Disequazioni logaritmiche con le proprietà: metodo, condizioni a sistema ed esercizi

Una disequazione logaritmica «con le proprietà» è una disequazione con più logaritmi, sommati, sottratti o moltiplicati per un numero, come $\log_2 x + \log_2(x - 2) < 3$. Per risolverla si compattano i logaritmi con le proprietà dei logaritmi fino ad averne uno per membro, poi si confrontano gli argomenti con la regola del verso delle disequazioni logaritmiche di base. È il tipo più frequente negli esercizi di Analisi 1 e nei domini con i logaritmi. La trappola è la stessa delle equazioni logaritmiche con le proprietà, ma qui pesa di più: compattare allarga il dominio, e in una disequazione non si aggiunge un numero da scartare, si aggiunge un intero intervallo di soluzioni false. In questa pagina vediamo un esempio che mostra la trappola con un grafico, il teorema che dice cosa va intersecato, perché le condizioni vanno messe a sistema e non «controllate alla fine», il metodo completo con la tabella delle mosse, esempi svolti con somme e differenze, numeri scritti come logaritmi, coefficienti, base minore di 1, basi diverse, il caso di $\ln\left(x^2\right)$ e un parametro, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Come in tutto il sito, $\ln$ è il logaritmo naturale, in base $e$.

Un esempio che spiega tutto

$$\log_2 x + \log_2(x - 2) < 3$$

Condizioni di esistenza (C.E.). Devono esistere entrambi i logaritmi: $x > 0$ e $x - 2 > 0$. Insieme: $x > 2$.

Compattiamo. La somma di due logaritmi con la stessa base è il logaritmo del prodotto, e il numero 3 si scrive $\log_2 8$:

$$\log_2[x(x - 2)] < \log_2 8$$

Confrontiamo gli argomenti. La base è maggiore di 1, quindi il verso resta:

$$\begin{gathered} x(x - 2) < 8 \\ {} \iff x^2 - 2x - 8 < 0 \\ {} \iff -2 < x < 4 \end{gathered}$$

Intersechiamo con le C.E., $x > 2$: la soluzione è $2 < x < 4$.

Ecco la trappola. L’intervallo $-2 < x < 4$ contiene anche i numeri tra $-2$ e $0$, come $x = -1$: lì $(-1) \cdot (-3) = 3 < 8$, quindi la disequazione compattata è vera, ma nella disequazione di partenza $\log_2(-1)$ non esiste. Se avessimo scritto le condizioni dopo aver compattato, cioè $x(x - 2) > 0$, avremmo trovato $x < 0$ oppure $x > 2$, e avremmo accettato tutto l’intervallo $-2 < x < 0$.

Il grafico mostra il motivo: compattare allarga il dominio. La funzione compattata ha un ramo in più, a sinistra dello zero, che non appartiene alla disequazione originale: dove quel ramo sta sotto la retta $y = 3$ nasce un intervallo falso. Lo avevamo già visto negli errori più comuni con i logaritmi: il dominio si calcola sulla funzione così come è scritta.

Perché l’ordine conta

Le proprietà dei logaritmi sono uguaglianze vere, ma solo sotto le loro ipotesi. La regola del prodotto, $\ln A + \ln B = \ln(AB)$, vale se $A > 0$ e $B > 0$; ma $\ln A + \ln B$ esiste solo quando $A$ e $B$ sono entrambi positivi, mentre $\ln(AB)$ esiste anche quando sono entrambi negativi. È il ramo in più del grafico: nell’esempio $A = x$ e $B = x - 2$ sono entrambi negativi per $x < 0$. Con la differenza succede lo stesso, perché anche $\frac{A}{B}$ è positivo quando $A$ e $B$ sono negativi, e con un coefficiente pari: $2\ln A$ esiste per $A > 0$, $\ln A^2$ per ogni $A \neq 0$.

Teorema. Chiama $D$ l’insieme dei valori di $x$ per cui esistono tutti i logaritmi della disequazione di partenza, cioè le sue C.E. Compatta con le proprietà fino alla forma $\log_a F(x) < \log_a G(x)$ e poi confronta gli argomenti: ottieni una disequazione algebrica, $F(x) < G(x)$ se $a > 1$, $F(x) > G(x)$ se $0 < a < 1$. Allora le soluzioni della disequazione di partenza sono esattamente le soluzioni della disequazione algebrica che appartengono a $D$. Lo stesso vale con $\leq$, $>$ e $\geq$.

