Equazioni logaritmiche: come si risolvono, condizioni di esistenza ed esercizi svolti

Un’equazione logaritmica è un’equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di un logaritmo o, più raramente, nella sua base. Le incontri in tutto il corso di Analisi 1: per trovare gli zeri di una funzione, come primo passo delle disequazioni logaritmiche e in quasi ogni compito d’esame con i logaritmi. Per esempio:

$$\begin{gathered} \log_3 (x - 1) = 2 \\ \ln\left(x^2 - 5\right) = \ln(4x) \\ \log_{x - 1}(2x + 1) = 2 \end{gathered}$$

Rispetto alle equazioni esponenziali c’è una novità importante: i logaritmi esistono solo per argomenti positivi. Per questo, in ogni equazione logaritmica, il primo passo è sempre lo stesso, e saltarlo è l’errore che costa più punti agli esami.

In questa pagina vediamo come si riconoscono i diversi tipi di equazioni logaritmiche, le condizioni di esistenza e quando conviene controllarle alla fine, le due forme base (un logaritmo uguale a un numero e due logaritmi con la stessa base) con i teoremi che le giustificano, la base minore di 1 e la base che contiene la $x$, il significato grafico delle soluzioni, il metodo passo passo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un’equazione logaritmica

Non basta che ci sia un logaritmo. In $x \ln 3 = 5$ il logaritmo è solo un numero, circa 1,1, e l’equazione è di primo grado: $x = \frac{5}{\ln 3}$, circa 4,55. Invece $\ln(3x) = 5$ è logaritmica, perché la $x$ sta dentro il logaritmo.

Le equazioni logaritmiche si dividono in pochi tipi, e riconoscere il tipo è metà del lavoro:

Se vedi	Strada	Dove
un logaritmo e un numero	definizione	qui
due logaritmi, stessa base	argomenti uguali	qui
la $x$ nella base	definizione	qui
più logaritmi	compattarli	proprietà
un logaritmo al quadrato	$t = \ln x$	sostituzione
logaritmi e polinomi	confronto di grafici	grafici

Per esempio $\log_3(x - 1) = 2$ è del primo tipo, $\ln\left(x^2 - 5\right) = \ln(4x)$ del secondo, $\ln^2 x - 3\ln x + 2 = 0$ si risolve per sostituzione e $\ln x = 2 - x$ solo con i grafici. I primi tre tipi li vediamo in questa pagina. Gli altri hanno un articolo ciascuno, ma quasi sempre finiscono in una delle due forme base.

Prima di tutto: le condizioni di esistenza

Prima di fare qualsiasi conto si scrivono le condizioni di esistenza (C.E.), cioè i valori di $x$ per cui tutti i logaritmi dell’equazione esistono:

• ogni argomento deve essere strettamente positivo;
• se la base contiene la $x$, deve essere positiva e diversa da 1;
• se ci sono frazioni o radici, si aggiungono le loro condizioni: denominatori diversi da zero, radicandi delle radici di indice pari non negativi.

Sono le stesse regole che abbiamo visto in dominio e segno delle funzioni logaritmiche. Alla fine, le soluzioni trovate si confrontano con le condizioni di esistenza: quelle che non le rispettano si scartano.

Perché servono

Prova a risolvere $\log_2(x - 5) = \log_2(3x + 1)$ senza pensare alle condizioni. Uguagliando gli argomenti, $x - 5 = 3x + 1$, cioè $x = -3$. Sostituisci: a sinistra c’è $\log_2(-8)$, a destra $\log_2(-8)$. I due membri «sembrano» uguali, ma nessuno dei due esiste. Il valore $-3$ risolve l’equazione algebrica, non quella logaritmica.

Il motivo è generale: quando togli il logaritmo ottieni un’equazione che ha senso anche dove i logaritmi non esistono, e può avere soluzioni proprio lì. Le condizioni rimettono il confine. Qui chiedono $x > 5$ e $x > -\frac{1}{3}$, cioè $x > 5$, e l’unico candidato è fuori: l’equazione è impossibile.

