Proprietà dei logaritmi: formule, dimostrazioni, domini ed esercizi svolti

Le proprietà dei logaritmi sono tre regole che trasformano i prodotti in somme, i quozienti in differenze e le potenze in moltiplicazioni. Servono per calcolare espressioni senza calcolatrice, per risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali, per trovare domini e, più avanti nel corso, per semplificare limiti e derivate. In questa pagina vediamo la definizione da cui tutto parte, le tre proprietà con tutte le ipotesi e la dimostrazione, il caso delicato di $\ln\left(x^2\right)$, le conseguenze, come sviluppare e comprimere un’espressione senza sbagliare il dominio, le operazioni vietate, le tavole e il regolo calcolatore, le scale logaritmiche, il significato per i grafici, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La buona notizia è che non sono regole nuove da imparare a memoria: sono le proprietà delle potenze lette al contrario, perché un logaritmo è un esponente.

Il punto di partenza: la definizione

Tutto si basa su una riga, che abbiamo visto nella definizione di logaritmo. Dati $a > 0$ con $a \neq 1$ e $b > 0$:

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

Il logaritmo è l’esponente da dare alla base $a$ per ottenere l’argomento $b$. Le condizioni servono perché le potenze con esponente reale esistono solo per basi positive, la base 1 darebbe sempre 1 e una potenza con base positiva non è mai negativa né nulla.

Le due identità che useremo sempre

Dalla definizione seguono subito due identità: logaritmo ed esponenziale nella stessa base si annullano a vicenda.

$$\begin{gathered} a^{\log_a b} = b \quad \text{per ogni } b > 0 \\ \log_a\left(a^x\right) = x \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \end{gathered}$$

La prima dice che ogni numero positivo si può scrivere come potenza della base: $7 = 2^{\log_2 7}$, $5 = e^{\ln 5}$. È il trucco delle dimostrazioni, ed è anche il motivo per cui ogni potenza si può scrivere in base $e$, come vediamo nelle potenze con base ed esponente variabili. Nota le condizioni diverse: nella prima $b$ deve essere positivo, altrimenti $\log_a b$ non esiste; nella seconda $x$ può essere qualsiasi, perché $a^x$ è sempre positivo.

Su questo sito scriviamo $\ln$ per il logaritmo naturale (base $e$) e $\log_{10}$ per quello decimale; $\log_a$ indica una base qualsiasi.

Le tre proprietà

In parole:

• il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi;
• il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi;
• il logaritmo di una potenza è l’esponente per il logaritmo della base: l’esponente «scende davanti».

Le ipotesi non sono decorative: tutti i logaritmi che compaiono devono esistere, quindi $x$ e $y$ devono essere positivi. Con le lettere, come vedremo, dimenticarlo è la fonte di quasi tutti gli errori.

Mettile accanto alle proprietà delle potenze:

Potenze	Logaritmi
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
$\left(a^m\right)^k = a^{mk}$	$\log_a \left(x^k\right) = k \log_a x$

Ogni riga dice la stessa cosa in due lingue: a sinistra si lavora sugli esponenti, a destra sui logaritmi, che sono esponenti.

Le dimostrazioni

Sono brevi e vale la pena capirle: se dimentichi una proprietà, la ricostruisci in trenta secondi. L’idea è sempre la stessa: dare un nome ai logaritmi, riscriverli come potenze e usare le proprietà delle potenze.

Il logaritmo di un prodotto

Perché è vero. Siccome $x > 0$ e $y > 0$, i due logaritmi esistono: chiamiamoli $m = \log_a x$ e $n = \log_a y$. Per la definizione questo significa $x = a^m$ e $y = a^n$. Allora

$$x \cdot y = a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

Quindi $m + n$ è proprio l’esponente da dare ad $a$ per ottenere $xy$, cioè $\log_a(xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$. Nota dove sono servite le ipotesi: senza $x > 0$ e $y > 0$ non potremmo nemmeno dare un nome a $m$ e $n$.

