Disequazioni esponenziali: regola del verso, metodo, esempi ed esercizi svolti

Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare all’esponente, come $2^x > 8$ oppure $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq 27$. Nel corso di Analisi 1 le incontri di continuo: nel calcolo del dominio di una funzione con radici e logaritmi, nello studio del segno, nei problemi di crescita e decadimento. Si risolvono con le stesse idee delle equazioni esponenziali, più un punto delicato che fa sbagliare moltissimi studenti: il verso della disuguaglianza. In questa pagina vediamo la regola del verso e il teorema che la giustifica, i casi sempre veri e impossibili, il metodo in cinque passi, come riportare tutto alla stessa base (anche con decimali e radici), gli esponenti di secondo grado e le condizioni di esistenza, il passaggio ai logaritmi, le basi diverse con la divisione che inverte il verso, la lettura grafica, una tabella riassuntiva, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La regola d’oro: quando si inverte il verso

Pensa alle potenze di 2: $2, 4, 8, 16, \dots$ Ogni volta che l’esponente cresce di 1, la potenza raddoppia. Quindi un esponente più grande dà una potenza più grande. Con le potenze di $\frac{1}{2}$ succede il contrario: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$ Ogni passo dimezza, e un esponente più grande dà una potenza più piccola.

Tutto dipende quindi dalla base:

• se la base è maggiore di 1, $a^x$ è crescente: a una potenza più grande corrisponde un esponente più grande, e il verso resta;
• se la base è compresa tra 0 e 1, $a^x$ è decrescente: a una potenza più grande corrisponde un esponente più piccolo, e il verso si inverte.

Il grafico lo rende evidente. Con $2^x$, le $x$ per cui la curva sta sopra la retta $y = 8$ sono quelle a destra di 3. Con $\left(\frac{1}{2}\right)^x$, la curva sta sopra la retta $y = 4$ a sinistra di $-2$.

Un trucco per non sbagliare: una base minore di 1 si può sempre riscrivere con una base maggiore di 1 e l’esponente cambiato di segno, per esempio $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$. Così lavori sempre con basi maggiori di 1 e il verso non cambia mai per colpa della base.

Perché la regola funziona: la monotonia dell’esponenziale

La regola non è un trucco da imparare a memoria: è una conseguenza della forma del grafico della funzione esponenziale. Ecco l’enunciato preciso.

Teorema (monotonia dell’esponenziale). Sia $a > 0$ con $a \neq 1$.

• Se $a > 1$, la funzione $a^x$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$: $x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}$.
• Se $0 < a < 1$, è strettamente decrescente su $\mathbb{R}$: $x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2}$.

Perché è vero. Prendi $a > 1$ e due numeri $x_1 < x_2$, e chiama $h = x_2 - x_1$, che è positivo. Per le proprietà delle potenze:

$$a^{x_2} = a^{x_1 + h} = a^{x_1} \cdot a^{h}$$

Siccome $a^{x_1} > 0$, basta dimostrare che $a^h > 1$: moltiplicare un numero positivo per un fattore maggiore di 1 lo fa crescere.

• Se $h = \frac{p}{q}$ è una frazione positiva, $a^p$ è un prodotto di $p$ fattori maggiori di 1, quindi è maggiore di 1. Anche la sua radice $q$-esima, che è $a^{p/q}$, è maggiore di 1: se fosse minore o uguale a 1, elevandola alla $q$ otterresti un numero minore o uguale a 1, mentre $\left(a^{p/q}\right)^q = a^p > 1$.
• Se $h$ è irrazionale, prendi una frazione $r$ con $0 < r < h$. Per la definizione di potenza con esponente reale, $a^h$ è l’estremo superiore delle potenze $a^r$ con $r$ razionale e $r \leq h$, quindi $a^h \geq a^r > 1$.

Per $0 < a < 1$ poni $b = \frac{1}{a}$, che è maggiore di 1, e scrivi $a^x = b^{-x}$. Se $x_1 < x_2$, allora $-x_1 > -x_2$ e, per il caso appena visto, $b^{-x_1} > b^{-x_2}$, cioè $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Dal teorema segue subito la regola del riquadro.

