Dominio di una funzione: regole, metodo ed esercizi svolti (campo di esistenza)

Quando una funzione è data solo con la formula, come $f(x) = \sqrt{x - 1}$, il suo dominio (o campo di esistenza) è l’insieme dei numeri reali $x$ per cui quella formula si può calcolare. Trovarlo è il primo passo di ogni studio di funzione: da lì dipendono limiti, asintoti e derivate, e all’esame è una domanda che non manca quasi mai. In questa pagina vediamo cos’è il dominio naturale e perché esistono le restrizioni, tutte le condizioni con il loro perché, il metodo in quattro passi, la trappola delle semplificazioni, il dominio di somme, composte e inverse, tredici esempi svolti dal più facile al più difficile, i punti isolati e i domini vuoti, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è il dominio naturale

Una funzione è fatta di un insieme di partenza, un insieme di arrivo e una legge (vedi funzioni: dominio, codominio e immagine). Negli esercizi, però, spesso c’è solo la legge: «studia $f(x) = \ln(x - 3)$». Allora si sottintende il dominio più grande possibile.

Perché non è sempre tutto $\mathbb{R}$? Perché alcune operazioni non si possono fare con tutti i numeri: non si divide per zero, la radice quadrata di un negativo non è un numero reale, il logaritmo di zero non esiste. Somme, differenze, prodotti e potenze con esponente intero positivo, invece, si calcolano sempre. Il dominio si trova cercando le operazioni «delicate» e imponendo, per ciascuna, una condizione di esistenza.

Dominio assegnato e problemi applicati

Se il testo dice $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, il dominio è $[0, +\infty)$ anche se la formula avrebbe senso ovunque: è un dominio assegnato, che deve stare dentro quello naturale. Non è un dettaglio: $x^2$ su $\mathbb{R}$ non è invertibile, su $[0, +\infty)$ sì.

Anche i problemi applicati restringono il dominio. Un rettangolo di perimetro 20 con un lato lungo $x$ ha l’altro lato lungo $10 - x$ e area $A(x) = x(10 - x)$. La formula ha senso per ogni $x$, ma le lunghezze devono essere positive: $x > 0$ e $10 - x > 0$, quindi il dominio del problema è $(0, 10)$.

Le condizioni di esistenza, una per una

Frazioni: denominatore diverso da zero

$\frac{N(x)}{D(x)}$ richiede $D(x) \neq 0$. Perché. Dividere $a$ per $b$ vuol dire trovare il numero $q$ con $q \cdot b = a$. Se $b = 0$ e $a \neq 0$ nessun $q$ funziona, perché $q \cdot 0 = 0$; se anche $a = 0$ funzionano tutti. In entrambi i casi non c’è un risultato unico. Lo stesso vale per le potenze con esponente negativo, che sono frazioni travestite: $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ è definita per $x \neq 0$, come spiegato nelle potenze con esponente negativo.

Radici: indice pari e indice dispari

$\sqrt[n]{A(x)}$ con $n$ pari richiede $A(x) \geq 0$; con $n$ dispari non richiede nulla. Perché. $\sqrt[n]{a}$ è il numero $y$ con $y^n = a$ (con $y \geq 0$ se $n$ è pari). Una potenza pari non è mai negativa, quindi per $a < 0$ e $n$ pari un tale $y$ non esiste. Con $n$ dispari, invece, $y^n$ assume ogni valore reale esattamente una volta: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Se una radice di indice pari sta al denominatore, deve esistere e non annullarsi: $A \geq 0$ e $A \neq 0$ diventano un’unica condizione, $A(x) > 0$.

Logaritmi: argomento positivo

$\log_a A(x)$ richiede $A(x) > 0$, strettamente. Perché. $\log_a b$ è l’esponente $y$ con $a^y = b$, e con $a > 0$, $a \neq 1$ la potenza $a^y$ è positiva per ogni $y$: se $b \leq 0$ quell’esponente non esiste. Se anche la base dipende da $x$, come in $\log_{B(x)} A(x)$, servono pure $B(x) > 0$ e $B(x) \neq 1$. Tutti i casi (logaritmo al denominatore, sotto radice, uno dentro l’altro) sono nel dominio delle funzioni logaritmiche.