Come si scrivono: un sistema

Le condizioni devono valere tutte insieme, quindi si scrivono come un sistema e si prende l’intersezione delle soluzioni. Per esempio, per $\ln\left(x^2 - 5\right) = \ln(4x)$:

$$\begin{gathered} \begin{cases} x^2 - 5 > 0 \\ 4x > 0 \end{cases} \\ {} \iff x > \sqrt{5} \end{gathered}$$

La prima disequazione dà $x < -\sqrt{5}$ oppure $x > \sqrt{5}$, la seconda $x > 0$: insieme, $x > \sqrt{5} \approx 2{,}24$.

Risolverle subito o controllare alla fine?

Risolvere il sistema non è sempre la strada più rapida. Se un argomento è complicato, per esempio un polinomio di terzo grado, e l’equazione dà due o tre candidati, fai prima a sostituire ogni candidato negli argomenti e nelle basi dell’equazione di partenza e controllare che siano ammessi.

Questa verifica è sempre sicura. Un numero è soluzione se, sostituito nell’equazione di partenza, rende vera l’uguaglianza: e questo comprende il fatto che i logaritmi esistano. Qualunque passaggio tu abbia fatto, il controllo sull’equazione di partenza non sbaglia. Ha però un limite: elimina le soluzioni in più, ma non recupera quelle perse per strada, per esempio scrivendo $\ln x^2 = 2\ln x$, come vediamo nelle equazioni logaritmiche con le proprietà.

Scrivere le condizioni all’inizio conviene comunque: a volte ti dicono subito che l’equazione è impossibile, risparmiandoti i conti. E solo le condizioni scritte sull’equazione di partenza sono quelle giuste, perché alcune trasformazioni cambiano il dominio.

Primo tipo: un logaritmo uguale a un numero

La forma più semplice è $\log_a f(x) = c$, dove $c$ è un numero.

Perché è vero. Per la definizione di logaritmo, se $y > 0$, $\log_a y$ è l’unico esponente da dare ad $a$ per ottenere $y$. Quindi $\log_a f(x) = c$ dice proprio che $a^c = f(x)$. Viceversa, se $f(x) = a^c$, allora $f(x)$ è positivo, perché una potenza con base positiva è sempre positiva: il logaritmo esiste e vale $c$.

In pratica si «toglie» il logaritmo facendo diventare il numero un esponente della base.

Un’equazione esponenziale letta al contrario

Guarda bene l’equivalenza: $\log_a f(x) = c$ e $a^c = f(x)$ sono la stessa relazione tra base, esponente e risultato, letta nei due versi. Nelle equazioni esponenziali con i logaritmi l’incognita stava nell’esponente e si usava $a^x = b \iff x = \log_a b$; qui l’incognita sta nel risultato della potenza e la stessa regola si usa all’indietro.

Da qui vengono due fatti. Primo: $c$ può essere qualsiasi numero reale, anche negativo, nullo o frazionario, perché $a^c$ esiste sempre. Secondo: la condizione $f(x) > 0$ è già dentro l’equazione, perché $a^c > 0$. Con gli esponenziali è il contrario: $2^x = -4$ è impossibile, mentre in $\log_2 f(x) = -4$ il $-4$ non crea problemi, e diventa $f(x) = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.

Gli esempi, dal più semplice

Esempio 1: argomento di primo grado. $\log_3(x - 1) = 2$.

C.E.: $x - 1 > 0$, cioè $x > 1$. Poi $x - 1 = 3^2 = 9$, quindi $x = 10$, accettabile. Verifica: $\log_3 9 = 2$.

Esempio 2: argomento di secondo grado. $\log_2\left(x^2 - 7\right) = 1$.

Le C.E. sarebbero $x^2 - 7 > 0$, cioè $x < -\sqrt{7}$ oppure $x > \sqrt{7}$. Ma per il teorema non serve risolverle: ogni soluzione di $x^2 - 7 = 2^1$ le rispetta da sola. Quindi $x^2 = 9$ e $x = \pm 3$: due soluzioni, e infatti $9 - 7 = 2 > 0$.

Esempio 3: argomento fratto. $\log_2 \frac{x + 1}{x - 2} = 2$.

C.E.: $x \neq 2$ e $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$, cioè $x < -1$ oppure $x > 2$. Togliendo il logaritmo:

$$\begin{gathered} \frac{x + 1}{x - 2} = 2^2 = 4 \\ x + 1 = 4x - 8 \\ x = 3 \end{gathered}$$

Abbiamo moltiplicato per $x - 2$, che è diverso da zero per le C.E. La soluzione è accettabile: la frazione vale $\frac{4}{1} = 4$.