Teorema (confronto tra gli esponenti). Sia $a > 0$ con $a \neq 1$. Per ogni $x$ in cui $f(x)$ e $g(x)$ sono definite valgono le equivalenze del riquadro iniziale, e le analoghe con $<$, $\geq$ e $\leq$.

Perché è vero. Prendi $a > 1$. Se $f(x) > g(x)$, la monotonia dà subito $a^{f(x)} > a^{g(x)}$. Viceversa, supponi $a^{f(x)} > a^{g(x)}$: se fosse $f(x) \leq g(x)$, avresti $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ (uguale se gli esponenti sono uguali, minore se $f(x) < g(x)$), il che è assurdo. Quindi $f(x) > g(x)$. Per $0 < a < 1$ il ragionamento è identico, con le disuguaglianze rovesciate.

Il «se e solo se» è importante: passando dalle potenze agli esponenti non perdi soluzioni e non ne aggiungi. Per questo serve che la funzione sia strettamente monotona. Con la base $a = 1$, che dà la funzione costante $1^x = 1$, la regola crollerebbe: $1^{f(x)} > 1^{g(x)}$ non è mai vera, nemmeno quando $f(x) > g(x)$.

Lo stesso ragionamento, con la funzione logaritmo al posto dell’esponenziale, regge anche le disequazioni logaritmiche: anche lì il verso dipende solo dalla base.

I casi sempre veri e impossibili

Prima di fare conti, guarda il secondo membro. Una potenza con base positiva è sempre positiva, qualunque sia l’esponente: l’immagine di $a^x$ è $(0, +\infty)$. Quindi, se $b \leq 0$:

• $a^{f(x)} > b$ oppure $a^{f(x)} \geq b$: sempre vera, per tutti gli $x$ in cui $f$ è definita;
• $a^{f(x)} < b$ oppure $a^{f(x)} \leq b$: impossibile.

Non trascurare la parte «in cui $f$ è definita». Per esempio $3^x > -2$ vale per ogni $x$ reale e $5^{x^2} \leq 0$ non ha soluzioni. Invece $2^{1/x} > 0$ è vera per ogni $x \neq 0$, non per ogni $x$: in $x = 0$ l’esponente non esiste, e quindi nemmeno la potenza. Allo stesso modo $3^{\sqrt{x-2}} > -5$ è vera solo per $x \geq 2$, dove la radice esiste.

Anche con $b > 0$ una disequazione può risultare sempre vera o impossibile, ma te ne accorgi solo alla fine dei conti: $3^{x^2} \geq 1 = 3^0$ diventa $x^2 \geq 0$, sempre vera; $2^{x^2+1} < 2$ diventa $x^2 + 1 < 1$, cioè $x^2 < 0$, impossibile.

Il metodo in cinque passi

1. Scrivi le condizioni di esistenza degli esponenti, se contengono frazioni, radici o logaritmi.
2. Controlla se la disequazione è sempre vera o impossibile, guardando il segno del secondo membro.
3. Scrivi i due membri come potenze della stessa base: con le proprietà delle potenze, raccogliendo se ci sono somme, oppure con il logaritmo.
4. Confronta gli esponenti: verso uguale se la base è maggiore di 1, verso opposto se è compresa tra 0 e 1.
5. Risolvi la disequazione negli esponenti e metti a sistema le soluzioni con le condizioni del passo 1. Scrivi il risultato come intervallo e controllalo con un valore di prova.