Esponenziali e potenze

• $a^{A(x)}$ con $a > 0$ costante è definita ovunque lo sia l’esponente, perché $a^t$ esiste per ogni $t$ reale.
• $x^n$ con $n$ intero positivo non richiede nulla; con $n$ intero negativo richiede $x \neq 0$.
• $x^\alpha$ con $\alpha$ non intero (frazionario o irrazionale): sul sito seguiamo la convenzione delle potenze con esponente frazionario, che le definisce solo per basi positive, più la base 0 quando l’esponente è positivo ($0^\alpha = 0$). Quindi $x^{2/3}$ e $x^{\sqrt{2}}$ hanno dominio $[0, +\infty)$, mentre $x^{-1/2}$ ha dominio $(0, +\infty)$.
• $A(x)^{B(x)}$, con la $x$ anche all’esponente, richiede $A(x) > 0$, perché per definizione $A^B = e^{B \ln A}$ (vedi le potenze con base ed esponente variabili). Si aggiungono le condizioni di $A$ e di $B$.

Perché escludere le basi negative? Se valesse $(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2$, scrivendo $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ si otterrebbe anche $(-8)^{2/6} = \sqrt[6]{(-8)^2} = 2$: la stessa potenza avrebbe due valori. Per questo $\sqrt[3]{x}$ è definita su tutto $\mathbb{R}$, mentre $x^{1/3}$ solo per $x \geq 0$. Alcuni testi escludono anche lo 0: cambia solo un estremo, ma controlla la convenzione del tuo corso.

Funzioni goniometriche e loro inverse

Seno e coseno sono definiti ovunque. $\tan A(x) = \frac{\sin A(x)}{\cos A(x)}$ richiede $\cos A(x) \neq 0$, cioè $A(x) \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$; $\cot A(x)$ richiede $\sin A(x) \neq 0$, cioè $A(x) \neq k\pi$, sempre con $k \in \mathbb{Z}$. Arcoseno e arcocoseno sono le inverse di seno e coseno, che prendono valori solo in $[-1, 1]$: quindi $\arcsin A(x)$ e $\arccos A(x)$ richiedono $-1 \leq A(x) \leq 1$. L’arcotangente è definita ovunque, perché la tangente assume tutti i valori reali (vedi le funzioni goniometriche inverse).

La tabella completa

Se compare	Condizione	Perché
${\frac{N}{D}}$	${D \neq 0}$	non si divide per 0
${\sqrt[n]{A}}$, $n$ pari	${A \geq 0}$	${y^n \geq 0}$
${\frac{1}{\sqrt[n]{A}}}$, $n$ pari	${A > 0}$	esiste e non è 0
${\log_a A}$	${A > 0}$	${a^y > 0}$
${\log_B A}$	${A > 0}$, ${0 < B \neq 1}$	base ammessa
${x^\alpha}$, ${\alpha > 0}$ non intero	${x \geq 0}$	convenzione
${x^\alpha}$, ${\alpha < 0}$ non intero	${x > 0}$	convenzione
${A^{B}}$, $x$ all’esponente	${A > 0}$	${A^B = e^{B \ln A}}$
${\tan A}$	${A \neq \frac{\pi}{2} + k\pi}$	${\cos A \neq 0}$
${\cot A}$	${A \neq k\pi}$	${\sin A \neq 0}$
${\arcsin A}$, ${\arccos A}$	${-1 \leq A \leq 1}$	valori di seno e coseno
polinomi, radici dispari, ${a^{A}}$	nessuna	si calcolano sempre
${\sin A}$, ${\cos A}$, ${\arctan A}$, ${\lvert A \rvert}$	nessuna	si calcolano sempre

Qui $A$, $B$, $D$ sono espressioni in $x$ e $k \in \mathbb{Z}$; ogni pezzo della formula, anche il più interno, porta le sue condizioni.

Il metodo in quattro passi

1. Elenca le condizioni. Scorri tutta la formula e scrivi una condizione per ogni operazione delicata. Se un’operazione delicata è dentro un’altra, servono le condizioni di entrambe.
2. Risolvi ciascuna condizione da sola: sono equazioni o disequazioni (c’è un ripasso più sotto).
3. Intersecale. Le condizioni devono valere tutte insieme: si mettono a sistema. In pratica le disegni su rette dei numeri, una sotto l’altra, e tieni solo le zone in cui sono tutte vere.
4. Scrivi il risultato come unione di intervalli, controllando un estremo alla volta: è nel dominio (parentesi quadra) o no (parentesi tonda)?