Perché è vero. Per ogni $x$ in $D$ tutti gli argomenti di partenza sono positivi, quindi le proprietà valgono e $F(x)$ e $G(x)$, prodotti, quozienti e potenze di numeri positivi, sono positivi: i due membri della disequazione di partenza valgono $\log_a F(x)$ e $\log_a G(x)$. Siccome il logaritmo in base $a > 1$ è strettamente crescente, tra due numeri positivi vale $\log_a F < \log_a G$ se e solo se $F < G$; con $0 < a < 1$ è strettamente decrescente, e vale se e solo se $F > G$. Quindi, dentro $D$, la disequazione di partenza e quella algebrica sono vere per gli stessi numeri. Fuori da $D$ la disequazione di partenza non ha senso, mentre quella algebrica può essere vera: sono gli intervalli falsi.

Il teorema copre anche i coefficienti: scrivere $2\ln x$ come $\ln x^2$ è lecito perché in $D$ la $x$ è positiva, ed è lì che lavoriamo. Lo stesso vale con una base minore di 1, $2\log_{1/2} x = \log_{1/2} x^2$ per $x > 0$: la base conta solo al momento del confronto, dove inverte il verso. Attenzione invece a dividere per un coefficiente: per un numero positivo, come $\frac{3}{2}$ o $\ln 2$, il verso resta; per un numero negativo, come $\ln \frac{1}{2}$, si inverte.

Implicazione o equivalenza

In linguaggio logico, compattare e confrontare gli argomenti è un’implicazione:

$$\begin{gathered} \log_2 x + \log_2(x - 2) < 3 \\ \Downarrow \\ x(x - 2) < 8 \end{gathered}$$

La freccia non si inverte: $x = -1$ rende vera la seconda riga ma non la prima. Nelle equazioni è un fastidio piccolo, perché i candidati sono pochi numeri e si provano uno per uno nel testo. Nelle disequazioni non si può: le soluzioni sono intervalli, cioè infiniti numeri, e nessuna «verifica» a campione li controlla tutti. Provare un numero dentro $-2 < x < 0$ ti direbbe che quell’intervallo è falso, ma solo se ti viene in mente di provarlo; e provare gli estremi non distingue nulla, perché $-2$ e $0$ non rispettano le C.E., ma nemmeno $2$, estremo dell’intervallo giusto. L’unico metodo corretto è tenere le condizioni accanto alla disequazione, come sistema, in modo da avere un’equivalenza:

$$\begin{gathered} \log_2 x + \log_2(x - 2) < 3 \\ \Updownarrow \\ \begin{cases} x(x - 2) < 8 \\ x > 2 \end{cases} \end{gathered}$$

Risolvere il sistema significa intersecare: $-2 < x < 4$ e $x > 2$ danno $2 < x < 4$. Conviene disegnare sempre lo schema sulla retta dei numeri, soprattutto quando le C.E. sono più di una o la soluzione algebrica è fatta di più intervalli.

Il metodo completo

1. Condizioni di esistenza sulla disequazione di partenza: argomenti positivi, basi con la $x$ positive e diverse da 1, come in dominio e segno delle funzioni logaritmiche.
2. Stessa base: se ci sono basi diverse, si usa il cambiamento di base.
3. Coefficienti dentro: $k \log_a f(x) = \log_a f(x)^k$.
4. Numeri come logaritmi: un numero $c$ si scrive $c = \log_a a^c$.
5. Compatta ogni membro in un unico logaritmo. Un trucco: prima sposta i termini con il segno meno dall’altra parte, così ottieni prodotti invece di frazioni.
6. Confronta gli argomenti con la regola del verso: base maggiore di 1, il verso resta; base tra 0 e 1, si inverte. Risolvi la disequazione algebrica.
7. Interseca con le C.E. del punto 1, con lo schema sulla retta dei numeri, e scrivi la soluzione con gli intervalli.

