Funzione logaritmica: grafico, proprietà, base minore di 1 ed esercizi svolti

La funzione logaritmica $y = \log_a x$ è l’inversa della funzione esponenziale: fa il percorso al contrario, dal risultato $a^x$ all’esponente $x$. All’esame la ritrovi nei domini, nelle equazioni logaritmiche e in quasi ogni studio di funzione. In questa pagina vediamo perché l’esponenziale si può invertire, la definizione con le due identità, il grafico per simmetria, i due casi con base maggiore e minore di 1 con la tabella delle proprietà, il segno, la concavità, il legame tra le basi $a$ e $\frac{1}{a}$, il confronto tra basi diverse, la monotonia al lavoro, la disuguaglianza $\ln x \leq x - 1$, la crescita lentissima del logaritmo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La definizione: l’inversa dell’esponenziale

Nella funzione esponenziale abbiamo visto due fatti. Per $a > 0$ e $a \neq 1$, la funzione $a^x$ è strettamente monotona: esponenti diversi danno valori diversi. E la sua immagine è tutto l’intervallo $(0, +\infty)$: ogni numero positivo viene raggiunto. Quindi, per ogni $x > 0$, l’equazione $a^y = x$ ha una e una sola soluzione $y$: è il logaritmo di $x$ in base $a$.

Con $a = e$ si ottiene il logaritmo naturale $\ln x$, quello che userai quasi sempre in Analisi.

Dominio e immagine si scambiano

Il logaritmo è quindi la funzione inversa di $f(x) = a^x$. Come per ogni inversa, dominio e immagine si scambiano:

	$a^x$	$\log_a x$
dominio	$\mathbb{R}$	$(0, +\infty)$
immagine	$(0, +\infty)$	$\mathbb{R}$

Il logaritmo esiste solo per argomenti positivi, ma può dare qualsiasi risultato.

Le due identità

Le due identità della funzione inversa, $f^{-1}\big(f(x)\big) = x$ e $f\big(f^{-1}(x)\big) = x$, diventano:

$$\begin{gathered} \log_a\left(a^x\right) = x \\ \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a^{\log_a x} = x \\ \text{per ogni } x > 0 \end{gathered}$$

Attenzione agli insiemi: la prima vale ovunque, la seconda solo dove il logaritmo esiste. Per esempio $\log_2 2^{-5} = -5$ ed $e^{\ln 7} = 7$, mentre $e^{\ln(-7)}$ non ha senso.

Il grafico: lo specchio dell’esponenziale

Il grafico di una funzione inversa è il simmetrico di quello di partenza rispetto alla bisettrice $y = x$: il punto $(p, q)$ del primo diventa il punto $(q, p)$ del secondo. Per disegnare $\log_2 x$, quindi, basta prendere il grafico di $2^x$ e scambiare le coordinate:

Punto di $y = 2^x$	Punto di $y = \log_2 x$
$\left(-2,\ \frac{1}{4}\right)$	$\left(\frac{1}{4},\ -2\right)$
$\left(-1,\ \frac{1}{2}\right)$	$\left(\frac{1}{2},\ -1\right)$
$(0,\ 1)$	$(1,\ 0)$
$(1,\ 2)$	$(2,\ 1)$
$(2,\ 4)$	$(4,\ 2)$
$(3,\ 8)$	$(8,\ 3)$

Dal disegno si leggono le proprietà del logaritmo, «traducendo» quelle dell’esponenziale:

• l’esponenziale è definito su tutto $\mathbb{R}$ e ha valori positivi, quindi il logaritmo è definito solo per $x > 0$ e assume tutti i valori reali;
• l’esponenziale passa per $(0, 1)$ e $(1, a)$, quindi il logaritmo passa per $(1, 0)$ e $(a, 1)$: $\log_a 1 = 0$ e $\log_a a = 1$;
• l’esponenziale ha l’asse $x$ come asintoto orizzontale, quindi il logaritmo ha l’asse $y$ come asintoto verticale;
• l’inversa di una funzione strettamente crescente è strettamente crescente, come dimostriamo nella funzione inversa: con $a > 1$, $\log_a x$ è strettamente crescente.

I due casi: base maggiore o minore di 1

Come per l’esponenziale, tutto dipende da un confronto: la base è maggiore di 1 o compresa tra 0 e 1? Nella figura, in alto tre basi maggiori di 1, in basso tre tra 0 e 1; il pallino nero è il punto $(1, 0)$, comune a tutte.