Vediamolo su una funzione da esame:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}\,\ln(9 - x^2)}{x^2 - x}$$

Le operazioni delicate sono tre: la radice, il logaritmo e la frazione.

$$\begin{cases} x + 2 \geq 0 & \text{(radice)} \\ 9 - x^2 > 0 & \text{(logaritmo)} \\ x^2 - x \neq 0 & \text{(frazione)} \end{cases}$$

La prima dà $x \geq -2$. La seconda $x^2 < 9$, cioè $-3 < x < 3$. La terza $x(x - 1) \neq 0$, cioè $x \neq 0$ e $x \neq 1$. Ora le disegniamo una sotto l’altra:

In ogni zona si tiene solo ciò che è evidenziato su tutte le righe:

$$D = [-2, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 3)$$

Il $-2$ è incluso: lì la radice vale $\sqrt{0} = 0$, il logaritmo è $\ln 5$ e il denominatore vale 6. Il 3 è escluso dal logaritmo, 0 e 1 dal denominatore. Il $-3$ non compare nel risultato: lo aveva già tagliato la radice.

La trappola: semplificare prima del dominio

Il dominio si calcola sulla formula così come è scritta. Molte trasformazioni algebriche valgono solo dove tutto esiste, e se le fai prima cambiano il dominio. Ecco tre coppie di formule che sembrano uguali:

Funzione	Dominio
${\frac{x^2}{x}}$	${\mathbb{R} \setminus \{0\}}$
${x}$	${\mathbb{R}}$
${\ln(x^2)}$	${\mathbb{R} \setminus \{0\}}$
${2\ln x}$	${(0, +\infty)}$
${\sqrt{x}\cdot\sqrt{x - 1}}$	${[1, +\infty)}$
${\sqrt{x(x - 1)}}$	${(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)}$

Le formule di ogni coppia coincidono solo dove esistono entrambe: definiscono funzioni diverse. $\frac{x^2}{x} = x$ vale per $x \neq 0$. $\ln(x^2) = 2\ln x$ vale solo per $x > 0$: la formula giusta per ogni $x \neq 0$ è $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x \rvert$. $\sqrt{a}\,\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ vale solo se $a \geq 0$ e $b \geq 0$: in $x = -1$ la funzione $\sqrt{x(x - 1)}$ vale $\sqrt{2}$, mentre $\sqrt{x}$ non esiste. Quindi: prima il dominio, poi le semplificazioni, e solo dentro il dominio.

Somme, prodotti, composte e inverse

Somma, differenza e prodotto. $f + g$, $f - g$ e $f \cdot g$ sono definite dove esistono entrambe: il dominio è $D_f \cap D_g$. Il quoziente $\frac{f}{g}$ richiede in più $g(x) \neq 0$: si prende $D_f \cap D_g$ e si tolgono gli zeri di $g$.

Composta. $f(g(x))$ si calcola se $g(x)$ esiste e se il risultato sta nel dominio di $f$:

$$D_{f \circ g} = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\}$$

Per esempio, con $g(x) = \sqrt{x}$ e $f(t) = \frac{1}{t - 2}$ si ha $f(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$. Servono $x \geq 0$, per $g$, e $\sqrt{x} \neq 2$, per $f$, cioè $x \neq 4$: il dominio è $[0, 4) \cup (4, +\infty)$. Si procede sempre dall’interno verso l’esterno, come nella funzione composta.

Inversa. Il dominio di $f^{-1}$ è l’immagine di $f$, non il dominio naturale della sua formula. Prendi $f(x) = 2 - \sqrt{x}$, con dominio $[0, +\infty)$: $\sqrt{x}$ assume tutti i valori $\geq 0$, quindi $f$ tutti i valori $\leq 2$. Da $y = 2 - \sqrt{x}$ si ricava $x = (2 - y)^2$, quindi $f^{-1}(x) = (2 - x)^2$ con $x \leq 2$, anche se la formula avrebbe senso ovunque. Il metodo completo è nella funzione inversa.