Il logaritmo di un quoziente

Perché è vero. Con le stesse notazioni, $\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$, quindi $\log_a \frac{x}{y} = m - n$. In alternativa la si ricava dal prodotto: siccome $x = y \cdot \frac{x}{y}$, si ha $\log_a x = \log_a y + \log_a \frac{x}{y}$, e basta portare $\log_a y$ dall’altra parte.

Il logaritmo di una potenza

Perché è vero. $x^k = \left(a^m\right)^k = a^{mk}$, quindi $\log_a\left(x^k\right) = mk = k \log_a x$. Qui l’ipotesi $x > 0$ lavora due volte: garantisce che $\log_a x$ esista e che la potenza $x^k$ abbia senso per ogni esponente reale $k$, come abbiamo visto nelle potenze con esponente reale.

Un controllo con i numeri

Le proprietà si verificano subito con numeri «belli»:

$$\begin{gathered} \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5 = 3 + 2 \\ \log_{10} \frac{1000}{10} = \log_{10} 100 = 3 - 1 \\ \log_2\left(8^2\right) = \log_2 64 = 6 = 2 \cdot 3 \end{gathered}$$

E con la calcolatrice, anche con numeri che non sono potenze della base. Per esempio $6 = 2 \cdot 3$, e infatti

$$\begin{gathered} \ln 2 + \ln 3 \approx 0{,}69315 + 1{,}09861 \\ {} = 1{,}79176 \approx \ln 6 \end{gathered}$$

Le ipotesi contano: il logaritmo di x al quadrato

Cosa succede se la base della potenza può essere negativa? Prendi $\ln\left(x^2\right)$. Esiste per ogni $x \neq 0$, perché $x^2 > 0$. Invece $2 \ln x$ esiste solo per $x > 0$. Per $x = -e$, per esempio, $\ln\left((-e)^2\right) = \ln e^2 = 2$, mentre $2 \ln(-e)$ non esiste.

La formula giusta, valida su tutto il dominio, usa il valore assoluto:

Perché è vero. Per ogni $x$ reale $x^2 = |x|^2$, e se $x \neq 0$ il numero $|x|$ è positivo. Possiamo quindi applicare la proprietà della potenza alla base $|x|$: $\ln |x|^2 = 2 \ln|x|$.

Quindi $\ln\left(x^2\right)$ e $2 \ln x$ non sono la stessa funzione: hanno domini diversi e coincidono solo per $x > 0$. Lo stesso vale per ogni esponente pari: $\log_a\left(x^4\right) = 4 \log_a|x|$ e $\ln\left((x - 3)^2\right) = 2 \ln|x - 3|$. Con un esponente dispari, invece, il problema non c’è: $x^3 > 0$ solo per $x > 0$, quindi $\ln\left(x^3\right)$ e $3 \ln x$ hanno lo stesso dominio e sono davvero la stessa funzione.

Lo stesso per il prodotto: $\ln(xy)$ esiste anche quando $x$ e $y$ sono entrambi negativi, e allora $\ln(xy) = \ln|x| + \ln|y|$. Trovi i grafici di questi casi negli errori più comuni con i logaritmi.

Le conseguenze

Dai casi particolari nascono formule che userai di continuo, valide per ogni base $a > 0$ con $a \neq 1$.

I due valori notevoli. $\log_a 1 = 0$ e $\log_a a = 1$, perché $a^0 = 1$ e $a^1 = a$. Il primo spiega perché tutti i grafici dei logaritmi passano per il punto $(1, 0)$.

Il logaritmo del reciproco è l’opposto del logaritmo. È la proprietà del quoziente con numeratore 1: per $x > 0$

$$\log_a \frac{1}{x} = \log_a 1 - \log_a x = -\log_a x$$

Il logaritmo di una radice porta l’indice al denominatore. Basta scrivere la radice come potenza con esponente frazionario: per $x > 0$ e $n \geq 2$ intero

$$\log_a \sqrt[n]{x} = \log_a x^{1/n} = \frac{1}{n} \log_a x$$

Passare alla base reciproca cambia solo il segno: per $x > 0$

$$\log_{1/a} x = -\log_a x$$

Perché è vero. Se $c = \log_{1/a} x$, allora $\left(\frac{1}{a}\right)^c = x$, cioè $a^{-c} = x$. Quindi $-c = \log_a x$.