Esempio 4: una radice e un esponente frazionario. $\log_2 \sqrt{x + 7} = \frac{3}{2}$.

C.E.: la radice deve esistere ed essere positiva, quindi $x + 7 > 0$, cioè $x > -7$. Poi

$$\begin{gathered} \sqrt{x + 7} = 2^{3/2} = \sqrt{8} \\ x + 7 = 8 \iff x = 1 \end{gathered}$$

Elevare al quadrato è un’equivalenza, perché i due membri sono positivi. La soluzione $x = 1$ è accettabile.

Esempio 5: base minore di 1. $\log_{1/2}(x + 3) = 2$.

Il metodo non cambia: la base del logaritmo diventa la base della potenza. C.E.: $x > -3$. Poi $x + 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, quindi $x = -\frac{11}{4} = -2{,}75$. È negativa, ma va benissimo: è maggiore di $-3$ e l’argomento vale $\frac{1}{4}$. La base minore di 1 cambia le cose nelle disequazioni, dove il verso si inverte; nelle equazioni no.

Esempio 6: logaritmo naturale con secondo membro negativo. $\ln x = -2$.

C.E.: $x > 0$. Poi $x = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}135$. Il secondo membro negativo non è un problema: un logaritmo può valere qualsiasi numero reale.

Esempio 7: soluzione esatta e valore approssimato. $\ln(5 - 2x) = 3$.

C.E.: $5 - 2x > 0$, cioè $x < \frac{5}{2}$. Il 3 diventa l’esponente di $e$:

$$\begin{gathered} 5 - 2x = e^3 \\ x = \frac{5 - e^3}{2} \approx -7{,}54 \end{gathered}$$

Il risultato è il valore esatto $\frac{5 - e^3}{2}$. L’approssimazione, con $e^3 \approx 20{,}09$, serve a capire quanto vale e a controllare che sia minore di $\frac{5}{2}$.

Due casi da riconoscere a colpo d’occhio

Siccome $\log_a 1 = 0$ e $\log_a a = 1$ per ogni base:

$$\begin{gathered} \log_a f(x) = 0 \iff f(x) = 1 \\ \log_a f(x) = 1 \iff f(x) = a \end{gathered}$$

Per esempio $\ln(2x + 1) = 0$ dà $2x + 1 = 1$, cioè $x = 0$: accettabile, perché a non poter essere zero è l’argomento, non la soluzione. E nell’esempio 2 il secondo membro era 1, quindi l’argomento doveva valere proprio la base, 2.

Quando il primo tipo è impossibile

Dal lato del logaritmo non ci sono ostacoli, ma l’equazione $f(x) = a^c$ può non avere soluzioni. Per esempio $\log_2\left(x^2 + 4\right) = 1$ porta a $x^2 + 4 = 2$, cioè $x^2 = -2$: impossibile. Si poteva prevedere: $x^2 + 4 \geq 4$ e il logaritmo in base 2 è crescente, quindi $\log_2\left(x^2 + 4\right)$ vale almeno $\log_2 4 = 2$ e non può mai valere 1.

Il significato grafico

Le soluzioni di $\log_a f(x) = c$ sono le ascisse dei punti in cui la retta orizzontale $y = c$ incontra il grafico di $y = \log_a f(x)$. Il grafico esiste solo dove $f(x) > 0$: ecco perché i punti di incontro rispettano da soli le condizioni di esistenza. Nella figura, in alto, la retta $y = 1$ taglia i due rami di $y = \log_2\left(x^2 - 7\right)$ in $x = -3$ e $x = 3$ (esempio 2); in basso, il grafico di $y = \log_2\left(x^2 + 4\right)$ non scende mai sotto 2, e la retta $y = 1$ gli passa sotto senza toccarlo.

Secondo tipo: due logaritmi con la stessa base

La seconda forma è $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, con la stessa base a sinistra e a destra.