Scrivere tutto con la stessa base

Il passo 3 è quasi sempre questione di riconoscere le potenze nascoste. Servono due regole: un reciproco è una potenza con esponente negativo («capovolgi e cambia segno») e una radice è una potenza con esponente frazionario. Ecco i casi più frequenti:

Numero	Come potenza
$\frac{1}{8}$	$2^{-3}$
$\sqrt{2}$	$2^{1/2}$
$2\sqrt{2}$	$2^{3/2}$
$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$	$3^{-1/3}$
$0{,}25$	$4^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2^{-2}$
$0{,}2$	$5^{-1}$
$27$	$3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$
$1$	$a^0$, con qualsiasi base

Un consiglio: scegli come base comune la più piccola possibile, 2 invece di 4 o 8, 3 invece di 9 o 27. Così gli esponenti restano interi o frazioni semplici.

Esempio 1. $2^x > 8$.

$8 = 2^3$ e la base è maggiore di 1: il verso resta, e la soluzione è $x > 3$.

Esempio 2: base un terzo, il verso si inverte. $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq 27$.

Scriviamo 27 come potenza di $\frac{1}{3}$: $27 = 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$. La base è minore di 1, quindi confrontando gli esponenti il verso si inverte:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \\ {} \iff x - 1 \leq -3 \\ {} \iff x \leq -2 \end{gathered}$$

Con il trucco della base maggiore di 1 si arriva allo stesso punto: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} = 3^{1-x}$, quindi $3^{1-x} \geq 3^3$, cioè $1 - x \geq 3$, cioè $x \leq -2$. Prova: per $x = -3$ il primo membro vale $\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = 81 \geq 27$, vero; per $x = 0$ vale $3$, e $3 \geq 27$ è falso.

Esempio 3: un esponente frazionario. $4^x < 2\sqrt{2}$.

La base comune è 2: $4^x = \left(2^2\right)^x = 2^{2x}$ e $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$. Base maggiore di 1, il verso resta:

$$2^{2x} < 2^{3/2} \iff 2x < \frac{3}{2} \iff x < \frac{3}{4}$$

Esempio 4: una base decimale. $(0{,}25)^x \leq 8$.

$0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, quindi $(0{,}25)^x = 2^{-2x}$, e $8 = 2^3$:

$$2^{-2x} \leq 2^3 \iff -2x \leq 3 \iff x \geq -\frac{3}{2}$$

Nell’ultimo passaggio il verso si inverte perché dividiamo per $-2$: è la solita regola delle disequazioni di primo grado, la base non c’entra.

Esempio 5: la stessa base minore di 1 dai due lati. $(0{,}5)^{x-1} \geq (0{,}5)^{3-x}$.

La base $0{,}5$ è minore di 1, il verso si inverte:

$$x - 1 \leq 3 - x \iff 2x \leq 4 \iff x \leq 2$$

Esempio 6: prima si raccoglie. $5^{x+1} - 5^x > 100$.

Qui gli esponenti non si possono confrontare subito, perché a sinistra c’è una differenza. Si raccoglie $5^x$, come nelle equazioni con il raccoglimento:

$$\begin{gathered} 5^x(5 - 1) > 100 \\ {} \iff 5^x > 25 = 5^2 \\ {} \iff x > 2 \end{gathered}$$

Esponenti di secondo grado e condizioni di esistenza

Un esponente di secondo grado

Il confronto tra esponenti funziona con qualsiasi esponente, non solo di primo grado. Se l’esponente è di secondo grado, alla fine ti ritrovi una disequazione di secondo grado. Prendi $2^{x^2 - 3x} < \frac{1}{4}$. Siccome $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ e la base è maggiore di 1:

$$\begin{gathered} x^2 - 3x < -2 \\ {} \iff x^2 - 3x + 2 < 0 \\ {} \iff (x - 1)(x - 2) < 0 \\ {} \iff 1 < x < 2 \end{gathered}$$

La parabola $x^2 - 3x + 2$ ha la concavità verso l’alto ed è negativa tra le radici. Prova: per $x = 1{,}5$ l’esponente vale $-2{,}25$ e $2^{-2{,}25} \approx 0{,}21 < 0{,}25$, vero; per $x = 0$ si ottiene $2^0 = 1$, che non è minore di $\frac{1}{4}$.

