ il logaritmo è solo un numero e la disequazione è di primo grado. Invece $\ln(2x) > 1$ è logaritmica. Riconoscere il tipo è metà del lavoro:

Se vedi	Strada	Dove
un logaritmo e un numero	$f(x)$ contro $a^c$	qui
due logaritmi, stessa base	argomenti a confronto	qui
la $x$ nella base	due casi	qui
più logaritmi	compattarli	proprietà
logaritmo al quadrato o al denominatore	$t = \log_a x$	sostituzione
prodotti, frazioni, valore assoluto, polinomi	segni e grafici	fratte e grafiche

Le prime tre righe sono il contenuto di questa pagina.

Le condizioni di esistenza: questa volta a sistema

Come nelle equazioni, il primo passo è scrivere le condizioni di esistenza (C.E.): ogni argomento strettamente positivo, ogni base che contiene la $x$ positiva e diversa da 1, più le condizioni di eventuali frazioni e radici. Sono le regole di dominio e segno delle funzioni logaritmiche.

C’è però una differenza importante. Nelle equazioni le soluzioni sono pochi numeri, e alla fine si controlla uno per uno se rispettano le C.E. Qui le soluzioni sono intervalli, cioè infiniti numeri: non puoi sostituirli tutti. L’unico modo è mettere a sistema le C.E. con la disequazione: la soluzione finale è l’intersezione tra l’insieme che risolve la disequazione tra gli argomenti e quello in cui i logaritmi esistono.

Un esempio rende l’idea:

$$\log_2 x < 3$$

Togliendo il logaritmo si trova $x < 8$. Ma il logaritmo esiste solo per $x > 0$: un numero come $x = -5$ soddisfa $x < 8$, ma rende l’espressione priva di senso. La soluzione corretta è

$$0 < x < 8$$

Dimenticare il «$0 <$» è l’errore più frequente del capitolo. A volte la condizione è automatica, altre no: il punto è capire quando.

La regola del verso

Pensa ai logaritmi in base 2: $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$, $\log_2 16 = 4$. Un argomento più grande ha un logaritmo più grande. In base $\frac{1}{2}$ succede il contrario: $\log_{1/2} 4 = -2$, $\log_{1/2} 8 = -3$. È la monotonia della funzione logaritmica.

Teorema (monotonia del logaritmo). Sia $a > 0$ con $a \neq 1$.

• Se $a > 1$, la funzione $\log_a x$ è strettamente crescente su $(0, +\infty)$: $0 < A < B \implies \log_a A < \log_a B$.
• Se $0 < a < 1$, è strettamente decrescente su $(0, +\infty)$: $0 < A < B \implies \log_a A > \log_a B$.

Perché è vero. Prendi $a > 1$ e due numeri $0 < A < B$, e chiama $u = \log_a A$ e $v = \log_a B$, cioè $a^u = A$ e $a^v = B$. Se fosse $u \geq v$, per la monotonia dell’esponenziale (dimostrata nelle disequazioni esponenziali) sarebbe $a^u \geq a^v$, cioè $A \geq B$: assurdo. Quindi $u < v$. Per $0 < a < 1$ l’esponenziale è strettamente decrescente e lo stesso ragionamento dà $u > v$.

Da qui segue la regola che useremo in ogni esercizio.

Teorema (confronto tra gli argomenti). Sia $a > 0$ con $a \neq 1$. Per ogni $A > 0$ e $B > 0$:

• se $a > 1$: $\log_a A > \log_a B \iff A > B$;
• se $0 < a < 1$: $\log_a A > \log_a B \iff A < B$.

Lo stesso vale con $<$, $\geq$ e $\leq$.

Perché è vero. Prendi $a > 1$. Se $A > B$, la monotonia dà subito $\log_a A > \log_a B$. Viceversa, supponi $\log_a A > \log_a B$: se fosse $A \leq B$, avresti $\log_a A \leq \log_a B$ (uguale se gli argomenti sono uguali, minore se $A < B$), assurdo. Per $0 < a < 1$ il ragionamento è identico con le disuguaglianze rovesciate.