Ripasso lampo: le disequazioni che servono

• Secondo grado. Se $a > 0$ e il trinomio $ax^2 + bx + c$ ha due radici $x_1 < x_2$, è positivo fuori dalle radici e negativo tra le radici. Con discriminante negativo ha sempre il segno di $a$. Se $a < 0$, cambia tutti i segni e inverti il verso.
• Fratte e prodotti. Non si moltiplica per un denominatore di cui non si conosce il segno: si studia il segno di ogni fattore e si combinano i segni in una tabella.
• Esponenziali e logaritmi. Con base maggiore di 1 sono crescenti, quindi si confrontano esponenti e argomenti: $e^{A} < e^{B} \iff A < B$; $\ln A \geq c \iff A \geq e^c$, mentre $\ln A \leq c \iff 0 < A \leq e^c$. Con base tra 0 e 1 il verso si inverte. Vedi le disequazioni esponenziali e le disequazioni logaritmiche.
• Valore assoluto. Con $k > 0$: $\lvert A \rvert \leq k \iff -k \leq A \leq k$, e $\lvert A \rvert \geq k \iff A \leq -k$ oppure $A \geq k$ (vedi il valore assoluto).
• Irrazionali. $\sqrt{A} > B$ è vera se $B < 0$ e $A \geq 0$, oppure se $B \geq 0$ e $A > B^2$. Si eleva al quadrato solo quando entrambi i membri sono non negativi.
• Goniometriche. Si risolvono su un periodo e poi si aggiunge il periodo: vedi i sistemi di disequazioni goniometriche e domini.

Tredici esempi svolti, dal più facile al più difficile

Polinomi e funzioni fratte

Esempio 1. Due frazioni. Un polinomio come $3x^4 - x + 7$ è definito su tutto $\mathbb{R}$. Una frazione no, ma non sempre perde dei punti. Per $f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 4}$ il denominatore vale almeno 4 e non si annulla mai: $D_f = \mathbb{R}$. Per $g(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 9x}$ si scompone, $x^3 - 9x = x(x - 3)(x + 3)$, e si tolgono i tre zeri: $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\}$.

Esempio 2. Una frazione di frazione. $f(x) = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{x}}$. Ci sono due denominatori, quindi due condizioni: $x \neq 0$ per la frazione interna e $1 - \frac{1}{x} \neq 0$, cioè $\frac{1}{x} \neq 1$, cioè $x \neq 1$. Il dominio è $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$. Chi semplifica subito, $\frac{1}{1 - 1/x} = \frac{x}{x - 1}$, trova $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ e sbaglia: in $x = 0$ la formula di partenza non si calcola.

Radici

Esempio 3. La radice di una frazione. $f(x) = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 3}}$. Serve $\frac{x - 1}{x + 3} \geq 0$, una disequazione fratta. Il numeratore è positivo per $x > 1$, il denominatore per $x > -3$:

Intervallo	Num. / Den.	Frazione
${x < -3}$	$-\ /\ -$	$+$
${-3 < x < 1}$	$-\ /\ +$	$-$
${x > 1}$	$+\ /\ +$	$+$

In $x = 1$ la frazione vale 0, che va bene; in $x = -3$ non esiste.

$$D = (-\infty, -3) \cup [1, +\infty)$$

Chi impone separatamente $x - 1 \geq 0$ e $x + 3 > 0$ perde tutto $(-\infty, -3)$, dove numeratore e denominatore sono entrambi negativi: per $x = -5$ la frazione vale $\frac{-6}{-2} = 3$.

Esempio 4. Radice cubica e radice nel denominatore. $f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x + 2} - 1}$. La radice cubica non chiede nulla. La radice quadrata chiede $x + 2 \geq 0$, cioè $x \geq -2$. Il denominatore deve essere diverso da zero: $\sqrt{x + 2} \neq 1$, cioè $x + 2 \neq 1$, cioè $x \neq -1$.

$$D = [-2, -1) \cup (-1, +\infty)$$

Qui non serve $x + 2 > 0$: la radice non è tutto il denominatore, e in $x = -2$ il denominatore vale $0 - 1 = -1$.