Con una base minore di 1 il verso si inverte anche qui. Da $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2} < \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$ si passa a $x^2 > 2x$, cioè $x(x - 2) > 0$, che è vera per $x < 0$ oppure $x > 2$.

Le condizioni di esistenza

La potenza $a^t$ esiste per ogni $t$ reale, ma l’esponente $f(x)$ potrebbe non esistere. Prima di tutto si scrivono le condizioni: denominatori diversi da zero, radicandi delle radici di indice pari maggiori o uguali a zero, argomenti dei logaritmi positivi. Alla fine si mettono a sistema con le soluzioni trovate.

Con una radice. $3^{\sqrt{x-1}} \geq 9$.

La condizione di esistenza è $x - 1 \geq 0$, cioè $x \geq 1$. Poi $9 = 3^2$, base maggiore di 1: $\sqrt{x-1} \geq 2$. I due membri sono positivi o nulli, quindi si può elevare al quadrato senza cambiare il verso: $x - 1 \geq 4$, cioè $x \geq 5$. La condizione $x \geq 1$ è già compresa, e la soluzione è $x \geq 5$.

Con una frazione. $2^{1/x} > 4$.

La condizione è $x \neq 0$. Poi $4 = 2^2$, base maggiore di 1: $\frac{1}{x} > 2$. Ecco la trappola: non puoi moltiplicare per $x$, perché non sai se è positivo o negativo. Si porta tutto a primo membro:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x} - 2 > 0 \\ {} \iff \frac{1 - 2x}{x} > 0 \end{gathered}$$

Il numeratore è positivo per $x < \frac{1}{2}$, il denominatore per $x > 0$, e non sono mai negativi insieme: la frazione è positiva per $0 < x < \frac{1}{2}$. Chi moltiplica per $x$ senza pensarci ottiene $x < \frac{1}{2}$ e si porta dietro tutti i numeri negativi, che sono sbagliati: per $x = -1$ si ha $2^{-1} = \frac{1}{2}$, che non supera 4.

Il grafico conferma tutto. Per $x < 0$ la curva $y = 2^{1/x}$ resta tra 0 e 1, quindi non può superare 4. Per $x > 0$ scende da valori enormi verso l’asintoto $y = 1$ e sta sopra la retta $y = 4$ solo prima di $x = \frac{1}{2}$. Nota anche che la curva sta sempre sopra l’asse $x$: è la disequazione sempre vera $2^{1/x} > 0$ del paragrafo precedente.

Quando serve il logaritmo

Se il secondo membro non è una potenza «bella» della base, come in $2^x > 5$, ci pensa il logaritmo. Per definizione $\log_a b$ è l’esponente da dare ad $a$ per ottenere $b$, quindi per $b > 0$ vale $b = a^{\log_a b}$. Ogni numero positivo è una potenza della base, e si torna al caso della stessa base:

Con la calcolatrice il numero si ottiene come $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$.

Esempio 7. $2^x > 5$.

Base maggiore di 1, il verso resta:

$$x > \log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$$

Il risultato è ragionevole: $2^2 = 4$ è ancora minore di 5, mentre $2^3 = 8$ lo supera già.

Esempio 8. $\left(\frac{1}{3}\right)^x < 4$.

Base minore di 1, il verso si inverte: $x > \log_{1/3} 4$. Questo numero è negativo, perché per superare 1 la base $\frac{1}{3}$ va elevata a un esponente negativo. Con il trucco della base maggiore di 1 lo calcoli meglio:

$$\begin{gathered} 3^{-x} < 4 \\ {} \iff -x < \log_3 4 \\ {} \iff x > -\log_3 4 \approx -1{,}26 \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio il verso si inverte perché moltiplichiamo per $-1$, come in ogni disequazione.

Esempio 9. $e^{2x - 1} \leq 3$.