Ogni situazione ha la sua mossa, e ogni mossa la sua trappola:

Situazione	Mossa	Attenzione a
$\log_a f + \log_a g$	$\log_a(fg)$	dominio più grande
$\log_a f - \log_a g$	sposta il termine	$\frac{f}{g}$ è una disequazione fratta
$k \log_a f$	$\log_a f^k$	$k$ pari: dominio più grande
un numero $c$	$\log_a a^c$	non è $\log_a c$
$0 < a < 1$	inverti il verso	solo al confronto
basi $a$ e $a^k$	$\log_{a^k} f = \frac{1}{k}\log_a f$	$\frac{1}{k}$, non $k$
basi $a$ e $\frac{1}{a}$	$\log_{1/a} f = -\log_a f$	il segno
basi scollegate	passa a $\ln$	dividi solo per numeri positivi
$\ln\left(f^2\right)$	lascia il quadrato dentro	$2\ln f$ perde intervalli

Esempi svolti

Somme e differenze

Esempio 1: una somma con un trinomio. $\log_3(x + 2) + \log_3(x - 6) < 2$.

C.E.: $x > -2$ e $x > 6$, cioè $x > 6$. Compattiamo e scriviamo $2 = \log_3 9$:

$$\begin{gathered} \log_3[(x + 2)(x - 6)] < \log_3 9 \\ {} \iff x^2 - 4x - 12 < 9 \\ {} \iff x^2 - 4x - 21 < 0 \end{gathered}$$

Le radici del trinomio sono $-3$ e $7$, e il trinomio è negativo per i valori interni: $-3 < x < 7$. Intersecando con $x > 6$: la soluzione è $6 < x < 7$. Chi scrive le C.E. sulla forma compattata, $(x + 2)(x - 6) > 0$, cioè $x < -2$ oppure $x > 6$, trova in più l’intervallo falso $-3 < x < -2$.

Esempio 2: una differenza e la frazione. $\ln(x + 1) - \ln(x - 1) \geq \ln 3$.

C.E.: $x > -1$ e $x > 1$, cioè $x > 1$. Spostando il termine con il meno a destra si evitano le frazioni:

$$\begin{gathered} \ln(x + 1) \geq \ln[3(x - 1)] \\ {} \iff x + 1 \geq 3x - 3 \\ {} \iff x \leq 2 \end{gathered}$$

Con le C.E.: $1 < x \leq 2$.

Spostare il termine è più di una comodità. Compattando a sinistra e confrontando gli argomenti avremmo ottenuto $\frac{x + 1}{x - 1} \geq 3$: una disequazione fratta, che non si «moltiplica in croce» senza conoscere il segno del denominatore. Il modo sicuro è portare tutto a sinistra e studiare il segno:

$$\begin{gathered} \frac{x + 1}{x - 1} - 3 \geq 0 \\ {} \iff \frac{4 - 2x}{x - 1} \geq 0 \end{gathered}$$

Il numeratore è positivo o nullo per $x \leq 2$, il denominatore è positivo per $x > 1$: la frazione è positiva o nulla per $1 < x \leq 2$, lo stesso risultato. Qui le C.E. garantivano già $x - 1 > 0$ e moltiplicare per $x - 1$ sarebbe stato lecito, ma è un controllo in più; con un denominatore di segno variabile lo studio del segno è obbligatorio, come nelle disequazioni logaritmiche fratte.

Sempre vere e impossibili

Dopo aver compattato può restare una disequazione algebrica vera per ogni $x$, o falsa per ogni $x$: non è un errore, è un risultato.

Esempio 3: sempre vera nel dominio. $\log_2\left(x^2 + 4\right) - \log_2 x \geq 2$.

C.E.: $x^2 + 4 > 0$ è sempre vera, quindi resta $x > 0$. Spostiamo il termine con il meno e scriviamo $2 = \log_2 4$:

$$\begin{gathered} \log_2\left(x^2 + 4\right) \geq \log_2(4x) \\ {} \iff x^2 - 4x + 4 \geq 0 \\ {} \iff (x - 2)^2 \geq 0 \end{gathered}$$

Un quadrato non è mai negativo: la disequazione algebrica è vera per ogni $x$ reale. La soluzione però non è «ogni $x$»: è l’intersezione con le C.E., cioè $x > 0$. Per $x = -1$ la disequazione di partenza non ha nemmeno senso.