Logaritmi

Esempio 5. Il logaritmo di una cubica. $f(x) = \ln(x^3 - x)$. Serve $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1) > 0$. Per $x > 1$ i tre fattori sono positivi; andando verso sinistra, ogni volta che si supera uno dei punti $1$, $0$, $-1$ un fattore cambia segno, e con lui il prodotto: $-$ in $(0, 1)$, $+$ in $(-1, 0)$, $-$ per $x < -1$.

$$D = (-1, 0) \cup (1, +\infty)$$

Prova: in $x = -\frac{1}{2}$ l’argomento vale $-\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} > 0$.

Esempio 6. La base variabile. $f(x) = \log_x(4 - x^2)$. Le condizioni sono tre:

$$\begin{gathered} \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 4 - x^2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ -2 < x < 2 \end{cases} \end{gathered}$$

Il dominio è $(0, 1) \cup (1, 2)$. L’1 va tolto perché $1^y = 1$ per ogni $y$, e la base 1 non è ammessa. Lo conferma il cambiamento di base: $f(x) = \frac{\ln(4 - x^2)}{\ln x}$, e $\ln 1 = 0$ al denominatore.

Esempio 7. Un logaritmo sotto radice. $f(x) = \sqrt{1 - \ln(x + 1)}$. Il logaritmo chiede $x + 1 > 0$; la radice chiede $1 - \ln(x + 1) \geq 0$, cioè $\ln(x + 1) \leq 1 = \ln e$. Il logaritmo naturale è crescente, quindi $x + 1 \leq e$:

$$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \leq e \end{cases} \iff -1 < x \leq e - 1$$

Il dominio è $(-1, e - 1]$, circa $(-1;\ 1{,}72]$. Qui la prima condizione non è compresa nella seconda e va scritta.

Esponenziali e potenze con base variabile

Esempio 8. Le condizioni arrivano dall’esponente. $f(x) = e^{\frac{1}{x - 2}} + 3^{\sqrt{x}}$. Le funzioni $e^t$ e $3^t$ esistono per ogni $t$: le uniche condizioni sono quelle degli esponenti, $x \neq 2$ e $x \geq 0$. Il dominio è $[0, 2) \cup (2, +\infty)$. È lo stesso principio delle disequazioni esponenziali fratte.

Esempio 9. Base ed esponente variabili. $f(x) = (x^2 - 1)^{\sqrt{x}}$. La radice all’esponente chiede $x \geq 0$, la base deve essere positiva:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq 0 \\ x < -1 \ \text{o} \ x > 1 \end{cases}$$

Resta solo $x > 1$: il dominio è $(1, +\infty)$. In $x = 0$ si avrebbe $(-1)^0$, che sembra valere 1; ma la funzione è definita come $e^{\sqrt{x}\,\ln(x^2 - 1)}$, e $\ln(-1)$ non esiste.

Funzioni goniometriche e loro inverse

Esempio 10. L’arcocoseno di una frazione. $f(x) = \arccos\frac{2}{x}$. Servono $x \neq 0$ e $-1 \leq \frac{2}{x} \leq 1$, cioè $\left\lvert \frac{2}{x} \right\rvert \leq 1$. Per $x \neq 0$ si può moltiplicare per $\lvert x \rvert$, che è positivo: $2 \leq \lvert x \rvert$, cioè $x \leq -2$ oppure $x \geq 2$.

$$D = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$$

Moltiplicando $\frac{2}{x} \leq 1$ per $x$ senza conoscerne il segno si otterrebbe $x \geq 2$, perdendo tutti i negativi. Con l’arcotangente, $\arctan\frac{2}{x}$, resterebbe solo $x \neq 0$.

Esempio 11. Radice e tangente. $f(x) = \sqrt{x}\,\tan x$. La radice chiede $x \geq 0$, la tangente $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$. Nell’intersezione restano esclusi solo i punti della forma $\frac{\pi}{2} + k\pi$ che non sono negativi, cioè quelli con $k \geq 0$:

$$\begin{gathered} D = [0, +\infty) \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\right\} \\ \text{con } k = 0, 1, 2, \dots \end{gathered}$$

Il dominio è fatto di infiniti intervalli: $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$ e così via.