Per esempio $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$, $\log_2 \sqrt[3]{4} = \frac{1}{3} \log_2 4 = \frac{2}{3}$, $\log_5 \frac{1}{125} = -\log_5 125 = -3$ e $\log_{1/2} 8 = -\log_2 8 = -3$.

Il cambiamento di base. Manca all’appello la quarta regola, quella che permette di passare da una base all’altra, per esempio per usare la calcolatrice, che ha solo $\ln$ e $\log_{10}$. Per $b > 0$ e per ogni nuova base $c > 0$ con $c \neq 1$:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

La dimostrazione e le conseguenze più utili sono nell’articolo sul cambiamento di base.

Esempi: i calcoli che diventano facili

La forza delle proprietà si vede quando i singoli logaritmi non sono «belli», ma la loro combinazione sì:

$$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = 2$$

Allo stesso modo:

• $\log_{10} 25 + \log_{10} 4 = \log_{10} 100 = 2$;
• $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 9 = 2$;
• $\log_2 \sqrt{8} = \frac{1}{2} \log_2 8 = \frac{3}{2}$;
• $\ln 4 + \ln 5 - \ln 20 = \ln \frac{4 \cdot 5}{20} = \ln 1 = 0$.

Molti altri esempi, con un metodo in tre passi per affrontarli, sono nell’articolo sulle espressioni con i logaritmi.

Sviluppare e comprimere

Le proprietà sono uguaglianze, quindi si leggono nei due sensi. Sviluppare significa spezzare un logaritmo complicato in tanti logaritmi semplici; comprimere (o compattare) significa fare il contrario, cioè riunire più logaritmi in uno solo.

Come si sviluppa

1. Scrivi il dominio dell’espressione di partenza.
2. Trasforma i prodotti in somme e i quozienti in differenze.
3. Scrivi le radici come potenze e porta gli esponenti davanti.
4. Se la base di una potenza pari può essere negativa, metti il valore assoluto.

Per $x, y, z > 0$:

$$\begin{gathered} \ln \frac{x^2 y^3}{\sqrt{z}} = \ln x^2 + \ln y^3 - \ln \sqrt{z} \\ {} = 2 \ln x + 3 \ln y - \frac{1}{2} \ln z \end{gathered}$$

E se nessuno ci dice che le lettere sono positive? L’argomento $\frac{x^2 y^3}{\sqrt{z}}$ è positivo quando $z > 0$, $y > 0$ (perché $y^3$ ha il segno di $y$) e $x \neq 0$: la $x$ può essere negativa. Su tutto questo dominio lo sviluppo corretto è

$$\begin{gathered} \ln \frac{x^2 y^3}{\sqrt{z}} \\ {} = 2 \ln|x| + 3 \ln y - \frac{1}{2} \ln z \end{gathered}$$

E il logaritmo di una somma? Non si sviluppa, ma a volte conviene raccogliere. Per $x, y > 0$:

$$\begin{gathered} \ln(x + y) = \ln\left[x\left(1 + \frac{y}{x}\right)\right] \\ {} = \ln x + \ln\left(1 + \frac{y}{x}\right) \end{gathered}$$

È un trucco che userai spesso nei limiti all’infinito, per isolare la parte che cresce.

Come si comprime

1. Scrivi il dominio dell’espressione di partenza: è lì che varrà il risultato.
2. Porta i coefficienti dentro come esponenti: $k \log_a x = \log_a x^k$.
3. Riunisci: le somme diventano prodotti, le differenze quozienti.
4. Scrivi il risultato insieme al suo dominio.