	$a > 1$	$0 < a < 1$
esempi	$\log_2 x$, $\ln x$	$\log_{1/2} x$, $\log_{0{,}1} x$
dominio	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
immagine	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
zero	$x = 1$	$x = 1$
passa per	$(1, 0)$ e $(a, 1)$	$(1, 0)$ e $(a, 1)$
monotonia	strettamente crescente	strettamente decrescente
vicino a 0	scende verso $-\infty$	sale verso $+\infty$
per $x$ grande	sale verso $+\infty$, lentamente	scende verso $-\infty$, lentamente
asintoti	solo $x = 0$	solo $x = 0$
grafico	concavo	convesso

Inoltre:

• il logaritmo non è limitato, né sopra né sotto, ma non ha asintoti orizzontali né obliqui: cresce (o decresce) senza fermarsi, solo sempre più lentamente;
• non è né pari né dispari: il suo dominio non è nemmeno simmetrico rispetto all’origine.

Nel linguaggio dei limiti infiniti e all’infinito, per $a > 1$ si scrive

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \\ \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty \end{gathered}$$

e per $0 < a < 1$ i due infiniti cambiano segno. Il primo dice che, vicino a 0, il logaritmo scende sotto qualsiasi numero: $\ln x < -10$ appena $0 < x < e^{-10}$.

Il segno del logaritmo

Il segno si legge dal grafico partendo dal punto $(1, 0)$: se la funzione è crescente, prima di 1 sta sotto l’asse $x$ e dopo sta sopra; se è decrescente succede il contrario.

segno di $\log_a x$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$0 < x < 1$	negativo	positivo
$x = 1$	zero	zero
$x > 1$	positivo	negativo

In parole: con base maggiore di 1, il logaritmo è positivo quando l’argomento supera 1, non quando l’argomento è positivo: quella è solo la condizione perché esista. Per esempio $\ln 0{,}5 < 0$, mentre $\log_{1/3} 0{,}5 > 0$. Con un argomento che dipende da $x$ la regola diventa una disequazione: lo vediamo in dominio e segno delle funzioni logaritmiche.

Concavo o convesso

Con base maggiore di 1 il grafico «si piega verso il basso»: è concavo, cioè il segmento che unisce due suoi punti sta sotto la curva. È lo specchio della convessità dell’esponenziale, e si controlla con lo stesso conto sui punti medi.

Perché è vero. Prendi $a > 1$ e due numeri positivi diversi $u$ e $v$, e chiama $p = \log_a u$ e $q = \log_a v$. Siccome $a^{\frac{p + q}{2}} = \sqrt{a^p \cdot a^q} = \sqrt{uv}$, per la definizione

$$\frac{\log_a u + \log_a v}{2} = \log_a \sqrt{uv}$$

La media geometrica $\sqrt{uv}$ è minore della media aritmetica $\frac{u + v}{2}$, e il logaritmo è strettamente crescente, quindi

$$\frac{\log_a u + \log_a v}{2} < \log_a \frac{u + v}{2}$$

A sinistra c’è l’altezza del punto medio del segmento, a destra quella del grafico sopra lo stesso punto: il punto medio del segmento sta sotto il grafico. Con $\log_2$, $u = 1$ e $v = 16$: il segmento in $x = 8{,}5$ è a quota $\frac{0 + 4}{2} = 2$, il grafico a quota circa $3{,}09$. Che basti controllare i punti medi, per una funzione continua, è un teorema che saltiamo (e il logaritmo è continuo, come inversa di una funzione continua e strettamente monotona); con le derivate lo ritroverai nel segno della derivata seconda, in concavità e convessità. Con $0 < a < 1$ il grafico è il ribaltato rispetto all’asse $x$ di quello in base $\frac{1}{a}$, come vediamo subito, quindi è convesso.

Il legame tra la base a e la base 1/a

Nella figura dei due casi, i grafici in basso sono i simmetrici di quelli in alto rispetto all’asse $x$. Non è un caso.