Esempi misti da esame

Esempio 12. Valore assoluto, radice e logaritmo al denominatore. $f(x) = \dfrac{\sqrt{\lvert x \rvert - 1}}{\ln(3 - x)}$. Servono il radicando non negativo, l’argomento del logaritmo positivo e il denominatore non nullo; e $\ln(3 - x) = 0$ quando $3 - x = 1$:

$$\begin{gathered} \begin{cases} \lvert x \rvert \geq 1 \\ 3 - x > 0 \\ \ln(3 - x) \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq -1 \ \text{o} \ x \geq 1 \\ x < 3 \\ x \neq 2 \end{cases} \end{gathered}$$ $$D = (-\infty, -1] \cup [1, 2) \cup (2, 3)$$

Esempio 13. Un argomento che sembra pericoloso. $f(x) = \ln\left(x + 4 - 2\sqrt{x + 1}\right)$. La radice chiede $x \geq -1$; il logaritmo chiede $x + 4 - 2\sqrt{x + 1} > 0$, una disequazione irrazionale. Il trucco è porre $t = \sqrt{x + 1}$, con $t \geq 0$, così che $x = t^2 - 1$:

$$\begin{gathered} x + 4 - 2\sqrt{x + 1} = t^2 - 1 + 4 - 2t \\ {} = t^2 - 2t + 3 = (t - 1)^2 + 2 \end{gathered}$$

Un quadrato più 2 vale almeno 2: l’argomento è sempre positivo e il logaritmo non toglie nulla. Il dominio è $[-1, +\infty)$. Morale: non tutte le condizioni tagliano qualcosa, ma vanno controllate tutte.

Punti isolati e domini vuoti

Il dominio può anche contenere punti isolati, ridursi a un solo punto o essere vuoto.

• $\sqrt{-x^2}$: serve $-x^2 \geq 0$, cioè $x^2 \leq 0$, vero solo per $x = 0$. Il dominio è $\{0\}$.
• $\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}$: servono $x \geq 2$ e $x \leq 2$ insieme, quindi il dominio è $\{2\}$.
• $\ln(-x^2 - 1)$: l’argomento vale $-(x^2 + 1) \leq -1$ per ogni $x$. Il dominio è $\varnothing$: la formula non definisce nessuna funzione reale.

Un punto $x_0$ del dominio è isolato se esiste un $r > 0$ tale che nell’intervallo $(x_0 - r, x_0 + r)$ l’unico punto del dominio è $x_0$. Prendi $f(x) = \sqrt{x^4 - 4x^2} = \sqrt{x^2(x^2 - 4)}$. Per $x \neq 0$ il fattore $x^2$ è positivo e il segno del radicando è quello di $x^2 - 4$; in $x = 0$ il radicando vale 0, che va bene:

$$D = (-\infty, -2] \cup \{0\} \cup [2, +\infty)$$

In un punto isolato il grafico è un pallino solo: lì non si calcolano limiti né derivate, perché vicino non ci sono altri punti a cui avvicinarsi. Chi «semplifica» dividendo per $x^2$ perde lo 0.

Leggere il dominio da un grafico. Se hai il grafico e non la formula, il dominio è l’ombra del grafico sull’asse $x$ (vedi cosa si legge da un grafico): proietti ogni punto verticalmente sull’asse. Un pallino pieno a un estremo vuol dire estremo incluso, un pallino vuoto escluso; per le funzioni elementari, un asintoto verticale $x = a$ indica un punto escluso. Nella figura l’ombra è la parte verde dell’asse più l’origine. Gli estremi esclusi sono proprio i punti in cui, più avanti, cercherai asintoti e punti di discontinuità.

Gli errori più comuni

• Semplificare prima di calcolare il dominio. $\frac{x^2}{x}$ non esiste in 0, $\frac{1}{1 - 1/x}$ non esiste né in 0 né in 1: il dominio si calcola sulla formula originale.
• Spezzare radici e logaritmi. $\sqrt{x(x - 1)}$ e $\sqrt{x}\,\sqrt{x - 1}$, così come $\ln(x^2)$ e $2\ln x$, hanno domini diversi.
• Unire invece di intersecare. Le condizioni di esistenza valgono tutte insieme: si prende l’intersezione. L’«oppure» compare solo dentro una singola condizione, come in $x^2 > 1$.
• Separare numeratore e denominatore sotto radice. $\frac{x - 1}{x + 3} \geq 0$ non equivale a «$x - 1 \geq 0$ e $x + 3 > 0$»: si usa la regola dei segni (esempio 3).
• Moltiplicare per un denominatore di segno ignoto. In $\frac{2}{x} \leq 1$ si perdono tutti i negativi (esempio 10).
• Dimenticare le condizioni interne o quelle sulla base. Ogni operazione delicata porta la sua condizione, anche se sta dentro un’altra; una base variabile deve essere positiva e diversa da 1.
• Confondere esistenza e segno del logaritmo. $\ln A$ esiste per $A > 0$, ma $\ln A \geq 0$ solo per $A \geq 1$: sotto una radice l’argomento del logaritmo si confronta con 1, non con 0.
• Sbagliare gli estremi. Parentesi quadra se il punto sta nel dominio, tonda se no; una radice pari al denominatore vuole il radicando $> 0$; la tangente esclude tutti i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$, non solo $\frac{\pi}{2}$.