Comprimiamo $2 \ln x - 3 \ln(x + 1) + \frac{1}{2} \ln(x - 1)$. Devono esistere tutti e tre i logaritmi, quindi $x > 0$, $x > -1$ e $x > 1$, cioè $x > 1$. Portiamo dentro i coefficienti e riuniamo:

$$\begin{gathered} \ln x^2 - \ln (x + 1)^3 + \ln \sqrt{x - 1} \\ {} = \ln \frac{x^2 \sqrt{x - 1}}{(x + 1)^3} \quad (x > 1) \end{gathered}$$

Due dettagli: il coefficiente sale come esponente solo se moltiplica il logaritmo intero ($2 \ln x + \ln y$ è $\ln\left(x^2 y\right)$, non $\ln(2xy)$), e il segno meno manda al denominatore tutto l’argomento del logaritmo che lo segue.

In questo esempio la forma compressa ha lo stesso dominio di quella di partenza: l’argomento è positivo solo per $x > 1$. Ma non va sempre così.

Quando comprimere allarga il dominio

Prendi $\ln(x + 1) + \ln(x - 4)$. Esiste quando entrambi gli argomenti sono positivi, cioè per $x > 4$. La forma compressa $\ln[(x + 1)(x - 4)]$ esiste invece quando è positivo il prodotto, cioè per $x < -1$ oppure $x > 4$. Il dominio si è allargato, e le due espressioni coincidono solo per $x > 4$.

In un’equazione questo produce soluzioni false. Risolviamo

$$\ln(x + 1) + \ln(x - 4) = \ln 6$$

Condizioni di esistenza: $x > 4$. Comprimendo si ottiene $\ln[(x + 1)(x - 4)] = \ln 6$, e siccome il logaritmo è iniettivo gli argomenti devono essere uguali:

$$\begin{gathered} (x + 1)(x - 4) = 6 \\ x^2 - 3x - 10 = 0 \\ x = 5 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \end{gathered}$$

$x = 5$ va bene: $\ln 6 + \ln 1 = \ln 6$. $x = -2$ invece è falsa: risolve l’equazione compressa, perché $(-1)(-6) = 6$, ma in quella di partenza darebbe $\ln(-1)$, che non esiste. La regola è una sola: scrivi le condizioni di esistenza prima di usare le proprietà e controlla le soluzioni alla fine. Ne trovi molti altri esempi nelle equazioni logaritmiche con le proprietà.

Quello che non si può fare

Le proprietà funzionano solo con prodotti, quozienti e potenze dentro il logaritmo. Ecco le quattro tentazioni più comuni, ognuna con un controesempio.

Il logaritmo di una somma non è la somma dei logaritmi:

$$\begin{gathered} \log_{10}(10 + 10) = \log_{10} 20 \approx 1{,}30 \\ \log_{10} 10 + \log_{10} 10 = 2 \end{gathered}$$

Per il logaritmo di una somma non esiste nessuna formula: si può solo raccogliere, come abbiamo visto sopra.

Il prodotto di due logaritmi non è il logaritmo del prodotto:

$$\begin{gathered} \log_{10} 100 \cdot \log_{10} 1000 = 2 \cdot 3 = 6 \\ \log_{10}(100 \cdot 1000) = \log_{10} 10^5 = 5 \end{gathered}$$

Il quadrato di un logaritmo non è il logaritmo del quadrato:

$$\begin{gathered} \left(\log_{10} 1000\right)^2 = 3^2 = 9 \\ \log_{10}\left(1000^2\right) = \log_{10} 10^6 = 6 \end{gathered}$$

L’esponente scende davanti solo se è l’esponente dell’argomento. Per non confondersi, $(\ln x)^2$ si scrive anche $\ln^2 x$.

Il quoziente di due logaritmi non è il logaritmo del quoziente:

$$\begin{gathered} \frac{\log_{10} 1000}{\log_{10} 100} = \frac{3}{2} \\ \log_{10} \frac{1000}{100} = \log_{10} 10 = 1 \end{gathered}$$

Il quoziente di due logaritmi nella stessa base è invece un cambiamento di base: $\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$ (con $y \neq 1$). Trovi questi e altri errori, ciascuno con il suo controesempio, negli errori più comuni con i logaritmi.