La base $e \approx 2{,}718$ è maggiore di 1 e il logaritmo in base $e$ è $\ln$:

$$2x - 1 \leq \ln 3 \iff x \leq \frac{1 + \ln 3}{2} \approx 1{,}05$$

Basi diverse: attenzione alla divisione nascosta

Quando le basi sono diverse e non si riconducono l’una all’altra, come 2 e 3, si applica il logaritmo naturale a entrambi i membri. È lecito perché i due membri sono positivi e $\ln$ è strettamente crescente: come nel teorema di prima, per $A, B > 0$ vale $A > B \iff \ln A > \ln B$, quindi il verso non cambia. Poi la proprietà $\ln\left(a^k\right) = k \ln a$ trasforma tutto in una disequazione di primo grado.

Esempio 10. $2^{x+1} > 3^x$.

$$\begin{gathered} (x + 1)\ln 2 > x \ln 3 \\ {} \iff \ln 2 > x\,(\ln 3 - \ln 2) \end{gathered}$$

Ora si divide per $\ln 3 - \ln 2$, che è positivo perché $3 > 2$: il verso resta.

$$x < \frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 2} \approx 1{,}71$$

Esempio 11: la trappola. $2^x > 3^{x-1}$.

$$\begin{gathered} x \ln 2 > (x - 1)\ln 3 \\ {} \iff x \ln 2 - x \ln 3 > -\ln 3 \\ {} \iff x\,(\ln 2 - \ln 3) > -\ln 3 \end{gathered}$$

Qui si divide per $\ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{2}{3} \approx -0{,}405$, che è negativo: il verso si inverte.

$$\begin{gathered} x < \frac{-\ln 3}{\ln 2 - \ln 3} \\ {} = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} \approx 2{,}71 \end{gathered}$$

Controlliamo con qualche valore:

$x$	$2^x$	$3^{x-1}$
$0$	$1$	$0{,}33$
$2$	$4$	$3$
$2{,}70$	$6{,}498$	$6{,}473$
$2{,}72$	$6{,}589$	$6{,}617$
$3$	$8$	$9$

Fino a $2{,}70$ il primo membro è più grande, da $2{,}72$ in poi è più piccolo: il confine sta tra i due, a circa $2{,}7095$. Chi dimentica di invertire il verso scrive $x > 2{,}71$, cioè proprio l’insieme opposto a quello giusto.

C’è anche una seconda strada. Dividi entrambi i membri per $3^x$, che è positivo e quindi non cambia il verso:

$$\begin{gathered} \frac{2^x}{3^x} > \frac{3^{x-1}}{3^x} \\ {} \iff \left(\frac{2}{3}\right)^x > \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ora la base è $\frac{2}{3} < 1$ e il verso si inverte:

$$x < \log_{2/3} \frac{1}{3} = \frac{\ln(1/3)}{\ln(2/3)}$$

Facendo il conto con i logaritmi naturali, si divide per $\ln \frac{2}{3} < 0$: è la stessa inversione di prima, nascosta nella regola della base. Il numero è lo stesso, circa 2,71. Due strade, un unico risultato: è un ottimo controllo.

Il grafico mostra il perché. Le due curve si incontrano in un solo punto, $x_0 \approx 2{,}71$: a sinistra sta sopra $2^x$, a destra $3^{x-1}$, che ha la base più grande e alla lunga cresce più in fretta.

La lettura grafica

Ogni disequazione $F(x) > G(x)$ ha una lettura grafica: le soluzioni sono le $x$ in cui il grafico di $F$ sta sopra quello di $G$ (sotto, per il $<$). Per $a^x > b$ il secondo grafico è la retta orizzontale $y = b$:

• con $b > 0$ la retta taglia la curva esponenziale in un solo punto, di ascissa $\log_a b$. Se $a > 1$ la curva sta sopra la retta a destra di quel punto, se $0 < a < 1$ a sinistra: è la regola del verso, vista sul disegno;
• con $b \leq 0$ la retta sta sull’asse $x$ o sotto, e la curva, che sta sempre sopra l’asse, non la incontra mai: ecco perché $a^x > b$ è sempre vera e $a^x < b$ è impossibile.

Il metodo grafico diventa indispensabile quando l’incognita compare sia all’esponente sia fuori, come in $2^x > 3 - x$. Lo vediamo nelle disequazioni esponenziali fratte e grafiche.