Perché è vero. Come abbiamo visto nella funzione logaritmica, $\log_a$ è strettamente crescente se $a > 1$ e strettamente decrescente se $0 < a < 1$. Una funzione strettamente monotona è iniettiva: se $A \neq B$, uno dei due è più piccolo, e il suo logaritmo è più piccolo (o più grande) dell’altro, quindi diverso. Perciò, per $A > 0$ e $B > 0$, $\log_a A = \log_a B$ se e solo se $A = B$. Le condizioni $f(x) > 0$ e $g(x) > 0$ servono perché i due logaritmi esistano.

Qui, a differenza del primo tipo, le condizioni non sono automatiche: $f(x) = g(x)$ può avere soluzioni in cui $f$ e $g$ sono negative, come il valore $x = -3$ visto all’inizio, che rendeva entrambi gli argomenti uguali a $-8$. Però basta controllarne una: se $f(x) = g(x)$ e $f(x) > 0$, anche $g(x) > 0$, perché è lo stesso numero. Scegli l’argomento più semplice.

Esempio 8. $\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1)$.

C.E.: $x > -3$ e $x > \frac{1}{2}$, cioè $x > \frac{1}{2}$. Uguagliando gli argomenti: $x + 3 = 2x - 1$, quindi $x = 4$, accettabile. Verifica: entrambi gli argomenti valgono 7.

Esempio 9. $\ln\left(x^2 - 5\right) = \ln(4x)$.

Le C.E. le abbiamo trovate sopra: $x > \sqrt{5}$. Uguagliando gli argomenti:

$$\begin{gathered} x^2 - 5 = 4x \\ {} \iff x^2 - 4x - 5 = 0 \\ {} \iff (x - 5)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Le soluzioni dell’equazione algebrica sono $x = 5$ e $x = -1$. Solo la prima rispetta le C.E.: per $x = -1$ entrambi gli argomenti valgono $-4$, e i logaritmi non esistono. La soluzione è solo $x = 5$. Con il trucco dell’argomento più semplice bastava controllare $4x > 0$: sì per $x = 5$, no per $x = -1$.

Graficamente, le soluzioni del secondo tipo sono le ascisse dei punti di incontro delle due curve $y = \log_a f(x)$ e $y = \log_a g(x)$. Un valore in cui nessuna delle due curve esiste non può essere un punto di incontro:

Il grafico conferma: le due curve si incontrano una volta sola, e il valore $x = -1$ risolve l’equazione algebrica, non quella logaritmica.

Esempio 10: un’equazione impossibile. $\log_{10}(x - 4) = \log_{10}(2 - x)$.

C.E.: $x > 4$ e $x < 2$. Nessun numero è contemporaneamente maggiore di 4 e minore di 2: l’equazione è impossibile, e non serve fare altri conti. Chi salta le C.E. trova $x = 3$, che rende entrambi gli argomenti uguali a $-1$, e deve poi accorgersi che va scartato.

Esempio 11: base minore di 1. $\log_{1/3}\left(x^2 - 2x\right) = \log_{1/3}(x + 4)$.

Anche il logaritmo in base $\frac{1}{3}$ è strettamente monotono, quindi iniettivo: la regola è la stessa. Uguagliando gli argomenti:

$$\begin{gathered} x^2 - 2x = x + 4 \\ {} \iff x^2 - 3x - 4 = 0 \\ {} \iff (x - 4)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Controlliamo l’argomento più semplice, $x + 4$: vale 8 per $x = 4$ e 3 per $x = -1$, entrambi positivi. Le soluzioni sono due, $x = 4$ e $x = -1$, e quella negativa va benissimo.

Quando la x è nella base

Se l’incognita compare nella base, alle condizioni sugli argomenti si aggiunge: base positiva e diversa da 1. Il motivo sta nella definizione. Con una base negativa molte potenze non esistono, per esempio $(-4)^{1/2}$; con la base 1 ogni potenza vale 1, quindi non c’è un unico esponente da trovare e $\log_1$ non è definito.

Esempio 12. $\log_x 16 = 2$.

C.E.: $x > 0$ e $x \neq 1$ (l’argomento, 16, è già positivo). Per la definizione $x^2 = 16$, cioè $x = \pm 4$. Si scarta $x = -4$, perché una base non può essere negativa: la soluzione è $x = 4$.

Esempio 13. $\log_{x - 1}(2x + 1) = 2$.