Esercizi svolti

1. Una radice e un denominatore

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 5}}{x^2 - 16}$.

Le operazioni delicate sono la radice e la frazione:

$$\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ x^2 - 16 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq -5 \\ x \neq \pm 4 \end{cases}$$

Sulla retta si parte da $-5$, incluso, e si tolgono $-4$ e $4$:

$$D = [-5, -4) \cup (-4, 4) \cup (4, +\infty)$$

Il $-5$ è incluso, perché $f(-5) = \frac{0}{9} = 0$: la funzione esiste da $-5$ in poi, tranne dove si annulla il denominatore.

2. Un logaritmo e una radice al denominatore

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \ln(x^2 + 2x - 8) + \dfrac{1}{\sqrt{x + 6}}$.

Il logaritmo chiede $x^2 + 2x - 8 > 0$. Il trinomio si scompone in $(x + 4)(x - 2)$, con radici $-4$ e $2$; con il coefficiente di $x^2$ positivo, il trinomio è positivo fuori dalle radici: $x < -4$ oppure $x > 2$. La radice al denominatore chiede $x + 6 > 0$, strettamente, cioè $x > -6$.

$$\begin{cases} x < -4 \ \text{ oppure } \ x > 2 \\ x > -6 \end{cases}$$

La seconda condizione taglia da sinistra il primo pezzo:

$$D = (-6, -4) \cup (2, +\infty)$$

Il $-6$ è escluso perché lì il denominatore vale $\sqrt{0} = 0$. Il dominio è fatto di due intervalli aperti.

3. La radice di una frazione con quattro fattori

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + x}}$.

Serve $\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + x} \geq 0$. Scomponi: $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ e $x^2 + x = x(x + 1)$. Il numeratore è positivo fuori da $[1, 3]$, il denominatore fuori da $[-1, 0]$. I punti in ordine sono $-1$, $0$, $1$, $3$:

Intervallo	Num. / Den.	Frazione
${x < -1}$	$+\ /\ +$	$+$
${-1 < x < 0}$	$+\ /\ -$	$-$
${0 < x < 1}$	$+\ /\ +$	$+$
${1 < x < 3}$	$-\ /\ +$	$-$
${x > 3}$	$+\ /\ +$	$+$

Negli zeri del numeratore, 1 e 3, la frazione vale 0 e la radice esiste; negli zeri del denominatore, $-1$ e 0, la frazione non esiste.

$$D = (-\infty, -1) \cup (0, 1] \cup [3, +\infty)$$

Prova: in $x = \frac{1}{2}$ la frazione vale $\frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{3} > 0$. Gli estremi sono inclusi solo dove si annulla il numeratore.

4. Un esponenziale con la sostituzione

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \ln(9^x - 6 \cdot 3^x - 27)$.

Serve $9^x - 6 \cdot 3^x - 27 > 0$. Siccome $9^x = (3^x)^2$, poni $t = 3^x$, con $t > 0$:

$$t^2 - 6t - 27 > 0 \iff (t - 9)(t + 3) > 0$$

Le radici sono $-3$ e $9$, quindi $t < -3$ oppure $t > 9$. Ma $t = 3^x$ è sempre positivo: $t < -3$ è impossibile e resta $3^x > 9 = 3^2$. La base 3 è maggiore di 1, quindi l’esponenziale è crescente e $x > 2$:

$$D = (2, +\infty)$$

Controllo: in $x = 3$ l’argomento vale $729 - 162 - 27 = 540 > 0$; in $x = 2$ vale $81 - 54 - 27 = 0$, e infatti 2 è escluso. La tecnica è quella delle disequazioni esponenziali con sostituzione.