Perché i logaritmi trasformano i prodotti in somme

Il motivo è quello che abbiamo visto nelle dimostrazioni: quando si moltiplicano due potenze della stessa base, gli esponenti si sommano, e il logaritmo è proprio l’esponente. Nel Seicento questa idea fu una rivoluzione.

Nepero, Briggs e le tavole

Nel 1614 lo scozzese John Napier, in italiano Nepero, pubblicò la Mirifici logarithmorum canonis descriptio, la «descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi», con le prime tavole. Lo scopo era concreto: aiutare gli astronomi, che passavano giornate a moltiplicare a mano numeri di sette o otto cifre. I logaritmi di Napier non erano ancora esattamente i nostri, ma l’idea c’era tutta.

Il professore inglese Henry Briggs andò a trovarlo a Edimburgo nel 1615, e i due si convinsero che conveniva un logaritmo in base 10, con il logaritmo di 1 uguale a zero. Briggs pubblicò i logaritmi decimali dei numeri da 1 a 1000 nel 1617 e, nel 1624, l’Arithmetica logarithmica, con i logaritmi dei numeri da 1 a 20 000 e da 90 000 a 100 000, calcolati con 14 cifre decimali.

Come si usavano le tavole? Per moltiplicare $2{,}7 \times 3{,}4$ si cercavano i due logaritmi decimali:

$$\begin{gathered} \log_{10} 2{,}7 \approx 0{,}4314 \\ \log_{10} 3{,}4 \approx 0{,}5315 \end{gathered}$$

Poi li si sommava, cosa facile: $0{,}4314 + 0{,}5315 = 0{,}9629$. Infine si cercava nelle tavole il numero che ha quel logaritmo: $10^{0{,}9629} \approx 9{,}18$. E infatti $2{,}7 \times 3{,}4 = 9{,}18$. Una moltiplicazione trasformata in un’addizione e due ricerche nelle tavole.

Il regolo calcolatore

Nei primi anni Venti del Seicento il matematico inglese William Oughtred ebbe l’idea di far scorrere due scale logaritmiche uguali una accanto all’altra, migliorando una scala logaritmica di Edmund Gunter; descrisse a stampa una versione circolare nel 1632 e l’uso dei due righelli nel 1633. Era nato il regolo calcolatore, che ingegneri e studenti hanno usato fino all’arrivo delle calcolatrici tascabili, negli anni Settanta del Novecento. Sui due righelli i numeri sono disegnati a distanze proporzionali al loro logaritmo: facendo scorrere un righello sull’altro si sommano due lunghezze, cioè due logaritmi, e si legge direttamente il prodotto.

Le scale logaritmiche: le proprietà al lavoro

Le proprietà spiegano anche le regole delle scale logaritmiche, che trasformano rapporti enormi in numeri maneggevoli. Un esempio per scala.

I decibel. Il livello sonoro di un suono di intensità $I$ è $L = 10 \log_{10} \frac{I}{I_0}$, con $I_0 = 10^{-12}$ W/m². Per la proprietà del quoziente, la differenza tra due livelli dipende solo dal rapporto delle intensità, perché $I_0$ si semplifica:

$$L_2 - L_1 = 10 \log_{10} \frac{I_2}{I_1}$$

Un suono 1000 volte più intenso ha quindi 30 dB in più, perché $10 \log_{10} 1000 = 30$.

Il pH. Si definisce $\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]$, dove $[\mathrm{H}^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. Se la concentrazione diventa 100 volte più piccola, il pH aumenta di 2:

$$-\log_{10}\frac{[\mathrm{H}^+]}{100} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+] + 2$$

Per esempio, da pH 3 si passa a pH 5.