Le condizioni ora sono tre, una per l’argomento e due per la base:

$$\begin{gathered} \begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \end{cases} \\ {} \iff x > 1 \ \text{e} \ x \neq 2 \end{gathered}$$

Per la definizione:

$$\begin{gathered} (x - 1)^2 = 2x + 1 \\ x^2 - 4x = 0 \\ x(x - 4) = 0 \end{gathered}$$

Il candidato $x = 0$ rende l’argomento uguale a 1, positivo, ma la base uguale a $-1$: si scarta. Il candidato $x = 4$ dà $\log_3 9 = 2$: accettabile. Il teorema del primo tipo garantisce l’argomento, non la base: con la base variabile le condizioni sulla base vanno sempre controllate.

Il metodo, riassunto

1. Condizioni di esistenza sull’equazione di partenza: argomenti positivi, basi variabili positive e diverse da 1, denominatori diversi da zero. Se il sistema è difficile, preparati a controllare i candidati alla fine.
2. Riduci l’equazione a una delle due forme: $\log_a f(x) = c$ oppure $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Spesso servono le proprietà dei logaritmi: lo vediamo nel prossimo articolo.
3. Togli il logaritmo: $f(x) = a^c$ oppure $f(x) = g(x)$.
4. Risolvi l’equazione algebrica che ottieni.
5. Confronta le soluzioni con le C.E. e scarta quelle che non le rispettano.

Quando hai tempo, fai anche la verifica: sostituisci la soluzione nell’equazione di partenza e controlla che i due membri siano uguali.

Gli errori più comuni

• Saltare le condizioni di esistenza, o scriverle sull’equazione già trasformata. Così si accettano valori come il $-1$ dell’esempio 9, in cui i logaritmi non esistono.
• «Semplificare» il logaritmo. Da $\log_3(x - 1) = 2$ non segue $x - 1 = 2$: il numero diventa un esponente, e $x - 1 = 9$.
• Scambiare base ed esponente. $\log_2 f(x) = 3$ dà $f(x) = 2^3 = 8$, non $3^2 = 9$: la base del logaritmo resta la base della potenza.
• Uguagliare gli argomenti con basi diverse. Da $\log_2 f(x) = \log_3 g(x)$ non segue $f(x) = g(x)$: prima si porta tutto alla stessa base.
• Uguagliare gli argomenti quando ci sono altri termini. Da $\ln f(x) + 1 = \ln g(x)$ non segue $f(x) + 1 = g(x)$: prima bisogna avere un solo logaritmo per parte.
• Scartare le soluzioni negative per principio. Una $x$ negativa va bene se rende positivi gli argomenti, come $x = -\frac{11}{4}$ nell’esempio 5.
• Credere che un secondo membro negativo renda l’equazione impossibile. $\ln x = -2$ ha la soluzione $x = e^{-2}$: è l’esponenziale a non poter essere negativo, non il logaritmo.
• Dimenticare le condizioni sulla base variabile. In $\log_x 16 = 2$ va scartato $x = -4$; in un logaritmo in base $x - 1$ va escluso anche $x = 2$, che rende la base uguale a 1.

Esercizi svolti

1. Un argomento di secondo grado

Testo. Risolvi $\log_3\left(x^2 - 6x\right) = 3$.

È del primo tipo, quindi la condizione $x^2 - 6x > 0$ sarà rispettata da ogni soluzione di $x^2 - 6x = 3^3$: non serve risolverla. Togliendo il logaritmo:

$$\begin{gathered} x^2 - 6x = 27 \\ x^2 - 6x - 27 = 0 \\ (x - 9)(x + 3) = 0 \end{gathered}$$

Le soluzioni sono $x = 9$ e $x = -3$. Controllo: $81 - 54 = 27$ e $9 + 18 = 27$, positivi. In entrambi i casi l’argomento vale 27 e $\log_3 27 = 3$: due soluzioni, $x = -3$ e $x = 9$.

2. Una base minore di 1

Testo. Risolvi $\log_{1/4}(2x + 5) = -\frac{3}{2}$. Poi risolvi $\log_4(2x + 5) = -\frac{3}{2}$ e confronta i risultati.