Tabella riassuntiva

Disequazione	$a > 1$	$0 < a < 1$
$a^{f} > a^{g}$	$f > g$	$f < g$
$a^{f} < a^{g}$	$f < g$	$f > g$
$a^{f} > b$, $b > 0$	$f > \log_a b$	$f < \log_a b$
$a^{f} < b$, $b > 0$	$f < \log_a b$	$f > \log_a b$
$a^{f} > b$, $b \leq 0$	sempre vera	sempre vera
$a^{f} < b$, $b \leq 0$	impossibile	impossibile

Qui $f$ e $g$ stanno per $f(x)$ e $g(x)$. Le stesse regole valgono con $\geq$ e $\leq$, e ogni soluzione va messa a sistema con le condizioni di esistenza di $f$ e $g$.

Gli errori più comuni

• Dimenticare di invertire il verso con una base tra 0 e 1. Occhio alle basi travestite: $0{,}5$, $0{,}25$, $\frac{2}{3}$, $e^{-1}$ e perfino $\frac{\pi}{4}$ sono tutte minori di 1.
• Invertire due volte. Se riscrivi $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ come $2^{-x}$, la base è diventata 2 e il verso non va più invertito per la base. Usa un metodo o l’altro, non tutti e due.
• Confrontare gli esponenti con basi diverse. $2^x > 3^{x-1}$ non diventa $x > x - 1$: servono i logaritmi.
• Dividere per un logaritmo negativo senza invertire. $\ln a < 0$ quando $0 < a < 1$, quindi $\ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{2}{3}$ è negativo.
• Prendere il logaritmo di un numero negativo. Da $2^x > -3$ non si scrive $x > \log_2(-3)$, che non esiste: la disequazione è semplicemente sempre vera.
• Confrontare gli esponenti quando ci sono somme. In $5^{x+1} - 5^x > 100$ prima si raccoglie. E ricorda che $3^x + 3^x = 2 \cdot 3^x$, non $3^{2x}$.
• Moltiplicare per un’incognita di segno sconosciuto. Da $\frac{1}{x} > 2$ non segue $x < \frac{1}{2}$: si porta tutto a primo membro e si studia il segno della frazione.
• Dimenticare le condizioni di esistenza di frazioni e radici all’esponente, o dare come risultato un numero invece di un intervallo.

Esercizi svolti

1. Una base decimale

Testo. Risolvi $(0{,}2)^{x+1} > 25$.

La base è $0{,}2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, minore di 1. Scriviamo anche 25 come potenza di $\frac{1}{5}$: $25 = 5^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} > \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$$

La base è minore di 1, quindi il verso si inverte: $x + 1 < -2$, cioè $x < -3$.

Controllo con la base 5: $(0{,}2)^{x+1} = 5^{-x-1}$, quindi $5^{-x-1} > 5^2$, cioè $-x - 1 > 2$, cioè $-x > 3$, e moltiplicando per $-1$ si ritrova $x < -3$. Prova numerica: per $x = -4$ il primo membro vale $(0{,}2)^{-3} = 5^3 = 125 > 25$, vero; per $x = -2$ vale $(0{,}2)^{-1} = 5$, falso.

La soluzione è $x < -3$, cioè l’intervallo $(-\infty,\ -3)$.

2. Radici ed esponenti frazionari

Testo. Risolvi $9^x \cdot \sqrt{3} < \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

La base comune è 3: $9^x = 3^{2x}$, $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ e $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = 3^{-1/3}$. Moltiplicando potenze con la stessa base gli esponenti si sommano:

$$\begin{gathered} 3^{2x} \cdot 3^{1/2} < 3^{-1/3} \\ {} \iff 3^{2x + 1/2} < 3^{-1/3} \end{gathered}$$

La base è maggiore di 1, il verso resta:

$$\begin{gathered} 2x + \frac{1}{2} < -\frac{1}{3} \\ {} \iff 2x < -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{6} \\ {} \iff x < -\frac{5}{12} \end{gathered}$$

Controllo sull’estremo: per $x = -\frac{5}{12}$ l’esponente $2x + \frac{1}{2}$ vale $-\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{1}{3}$, e i due membri sono uguali, come deve essere. La soluzione è $x < -\frac{5}{12}$.