Perché è vero. Chiamiamo $c = \log_{1/a} x$. Per la definizione e le proprietà delle potenze:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{a}\right)^c = x \\ {} \iff a^{-c} = x \\ {} \iff -c = \log_a x \end{gathered}$$

cioè $c = -\log_a x$. Per esempio $\log_{1/2} 64 = -\log_2 64 = -6$ e $\log_{1/e} x = -\ln x$. In pratica, un logaritmo con base tra 0 e 1 si trasforma sempre in un logaritmo con base maggiore di 1, cambiando il segno. È lo stesso trucco che abbiamo usato nelle disequazioni esponenziali per non sbagliare il verso.

Nota la differenza: $a^x$ e $\left(\frac{1}{a}\right)^x$ sono simmetrici rispetto all’asse $y$, i loro logaritmi rispetto all’asse $x$, perché la bisettrice scambia i due assi.

Confronto tra basi diverse

Nella figura dei due casi, con basi maggiori di 1 e $x > 1$, più la base è grande, più il logaritmo è piccolo: per arrivare a 8, alla base 2 serve l’esponente 3, alla base $e$ circa $2{,}08$, alla base 10 solo $\log_{10} 8 \approx 0{,}903$. Per $0 < x < 1$ l’ordine si rovescia: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ è il più piccolo dei tre.

Perché è vero. Sia $x > 1$, e chiamiamo $p = \log_a x$ e $q = \log_b x$, positivi perché le basi superano 1. Allora $a^p = x = b^q$. Se fosse $p \leq q$, avremmo

$$a^p \leq a^q < b^q$$

la prima disuguaglianza perché $a^x$ è crescente, la seconda per il confronto tra esponenziali con basi diverse, visto che $q > 0$. Ma $a^p = b^q$: assurdo. Quindi $p > q$. Per $0 < x < 1$ il ragionamento è lo stesso, con $p$ e $q$ negativi e i versi rovesciati.

Per le basi tra 0 e 1 si usa $\log_{1/a} x = -\log_a x$. In tutti e due i casi vale la stessa regola: più la base è vicina a 1, più il grafico si allontana dall’asse $x$. Nella figura, $\log_2 x$ si allontana più di $\log_{10} x$, e $\log_{1/2} x$ più di $\log_{1/10} x$.

C’è anche un perché «numerico», che vedremo con il cambiamento di base: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$. Tutti i logaritmi sono il logaritmo naturale moltiplicato per una costante, quindi i loro grafici sono dilatazioni verticali di quello di $\ln x$: hanno la stessa forma e passano tutti per $(1, 0)$.

La monotonia al lavoro

Perché è vero. Per $a > 1$, l’implicazione verso destra dice che $\log_a$ è strettamente crescente, perché è l’inversa della funzione strettamente crescente $a^x$. Quella verso sinistra si ottiene applicando l’esponenziale: se $\log_a A < \log_a B$, allora $A = a^{\log_a A} < a^{\log_a B} = B$. Per $0 < a < 1$ si ragiona allo stesso modo con le funzioni decrescenti. L’ultima riga è l’iniettività del logaritmo, su cui si basano le equazioni logaritmiche.

In parole: applicare un logaritmo con base maggiore di 1 a due numeri positivi non cambia il verso della disuguaglianza; con base tra 0 e 1 lo inverte. È la regola delle disequazioni esponenziali letta al contrario.

Stimare e confrontare senza calcolatrice

Con la monotonia si stima un logaritmo «stringendo» l’argomento tra due potenze della base. Per esempio $5^2 = 25 < 100 < 125 = 5^3$, quindi

$$2 < \log_5 100 < 3$$

e infatti vale circa $2{,}86$. Senza nessun calcolo, poi, $\ln 3 < \ln 5$, mentre $\log_{1/2} 3 > \log_{1/2} 5$.

Le disequazioni elementari

Per risolvere $\log_a x > c$ si scrive anche il numero $c$ come logaritmo, $c = \log_a a^c$, e si applica il teorema, senza dimenticare che deve essere $x > 0$:

	$a > 1$	$0 < a < 1$
$\log_a x > c$	$x > a^c$	$0 < x < a^c$
$\log_a x < c$	$0 < x < a^c$	$x > a^c$

Per esempio $\ln x > 1 \iff x > e$, mentre $\log_{0{,}1} x > 2 \iff 0 < x < 0{,}01$. La condizione $x > 0$ conta quando la soluzione arriva fino a 0: $\ln x < 1$ dà $0 < x < e$, non $x < e$. Con argomenti più complicati, come $\ln(x^2 - 1)$, questo è il punto di partenza delle disequazioni logaritmiche.