C.E. per entrambe: $2x + 5 > 0$, cioè $x > -\frac{5}{2}$. Nella prima, il numero diventa l’esponente della base $\frac{1}{4}$:

$$\begin{gathered} 2x + 5 = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-3/2} = 4^{3/2} = 8 \\ x = \frac{3}{2} \end{gathered}$$

perché $4^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 8$. Nella seconda:

$$\begin{gathered} 2x + 5 = 4^{-3/2} = \frac{1}{8} \\ x = -\frac{39}{16} \approx -2{,}44 \end{gathered}$$

anche questa accettabile, perché $-\frac{39}{16} > -\frac{40}{16} = -\frac{5}{2}$. I due argomenti, 8 e $\frac{1}{8}$, sono reciproci: passare alla base reciproca cambia segno al logaritmo, $\log_{1/4} y = -\log_4 y$. Le soluzioni sono $x = \frac{3}{2}$ per la prima equazione e $x = -\frac{39}{16}$ per la seconda.

3. Una soluzione da scartare

Testo. Risolvi $\log_2\left(x^2 - 5\right) = \log_2(1 - x)$.

È del secondo tipo. Uguagliando gli argomenti:

$$\begin{gathered} x^2 - 5 = 1 - x \\ x^2 + x - 6 = 0 \\ (x + 3)(x - 2) = 0 \end{gathered}$$

I candidati sono $x = -3$ e $x = 2$. Basta controllare l’argomento più semplice, $1 - x$: per $x = 2$ vale $-1$, quindi si scarta; per $x = -3$ vale 4, e anche $x^2 - 5 = 4$. Lo stesso risultato si ottiene risolvendo il sistema delle C.E.: $x^2 - 5 > 0$ e $x < 1$ danno $x < -\sqrt{5} \approx -2{,}24$, che contiene $-3$ ma non 2.

L’unica soluzione è $x = -3$, e la verifica dà $\log_2 4 = \log_2 4$. Si scarta il candidato positivo e si tiene quello negativo: conta il segno degli argomenti, non quello della $x$.

4. L’incognita nella base

Testo. Risolvi (a) $\log_x(5x - 6) = 2$ e (b) $\log_{x - 1}\left(x^2 - 3\right) = 1$.

(a) C.E.: $x > 0$, $x \neq 1$ e $5x - 6 > 0$, cioè $x > \frac{6}{5}$; siccome $\frac{6}{5} > 1$, le C.E. sono solo $x > \frac{6}{5}$. Per la definizione:

$$\begin{gathered} x^2 = 5x - 6 \\ x^2 - 5x + 6 = 0 \\ (x - 2)(x - 3) = 0 \end{gathered}$$

Entrambe le soluzioni sono maggiori di $\frac{6}{5}$: $x = 2$ e $x = 3$. Verifica: $\log_2 4 = 2$ e $\log_3 9 = 2$.

(b) C.E.: $x - 1 > 0$, $x - 1 \neq 1$ e $x^2 - 3 > 0$, cioè $x > \sqrt{3} \approx 1{,}73$ e $x \neq 2$. Il secondo membro è 1, quindi l’argomento deve essere uguale alla base:

$$\begin{gathered} x^2 - 3 = x - 1 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ (x - 2)(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Il candidato $x = 2$ rende la base uguale a 1; il candidato $x = -1$ la rende uguale a $-2$. Entrambi si scartano: l’equazione (b) è impossibile. Eppure $1^1 = 1$ e $(-2)^1 = -2$ sono vere: le uguaglianze tra potenze ci sono, mancano i logaritmi.

5. Il valore assoluto nell’argomento

Testo. Risolvi (a) $\log_2 \lvert x - 1 \rvert = 3$ e (b) $\log_3 \left\lvert x^2 - 4 \right\rvert = 1$.

Un valore assoluto non è mai negativo, quindi l’unica condizione è che non sia zero. In cambio, l’equazione $\lvert A \rvert = k$ con $k > 0$ si spezza in due: $A = k$ oppure $A = -k$.

(a) C.E.: $x \neq 1$. Togliendo il logaritmo, $\lvert x - 1 \rvert = 2^3 = 8$, cioè $x - 1 = 8$ oppure $x - 1 = -8$: le soluzioni sono $x = 9$ e $x = -7$. Senza valore assoluto, $\log_2(x - 1) = 3$ avrebbe solo $x = 9$.