3. Esponente di secondo grado e base minore di 1

Testo. Risolvi $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 4} \geq \left(\frac{1}{2}\right)^{3x}$.

La base è la stessa e vale $\frac{1}{2} < 1$: confrontando gli esponenti il verso si inverte.

$$\begin{gathered} x^2 - 4 \leq 3x \\ {} \iff x^2 - 3x - 4 \leq 0 \end{gathered}$$

L’equazione associata ha $\Delta = 9 + 16 = 25$ e radici $x = \frac{3 \pm 5}{2}$, cioè $x = -1$ e $x = 4$. La parabola ha la concavità verso l’alto, quindi è negativa o nulla tra le radici, estremi compresi: $-1 \leq x \leq 4$.

Prova: per $x = 0$ si ha $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 16 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$, vero; per $x = 5$ si confrontano $\left(\frac{1}{2}\right)^{21}$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^{15}$, e il primo è più piccolo, quindi la disuguaglianza è falsa. La soluzione è l’intervallo chiuso $[-1,\ 4]$.

4. Basi diverse e divisione per un numero negativo

Testo. Risolvi $3^x \geq 2^{2x-1}$, dando l’estremo esatto e approssimato.

Le basi 3 e 2 sono diverse: applichiamo il logaritmo naturale, che non cambia il verso.

$$\begin{gathered} x \ln 3 \geq (2x - 1)\ln 2 \\ {} \iff x \ln 3 - 2x \ln 2 \geq -\ln 2 \\ {} \iff x\,(\ln 3 - 2\ln 2) \geq -\ln 2 \end{gathered}$$

Il coefficiente è $\ln 3 - 2\ln 2 = \ln 3 - \ln 4 = \ln \frac{3}{4} \approx -0{,}288$: è negativo, quindi dividendo il verso si inverte.

$$\begin{gathered} x \leq \frac{-\ln 2}{\ln 3 - \ln 4} \\ {} = \frac{\ln 2}{\ln 4 - \ln 3} \approx 2{,}41 \end{gathered}$$

Controllo con la seconda strada: $2^{2x-1} = \frac{4^x}{2}$, e dividendo per $4^x > 0$ si ottiene $\left(\frac{3}{4}\right)^x \geq \frac{1}{2}$. La base è minore di 1, quindi il verso si inverte:

$$x \leq \log_{3/4} \frac{1}{2} = \frac{\ln 2}{\ln 4 - \ln 3}$$

È lo stesso numero. Prova numerica: per $x = 2$ si ha $9 \geq 8$, vero; per $x = 3$ si ha $27 \geq 32$, falso.

La soluzione è $x \leq \dfrac{\ln 2}{\ln 4 - \ln 3} \approx 2{,}41$.

5. Una frazione all’esponente

Testo. Risolvi $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x+1}{x-2}} \geq 9$.

Condizione di esistenza: $x \neq 2$. Poi $9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ e la base è minore di 1, quindi il verso si inverte:

$$\frac{x+1}{x-2} \leq -2$$

Non si moltiplica per $x - 2$, di cui non conosciamo il segno. Si porta tutto a primo membro:

$$\begin{gathered} \frac{x+1}{x-2} + 2 \leq 0 \\ {} \iff \frac{x + 1 + 2x - 4}{x - 2} \leq 0 \\ {} \iff \frac{3x - 3}{x - 2} \leq 0 \end{gathered}$$

Il numeratore $3x - 3$ è positivo per $x > 1$, il denominatore $x - 2$ per $x > 2$:

Intervallo	Num., den.	Frazione
$x < 1$	$-$, $-$	$+$
$1 < x < 2$	$+$, $-$	$-$
$x > 2$	$+$, $+$	$+$

La frazione è negativa tra 1 e 2 ed è nulla in $x = 1$, che quindi si include; $x = 2$ resta escluso. Prova: per $x = 1{,}5$ l’esponente vale $\frac{2{,}5}{-0{,}5} = -5$ e $\left(\frac{1}{3}\right)^{-5} = 243 \geq 9$, vero; per $x = 0$ l’esponente vale $-\frac{1}{2}$ e $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$, falso.