Una proprietà speciale del logaritmo naturale

Nell’articolo sul numero di Nepero abbiamo visto che $e^x$ è l’unico esponenziale il cui grafico, nel punto $(0, 1)$, ha una tangente con pendenza esattamente 1: la retta $y = x + 1$. Abbiamo visto anche che il grafico sta tutto sopra questa retta:

$$e^t \geq 1 + t \quad \text{per ogni } t \in \mathbb{R}$$

con l’uguaglianza solo per $t = 0$. Ribaltando tutto rispetto a $y = x$, la tangente $y = x + 1$ diventa la retta $y = x - 1$, ancora con pendenza 1, tangente al grafico di $\ln x$ nel punto $(1, 0)$. E il grafico, che prima stava sopra la tangente, ora sta sotto.

Perché è vero. Dato $x > 0$, applica la disuguaglianza dell’esponenziale con $t = \ln x$ e ricorda che $e^{\ln x} = x$:

$$\begin{gathered} e^{\ln x} \geq 1 + \ln x \\ x \geq 1 + \ln x \\ \ln x \leq x - 1 \end{gathered}$$

L’uguaglianza vale solo per $t = 0$, cioè per $\ln x = 0$, cioè per $x = 1$.

Vicino a $x = 1$ il logaritmo naturale si comporta quasi come $x - 1$. Per esempio $\ln 1{,}01 \approx 0{,}00995$, appena sotto $0{,}01$. Da qui nascono il limite notevole $\frac{\ln(1 + t)}{t} \to 1$ per $t \to 0$, che trovi nei limiti notevoli, e la derivata $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, nelle derivate delle funzioni elementari: in $x = 1$ vale proprio 1, la pendenza della tangente.

Il logaritmo cresce lentamente

L’esponenziale con base maggiore di 1 cresce in modo esplosivo. Il logaritmo, che è il suo specchio, fa l’opposto: cresce sempre, ma con una lentezza esasperante.

$x$	$\ln x$	$\sqrt{x}$
10	2,30	3,16
100	4,61	10
1000	6,91	31,6
1 000 000	13,8	1000
1 000 000 000	20,7	31 623

Per avere $\ln x = 10$ serve $x = e^{10} \approx 22\,026$; per $\ln x = 100$ serve $e^{100} \approx 2{,}7 \cdot 10^{43}$, un numero con 44 cifre. Nota la colonna centrale: ogni volta che $x$ viene moltiplicato per 10, il logaritmo aumenta di $\ln 10 \approx 2{,}303$: se $x = e^c$, allora $e^{c + \ln 10} = e^c \cdot e^{\ln 10} = 10x$. Il logaritmo trasforma i prodotti in somme, come vedremo nelle proprietà dei logaritmi.

Più lento di qualsiasi potenza

Con la disuguaglianza della sezione precedente confrontiamo logaritmo e radice senza derivate.

Perché è vero. Prima un fatto che viene dalla definizione: $\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x$. Infatti, se $c = \ln \sqrt{x}$, allora $e^c = \sqrt{x}$, quindi $e^{2c} = x$ e $2c = \ln x$. Ora applica $\ln t \leq t - 1$ con $t = \sqrt{x}$:

$$\begin{gathered} \ln x = 2 \ln \sqrt{x} \leq 2\left(\sqrt{x} - 1\right) \\ {} < 2\sqrt{x} \end{gathered}$$

Il grafico suggerisce anche di più: $\ln x < \sqrt{x}$ per ogni $x > 0$. La differenza $\sqrt{x} - \ln x$ è minima in $x = 4$, dove vale circa $0{,}61$: lo dimostrerai facilmente con le derivate.

Dividendo per $x$ si ottiene, per $x > 1$, $0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}}$: quando $x$ cresce, il rapporto si schiaccia verso 0. È il primo gradino della gerarchia degli infiniti, che trovi in infinitesimi e infiniti: $\frac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ per $x \to +\infty$, con qualsiasi esponente $\alpha > 0$. In parole, il logaritmo cresce più lentamente di qualsiasi potenza di $x$ con esponente positivo, anche di $\sqrt[100]{x}$. Ma «prima o poi» può essere lontanissimo: i grafici di $\sqrt[100]{x}$ e $\ln x$ si incontrano per $x \approx 2{,}75$, dove il logaritmo passa sopra, e di nuovo solo per $x \approx 1{,}3 \cdot 10^{281}$, dove $\ln x \approx 647$. Solo da lì in poi $\sqrt[100]{x}$ resta definitivamente sopra $\ln x$.