(b) C.E.: $x^2 - 4 \neq 0$, cioè $x \neq \pm 2$. Togliendo il logaritmo, $\left\lvert x^2 - 4 \right\rvert = 3$, e i casi sono due:

$$\begin{gathered} x^2 - 4 = 3 \iff x = \pm\sqrt{7} \\ x^2 - 4 = -3 \iff x = \pm 1 \end{gathered}$$

Nessuna delle quattro è $\pm 2$: l’equazione (b) ha quattro soluzioni, $x = \pm 1$ e $x = \pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65$. Verifica con $x = 1$: $\lvert 1 - 4 \rvert = 3$ e $\log_3 3 = 1$.

6. Da esame: un parametro

Testo. Al variare del numero reale $k$, quante soluzioni ha l’equazione $\ln\left(x^2 + k\right) = \ln(2x)$? Trovale per $k = \frac{3}{4}$ e per $k = -3$.

È del secondo tipo: si uguagliano gli argomenti e si controlla l’argomento più semplice, $2x > 0$, cioè $x > 0$. Allora anche $x^2 + k = 2x$ è positivo. Bisogna quindi contare le soluzioni positive di

$$\begin{gathered} x^2 - 2x + k = 0 \\ x = 1 \pm \sqrt{1 - k} \end{gathered}$$

Le soluzioni reali esistono solo per $k \leq 1$. La più grande, $1 + \sqrt{1 - k}$, è sempre almeno 1, quindi è sempre accettabile. La più piccola è positiva se e solo se $\sqrt{1 - k} < 1$, cioè $1 - k < 1$, cioè $k > 0$. Per $k = 0$ vale proprio 0, e $\ln 0$ non esiste. Ricapitolando:

Valori di $k$	Soluzioni
$k > 1$	nessuna
$k = 1$	una: $x = 1$
$0 < k < 1$	due
$k \leq 0$	una

C’è anche una lettura grafica: l’equazione $x^2 + k = 2x$ equivale a $k = 2x - x^2$, quindi le soluzioni sono gli incontri tra la retta orizzontale $y = k$ e la parabola $y = 2x - x^2$, solo per $x > 0$. La parabola ha il vertice in $(1, 1)$ e parte dal punto escluso $(0, 0)$: una retta più alta di 1 non la tocca, $y = 1$ la tocca nel vertice, tra 0 e 1 la taglia due volte, da 0 in giù una volta sola.

Per $k = \frac{3}{4}$: $x = 1 \pm \frac{1}{2}$, cioè $x = \frac{1}{2}$ e $x = \frac{3}{2}$, due soluzioni. Per $k = -3$: $x^2 - 2x - 3 = 0$ dà $x = 3$ e $x = -1$; si scarta $x = -1$ e resta $x = 3$, con entrambi gli argomenti uguali a 6.

Altri esercizi, anche con più logaritmi e con la sostituzione, li trovi negli esercizi svolti sulle equazioni logaritmiche.

In sintesi

• Un’equazione è logaritmica quando la $x$ sta nell’argomento o nella base di un logaritmo. Le forme base sono due; le altre ci si riconducono con le proprietà, la sostituzione o i grafici.
• Le condizioni di esistenza si scrivono per prime, sull’equazione di partenza: argomenti positivi, basi con la $x$ positive e diverse da 1. Alla fine si confrontano con le soluzioni, oppure si sostituiscono i candidati nell’equazione di partenza.
• $\log_a f(x) = c \iff f(x) = a^c$, per ogni $c$ reale: la condizione $f(x) > 0$ è automatica.
• $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ con gli argomenti positivi: basta controllarne uno, perché l’altro è uguale.
• Casi particolari: se il secondo membro è 0 l’argomento vale 1, se è 1 l’argomento vale la base.
• Una base minore di 1 non cambia nulla nelle equazioni; una base con la $x$ aggiunge le sue condizioni, che vanno sempre controllate.
• Graficamente le soluzioni sono le ascisse dei punti di incontro: con la retta $y = c$, oppure tra le due curve logaritmiche.

Nella maggior parte degli esercizi i logaritmi sono più di due e vanno prima compattati: è il tema delle equazioni logaritmiche con le proprietà.