Il «se e solo se» è quello che conta: passando dai logaritmi agli argomenti non perdi soluzioni e non ne aggiungi. Per questo serve la monotonia stretta, ed è il motivo per cui la base 1 è esclusa. In pratica:

• con base maggiore di 1, tra due numeri positivi il più grande ha il logaritmo più grande: il verso resta;
• con base tra 0 e 1, il più grande ha il logaritmo più piccolo: il verso si inverte.

Nota che a destra la condizione di esistenza è già inclusa, ed è scritta solo sull’argomento più piccolo: se quello è positivo, lo è anche l’altro.

Nel disegno, con $\log_2 x$ la curva sta sopra la retta $y = 3$ a destra di 8. Con $\log_{1/2} x$ sta sopra la retta $y = -2$ a sinistra di 4, ma solo dove esiste, cioè per $x > 0$: l’intervallo verde parte da 0 escluso.

Un logaritmo confrontato con un numero

La forma più semplice è $\log_a f(x) > c$ oppure $\log_a f(x) < c$, con $c$ numero reale qualsiasi. L’idea è scrivere $c = \log_a a^c$ e applicare il teorema del confronto.

Perché è vero. Il numero $a^c$ è positivo, quindi $c = \log_a a^c$ e la disequazione diventa $\log_a f(x) > \log_a a^c$. Per il teorema del confronto, dove $f(x) > 0$ questa equivale a $f(x) > a^c$ se $a > 1$, a $f(x) < a^c$ se $0 < a < 1$. Resta la condizione $f(x) > 0$. Quando il risultato è $f(x) > a^c$ è già compresa: un numero maggiore di $a^c$ è positivo. Quando il risultato è $f(x) < a^c$ non lo è: $f(x) = -5$ soddisfa $f(x) < 8$ ma non ha logaritmo. Lì va aggiunta, ed ecco il «$0 <$».

Questa asimmetria è il cuore del capitolo: con base maggiore di 1 il verso $>$ non ha bisogno delle C.E., il verso $<$ sì; con base minore di 1 è il contrario. Riassumendo:

	$\log_a f(x) > c$	$\log_a f(x) < c$
$a > 1$	$f(x) > a^c$	$0 < f(x) < a^c$
$0 < a < 1$	$0 < f(x) < a^c$	$f(x) > a^c$

Non serve impararla a memoria: basta ragionare sul verso e aggiungere $f(x) > 0$ dove non è già garantito.

Esempi con base maggiore di 1

Esempio 1: argomento di primo grado. $\log_2 x > 3$. La base è maggiore di 1 e $3 = \log_2 8$: $x > 8$. La condizione $x > 0$ è già compresa.

Esempio 2: il segno del logaritmo. $\ln(x - 1) \leq 0$. Siccome $0 = \ln 1$ e il verso è $\leq$, la condizione va aggiunta:

$$0 < x - 1 \leq 1 \iff 1 < x \leq 2$$

Il 2 è incluso perché la disequazione ammette l’uguaglianza; l’1 è escluso perché lì l’argomento è nullo.

Esempio 3: argomento di secondo grado. $\log_3\left(x^2 - 1\right) < 1$. Siccome $1 = \log_3 3$:

$$0 < x^2 - 1 < 3 \iff 1 < x^2 < 4$$

cioè $-2 < x < -1$ oppure $1 < x < 2$. Chi scrive solo $x^2 < 4$ include $x = 0$, dove l’argomento vale $-1$.

Esempio 4: logaritmo naturale, estremo esatto e approssimato. $\ln(3 - x) < 2$. Siccome $2 = \ln e^2$ e il verso è $<$:

$$\begin{gathered} 0 < 3 - x < e^2 \\ {} \iff 3 - e^2 < x < 3 \end{gathered}$$

Con $e^2 \approx 7{,}39$ l’intervallo è circa $-4{,}39 < x < 3$, ma nella risposta scrivi il valore esatto.

Esempio 5: argomento fratto. $\log_2 \frac{x}{x - 1} > 1$. Base maggiore di 1 e verso $>$: basta $\frac{x}{x-1} > 2$. Non si moltiplica per $x - 1$, di segno sconosciuto: si porta tutto a primo membro.

$$\begin{gathered} \frac{x}{x - 1} - 2 > 0 \\ {} \iff \frac{x - 2x + 2}{x - 1} > 0 \\ {} \iff \frac{2 - x}{x - 1} > 0 \end{gathered}$$

Numeratore positivo per $x < 2$, denominatore positivo per $x > 1$: la frazione è positiva per $1 < x < 2$. Prova con $x = 1{,}5$: l’argomento vale 3 e $\log_2 3 \approx 1{,}58$.