Eppure il logaritmo non si ferma mai: supera qualsiasi valore $M$, basta prendere $x > e^M$.

Il logaritmo naturale nel resto del corso

• Studio di funzione. Servono i fatti di questa pagina: dominio (argomento positivo; $\ln|x|$ esiste per ogni $x \neq 0$), segno (confronto con 1), asintoto verticale ma nessuno orizzontale od obliquo, lentezza rispetto alle potenze. Con prodotti come $x \ln x$ il grafico può invece partire da un punto escluso: lo vedi nello studio di funzione logaritmica.
• Integrali. L’integrale di $\frac{1}{t}$ da 1 a $x$ è proprio $\ln x$: nel teorema fondamentale del calcolo integrale il logaritmo nasce come funzione integrale, con $L(2) = \ln 2 \approx 0{,}693$.
• Valori esatti al posto delle stime. Negli esercizi svolti sulla funzione esponenziale un’alga che cresce del 50% a settimana raddoppia in un tempo $T$ con $1{,}5^T = 2$, che lì avevamo solo stimato tra una e due settimane. Con il logaritmo il valore esatto è $T = \log_{1{,}5} 2 \approx 1{,}71$ settimane.

Un po’ di storia

Nell’Opus geometricum (Anversa, 1647) il gesuita Grégoire de Saint-Vincent mostrò che, se le ascisse crescono in progressione geometrica, le aree sotto l’iperbole crescono in progressione aritmetica. Nel 1649 il suo allievo Alphonse Antonio de Sarasa notò che è il comportamento dei logaritmi: quelle aree, scrisse, possono prendere il posto dei logaritmi. Il nome «logaritmo naturale» si fa risalire a Nicolaus Mercator (1668); la definizione come esponente, seguita in questa pagina, è quella di Eulero (1748).

Gli errori più comuni

• Includere lo zero nel dominio. Il dominio di $\log_a x$ è $(0, +\infty)$, con la parentesi tonda: $\ln 0$ non esiste.
• Confondere «esiste» con «è positivo». $\ln x$ esiste per $x > 0$, ma è positivo solo per $x > 1$.
• Dimenticare di invertire il verso con base tra 0 e 1. $\log_{1/3} x > 1$ significa $0 < x < \frac{1}{3}$, non $x > \frac{1}{3}$.
• Dimenticare la condizione $x > 0$. $\log_5 x < 2$ dà $0 < x < 25$, non $x < 25$.
• Credere che il logaritmo abbia un asintoto orizzontale perché cresce lentamente. È illimitato.
• Pensare che una base più grande dia sempre un logaritmo più grande. Per $x > 1$ è il contrario: $\log_{10} 8 < \log_2 8$.
• Cercare la simmetria di $\log_{1/a} x$ rispetto all’asse $y$, come per gli esponenziali. Siccome $\log_{1/a} x = -\log_a x$, la simmetria è rispetto all’asse $x$.
• Usare $a^{\log_a x} = x$ anche per $x \leq 0$. Vale solo dove il logaritmo esiste; $\log_a a^x = x$ invece vale per ogni $x$ reale.

Esercizi svolti

1. Trovare la base dal grafico

Testo. Il grafico di $f(x) = \log_a x$ passa per il punto $\left(\frac{8}{27}, 3\right)$. Trova la base $a$, calcola $f(1)$, $f\!\left(\frac{3}{2}\right)$ e $f\!\left(\frac{9}{4}\right)$, trova la $x$ per cui $f(x) = -3$ e stabilisci dove $f$ è positiva.

Il punto sta sul grafico: $f\!\left(\frac{8}{27}\right) = 3$, cioè, per la definizione,

$$a^3 = \frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3$$

L’unico numero reale con cubo $\frac{8}{27}$ è $\frac{2}{3}$: la base è $a = \frac{2}{3}$, positiva e diversa da 1, quindi ammessa. Ora $f(x) = \log_{2/3} x$, e ogni valore si trova scrivendo l’argomento come potenza di $\frac{2}{3}$:

• $f(1) = 0$, come per ogni base;
• $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$, quindi $f\!\left(\frac{3}{2}\right) = -1$;
• $\frac{9}{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$, quindi $f\!\left(\frac{9}{4}\right) = -2$;
• $f(x) = -3 \iff x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$.