Esempio 4: impossibile. $\ln(x + 2) + \ln(x - 2) \leq \ln(2x - 5)$.

C.E.: $x > -2$, $x > 2$ e $x > \frac{5}{2}$, cioè $x > \frac{5}{2}$. Compattando a sinistra e confrontando gli argomenti:

$$\begin{gathered} x^2 - 4 \leq 2x - 5 \\ {} \iff x^2 - 2x + 1 \leq 0 \\ {} \iff (x - 1)^2 \leq 0 \end{gathered}$$

Un quadrato è minore o uguale a zero solo quando vale zero: l’unica soluzione algebrica è $x = 1$, che non rispetta $x > \frac{5}{2}$. La disequazione è impossibile: nel dominio la differenza tra gli argomenti, $(x - 1)^2$, è sempre positiva, quindi il primo membro è sempre più grande del secondo.

Numeri da scrivere come logaritmi

Finché in un membro c’è un numero da solo, non si possono confrontare gli argomenti. Lo si trasforma in un logaritmo con la stessa base usando la definizione di logaritmo, $c = \log_a a^c$: per esempio $1 = \log_2 2$, $2 = \log_3 9$, $-1 = \log_{1/2} 2$ e $1 = \ln e$.

Esempio 5. $\log_2(x - 1) + 1 > \log_2(x + 5)$.

C.E.: $x > 1$ e $x > -5$, cioè $x > 1$. Scriviamo $1 = \log_2 2$ e compattiamo:

$$\begin{gathered} \log_2[2(x - 1)] > \log_2(x + 5) \\ {} \iff 2x - 2 > x + 5 \\ {} \iff x > 7 \end{gathered}$$

L’intervallo $x > 7$ è già dentro le C.E.: la soluzione è $x > 7$. L’errore classico è confrontare subito gli argomenti scrivendo $x - 1 + 1 > x + 5$, falsa per ogni $x$: il numero 1 non è un argomento, è un logaritmo «nascosto».

Coefficienti davanti al logaritmo

Esempio 6. $2\log_3(x - 1) \leq \log_3(x + 5)$.

C.E.: $x > 1$ e $x > -5$, cioè $x > 1$. Il coefficiente 2 entra come esponente:

$$\begin{gathered} \log_3\left[(x - 1)^2\right] \leq \log_3(x + 5) \\ {} \iff x^2 - 2x + 1 \leq x + 5 \\ {} \iff x^2 - 3x - 4 \leq 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $-1$ e $4$: valori interni, $-1 \leq x \leq 4$. Con le C.E.: $1 < x \leq 4$. Il pezzo $-1 \leq x \leq 1$ è un intervallo falso, nato quando il 2 è entrato come esponente: $2\log_3(x - 1)$ esiste solo per $x > 1$, mentre $\log_3\left[(x - 1)^2\right]$ esiste per ogni $x \neq 1$. È lo stesso fenomeno della somma, e si cura con le C.E. scritte prima. Verifica dell’estremo: per $x = 4$ i due membri valgono entrambi $\log_3 9 = 2$.

Con una base minore di 1

Si compatta allo stesso modo; l’unica differenza è al confronto, dove il verso si inverte, perché il logaritmo con base tra 0 e 1 è decrescente.

Esempio 7. $2\log_{1/2} x < \log_{1/2}(x + 2)$.

C.E.: $x > 0$. Il coefficiente entra come esponente, poi la base minore di 1 inverte il verso:

$$\begin{gathered} \log_{1/2} x^2 < \log_{1/2}(x + 2) \\ {} \iff x^2 > x + 2 \\ {} \iff x < -1 \ \text{oppure} \ x > 2 \end{gathered}$$

Con le C.E., $x > 0$: la soluzione è $x > 2$. Se il verso ti confonde, passa prima in base 2 con $\log_{1/2} f = -\log_2 f$: la disequazione diventa $-2\log_2 x < -\log_2(x + 2)$, cioè $2\log_2 x > \log_2(x + 2)$, che porta allo stesso $x^2 > x + 2$.