Esempi con base minore di 1

Esempio 6. $\log_{1/2} x > -2$. La base è minore di 1 e $-2 = \log_{1/2} 4$, perché $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$: il verso si inverte, $x < 4$. Ora la condizione non è automatica: con le C.E., $0 < x < 4$. È il secondo grafico della figura.

Esempio 7: esponente frazionario. $\log_{1/3}(x + 2) \leq \frac{1}{2}$. Scriviamo $\frac{1}{2} = \log_{1/3} \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2}$, con $\left(\frac{1}{3}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Base minore di 1: il verso si inverte, e con il $\geq$ sull’argomento la condizione è automatica.

$$\begin{gathered} x + 2 \geq \frac{\sqrt{3}}{3} \\ {} \iff x \geq \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \approx -1{,}42 \end{gathered}$$

Prova: per $x = -1{,}9$ l’argomento vale $0{,}1$ e $\log_{1/3} 0{,}1 \approx 2{,}1$, falso, come deve essere.

Il caso c uguale a zero: il segno del logaritmo

Il caso $c = 0$ merita una tabella a parte, perché serve ogni volta che studi il segno di una funzione con i logaritmi. Siccome $a^0 = 1$:

	$a > 1$	$0 < a < 1$
$\log_a A > 0$	$A > 1$	$0 < A < 1$
$\log_a A < 0$	$0 < A < 1$	$A > 1$

Con $\geq$ e $\leq$ si include $A = 1$. In parole: con base maggiore di 1 il logaritmo è positivo quando l’argomento supera 1, negativo o nullo quando l’argomento è tra 0 (escluso) e 1 (incluso); con base tra 0 e 1 è il contrario. È la regola dello studio di funzione logaritmica, e l’errore classico è confrontare l’argomento con 0 invece che con 1.

Due logaritmi con la stessa base

La seconda forma è $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Si applica direttamente il teorema del confronto, ma le condizioni di esistenza non sono mai tutte automatiche: bisogna sapere quale aggiungere.

Perché è vero. Dove entrambi gli argomenti sono positivi, il teorema del confronto dà l’equivalenza tra logaritmi e argomenti. Delle due condizioni $f(x) > 0$ e $g(x) > 0$ ne basta una: quella sull’argomento più piccolo, perché l’altro, essendo più grande, è positivo di conseguenza. Con $a > 1$ il più piccolo è $g(x)$, con $0 < a < 1$ è $f(x)$.

In pratica: scrivi le C.E. di entrambi gli argomenti, risolvi la disequazione tra gli argomenti con il verso giusto, interseca.

Esempio 8. $\log_2(x + 3) > \log_2(5 - x)$.

C.E.: $x > -3$ e $x < 5$. Con base maggiore di 1 il verso resta:

$$x + 3 > 5 - x \iff x > 1$$

Intersecando con le C.E.: $1 < x < 5$. La condizione $x > -3$ era automatica, quella $x < 5$ no, e chiude l’intervallo a destra.

Esempio 9. $\log_{1/3}(2x + 1) \geq \log_{1/3}(x + 4)$.

La base è minore di 1: il verso si inverte, e la condizione di esistenza va sull’argomento che ora è il più piccolo, $2x + 1$:

$$\begin{gathered} 0 < 2x + 1 \leq x + 4 \\ {} \iff -\frac{1}{2} < x \leq 3 \end{gathered}$$

Il 3 è incluso perché lì i due argomenti valgono entrambi 7; il $-\frac{1}{2}$ è escluso perché lì $2x + 1 = 0$.

Esempio 10: argomenti di secondo grado. $\ln\left(x^2 - 3\right) > \ln(2x)$.

C.E.: $x^2 - 3 > 0$, cioè $x < -\sqrt{3}$ oppure $x > \sqrt{3}$, e $2x > 0$. Insieme: $x > \sqrt{3}$. Poi, con $\ln$ crescente:

$$\begin{gathered} x^2 - 3 > 2x \\ {} \iff x^2 - 2x - 3 > 0 \\ {} \iff x < -1 \ \text{oppure} \ x > 3 \end{gathered}$$

perché la parabola $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ è positiva fuori dalle radici. Intersecando con $x > \sqrt{3}$: l’intervallo $x < -1$ sparisce e $x > 3$ resta tutto. La soluzione è $x > 3$.