La magnitudo dei terremoti. Oggi i sismologi usano la magnitudo momento, $M_w = \frac{2}{3}\left(\log_{10} M_0 - 9{,}1\right)$, dove $M_0$ è il momento sismico misurato in N·m. Confrontando due terremoti, con la proprietà del quoziente:

$$\begin{gathered} M_{w,2} - M_{w,1} = \frac{2}{3} \log_{10} \frac{M_{0,2}}{M_{0,1}} \\ \frac{M_{0,2}}{M_{0,1}} = 10^{1{,}5\,(M_{w,2} - M_{w,1})} \end{gathered}$$

Un grado di magnitudo in più vuol dire un momento sismico circa $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ volte maggiore; due gradi, $10^3 = 1000$ volte.

Che cosa significano per i grafici

Il prodotto è una traslazione verticale. Per $k > 0$ e $x > 0$:

$$\ln(kx) = \ln k + \ln x$$

Quindi il grafico di $\ln(2x)$ è quello di $\ln x$ alzato di $\ln 2 \approx 0{,}69$, e quello di $\ln(4x)$ è alzato di $\ln 4 \approx 1{,}39$. È la sorpresa dei grafici di funzioni logaritmiche: per il logaritmo, comprimere il grafico in orizzontale (sostituire $x$ con $kx$, $k > 1$) equivale a traslarlo in verticale.

La potenza è una dilatazione verticale. Per $x > 0$ si ha $\ln\left(x^k\right) = k \ln x$: il grafico di $\ln\left(x^2\right)$ sul semiasse positivo è quello di $\ln x$ stirato in verticale di un fattore 2, e quello di $\ln \sqrt{x}$ è schiacciato di un fattore $\frac{1}{2}$. Per $x = e$, per esempio, i tre valori sono $1$, $2$ e $\frac{1}{2}$. Tutti i grafici passano per $(1, 0)$, l’unico punto che non si muove, perché $\ln 1 = 0$. E per $x < 0$ il grafico di $\ln\left(x^2\right)$ ha un secondo ramo, che $2 \ln x$ non ha.

Con $k < 0$ la dilatazione è accompagnata da un ribaltamento: $\ln \frac{1}{x} = -\ln x$ è il simmetrico di $\ln x$ rispetto all’asse $x$.

Gli errori più comuni

• Spezzare il logaritmo di una somma. $\ln(x + 1)$ non è $\ln x + \ln 1$: per la somma non c’è formula.
• Scrivere $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln x$ senza condizioni. Vale solo per $x > 0$; in generale $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln|x|$, e scrivere $2 \ln x$ fa perdere le soluzioni negative.
• Portare davanti un esponente che riguarda solo un pezzo. $\ln\left(2x^3\right) = \ln 2 + 3 \ln x$, non $3 \ln(2x)$.
• Comprimere con i coefficienti fuori. $2 \ln x + \ln y = \ln\left(x^2 y\right)$, non $\ln(2xy)$.
• Sbagliare i segni con più differenze. $\ln x - \ln y - \ln z = \ln \frac{x}{yz}$: sia $y$ sia $z$ vanno al denominatore.
• Confondere il quadrato del logaritmo con il logaritmo del quadrato. Per $x = e$, $(\ln x)^2 = 1$ mentre $\ln\left(x^2\right) = 2$.
• Usare le proprietà con basi diverse. $\log_2 x + \log_3 x$ non si comprime: prima si porta tutto alla stessa base.
• Dimenticare il dominio dopo aver compresso. La forma compressa può avere un dominio più grande e far comparire soluzioni false: le condizioni si scrivono sull’espressione di partenza.

Esercizi svolti

1. Calcoli senza calcolatrice

Testo. Calcola senza calcolatrice: a) $\log_3 45 - \log_3 5 + 2 \log_3 \sqrt{3}$; b) $\log_{10} 8 + 3 \log_{10} 5$; c) $\ln \frac{e^3}{\sqrt{e}}$; d) $\log_{1/2} 32$.

a) Il coefficiente 2 entra come esponente: $2 \log_3 \sqrt{3} = \log_3 \left(\sqrt{3}\right)^2 = \log_3 3 = 1$. Gli altri due logaritmi si riuniscono con il quoziente:

$$\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \frac{45}{5} = \log_3 9 = 2$$

Il totale è $2 + 1 = 3$.

b) Anche qui il coefficiente sale: $3 \log_{10} 5 = \log_{10} 5^3 = \log_{10} 125$. Quindi

$$\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10} 1000 = 3$$

c) Conviene sviluppare, perché ogni pezzo è una potenza di $e$: $\ln e^3 - \ln e^{1/2} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

d) Con la base reciproca: $\log_{1/2} 32 = -\log_2 32 = -5$. Controllo: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32$.