Quando le basi sono diverse

Le proprietà del prodotto e del quoziente valgono solo tra logaritmi con la stessa base: $\log_2 x + \log_4 x$ non si compatta così com’è. Si porta tutto a una base comune con le tre regole del cambiamento di base, valide per $f > 0$, $a > 0$ con $a \neq 1$ e $k \neq 0$:

$$\begin{gathered} \log_{a^k} f = \frac{1}{k} \log_a f \\ \log_{1/a} f = -\log_a f \\ \log_a f = \frac{\ln f}{\ln a} \end{gathered}$$

Esempio 8: basi potenze dello stesso numero. $\log_2 x + \log_4 x > 3$.

C.E.: $x > 0$. Siccome $4 = 2^2$, si ha $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$:

$$\begin{gathered} \frac{3}{2}\log_2 x > 3 \\ {} \iff \log_2 x > 2 \\ {} \iff x > 4 \end{gathered}$$

Già compresa nelle C.E.: la soluzione è $x > 4$. Dividere per $\frac{3}{2}$ non cambia il verso perché è un numero positivo; dividendo per un numero negativo, come $\ln\frac{1}{2}$, si invertirebbe. È la stessa trappola delle disequazioni esponenziali con basi diverse.

Esempio 9: base reciproca. $\log_3 x - \log_{1/3}(x - 2) \leq 1$.

C.E.: $x > 2$. Con $\log_{1/3}(x - 2) = -\log_3(x - 2)$ il meno davanti diventa un più, e $1 = \log_3 3$:

$$\begin{gathered} \log_3 x + \log_3(x - 2) \leq 1 \\ {} \iff \log_3[x(x - 2)] \leq \log_3 3 \\ {} \iff x^2 - 2x - 3 \leq 0 \end{gathered}$$

cioè $-1 \leq x \leq 3$. Con le C.E.: $2 < x \leq 3$. Verifica dell’estremo: per $x = 3$ si ha $\log_3 3 - \log_{1/3} 1 = 1$.

Esempio 10: basi scollegate. $\log_2 x > \log_3 x$.

C.E.: $x > 0$. Le basi 2 e 3 non sono potenze dello stesso numero: passiamo a $\ln$ e raccogliamo $\ln x$:

$$\begin{gathered} \frac{\ln x}{\ln 2} > \frac{\ln x}{\ln 3} \\ {} \iff \ln x \left(\frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3}\right) > 0 \end{gathered}$$

La parentesi è un numero: siccome $0 < \ln 2 < \ln 3$, si ha $\frac{1}{\ln 2} > \frac{1}{\ln 3}$, quindi la parentesi è positiva (vale circa $0{,}53$) e dividendo il verso resta: $\ln x > 0$, cioè $x > 1$. Ha senso: per $x > 1$ i due logaritmi sono positivi e quello con la base più piccola è più grande. Con la base $\frac{1}{2}$ al posto di 2, il coefficiente di $\ln x$ sarebbe stato $-\frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3}$, negativo, e dividendo il verso si sarebbe invertito.

Il caso di ln(x²)

Con gli esponenti pari dentro il logaritmo la trappola è al contrario: non si aggiungono intervalli, se ne perdono. La formula giusta, valida su tutto il dominio, usa il valore assoluto:

$$\begin{gathered} \ln\left(x^2\right) = 2\ln\lvert x \rvert \\ \text{per ogni } x \neq 0 \end{gathered}$$

Esempio 11. $\ln\left(x^2\right) < 2\ln 3$.

C.E.: $x^2 > 0$, cioè $x \neq 0$. La strada più sicura è non toccare il quadrato: portiamo il 2 dentro a destra, $2\ln 3 = \ln 9$, e confrontiamo gli argomenti:

$$\begin{gathered} \ln\left(x^2\right) < \ln 9 \\ {} \iff x^2 < 9 \\ {} \iff -3 < x < 3 \end{gathered}$$

Con le C.E.: $-3 < x < 3$ con $x \neq 0$, cioè $-3 < x < 0$ oppure $0 < x < 3$.

Chi scrive $\ln\left(x^2\right) = 2\ln x$ ottiene $\ln x < \ln 3$, cioè $0 < x < 3$, e perde tutto l’intervallo negativo: ha studiato solo il ramo destro del grafico. Con il valore assoluto si arriva al risultato giusto, $\lvert x \rvert < 3$ con $x \neq 0$. Quando puoi scegliere, porta i coefficienti dentro invece di tirare fuori gli esponenti: il dominio può solo allargarsi, e gli intervalli in più li elimini con le C.E.