La base è tra 0 e 1, quindi $f$ è strettamente decrescente: positiva per $0 < x < 1$ e negativa per $x > 1$, come confermano i valori trovati. Da un solo punto abbiamo ricostruito tutta la funzione.

2. Confronti senza calcolatrice

Testo. Senza calcolatrice, stabilisci quale numero è maggiore: (a) $\log_{1/3} 5$ oppure $\log_{1/5} 3$; (b) $\log_2 5$ oppure $\log_3 11$.

(a) Con la formula della base $\frac{1}{a}$:

$$\begin{gathered} \log_{1/3} 5 = -\log_3 5 \\ \log_{1/5} 3 = -\log_5 3 \end{gathered}$$

Siccome $5 > 3$ e $\log_3$ è strettamente crescente, $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$. Allo stesso modo $3 < 5$ dà $\log_5 3 < \log_5 5 = 1$. Cambiando segno i versi si invertono:

$$\log_{1/3} 5 < -1 < \log_{1/5} 3$$

È maggiore $\log_{1/5} 3$, circa $-0{,}68$, contro circa $-1{,}46$.

(b) Da $2^2 < 5 < 2^3$ e $3^2 < 11 < 3^3$, entrambi stanno tra 2 e 3. Serve un numero «in mezzo»: $\frac{5}{2}$ non basta, perché sono entrambi minori; proviamo $\frac{9}{4}$. Per la monotonia di $\log_2$:

$$\log_2 5 > \frac{9}{4} \iff 5 > 2^{9/4}$$

I due membri sono positivi e $t^4$ è strettamente crescente per $t > 0$: elevando alla quarta il verso resta. Si ottiene $5^4 > 2^9$, cioè $625 > 512$: vero. Allo stesso modo:

$$\begin{gathered} \log_3 11 < \frac{9}{4} \iff 11 < 3^{9/4} \\ {} \iff 11^4 < 3^9 \end{gathered}$$

cioè $14\,641 < 19\,683$: vero. Quindi $\log_3 11 < \frac{9}{4} < \log_2 5$, ed è maggiore $\log_2 5$. Con la calcolatrice: circa $2{,}32$ contro $2{,}18$.

3. L’inversa di un esponenziale

Testo. Sia $f(x) = 3 - 2^{1 - x}$. Dimostra che è invertibile, trova la sua immagine, scrivi l’inversa con dominio e immagine e confronta gli asintoti delle due funzioni.

Monotonia. Al crescere di $x$ l’esponente $1 - x$ diminuisce, quindi $2^{1 - x}$ diminuisce, perché la base 2 è maggiore di 1, e $3 - 2^{1 - x}$ aumenta. $f$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$, quindi iniettiva.

Immagine. Mentre $x$ percorre $\mathbb{R}$, anche $1 - x$ lo percorre tutto, e $2^{1 - x}$ assume tutti i valori di $(0, +\infty)$. Quindi $3 - 2^{1 - x}$ assume tutti i valori di $(-\infty, 3)$: è l’immagine di $f$.

L’inversa. Per $y < 3$ risolviamo $y = f(x)$ rispetto a $x$:

$$\begin{gathered} 2^{1 - x} = 3 - y \\ 1 - x = \log_2(3 - y) \\ x = 1 - \log_2(3 - y) \end{gathered}$$

Il logaritmo si può prendere proprio perché $3 - y > 0$. Scambiando i nomi delle variabili:

$$\begin{gathered} f^{-1}(x) = 1 - \log_2(3 - x), \\ \operatorname{dom} f^{-1} = (-\infty, 3), \\ \operatorname{Im} f^{-1} = \mathbb{R} \end{gathered}$$

Verifica. $f(0) = 3 - 2 = 1$ e $f^{-1}(1) = 1 - \log_2 2 = 0$. Poi $f(-1) = 3 - 4 = -1$ e $f^{-1}(-1) = 1 - \log_2 4 = -1$.