Il grafico sulla retta reale è il modo più sicuro per intersecare: una riga per ogni condizione, una per la disequazione risolta, e la soluzione è il tratto comune. Si vede perché $x < -1$ non sopravvive: lì $2x$ è negativo.

Una base che contiene la x

Se la $x$ sta nella base, le C.E. chiedono base positiva e diversa da 1, e il verso dipende da quanto vale la base: si separano i due casi.

Esempio 11. $\log_x 5 < 1$.

C.E.: $x > 0$ e $x \neq 1$. Scriviamo $1 = \log_x x$, così il confronto è $\log_x 5 < \log_x x$.

• Se $x > 1$, il verso resta: $5 < x$. Insieme a $x > 1$: $x > 5$.
• Se $0 < x < 1$, il verso si inverte: $5 > x$, sempre vera in questo caso. Resta $0 < x < 1$.

La soluzione è l’unione dei due casi: $0 < x < 1$ oppure $x > 5$. Ha senso: con base tra 0 e 1 il logaritmo di 5 è negativo; con base maggiore di 1 scende sotto 1 solo se la base supera 5, per esempio $\log_6 5 \approx 0{,}90$. Quando anche l’argomento contiene la $x$, i due casi portano a disequazioni fratte: li vediamo nelle disequazioni logaritmiche fratte e grafiche.

Sempre vere e impossibili

Nelle disequazioni esponenziali bastava guardare il segno: $3^x > -2$ è sempre vera, perché un esponenziale è positivo. Con i logaritmi questo trucco non funziona, perché un logaritmo può essere positivo, negativo o nullo: $\ln x > -100$ vale solo per $x > e^{-100}$, un numero piccolissimo ma positivo. I casi sempre veri o impossibili esistono, ma nascono dall’argomento. Per esempio:

• $\log_3\left(x^2 + 9\right) \geq 2$ è sempre vera: diventa $x^2 + 9 \geq 9$, cioè $x^2 \geq 0$, vera per ogni $x$ reale;
• $\log_2\left(x^2 + 4x + 5\right) < 0$ è impossibile: diventa $0 < x^2 + 4x + 5 < 1$, ma $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1$ per ogni $x$;
• $\log_{1/2}\left(x^2 + 2\right) > 0$ è impossibile: con base minore di 1 il verso si inverte e serve $0 < x^2 + 2 < 1$, cioè $x^2 < -1$.

Un esempio con un parametro

Per quali valori di $k$ la disequazione $\log_2\left(x^2 + k\right) > 1$ è vera per ogni $x$ reale? Base maggiore di 1 e verso $>$: equivale a $x^2 + k > 2$, cioè $x^2 > 2 - k$, e la C.E. è automatica. Questa è vera per ogni $x$ se e solo se $2 - k < 0$, perché $x^2$ può valere 0: la risposta è $k > 2$.

Gli altri casi si leggono dalla stessa riga. Per $k = 2$ resta $x^2 > 0$, vera per ogni $x \neq 0$: manca un solo punto. Per $k < 2$ la soluzione è $x < -\sqrt{2 - k}$ oppure $x > \sqrt{2 - k}$. Per nessun $k$ la disequazione è impossibile, perché per $x$ grande $x^2 + k$ supera 2. Con il verso opposto, $\log_2\left(x^2 + k\right) < 1$, serve $0 < x^2 + k < 2$, e per $k \geq 2$ non c’è nessuna soluzione.

La lettura grafica e l’equazione associata

Ogni disequazione $F(x) > G(x)$ si legge sul grafico: le soluzioni sono le $x$ in cui il grafico di $F$ sta sopra quello di $G$ (sotto, per il $<$). Il grafico di $\log_a f(x)$ esiste solo dove $f(x) > 0$, e questo rende visibili le condizioni di esistenza.