Una disequazione con parametro

Esempio 12. Al variare del numero reale $k$, risolvi $\log_3(x + k) - \log_3 x \geq 1$.

C.E.: $x > 0$ e $x > -k$. Spostiamo il termine con il meno e scriviamo $1 = \log_3 3$:

$$\begin{gathered} \log_3(x + k) \geq \log_3(3x) \\ {} \iff x + k \geq 3x \\ {} \iff x \leq \frac{k}{2} \end{gathered}$$

Ora l’intersezione con le C.E., fatta con le lettere.

• Se $k > 0$, la condizione $x > -k$ è automatica per $x > 0$, e le C.E. sono $x > 0$. La soluzione è $0 < x \leq \frac{k}{2}$: per esempio con $k = 3$ è $0 < x \leq \frac{3}{2}$.
• Se $k = 0$ la disequazione diventa $0 \geq 1$: impossibile. Lo dice anche la formula, perché $x \leq 0$ e $x > 0$ non vanno d’accordo.
• Se $k < 0$, le C.E. sono $x > -k$, positivo, mentre la soluzione algebrica chiede $x \leq \frac{k}{2}$, negativo: impossibile.

Quindi la disequazione ha soluzioni se e solo se $k > 0$. Ha senso: il primo membro è $\log_3\frac{x + k}{x}$, e con $k \leq 0$ la frazione non supera 1, quindi il logaritmo non è mai positivo.

Gli errori più comuni

• Scrivere le condizioni di esistenza dopo aver compattato. La forma compattata ha un dominio più grande e fa entrare interi intervalli falsi, come $-2 < x < 0$ nell’esempio iniziale.
• Controllare le C.E. solo sugli estremi o su un numero a caso. Le soluzioni sono infinite: le C.E. vanno messe a sistema e intersecate, con lo schema sulla retta dei numeri.
• Moltiplicare in croce una disequazione fratta senza sapere se il denominatore è positivo. Si porta tutto a sinistra e si studia il segno, oppure si sposta il termine con il meno prima di compattare.
• Dimenticare di invertire il verso con una base tra 0 e 1, o dividendo per un numero negativo come $\ln\frac{1}{2}$.
• Tirare fuori un esponente pari senza valore assoluto. $\ln\left(x^2\right)$ è $2\ln\lvert x \rvert$, non $2\ln x$: si perde tutto il ramo negativo, e nessuna intersezione te lo restituisce.
• Confrontare gli argomenti con un numero ancora in giro. Da $\log_2 f + 1 > \log_2 g$ non segue $f + 1 > g$: prima si scrive $1 = \log_2 2$.
• Compattare logaritmi con basi diverse. $\log_2 f + \log_4 g$ non è $\log_2(fg)$: prima si usa $\log_4 g = \frac{1}{2}\log_2 g$.
• Scrivere «sempre vera» senza guardare il dominio. $(x - 2)^2 \geq 0$ è vera per ogni $x$, ma la disequazione dell’esempio 3 è vera solo per $x > 0$.

Esercizi svolti

1. Una somma di logaritmi

Testo. Risolvi $\log_4 x + \log_4(x + 6) \leq 2$.

C.E.: $x > 0$ e $x > -6$, cioè $x > 0$. Compattiamo e scriviamo $2 = \log_4 16$; la base è maggiore di 1, il verso resta:

$$\begin{gathered} \log_4[x(x + 6)] \leq \log_4 16 \\ {} \iff x^2 + 6x - 16 \leq 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $-8$ e $2$, perché $(-8) \cdot 2 = -16$ e $-8 + 2 = -6$: valori interni, $-8 \leq x \leq 2$. Intersecando con $x > 0$: la soluzione è $0 < x \leq 2$. Verifica dell’estremo: per $x = 2$ si ha $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16 = 2$. L’intervallo $-8 \leq x \leq 0$ è falso: lì $\log_4 x$ non esiste.

2. Una differenza con una frazione

Testo. Risolvi $\ln(x + 9) - \ln(x - 1) \leq \ln(x - 3)$.