Asintoti. Per $x$ molto grande $2^{1 - x}$ si avvicina a 0: $f$ ha l’asintoto orizzontale $y = 3$ a destra. Ribaltando, $f^{-1}$ ha l’asintoto verticale $x = 3$: per $x$ vicino a 3 da sinistra, $\log_2(3 - x)$ scende verso $-\infty$ e $f^{-1}(x)$ sale verso $+\infty$.

L’inversa di un esponenziale è un logaritmo: l’immagine di $f$ diventa il dominio di $f^{-1}$ e l’asintoto orizzontale diventa verticale.

4. Disequazioni elementari

Testo. Risolvi: (a) $\log_5 x \leq -1$; (b) $\log_{1/3} x > -2$; (c) $\ln x \geq \frac{3}{2}$; (d) $-1 < \log_{1/2} x \leq 2$.

In ogni caso si scrive il numero come logaritmo nella stessa base, si applica la monotonia e si ricorda che deve essere $x > 0$.

(a) $-1 = \log_5 \frac{1}{5}$. La base è maggiore di 1, il verso resta: $x \leq \frac{1}{5}$. Con la condizione di esistenza: $0 < x \leq \frac{1}{5}$.

(b) $-2 = \log_{1/3} 9$, perché $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$. La base è minore di 1, il verso si inverte: $x < 9$. Con $x > 0$: $0 < x < 9$.

(c) $\frac{3}{2} = \ln e^{3/2}$, quindi $x \geq e^{3/2} = e\sqrt{e} \approx 4{,}48$. Qui la condizione $x > 0$ è già compresa.

(d) $-1 = \log_{1/2} 2$ e $2 = \log_{1/2} \frac{1}{4}$. Con la base minore di 1 si invertono entrambi i versi:

$$\begin{gathered} \log_{1/2} 2 < \log_{1/2} x \leq \log_{1/2} \frac{1}{4} \\ {} \iff \frac{1}{4} \leq x < 2 \end{gathered}$$

Il verso si inverte solo con la base tra 0 e 1, e la condizione $x > 0$ va aggiunta quando la soluzione arriva fino a 0.

5. Una tenaglia per il logaritmo

Testo. (a) Usando $\ln t \leq t - 1$, dimostra che $\ln x \geq 1 - \frac{1}{x}$ per ogni $x > 0$, con l’uguaglianza solo per $x = 1$. (b) Deduci due stime per $\ln 1{,}1$ e per $\ln 0{,}9$ e confrontale con i valori veri. (c) Dimostra che, per $x > 0$ con $x \neq 1$, il rapporto $\frac{\ln x}{x - 1}$ è compreso tra $\frac{1}{x}$ e 1.

(a) Prima un fatto che viene dalla definizione: $\ln \frac{1}{x} = -\ln x$. Infatti, se $c = \ln\frac{1}{x}$, allora $e^c = \frac{1}{x}$, quindi $e^{-c} = x$ e $-c = \ln x$. Ora applica la disuguaglianza a $t = \frac{1}{x}$, che è positivo:

$$\begin{gathered} \ln \frac{1}{x} \leq \frac{1}{x} - 1 \\ -\ln x \leq \frac{1}{x} - 1 \\ \ln x \geq 1 - \frac{1}{x} \end{gathered}$$

L’uguaglianza vale solo per $t = 1$, cioè per $x = 1$.

(b) Insieme alla disuguaglianza di partenza, per ogni $x > 0$:

$$1 - \frac{1}{x} \leq \ln x \leq x - 1$$

con il minore stretto se $x \neq 1$. Con $x = 1{,}1$ si ha $1 - \frac{1}{1{,}1} = \frac{1}{11} \approx 0{,}0909$, quindi $\frac{1}{11} < \ln 1{,}1 < 0{,}1$; il valore vero è circa $0{,}0953$. Con $x = 0{,}9$ si ha $1 - \frac{1}{0{,}9} = -\frac{1}{9} \approx -0{,}111$, quindi $-\frac{1}{9} < \ln 0{,}9 < -0{,}1$; il valore vero è circa $-0{,}1054$.