In alto c’è $\ln(3 - x) < 2$, l’esempio 4: la curva sta sotto la retta $y = 2$ a destra del punto $x = 3 - e^2$, ma si ferma all’asintoto $x = 3$, oltre il quale non esiste. L’intervallo è chiuso da una parte dal punto di incontro, dall’altra dalla condizione di esistenza. In basso c’è $\log_2(x + 3) > \log_2(5 - x)$, l’esempio 8: le curve si incontrano in $x = 1$; la blu sta sopra a destra di 1, ma l’arancione finisce in $x = 5$, e l’intervallo si chiude lì.

Il grafico suggerisce un modo di ragionare che vale per tutte le disequazioni: prima si risolve l’equazione associata, poi si guarda da che parte stanno le soluzioni. Le soluzioni di $\log_a f(x) = c$ sono i punti in cui la curva attraversa la retta; tra due di questi punti consecutivi, o tra un punto e un estremo del dominio, la differenza $\log_a f(x) - c$ non cambia segno, se $f$ è continua. Basta provare un valore in ogni tratto: per $\log_2 x < 3$, l’equazione $x = 8$ spezza il dominio $(0, +\infty)$ in due tratti, e $x = 1$ dice che quello buono è $(0, 8)$.

Il metodo in cinque passi

1. Condizioni di esistenza su tutti gli argomenti, sulle basi con la $x$ e su eventuali frazioni e radici.
2. Riduci a un confronto tra un logaritmo e un numero, scrivendo $c = \log_a a^c$, o tra due logaritmi con la stessa base. Se i logaritmi sono più di due, prima compattali con le proprietà.
3. Guarda la base: maggiore di 1, il verso resta; tra 0 e 1, il verso si inverte; con la $x$, due casi.
4. Risolvi la disequazione tra gli argomenti, senza mai moltiplicare per un’espressione di segno sconosciuto.
5. Interseca con le condizioni di esistenza sulla retta reale e scrivi la soluzione con gli intervalli. Controlla con un valore dentro e uno fuori.

Gli errori più comuni

• Dimenticare le condizioni di esistenza, come in $\log_2 x < 3$ risolta con $x < 8$. Con base maggiore di 1 sono automatiche solo per il verso $>$.
• Scrivere $x < e$ invece di $0 < x < e$ per $\ln x < 1$: è lo stesso errore, nel caso più frequente.
• Non invertire il verso con una base tra 0 e 1, oppure invertirlo con base maggiore di 1 «per sicurezza». Occhio alle basi travestite: $0{,}5$, $0{,}1$, $\frac{2}{3}$, $e^{-1}$ sono tutte minori di 1.
• Invertire due volte: se riscrivi $\log_{1/2} x$ come $-\log_2 x$, il verso si inverte quando cambi segno, e basta.
• Sbagliare gli estremi con $\leq$ e $\geq$: l’estremo $a^c$ si include, lo 0 delle C.E. mai. In $\ln(x - 1) \leq 0$ il 2 è dentro, l’1 è fuori.
• Dividere per un logaritmo negativo senza invertire: passando a $\log_a f(x) = \frac{\ln f(x)}{\ln a}$, se $0 < a < 1$ allora $\ln a < 0$ e il verso cambia. È la regola della base vista con altri occhi.
• Confrontare l’argomento con 0 invece che con 1 quando si studia il segno: $\ln f(x) > 0$ significa $f(x) > 1$, non $f(x) > 0$.

Esercizi svolti

1. Due disequazioni elementari

Testo. Risolvi $\log_2(3x - 4) < 4$ e $\log_{1/4}(x + 3) > -\frac{1}{2}$.

Prima disequazione. Base maggiore di 1 e verso $<$: la condizione va aggiunta. Con $4 = \log_2 16$:

$$\begin{gathered} 0 < 3x - 4 < 16 \\ {} \iff 4 < 3x < 20 \\ {} \iff \frac{4}{3} < x < \frac{20}{3} \end{gathered}$$

Prova: per $x = 7$ l’argomento vale 17 e $\log_2 17 \approx 4{,}09$, falso. Soluzione: $\frac{4}{3} < x < \frac{20}{3}$.

Seconda disequazione. Base minore di 1. Siccome $\left(\frac{1}{4}\right)^{-1/2} = 4^{1/2} = 2$, si ha $-\frac{1}{2} = \log_{1/4} 2$. Il verso si inverte e, siccome sull’argomento resta un $<$, la condizione va aggiunta:

$$0 < x + 3 < 2 \iff -3 < x < -1$$

Prova: per $x = 0$ si ha $\log_{1/4} 3 \approx -0{,}79$, falso. Soluzione: $-3 < x < -1$.