C.E.: $x > -9$, $x > 1$ e $x > 3$, cioè $x > 3$. Compattiamo a sinistra con la regola del quoziente e confrontiamo gli argomenti:

$$\frac{x + 9}{x - 1} \leq x - 3$$

È una disequazione fratta. Non moltiplichiamo in croce: portiamo tutto a sinistra e facciamo il denominatore comune:

$$\begin{gathered} \frac{x + 9 - (x - 3)(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \\ {} \iff \frac{-x^2 + 5x + 6}{x - 1} \leq 0 \\ {} \iff \frac{x^2 - 5x - 6}{x - 1} \geq 0 \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio abbiamo cambiato segno al numeratore e invertito il verso. Il numeratore è $(x - 6)(x + 1)$: positivo per $x < -1$ oppure $x > 6$, nullo in $-1$ e in $6$; il denominatore è positivo per $x > 1$. La frazione è positiva o nulla dove i due segni coincidono: per $-1 \leq x < 1$, con numeratore e denominatore negativi (o numeratore nullo), e per $x \geq 6$, con entrambi positivi. Per $x < -1$ è negativa, perché il numeratore è positivo e il denominatore no. Intersecando con le C.E., $x > 3$: la soluzione è $x \geq 6$. Verifica dell’estremo: per $x = 6$ si ha $\ln 15 - \ln 5 = \ln 3 = \ln(6 - 3)$. La strada più corta era spostare il termine con il meno: $\ln(x + 9) \leq \ln[(x - 1)(x - 3)]$ dà subito $x^2 - 5x - 6 \geq 0$, senza frazioni.

3. Un coefficiente e un quadrato

Testo. Risolvi $\log_2\left(x^2\right) \leq 2\log_2(x + 6)$.

C.E.: $x^2 > 0$, cioè $x \neq 0$, e $x > -6$. Insieme: $x > -6$ con $x \neq 0$. Lasciamo il quadrato a sinistra e portiamo il 2 dentro a destra, cosa lecita perché nelle C.E. $x + 6$ è positivo:

$$\begin{gathered} \log_2\left(x^2\right) \leq \log_2\left[(x + 6)^2\right] \\ {} \iff x^2 \leq x^2 + 12x + 36 \\ {} \iff x \geq -3 \end{gathered}$$

Il termine $x^2$ si semplifica e resta $12x + 36 \geq 0$. Intersecando con le C.E.: la soluzione è $-3 \leq x < 0$ oppure $x > 0$. Verifica dell’estremo: per $x = -3$ i due membri valgono $\log_2 9$ e $2\log_2 3$, uguali. Chi scrive $\log_2\left(x^2\right) = 2\log_2 x$ impone $x > 0$ e perde l’intervallo $-3 \leq x < 0$, fatto di soluzioni vere: per esempio $x = -1$ dà $\log_2 1 = 0 \leq 2\log_2 5$.

4. Basi diverse

Testo. Risolvi $\log_2(x + 1) \leq \log_4(5x + 11)$.

C.E.: $x > -1$ e $x > -\frac{11}{5}$, cioè $x > -1$. Portiamo il secondo logaritmo in base 2, $\log_4(5x + 11) = \frac{1}{2}\log_2(5x + 11)$, moltiplichiamo per 2 (positivo, il verso resta) e portiamo il 2 dentro:

$$\begin{gathered} 2\log_2(x + 1) \leq \log_2(5x + 11) \\ {} \iff (x + 1)^2 \leq 5x + 11 \\ {} \iff x^2 - 3x - 10 \leq 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $-2$ e $5$: valori interni, $-2 \leq x \leq 5$. Con le C.E.: $-1 < x \leq 5$. Verifica dell’estremo: per $x = 5$ si ha $\log_2 6$ a sinistra e $\log_4 36 = \log_2 6$ a destra. Il pezzo $-2 \leq x \leq -1$ è nato quando il 2 è entrato come esponente: lo elimina l’intersezione.

5. Base minore di 1

Testo. Risolvi $\log_{1/2} x + \log_{1/2}(x - 1) \geq -1$.