I risultati sono $3$, $3$, $\frac{5}{2}$ e $-5$: numeri semplici, segno che le proprietà sono state usate bene.

2. Sviluppare un logaritmo

Testo. Per $x > 0$ e $y > 0$, sviluppa $\log_3 \frac{9x^4}{(x + 1)\sqrt[3]{y}}$ in una somma di logaritmi il più semplici possibile.

Il numeratore diventa una somma; il denominatore, tutto intero, si sottrae, quindi entrambi i suoi fattori prendono il segno meno:

$$\begin{gathered} \log_3 9 + \log_3 x^4 \\ {} - \log_3(x + 1) - \log_3 \sqrt[3]{y} \end{gathered}$$

Ora $\log_3 9 = 2$, l’esponente 4 scende davanti e $\sqrt[3]{y} = y^{1/3}$:

$$\begin{gathered} \log_3 \frac{9x^4}{(x + 1)\sqrt[3]{y}} = 2 + 4\log_3 x \\ {} - \log_3(x + 1) - \frac{1}{3}\log_3 y \end{gathered}$$

Il pezzo $\log_3(x + 1)$ resta così: è il logaritmo di una somma. Lo sviluppo vale per ogni $x > 0$ e $y > 0$, dove tutti i logaritmi esistono.

3. Comprimere in un solo logaritmo

Testo. Scrivi come un unico logaritmo $2 \log_2 x - \log_2(x - 1) - 3$ e indica per quali $x$ vale l’uguaglianza.

Prima il dominio: servono $x > 0$ e $x > 1$, quindi $x > 1$. Il numero 3 va scritto come logaritmo in base 2, $3 = \log_2 8$, e il coefficiente 2 sale come esponente:

$$\begin{gathered} \log_2 x^2 - \log_2(x - 1) - \log_2 8 \\ {} = \log_2 \frac{x^2}{8(x - 1)} \quad (x > 1) \end{gathered}$$

Sia $x - 1$ sia 8 erano sottratti, quindi vanno entrambi al denominatore. La forma compressa esiste quando $\frac{x^2}{8(x - 1)} > 0$, cioè ancora per $x > 1$: qui il dominio non cambia. Controllo con $x = 2$: a sinistra $2 \cdot 1 - 0 - 3 = -1$, a destra $\log_2 \frac{4}{8} = -1$.

4. Semplificare con le condizioni

Testo. Semplifica $f(x) = \ln\left(x^2\right) - \ln\left(x^2 - x\right)$, indicando il dominio. Perché la strada «spezzo tutto» porta a un risultato sbagliato?

Il dominio: $x^2 > 0$ per $x \neq 0$, e $x^2 - x = x(x - 1) > 0$ per $x < 0$ oppure $x > 1$. Mettendo insieme, $f$ esiste per $x < 0$ oppure $x > 1$.

Su questo dominio entrambi gli argomenti sono positivi, quindi possiamo usare la proprietà del quoziente e poi semplificare la frazione, cosa lecita perché $x \neq 0$:

$$\begin{gathered} f(x) = \ln \frac{x^2}{x(x - 1)} \\ f(x) = \ln \frac{x}{x - 1} \end{gathered}$$

La funzione $\ln \frac{x}{x - 1}$ esiste quando $\frac{x}{x - 1} > 0$, cioè per $x < 0$ oppure $x > 1$: lo stesso dominio di $f$, quindi la semplificazione vale ovunque. Controllo con $x = -1$: $f(-1) = \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2$, e $\ln \frac{-1}{-2} = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$.