2. Logaritmo naturale con minore o uguale

Testo. Risolvi $\ln(2 - 3x) \leq 1$, dando gli estremi esatti e approssimati.

C.E.: $2 - 3x > 0$, cioè $x < \frac{2}{3}$. Scriviamo $1 = \ln e$. Base $e > 1$ e verso $\leq$: la condizione va messa a sistema.

$$\begin{gathered} 0 < 2 - 3x \leq e \\ {} \iff -2 < -3x \leq e - 2 \\ {} \iff \frac{2 - e}{3} \leq x < \frac{2}{3} \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio abbiamo diviso per $-3$, invertendo entrambi i versi. L’estremo sinistro è incluso: per $x = \frac{2 - e}{3}$ l’argomento vale esattamente $e$ e il logaritmo vale 1. L’estremo destro è escluso, perché lì l’argomento si annulla. Con $e \approx 2{,}718$ gli estremi valgono circa $-0{,}239$ e $0{,}667$. Soluzione: l’intervallo $\left[\frac{2 - e}{3},\ \frac{2}{3}\right)$.

3. Stessa base e argomenti di secondo grado

Testo. Risolvi $\log_5\left(x^2 - 4x + 3\right) < \log_5(x + 3)$.

Condizioni di esistenza. $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) > 0$, cioè $x < 1$ oppure $x > 3$; e $x + 3 > 0$, cioè $x > -3$. Insieme: $-3 < x < 1$ oppure $x > 3$.

Disequazione tra gli argomenti. La base è maggiore di 1, il verso resta:

$$\begin{gathered} x^2 - 4x + 3 < x + 3 \\ {} \iff x^2 - 5x < 0 \\ {} \iff x(x - 5) < 0 \\ {} \iff 0 < x < 5 \end{gathered}$$

Intersezione. Sulla retta reale, $0 < x < 5$ incontra $-3 < x < 1$ nel tratto $0 < x < 1$ e incontra $x > 3$ nel tratto $3 < x < 5$. Soluzione: $0 < x < 1$ oppure $3 < x < 5$.

La condizione che conta è quella sull’argomento più piccolo, $x^2 - 4x + 3 > 0$: toglie il tratto $1 \leq x \leq 3$, dove il primo logaritmo non esiste.

4. Sempre vera, impossibile o quasi

Testo. Stabilisci se sono sempre vere, impossibili o nessuna delle due: $\log_2\left(x^2 - 2x + 5\right) \geq 2$; $\log_{1/3}\left(x^2 + 3\right) > -1$; $\log_7\left(x^2 + 1\right) > 0$.

Prima. Base maggiore di 1 e verso $\geq$: equivale a $x^2 - 2x + 5 \geq 4$, cioè $(x - 1)^2 \geq 0$. Un quadrato non è mai negativo: sempre vera, per ogni $x$ reale. Si poteva prevedere: $x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 \geq 4$, e $\log_2 4 = 2$.

Seconda. Base minore di 1: il verso si inverte, e con il $<$ sull’argomento la condizione va aggiunta. Siccome $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$:

$$0 < x^2 + 3 < 3 \iff x^2 < 0$$

che non ha soluzioni: impossibile. Infatti $x^2 + 3 \geq 3$, e $\log_{1/3} 3 = -1$ è il valore più alto che il logaritmo può raggiungere.

Terza. Equivale a $x^2 + 1 > 1$, cioè $x^2 > 0$: non è sempre vera, perché in $x = 0$ il logaritmo vale 0. La soluzione è $x \neq 0$: un solo punto fa la differenza, e all’esame va scritto.

5. Un parametro

Testo. Per quali valori di $k$ la disequazione $\log_3\left(x^2 + 2x + k\right) > 1$ è verificata per ogni $x$ reale? E per quali valori di $k$ la disequazione $\log_3\left(x^2 + 2x + k\right) \leq 1$ ha almeno una soluzione?