(c) Per $x \neq 1$ le due disuguaglianze sono strette, e $1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$. Se $x > 1$, dividendo per $x - 1 > 0$ il verso resta:

$$\frac{1}{x} < \frac{\ln x}{x - 1} < 1$$

Se $0 < x < 1$, invece, $x - 1 < 0$ e dividendo i versi si invertono: $1 < \frac{\ln x}{x - 1} < \frac{1}{x}$. In entrambi i casi il rapporto sta tra $\frac{1}{x}$ e 1. Quando $x$ si avvicina a 1, anche $\frac{1}{x}$ si avvicina a 1, e il rapporto, stretto a tenaglia, fa lo stesso: per il teorema dei carabinieri $\frac{\ln x}{x - 1} \to 1$, il limite notevole del logaritmo.

6. Una base con un parametro

Testo. Considera $f(x) = \log_{k^2 - 3} x$, con $k$ parametro reale. (a) Per quali $k$ la funzione è definita? Per quali è strettamente crescente e per quali strettamente decrescente? (b) Per quali $k$ vale $f\!\left(\frac{1}{2}\right) > 0$? (c) Per quali $k$ il grafico passa per il punto $(9, 2)$? Per quei valori risolvi $f(x) < -1$ e scrivi la funzione inversa.

(a) La base $b = k^2 - 3$ deve essere positiva e diversa da 1:

$$\begin{gathered} k^2 - 3 > 0 \iff k^2 > 3 \\ k^2 - 3 \neq 1 \iff k \neq \pm 2 \end{gathered}$$

Quindi $f$ è definita per $k < -\sqrt{3}$ oppure $k > \sqrt{3}$, con $k \neq \pm 2$. È strettamente crescente se la base supera 1, cioè $k^2 > 4$: per $k < -2$ oppure $k > 2$. È strettamente decrescente se $0 < k^2 - 3 < 1$, cioè $3 < k^2 < 4$:

$$\begin{gathered} -2 < k < -\sqrt{3} \\ \text{oppure} \quad \sqrt{3} < k < 2 \end{gathered}$$

(b) L’argomento $\frac{1}{2}$ è tra 0 e 1. Dalla tabella del segno, $\log_b \frac{1}{2}$ è positivo esattamente quando la base è tra 0 e 1. Quindi $f\!\left(\frac{1}{2}\right) > 0$ esattamente per i valori di $k$ che rendono $f$ decrescente.

(c) $f(9) = 2$ significa $b^2 = 9$, e con $b > 0$ resta $b = 3$. Allora $k^2 - 3 = 3$, cioè $k^2 = 6$ e $k = \pm\sqrt{6}$, entrambi accettabili perché $6 > 4$. Per questi valori $f(x) = \log_3 x$. Siccome $-1 = \log_3 \frac{1}{3}$ e la base è maggiore di 1:

$$\log_3 x < -1 \iff 0 < x < \frac{1}{3}$$

L’inversa di $\log_3 x$ è $f^{-1}(x) = 3^x$, definita su $\mathbb{R}$, con immagine $(0, +\infty)$. Confrontare la base con 1 decide monotonia, segno e verso delle disuguaglianze.

Altri esercizi sul capitolo li trovi negli esercizi svolti sulla funzione logaritmica.

In sintesi

• $\log_a x$ è l’inversa di $a^x$: dominio $(0, +\infty)$, immagine $\mathbb{R}$; $\log_a a^x = x$ per ogni $x$, $a^{\log_a x} = x$ per $x > 0$.
• Il grafico è il simmetrico di quello di $a^x$ rispetto a $y = x$: passa per $(1, 0)$ e $(a, 1)$ e ha l’asse $y$ come unico asintoto.
• Base maggiore di 1: strettamente crescente e concavo; base tra 0 e 1: strettamente decrescente e convesso.
• Segno: con $a > 1$, $\log_a x > 0 \iff x > 1$; con $0 < a < 1$ il contrario.
• $\log_{1/a} x = -\log_a x$; per $x > 1$, più la base è grande, più il logaritmo è piccolo.
• Per $A, B > 0$: con $a > 1$, $A < B \iff \log_a A < \log_a B$; con $0 < a < 1$ il verso si inverte.
• $\ln x \leq x - 1$ per ogni $x > 0$, con l’uguaglianza solo in $x = 1$: la retta $y = x - 1$ è tangente in $(1, 0)$.
• Il logaritmo cresce senza limiti, ma più lentamente di qualsiasi potenza di $x$ con esponente positivo.

Con le trasformazioni dei grafici, da $\ln x$ si ottengono moltissime altre curve: le vediamo in grafici di funzioni logaritmiche.