La strada sbagliata è scrivere $\ln\left(x^2\right) = 2 \ln x$ e $\ln\left(x^2 - x\right) = \ln x + \ln(x - 1)$. Si arriva a $\ln x - \ln(x - 1)$, che esiste solo per $x > 1$: si perde tutto il ramo $x < 0$, dove $f$ esiste benissimo. Morale: semplifica dentro il logaritmo, dove è algebra pura, e spezza solo quando sai che i pezzi sono positivi.

5. Dimostrare un’identità

Testo. Dimostra che per ogni $x$ reale

$$\begin{gathered} \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \\ {} + \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) = 0 \end{gathered}$$

e deduci che $f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ è una funzione dispari.

Prima di usare la proprietà del prodotto bisogna controllare che i due argomenti siano positivi. Siccome $x^2 + 1 > x^2$, si ha $\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2} = |x|$. E siccome $|x| \geq x$ e $|x| \geq -x$:

$$\begin{gathered} x + \sqrt{x^2 + 1} > x + |x| \geq 0 \\ \sqrt{x^2 + 1} - x > |x| - x \geq 0 \end{gathered}$$

Entrambi gli argomenti sono positivi per ogni $x$. Ora la somma dei due logaritmi è il logaritmo del prodotto, e il prodotto è una somma per una differenza:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) \\ {} = \left(x^2 + 1\right) - x^2 = 1 \end{gathered}$$

Quindi la somma vale $\ln 1 = 0$. Per la seconda parte: $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ e $f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$, che per l’identità appena dimostrata è $-f(x)$. Quindi $f$ è dispari. È l’inversa del seno iperbolico, che incontrerai con le funzioni iperboliche.

6. Un’equazione con una soluzione falsa

Testo. Risolvi l’equazione $2 \ln(x - 1) = \ln(x + 5)$.

Condizioni di esistenza: $x - 1 > 0$ e $x + 5 > 0$, quindi $x > 1$. Portiamo il 2 dentro come esponente e confrontiamo gli argomenti:

$$\begin{gathered} \ln (x - 1)^2 = \ln(x + 5) \\ (x - 1)^2 = x + 5 \\ x^2 - 2x + 1 = x + 5 \\ x^2 - 3x - 4 = 0 \\ (x - 4)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Le soluzioni dell’equazione compressa sono $x = 4$ e $x = -1$. Controlliamo con le condizioni: $x = 4$ va bene, e infatti $2 \ln 3 = \ln 9$. Invece $x = -1$ non rispetta $x > 1$, quindi è una soluzione falsa: soddisfa l’equazione compressa, perché $(-2)^2 = 4 = -1 + 5$, ma nell’equazione di partenza darebbe $\ln(-2)$.

Da dove viene? Passando da $2 \ln(x - 1)$ a $\ln (x - 1)^2$ il dominio si è allargato da $x > 1$ a $x \neq 1$. In effetti $\ln (x - 1)^2 = 2 \ln|x - 1|$, quindi l’equazione compressa è $2 \ln|x - 1| = \ln(x + 5)$, che accetta anche $x = -1$. L’unica soluzione è $x = 4$. Altri esercizi di questo tipo sono negli esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi.

In sintesi

• Definizione: $\log_a b = c \iff a^c = b$, con $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. Inoltre $a^{\log_a b} = b$ e $\log_a a^x = x$.
• Per $x, y > 0$: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$, $\log_a x^k = k \log_a x$.
• Si dimostrano scrivendo gli argomenti come potenze di $a$ e usando le proprietà delle potenze.
• Se la base della potenza può essere negativa: $\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x|$ per $x \neq 0$.
• Conseguenze: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a \frac{1}{x} = -\log_a x$, $\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\log_a x$, $\log_{1/a} x = -\log_a x$.
• Nessuna formula per $\log_a(x + y)$; prodotto, quadrato e quoziente di logaritmi non si semplificano come si vorrebbe.
• Quando comprimi, il dominio può allargarsi: condizioni all’inizio, controllo delle soluzioni alla fine.

Ora manca solo la regola per passare da una base all’altra e usare la calcolatrice con qualsiasi base: la formula del cambiamento di base.