La soluzione è $1 \leq x < 2$, cioè l’intervallo $[1,\ 2)$.

6. Il dominio di una funzione

Testo. Determina il dominio della funzione

$$f(x) = \sqrt{3^{x^2} - 9^x} + \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{x}}}$$

Servono i due radicandi positivi o nulli e $x \neq 0$, perché c’è $\frac{1}{x}$:

$$\begin{cases} 3^{x^2} - 9^x \geq 0 \\ 4 - 2^{1/x} \geq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$$

Prima disequazione. Con $9^x = 3^{2x}$ e la base 3 maggiore di 1:

$$\begin{gathered} 3^{x^2} \geq 3^{2x} \iff x^2 \geq 2x \\ {} \iff x\,(x - 2) \geq 0 \end{gathered}$$

cioè $x \leq 0$ oppure $x \geq 2$.

Seconda disequazione. $2^{1/x} \leq 4 = 2^2$, base maggiore di 1:

$$\frac{1}{x} \leq 2 \iff \frac{1 - 2x}{x} \leq 0$$

Il numeratore è positivo o nullo per $x \leq \frac{1}{2}$, il denominatore è positivo per $x > 0$. La frazione è negativa per $x < 0$ (numeratore positivo, denominatore negativo) e per $x > \frac{1}{2}$, ed è nulla in $x = \frac{1}{2}$. Quindi $x < 0$ oppure $x \geq \frac{1}{2}$.

Sistema. Le soluzioni negative vanno bene per entrambe; lo zero è escluso dalla seconda. Tra i numeri positivi la prima chiede $x \geq 2$, e questi soddisfano anche la seconda.

$$D = (-\infty,\ 0) \cup [2,\ +\infty)$$

Prova: in $x = 2$ il primo radicando vale $81 - 81 = 0$ e il secondo $4 - \sqrt{2} > 0$, quindi 2 appartiene al dominio; in $x = 1$ il primo radicando vale $3 - 9 < 0$, quindi 1 è escluso. Il dominio è formato da tutti i numeri negativi e da quelli maggiori o uguali a 2.

Altri esercizi, anche con la sostituzione e con il valore assoluto, li trovi negli esercizi svolti sulle disequazioni esponenziali.

In sintesi

• Base maggiore di 1: il verso resta. Base tra 0 e 1: il verso si inverte. La regola nasce dalla monotonia stretta di $a^x$.
• $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ se $a > 1$, $\iff f(x) < g(x)$ se $0 < a < 1$: è un’equivalenza, nessuna soluzione persa o aggiunta.
• $a^{f(x)} > b$ con $b \leq 0$ è sempre vera dove $f$ esiste; $a^{f(x)} < b$ con $b \leq 0$ è impossibile.
• Si riporta tutto alla stessa base, per esempio $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $0{,}25 = 2^{-2}$; se ci sono somme, prima si raccoglie.
• Con $b > 0$: $a^{f(x)} > b \iff f(x) > \log_a b$ se $a > 1$, $f(x) < \log_a b$ se $0 < a < 1$.
• Basi diverse: si applica $\ln$ ai due membri; dividendo per un coefficiente negativo, come $\ln 2 - \ln 3$, il verso si inverte.
• Le condizioni di esistenza degli esponenti vanno a sistema, e non si moltiplica mai per un’incognita di segno sconosciuto.

Molte disequazioni d’esame richiedono la sostituzione $t = a^x$, con una condizione in più da ricordare: lo vediamo in disequazioni esponenziali con sostituzione.