C.E.: $x > 0$ e $x > 1$, cioè $x > 1$. Scriviamo $-1 = \log_{1/2} 2$, perché $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$, e compattiamo. La base è minore di 1: al confronto il verso si inverte:

$$\begin{gathered} \log_{1/2}[x(x - 1)] \geq \log_{1/2} 2 \\ {} \iff x(x - 1) \leq 2 \\ {} \iff x^2 - x - 2 \leq 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $-1$ e $2$: $-1 \leq x \leq 2$. Con le C.E.: $1 < x \leq 2$. Verifica dell’estremo: per $x = 2$ si ha $\log_{1/2} 2 + \log_{1/2} 1 = -1 + 0 = -1$. In alternativa, con $\log_{1/2} f = -\log_2 f$ la disequazione diventa $\log_2[x(x - 1)] \leq 1$: stesso risultato, senza versi da invertire.

6. Da esame: tre logaritmi e tre basi

Testo. Risolvi $\log_2(x - 3) + \log_{1/2}(x + 3) + \log_4\left(x^2\right) \geq 0$.

C.E.: $x > 3$, $x > -3$ e $x \neq 0$, cioè $x > 3$. Le basi $\frac{1}{2}$ e 4 sono potenze di 2: $\log_{1/2}(x + 3) = -\log_2(x + 3)$ e $\log_4\left(x^2\right) = \frac{1}{2}\log_2\left(x^2\right) = \log_2\lvert x \rvert$, che nelle C.E., dove $x > 3$, è semplicemente $\log_2 x$. La disequazione diventa

$$\log_2(x - 3) + \log_2 x \geq \log_2(x + 3)$$

dove abbiamo spostato a destra il termine con il meno. Compattiamo e confrontiamo gli argomenti, con base maggiore di 1:

$$\begin{gathered} x(x - 3) \geq x + 3 \\ {} \iff x^2 - 4x - 3 \geq 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $x = 2 \pm \sqrt{7}$, e il trinomio è positivo o nullo per i valori esterni: $x \leq 2 - \sqrt{7}$ oppure $x \geq 2 + \sqrt{7}$. Siccome $\sqrt{7} \approx 2{,}65$, le radici valgono circa $-0{,}65$ e $4{,}65$. Intersecando con $x > 3$ resta solo

$$x \geq 2 + \sqrt{7}$$

Verifica dell’estremo: per $x = 2 + \sqrt{7}$ vale $x^2 = 4x + 3$, quindi $x(x - 3) = x + 3$ e i due membri sono uguali. Nota il ruolo delle C.E. nel passaggio $\log_2\lvert x \rvert = \log_2 x$: senza averle scritte prima, non avremmo potuto togliere il valore assoluto. Altri esercizi di questo tipo, fino a quelli con esponenziali e logaritmi insieme, sono negli esercizi svolti sulle disequazioni logaritmiche.

In sintesi

• Prima le C.E. sulla disequazione di partenza, poi compatta, confronta gli argomenti e interseca: le condizioni vanno a sistema, non «controllate alla fine».
• $\ln A + \ln B$ esiste per $A, B > 0$, $\ln(AB)$ per $AB > 0$: compattare allarga il dominio. Le soluzioni di partenza sono quelle della disequazione algebrica che rispettano le C.E.
• Compattare è un’implicazione, e infinite soluzioni non si provano una per una; con le C.E. a sistema diventa un’equivalenza.
• Base maggiore di 1: il verso resta. Base tra 0 e 1: il verso si inverte al momento del confronto. Dividere per un numero negativo inverte il verso.
• Stessa base: $\log_{a^k} f = \frac{1}{k}\log_a f$, $\log_{1/a} f = -\log_a f$, oppure $\log_a f = \frac{\ln f}{\ln a}$.
• Coefficienti dentro, numeri come logaritmi, termini con il meno dall’altra parte: così si evitano le frazioni. Se una frazione resta, si studia il segno, non si moltiplica in croce.
• Esponenti pari: $\ln\left(f^2\right) = 2\ln\lvert f \rvert$ per $f \neq 0$. Meglio lasciare il quadrato dentro che perdere un intervallo.

Quando il logaritmo compare al quadrato o al denominatore, compattare non basta: serve la sostituzione, che vediamo nelle disequazioni logaritmiche con sostituzione.