Prima domanda. Base maggiore di 1 e verso $>$: equivale a $x^2 + 2x + k > 3$, cioè

$$x^2 + 2x + k - 3 > 0$$

con C.E. automatica. Una parabola con la concavità verso l’alto è positiva per ogni $x$ se e solo se non tocca l’asse, cioè se il discriminante è negativo:

$$\begin{gathered} \frac{\Delta}{4} = 1 - (k - 3) = 4 - k < 0 \\ {} \iff k > 4 \end{gathered}$$

Risposta: $k > 4$. Controllo: $x^2 + 2x + k = (x + 1)^2 + k - 1$ ha minimo $k - 1$ in $x = -1$, e il minimo supera 3 se e solo se $k > 4$. Per $k = 4$ la disequazione fallisce in un solo punto, $x = -1$, dove il logaritmo vale esattamente 1.

Seconda domanda. Serve un $x$ con $0 < (x + 1)^2 + k - 1 \leq 3$. Se $1 < k \leq 4$ basta $x = -1$, dove l’espressione vale $k - 1$, compreso tra 0 e 3; se $k \leq 1$ basta scegliere $(x + 1)^2$ appena più grande di $1 - k$. Se invece $k > 4$ l’espressione supera sempre 3, per la prima domanda. Risposta: $k \leq 4$.

Le due risposte sono complementari, come deve essere: per ogni $k$, o la prima disequazione è sempre vera, oppure la seconda ha qualche soluzione.

6. Un sistema di disequazioni logaritmiche

Testo. Risolvi il sistema

$$\begin{cases} \log_2\left(x^2 - 3x\right) \leq 2 \\ \log_{1/2}(x - 3) > -2 \end{cases}$$

È la situazione tipica dei domini. Si risolve ogni disequazione per conto suo e si intersecano le soluzioni.

Prima disequazione. Base maggiore di 1 e verso $\leq$: la C.E. va aggiunta, e $2 = \log_2 4$.

$$0 < x^2 - 3x \leq 4$$

Sono due disequazioni. $x(x - 3) > 0$ dà $x < 0$ oppure $x > 3$; $x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4) \leq 0$ dà $-1 \leq x \leq 4$. Insieme: $-1 \leq x < 0$ oppure $3 < x \leq 4$.

Seconda disequazione. Base minore di 1 e $-2 = \log_{1/2} 4$, perché $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$. Il verso si inverte e, con il $<$ sull’argomento, la condizione va aggiunta:

$$\begin{gathered} \log_{1/2}(x - 3) > \log_{1/2} 4 \\ {} \iff 0 < x - 3 < 4 \end{gathered}$$

cioè $3 < x < 7$. Chi non inverte il verso scrive $x - 3 > 4$, cioè $x > 7$: un insieme che non ha nemmeno un punto in comune con quello giusto.

Intersezione. Sulla retta reale: il tratto $-1 \leq x < 0$ non incontra $3 < x < 7$; il tratto $3 < x \leq 4$ sta tutto dentro $3 < x < 7$. Soluzione del sistema: $3 < x \leq 4$, cioè l’intervallo $(3,\ 4]$.

Prova con $x = 4$: $\log_2 4 = 2 \leq 2$ e $\log_{1/2} 1 = 0 > -2$, entrambe vere.

In sintesi

• Le condizioni di esistenza si mettono a sistema con la disequazione: la soluzione è un’intersezione di insiemi.
• Il logaritmo è strettamente crescente con base maggiore di 1 e strettamente decrescente con base tra 0 e 1: per $A, B > 0$, $\log_a A > \log_a B$ equivale ad $A > B$ se $a > 1$ e ad $A < B$ se $0 < a < 1$.
• Con $a > 1$: $\log_a f(x) > c \iff f(x) > a^c$, condizione automatica; $\log_a f(x) < c \iff 0 < f(x) < a^c$, condizione da aggiungere. Con $0 < a < 1$ i due casi si scambiano.
• Con due logaritmi nella stessa base la positività va chiesta sull’argomento più piccolo: $g(x) > 0$ se $a > 1$, $f(x) > 0$ se $0 < a < 1$.
• Sul grafico le soluzioni sono dove la curva sta sopra (o sotto) la retta o l’altra curva; l’intervallo può chiudersi su un asintoto.

Come per le equazioni, spesso ci sono più logaritmi da compattare prima di confrontarli: lo vediamo nelle disequazioni logaritmiche con le proprietà.