5. Un arcocoseno e un logaritmo

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \arccos(x^2 - 3x + 1) + \ln x$.

L’arcocoseno chiede l’argomento tra $-1$ e $1$, il logaritmo $x > 0$:

$$\begin{cases} x^2 - 3x + 1 \geq -1 \\ x^2 - 3x + 1 \leq 1 \\ x > 0 \end{cases}$$

Prima disequazione: $x^2 - 3x + 2 \geq 0$, cioè $(x - 1)(x - 2) \geq 0$, vera per $x \leq 1$ oppure $x \geq 2$. Seconda: $x^2 - 3x \leq 0$, cioè $x(x - 3) \leq 0$, vera per $0 \leq x \leq 3$. La seconda e la terza insieme danno $(0, 3]$; dentro questo intervallo la prima toglie $(1, 2)$:

$$D = (0, 1] \cup [2, 3]$$

Controllo: in $x = 1{,}5$ l’argomento vale $2{,}25 - 4{,}5 + 1 = -1{,}25$, minore di $-1$, quindi l’arcocoseno non esiste; in $x = 3$ vale 1 e $\arccos 1 = 0$.

6. Una disequazione irrazionale dentro il logaritmo

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2 - 1} - x\right)$.

La radice chiede $x^2 - 1 \geq 0$, cioè $x \leq -1$ oppure $x \geq 1$. Il logaritmo chiede $\sqrt{x^2 - 1} - x > 0$, cioè $\sqrt{x^2 - 1} > x$. Si ragiona per casi, come nel ripasso:

• se $x \leq -1$, il secondo membro è negativo e la radice è maggiore o uguale a zero: la disequazione è sempre vera;
• se $x \geq 1$, entrambi i membri sono non negativi e si può elevare al quadrato: $x^2 - 1 > x^2$, cioè $-1 > 0$, mai vera.

$$D = (-\infty, -1]$$

In $x = -1$ l’argomento vale $\sqrt{0} + 1 = 1$ e $f(-1) = \ln 1 = 0$: l’estremo è incluso. Chi eleva al quadrato senza dividere i casi trova «$-1 > 0$, nessuna soluzione» e conclude, sbagliando, che il dominio è vuoto.

Altri domini, insieme agli altri esercizi del capitolo, sono negli esercizi svolti su insiemi e funzioni; il dominio come primo passo dello studio di funzione, in versione da esame, è in dominio, simmetrie e segno di una funzione.

In sintesi

• Il dominio naturale (campo di esistenza) è l’insieme degli $x$ reali per cui la formula si calcola; un dominio assegnato o un vincolo fisico lo restringono.
• Condizioni: denominatori $\neq 0$; radicandi di indice pari $\geq 0$ ($> 0$ se la radice è al denominatore); argomenti dei logaritmi $> 0$, basi variabili $> 0$ e $\neq 1$; $A^{B(x)}$ con $A > 0$; tangente con argomento $\neq \frac{\pi}{2} + k\pi$; arcoseno e arcocoseno con argomento in $[-1, 1]$.
• Nessuna condizione per polinomi, radici dispari, $a^x$, seno, coseno, arcotangente e valore assoluto.
• Metodo: elenca tutte le condizioni (anche quelle interne), risolvile, intersecale sulla retta, scrivi gli intervalli controllando gli estremi.
• Mai semplificare prima del dominio: $\frac{x^2}{x}$, $\ln(x^2)$ e $\sqrt{x(x - 1)}$ non sono $x$, $2\ln x$ e $\sqrt{x}\,\sqrt{x - 1}$.
• Somma e prodotto: $D_f \cap D_g$; quoziente: in più $g \neq 0$; composta: $x \in D_g$ con $g(x) \in D_f$; inversa: l’immagine di $f$.
• Il dominio può avere punti isolati, ridursi a un punto o essere vuoto.

Una volta noto il dominio, ci si chiede come si comporta la funzione: per esempio se valori diversi di $x$ danno sempre valori diversi di $y$. È il tema delle funzioni iniettive, suriettive e biiettive.